高等数学：第四节 有理函数的积分
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
高等数学几种特殊类型函数的积分
P(x) Q( x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及b0 ,b1,,bm 都是实数，并且a0 0，b0 0.
4-4 有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式
1 x
(x
1 1)2
1. x1
4-4 有理函数的积分
例3
(1
1 2 x )(1
x2)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质：
1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和.
例如，我们可将 x 3 x 1
x2 1
1
化为多项式与真分式之和
x
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
. 1
4-4 有理函数的积分
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
(x
A2 a)k1
Ak xa
,
其中 A1 , A2 ,, Ak都是待定的常数.
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后含有：
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
有理函数的积分拆分方法
有理函数的积分拆分方法一、前言积分是高等数学中非常重要的概念。
而有理函数则是些基础的函数，其定义域是有理数的多项式函数。
在进行有理函数的积分时，我们有时可以通过拆分的方式，将原式转化为简单的形式，从而使求解变得更加容易。
本文将讨论有理函数的积分拆分方法，特别是常见的分式分解法和部分分式分解法。
二、分式分解法分式分解法是将原有理式拆分成若干个分式相加的形式。
下面我们将介绍一下分式分解法的具体步骤：1.将分母拆分成多项式的积。
例如：$\frac{x^2+2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{ B}{x+2}$其中 $A$，$B$ 是待定系数。
2.将原式中的分式分别乘上其对应的除数。
例如：$x^2+2x=A(x+2)+B(x+1)$3.利用待定系数的方法求解 $A$，$B$。
例如：在上式中将 $x$ 替换为 $x=-1$，可以得到 $A=-1$。
在上式中将 $x$ 替换为 $x=-2$，可以得到 $B=2$。
最终得到：$\frac{x^2+2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x+2}$三、部分分式分解法部分分式分解法则是将有理式模拟成部分分式，之后进行求解。
下面我们将介绍部分分式分解法的具体步骤：1.将分母分解因式。
例如：$\frac{5x-1}{x^2-3x+2}=\frac{5x-1}{(x-1)(x-2)}$2.将各因式拆成单项式。
例如：$\frac{5x-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$3.用待定系数法求解。
例如：$5x-1=A(x-2)+B(x-1)$4.解得系数 $A$，$B$。
例如：在上式中将 $x=1$，可以得到 $A=-4$。
在上式中将 $x=2$，可以得到 $B=9$。
最终得到：$\frac{5x-1}{x^2-3x+2}=\frac{-4}{x-1}+\frac{9}{x-2}$四、总结：通过上述两种方法，我们可以将有理函数的积分拆分为若干个简单的分式相加。
有理函数的展开和积分
有理函数的展开和积分有理函数是一种非常基本的数学函数，它可以表示为多项式之间的比例。
事实上，所有的多项式都可以看作是有理函数，因为一个常数可以看作是一个常数函数。
在本文中，我们将介绍有理函数的展开和积分，这些技术在微积分和复变函数学中都非常重要。
一、有理函数的展开有理函数的展开是指将一个有理函数表示为若干个基本有理函数的和的形式。
基本上所有的有理函数都可以进行展开，而且这个过程是唯一的。
具体而言，如果我们知道一个有理函数在有限多个点处的值和其在无穷远处的极限，那么我们就可以展开这个有理函数。
值得注意的是，一个有理函数在某个点处的展开式的一般形式是$$\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{a_1}{z-z_1}+\frac{a_2}{z-z_2}+\cdots+\frac{a_n}{z-z_n}+\frac{R(z)}{Q(z)}$$其中$z_1,\cdots,z_n$是有理函数的极点，$a_1,\cdots,a_n$是相应的线性分式分解中的分子系数，$R(z)$是分母次数小于分子次数的对应多项式。
二、有理函数的积分有理函数的积分是指计算一个有理函数的不定积分的过程。
和有理函数的展开类似，有理函数的积分也有一个显式的公式。
具体而言，如果我们有一个有理函数$$\frac{P(z)}{Q(z)}$$其中$P(z)$和$Q(z)$都是多项式，并且$Q(z)$没有重根，那么这个有理函数的不定积分就可以表示为$$\int\frac{P(z)}{Q(z)} dz=\sum_{i=1}^n\frac{B_i}{z-z_i}+\int\frac{R(z)}{Q(z)} dz$$其中$z_1,\cdots,z_n$是有理函数的极点，$R(z)$是分母次数小于分子次数的对应多项式，$B_1,\cdots,B_n$是通过求导和代入极点计算得到的常数。
需要注意的是，有些情况下，一个有理函数的不定积分可能无法用上面的公式来表示。
44有理函数的积分知识讲解
44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
有理函数积分 arctan
有理函数积分 arctan有理函数积分 arctan，是一种高等数学中的重要概念。
本文将从以下三个方面进行介绍：一、有理函数的概念；二、积分 arctan 的相关知识点；三、如何对有理函数积分 arctan 进行求解。
一、有理函数的概念有理函数常常在高等数学中出现，它的一般形式为：f(x)≡P(x)/Q(x)，其中 P(x) 与 Q(x) 均为多项式函数。
具体而言，P(x) 是一个整数次项多项式，Q(x) 是一个非零整数次项多项式。
例如：f(x) = (x³ + 2x + 3) / (x² + 1)就是一个有理函数。
二、积分 arctan 的相关知识点在对有理函数进行积分时，经常会遇到积分 arctan 的情况。
arctan是反切函数，其定义域为所有实数，值域为 (-π/2, π/2)。
积分 arctan 的一般形式为：∫ arctan (ax + b) dx = (1/a) ln|ax + b| - (b/a) arctan (ax + b) + C其中 a, b 是常数，C 是积分常数。
积分 arctan 的求解需注意以下几点：1. 制定好积分的公式和范式，包括去掉常数、线性部分提出来等等；2. 利用倒公式，将 arctan 函数转化为自然对数函数；3. 通过积分换元或者分部积分法，将原函数化简为一个比较简单的形式；4. 对简化后的原函数进行求解，得到最终的结果。
