第四节有理函数的积分
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有理函数的积分
sin( x
2
) d x,
dx 1 x4
换句话说, 这些不定积分的结果已不再是初等函数, 数学上讲， “初等函数集合对不定积分运算不封闭”.
二 、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x ) dx
万能代换
x 令 t tan 2 ,
例2. 求 解: 根据上题的结果
（课本P214 例4）
1 4 1 2x 原式 dx 2 2 5 1 2x 1 x 1 x 1 2 d(1 2 x ) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 2 2 5 1 x 5 1 2x 5 1 x
k
Q( x ) b0 ( x a ) ...( x b) ( x 2 px q ) ...( x 2 rx s ) (其中p 2 4q 0,..., r 2 4 s 0).
Mx N ; ( 3) 二次单因式( x px q ), 对应一项 2 x px q
例6. 求
1 1 2 ln t C t 2t 2 2 1 x x 1 2 x tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R( x , n ax b ) dx , 令 t n a x b R( x , n
1 sin x sin x(1 cos x ) dx . （课本P216 例5） 2 x 2t 1 t 解: 令 t tan , 则 sin x , 2 cos x 1 t 2 1 t2 2 dx dt 2 1 t 2t 1 1 t 2 1 1 2 原式 1 t 2 dt t 2 dt 2 2t 1 2 t (1 1 tt 2 ) 1 t 2
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
第四节有理函数的积分
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
cos x
sec2
x
2
1
tan2
2 x
,
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式） 2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
第四节有理函数积分65002
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例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)
2
dx
(ab 0) .
解法 1
原式
dx (a tan x b)2 cos2 x
令 t tan x
dt (a t b)2
1 C a(a t b)
cos x
C
a(a sin x b cos x)
2
22
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思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解: 1. 原式 1 3
dx3 (a3)2 (x3)2
66a1a133llnnxxxx3333aaaa3333 CC
2. 原式
sin2 x sin3
x
cos2 cos x
x
dx
dx sin x cos x
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
cos sin 3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin 3
x x
ln tan x
1 2
1 sin 2
有理函数的不定积分
4 2 3 2
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
经济数学-有理函数的积分
7. ln
三、1. 2. 3. 4. 5. 6.
1 1 C； 2 1 x 2(1 x ) ln( x sin x ) C ； (1 x 2 ) 3 1 x2 C； 3 x 3x sin x 1 ln(sec x tan x ) C ； 2 2 cos x 2 x4 1 4 arctan x C； 8 8(1 x ) 8 2 x C ,或 sec x x tan x C ； x 1 tan 2
即有些初等函数是不可积的。
练习题
一、 填空题：
3 Bx C A 1． 3 dx 2 dx ，其中 A ____, x 1 x 1 x x 1
B ________ , C __________；
A B C 2． dx , 2 x 1 x 1 x 1
2u 2du , ； 2 2 1 u 1 u
1 1 2. -1, , ； 2 2
4. 初等函数 .
1 ( x 2) 4 二、1. ln C； 3 2 ( x 1)( x 3) 1 x4 1 arctan x C ； 2. ln 2 2 4 (1 x ) (1 x ) 2 2 x 2 2x 1 2 3. ln 2 arctan( 2 x 1) 8 x 2x 1 4 2 arctan( 2 1) C ； 4
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 1 3 d(1 t 2 ) 3 dt 6ln t 3ln(1 t ) 2 2 1 t 1 t 2
三、1. 2. 3. 4. 5. 6.
1 1 C； 2 1 x 2(1 x ) ln( x sin x ) C ； (1 x 2 ) 3 1 x2 C； 3 x 3x sin x 1 ln(sec x tan x ) C ； 2 2 cos x 2 x4 1 4 arctan x C； 8 8(1 x ) 8 2 x C ,或 sec x x tan x C ； x 1 tan 2
即有些初等函数是不可积的。
练习题
一、 填空题：
3 Bx C A 1． 3 dx 2 dx ，其中 A ____, x 1 x 1 x x 1
B ________ , C __________；
A B C 2． dx , 2 x 1 x 1 x 1
2u 2du , ； 2 2 1 u 1 u
1 1 2. -1, , ； 2 2
4. 初等函数 .
1 ( x 2) 4 二、1. ln C； 3 2 ( x 1)( x 3) 1 x4 1 arctan x C ； 2. ln 2 2 4 (1 x ) (1 x ) 2 2 x 2 2x 1 2 3. ln 2 arctan( 2 x 1) 8 x 2x 1 4 2 arctan( 2 1) C ； 4
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 1 3 d(1 t 2 ) 3 dt 6ln t 3ln(1 t ) 2 2 1 t 1 t 2
4.4 有理函数的积分
x
2 x
2tan x
1
tan
2 2x
2u 1 u
2
,
2
2
cosx cos2
x 2
sin 2
x 2
1 tan2 x
2 sec2 x
1 1
u u
2 2
.
