5.4 简单有理函数的积分法
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高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
有理函数
（其中各系数待定）； 其中各系数待定）；
例1
x+3 x2 − 5x + 6
=
分母因式分解
=
x + 3 ( x − 2 )( x − 3 )
比（ 较 系 数 法 ）
部分分式之和
A B , + x−2 x−3
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
通分后分子相等
⇒
∴ x + 3 = ( + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
3、有理函数积分法
(1) 假分式
多项式除法
→
多项式 + 真分式;
x3 + x + 1 1 如 = x+ 2 2 x +1 x +1
(2) 真分式
待定系数法
→
： 部分分式之和
P( x ) 化为部分分式之和的步骤： 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x ) 在实数系作标准分解： （1）对分母 Q ( x )在实数系作标准分解： b0 ( x − λ1 )α1 L( x − λk )α k ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 L( x 2 + ph x + qh ) β h
（其中 x 2 + p i x + q i , i = 1, L , h 为 不可约因式 )
( x − a ) k ，对应的部分分式为 （2）分母中因式 ） A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
都是待定 常数. 待定的 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是待定的常数
简单有理函数的积分
简单有理函数的积分
有理函数积分拆项原则求abc：通分，x^2+1=a（x-1）（x+3）+b（x+3）+c（x-1）^2，代入x＝1求得b，代入x＝-3求得c，再随便代入一个其它数字，求得a。
有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。
在数学中，理性函数就是可以由有理分数定义的任何函数，即为代数分数，使分子和
分母都就是多项式。
多项式的系数不须要就是有理数，它们可以在任何字段k中展开。
变量的情况可以在涵盖k的任何字段l中展开。
函数的域就是变量，分母不为零，代码区
为l。
代数几何定义编辑语音
设v为不容向量丛簇，座标环k[v]为整环，故存有商域k（v），称作v的函数域，
其元为v上的一个有理函数。
一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里f和g都是多项式函数。
有理函数
是特殊的亚纯函数，它的零点和极点个数有限。
大一高数第四章简单有理函数的积分
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式；
( 2) n m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成 一个多项式和一个真分式之和.
例 难点
1 x x1 x 2 . 2 x 1 x 1
1 dx 例 2 1x
1 1 dx dx 解： 2 1x (1 x)(1 x) 1 1 1 [ ]dx 2 1x 1x
1 [ln | 1 x | ln | 1 x |] C 2 1 1x ln | | C 2 1x
注意：分母拆项是常用的技巧！
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
A 5 A B 1, , B 6 ( 3 A 2 B ) 3, x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
例. 求
1 d x d ( 解: 原式 2 2 x 1) ( x 1) ( 22 ) 1 x 1 arctan C (P203 公式 (20) ) 2 2
1 练习：求积分 x(x 1) dx.
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பைடு நூலகம்
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例. 求
解: 原式
1 ( 2 x 2) 3 2 2
如
dx, 使用凑微分法比较简单 . x 1
3
x
2
基本思路
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等 化部分分式，写成分项积分
可考虑引入变量代换
二、简单无理函数的积分
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
THANK YOU
信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
第四节有理函数的积分
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d
(3x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
2(3x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
该题先有理化,再凑微分，避免了变量代换化为有理式 的积分所带来的麻烦.
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2 dx = 1 + u2 du,
1 sin 4
x
dx
1
3u2 3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 8
tan
x 2
1 24
tan
x 2
3
C.
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16
【解】Ⅱ 修改万能置换公式, 令 u tan x
x2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A B, x2 x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
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5