三、如何对有理函数积分 arctan 进行求解对有理函数积分 arctan 进行求解时，有一些常用的方法，包括利用代数除法和部分分式拆分法，下面具体介绍一下：1. 利用代数除法假如要计算∫(x+1) / (x²+x+1)arctan(x+1)dx 的积分，我们可以采用代数除法的方式。
首先，将分母x²+x+1 分解成两个因式(x+1/2)²+3/4 和(x-1/2)²+3/4，于是原形式可以写成：(x+1) /[(x+1/2)²+3/4] - (x-1/2) /[(x-1/2)²+3/4 ]]arctan(x+1)dx接下来，利用代换方法将第一个部分中的 x+1/2 的分母提出来，并设该部分为 z，得到如下积分：∫[(2z-1)/(2z²+1) - 1/2] arctan z dz再通过分部积分法，得到最终结果：(2/3)ln|2z²+1| - (1/2)arctan z + C2. 利用部分分式另外，我们还可以利用部分分式拆分法来计算有理函数积分 arctan。
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
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则 P(x) Q( x)
A1 ( x a)
(
x
A2 a) 1
A
xa
(
x
B1 b)
(
x
B2 b)
1
B xb
( x2 rx s) ,
M1x N1 ( x2 px q)
M2x N2 ( x2 px q) 1
M x N x2 px q
(
M1 x2
x px
N1 q
)
M2x N2 ( x2 px q)1
x
e3
)
x
3arctan(e 6
)
C.
2
13
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式；
(2)
A (x a)n ;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论第（3）类积分
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx,
x2
px q x
p
2
q
p2 ,
令x
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
R
1
2u u2
,
1 1
u2 u2
1
2
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
. 1
难点 将真分式化为部分分式之和.
3
真分式化为部分分式之和要用到如下性质：
Q( x) b0 ( x a) ( x b) ( x2 px q)
第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的函数的积分举例 三、小结 思考题 练习题 四、作业
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
x(
1 x
1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
1 x( x 1)2 dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln | x | 1 ln | x 1 | C.
)n
dt .
16
综上所述：以下三类函数
(1) 多项式；
(2)
(
x
A a
)n
;
(3)
(
x
Mx 2 px
N q)n
;
的积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
17
二、可化为有理函数的积分举例
三角有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成
的函数称为三角有理式，记为R(sin x,cos x)
x1
8
例3
(1
1 2 x )(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
1
(1 2x)(1
A x2 )
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
7
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
9
例4 求积分
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
dx 6 dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t
2
)
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
Mt (t 2 a2 )n dt
b (t 2 a2 )n dt
(1)
Mx N
n 1,
x2
px
dx q
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
Mx N
(2) n 1, ( x2 px q)n dx
M 2(n 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t
2
1 a2
3
2
dt
12
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln 1 t 3 2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1 1 t 2 dt
6 ln | t | 3 ln | 1 t | 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
x
3ln(1
x
e6
)
3 ln(1
2
p
t,
a2
4 q
p2 ,
2
4
14
则 x2 px q t 2 a2 ,
Mx N M(t p ) N Mt b, (b N Mp)
2
2
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
(t2
Mt a
2
)n
dt
(t2
b a2 )n dt
15
Mx N ( x2 px q)n dx
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
6
真分式化为部分分式之和的待定系数法或赋值法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
Mx N x2 px q
.
4
注：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
xa
5
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
x
2 tan
sin x
2,
1 tan2 x
2
1 tan2 x
cos x
2,
1 tan2 x
2
18
2tan x
1 tan2 x
sin x
2 , cos x
2
1 tan2 x
1 tan2 x
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式）
2
sin
x
1
2u u2
,
cos