【方法2】特殊值法(赋值法)
简单有理分式函数的积分
简单有理分式 函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
有理函数的积分方法总结
有理函数的积分方法总结
学习高数时，不定积分问题一直是困扰我们的一个难点，因为解决这类问题，一是费脑，而是方法众多，根本就不知道用哪种方法，三是根本就没有记得那么多的方法，以至于见题不会。
而且，数学这种东西环环相扣，就感觉很麻烦，只要不定积分的问题不会，定积分问题与微分方程问题也都不可能达到精通，这要就会极大的打击我们学高数的积极心。
而我今天会给大家系统的介绍关羽有理函数的积分方法总结，希望对大家以后解决这类问题有所帮助。
有理函数的介绍
以例题的步骤讲解，将有理函数化为多项式与真分式之和形式的方法总结
万能公式：将三角函数化为有理函数进行积分
无理函数的积分与有理函数的积分之间的联系与转换方法，和例题分析
联系与转换方法
例题分析
内容方法总结
基本上关于有理函数的积分就有这么多方法，希望大家可以采纳，并且对解决这类问题有所帮助。
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的，但并不一定是最佳方法， 本题还有以下两种解法：
x 变换 u tan 对所有的三角函数有理式积分都是“万能” 2
解法二 解法三
dx 1 dx tan x C. x 1 cos x 2cos2 2 2
dx 1 cos x dx dx cos x dx cot x csc x C. 2 2 2 1 cos x 1 cos x sin x sin x
3
t
2
1 t 3 1
6t 2
2
dt
3 3 dt t C 2 2
3 3 x 1 C. 2 x 1
结束语
有些函数的不定积分虽然存在，但不能用初等函数表示．
e
x2
1 sin x dx, 1 x3 dx, 1 dx, dx, dx , ln x x 1 x4 L ,L ,
5.4 简单有理函数的积分法
5.4.1 有理函数的积分
5.4.2 可化为有理函数的积分
5.4.1 有理函数的积分
这里仅讨论真分式的积分．根据多项式理论，任一 真分式可用下述方法拆为有限个部分分式之和，即：
P( x) 若真分式 的分母可以分解成有限个多项式之积 Q( x )
Q( x) Q1 ( x)Q2 ( x)L Qn ( x),
2
t t 1
2
dt , 于是
1 t dt dx 2 dt arctan t C arctan x 1 C. 2 2 2 2 t 1 x x 1 t 1 t t 1
例5.40 求
dx ( x 1). x x2 1
且 Q1 ( x), Q2 ( x),L , Qn ( x) 没有公因式， 则该真分式可拆成有限个简单的部分分式之和：
Pn ( x) P( x ) P P2 ( x) 1 ( x) L . Q( x) Q1 ( x)式拆成简部分分式之和后，就能解决其积分问题．
例5.36 求 解 设
去分母得
x 3 dx. 2 x 5x 6
x3 x3 A B x 2 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A x 3 B x 2
令 x 2，代入得 A 5，令 x 3 ，代入得 B 6 ． 于是
解得
于是
dx 1 dx 1 dx 1 2 x 2 dx 2 2 2 2 2 x 2 x 4 x 2x 2 x ( x 2 x 2) 1 1 1 ln x ln( x 2 2 x 2) C. 2 2x 4
2 2 x 1 u ， dx du ， 解法一 令 u tan ，则 cos x 2 2 1 u 1 u 2
dx 2 x 1 于是 1u 2 du du u C tan C. 2 1 cos x 1 1u 2 1 u 2
1 1 ，则 dx 2 dt ， 于是 解法二 令 x t t
dx 2 x x 1
t
1 t2
1 1 dt dt arcsin t C arcsin C. 2 2 x 1 t 1 t
2
解法三 令
x 1 t ，则 x t 1 ，dx
善于借助其他工具来拓展我们的积分能力．但要重基础．
例5.40 求
dx ( x 1). x x2 1
解法一 令 x sec t ，则 dx sec t tan tdt ，于是
sec t tan tdt dx t C arcsec x C. 2 x x 1 sec t tan t
5.4.2 可化为有理函数的积分
由三角函数和常数经有限次四则运算构成的函数称为 三角函数有理式． 由于各三角函数都可以用 sin x 和 cos x 的有理式表示， 所以三角函数有理式实际上就是 sin x 和 cos x 的有理式． 对于其积分，采取以下换元及三角函数中的万能公式，
x 即令 u tan , 得 2
但令人诧异的是，三个数学软件中显示的结果均为： 其实结果均是正确的，读者可以自己验证，虽然结果 形式有些不同，但经过变形，彼此间仅相差一个常数．
1 arctan 2 x 1
x 3 dx 2 x 5x 6 1 1 5 dx 6 dx x2 x 3
5ln|x 2| 6ln | x 3| C.
例5.37 求 解 设
dx . 2 2 x ( x 2 x 2)
1 Ax B Cx D x 2 ( x 2 2 x 2) x2 x2 2x 2
例5.39 求
1 3 x 1 dx. 2 x 1 x 1
解 令 t
于是
3
t 1 x 1 ，则 x 3 ，dx 3 x 1 t 1 t 1
3
6t 2
2
dt ，
1 3 x 1 dx 2 x 1 x 1
t 1 t 3 1
解法四 利用凑微分法，得
1 1 1 dx 1 2 dx d x arccos C. 2 1 1 x x x 1 x 1 x2 1 x2
解法五 我们可以用数学软件计算其结果，例如：
（1）在Maple中，语句为： int(1/(x*sqrt(x^2-1)),x)； （2）在Matlab中，语句为： int(1/(x*sqrt(x^2-1)))； （3）在Mathematica中，语句为： Integrate[1/(x*Sqrt[x^2-1]),x]；
sin x 2 tan 1 tan
x 2 2 x 2
2 x 2 1 tan 1 u 2 2u cos x 2 , dx du , , 2 x 2 2 2 1 tan 2 1 u 1 u 1 u
然后，将其积分转化为有理函数的积分．
例5.38 求
dx . 1 cos x
去分母得 1 A C x3 2 A B D x2 2 A 2B x 2B 比较上式两端同次幂的系数得
A C 0, 2 A B D 0, 2 A 2 B 0, 2 B 1,
A 1 2, B 1, 2 1 C 2, 1 D 2,