2
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铃
令 u tan x , 2
则 sin x12uu2 ,
cos
x
1 1
u2 u2
.
例例44
求
1sin x sin x(1cosx)
请看如下积分:
cosx 1sin x
dx
1 1sin
x
d(1sin
x) ln(1 sin
x)
C
.
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铃
•简单无理函数的积分 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.
例例55 求
x1 dx . x
解 设 x1u , 即 xu2 1 , 则
x 1 x
dx
u2u1
2udu
2
,
于是
1 x
1 x
x
dx
(t
2
1)t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
dt 1
2
(1
t
211)dt
2t
ln
|
t t
1|C 1
2 1 x ln 1 x x C .
x
1 x x
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x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d
(3x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
2(3x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
该题先有理化,再凑微分，避免了变量代换化为有理式 的积分所带来的麻烦.
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2 dx = 1 + u2 du,
1 sin 4
x
dx
1
3u2 3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 8
tan
x 2
1 24
tan
x 2
3
C.
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16
【解】Ⅱ 修改万能置换公式, 令 u tan x
x2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A B, x2 x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
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5
【方法2】特殊值法(赋值法)
(sin3 t cos1 t 3sin2 t 3sint cos t cos2 t)dt
(sin2 t cos1 t 3cos t)sintdt (3sin2 t cos2 t)dt
[(1 cos2 t)cos1 t 3cos t][d(cost)] (2 cos 2t)dt
1 x( x1)2
AB x ( x 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1) (1)
代入特殊值(赋值)来确定系数 A, B,C
取x 0, A 1
取x 1, B 1
取x 2, 并将A、B值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
1 ( x 1)2
1
(1 2x)(1
x2)
A
4, B 2,C 1,
5
55
4 2x1
5 1 2x
5 1
x2
5
.
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7
6.【有理真分式的积分】
【例1】
x2
x
3 5x
6
dx
【解】
x2
x
3 5x
6
dx
(
5 x2
x
6
)dx 3
5
x
1
2
dx
6
x
1
3
dx
5ln x 2 6ln x 3 C
2
x2 2x 3 3 ( x 1)2 ( 2)2
1 ln( x2 2x 3) 3 arctan x 1 C
2
2
2
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10
【说明】将有理函数化为部分分式之和后，只出现 三类情况：
(1) 多项式； (2)
(
x
A a
)n
;
(3)
(
x
Mx 2 px
t2 1 t
t
2
2t 1
2dt
2
t 2dt t2 1
2
1
t
2
1
1
dt
2t ln | t 1 | C t 1
2 1 x ln x 1 x 12 C.
x
x
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【例11】求积分
1 x 1 3
dx. x1
19
【解】 令 t 6 x 1 6t 5dt dx,
2 u2
du
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13
⑵.【三角函数有理式的积分】
【方法】作代换化为有理函数积分
R(sin x,cos x)dx
R
1
2u u2
,
1 1
u2 u2
1
2 u
2
du.
【例5】求积分
1
sin x sin x cos
dx. x
【解】 由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
其中 A1, A2 , , Ak 都是常数.
【特殊地】 k 1, 分解后为 A ; xa
②分母中若有因式( x2 px， q其)k中
p2 4q，则0
P(x) ( x2＋px q)k
M1x N1 ( x2 px q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mkx Nk x2 px q
u
sin x
,
1 u2
dx
1
1 u2
du,
1 sin4
x
dx
1
1 u u2
4
1
1 u2
du
1
u2 u4
du
1 3u3
1 u
C
1 3
cot 3
x
cot
x
C
.
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17
【解】Ⅲ 可以不用万能置换公式，用凑微分法
1 sin4
x
dx
csc2
x(1
cot2 x)dx
⑴【讨论类型】R( x, n ax b), R( x,n ax b ),
cx d
⑵【解决方法】作代换去掉根号.化为有理函数的积分.
【例10】求积分
1 x
【解】令 1 x t
x
1 xdx x
1 x t2, x
x
1 t2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
1 x
1 xdx x
ax b
n
cx d
时，
可以令 u n ax b 或 u n ax b cx d
这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理 函数，因此原积分可化为有理函数的积分.
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【例12 】 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
21
【解】 先对分母进行有理化
原式 (
1
1
du u
arctan u 1 ln(1 u2 ) ln | 1 u | C
2
u tan x
2
x
x
x
ln | sec | ln | 1 tan | C.
2
2
2
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【例6】
求积分
1 sin 4
x
dx.
15
【解】Ⅰ
u tan x , 2
2u sin x = 1 + u2 ,
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【例2】求积分
x(
1 x
1)2dx.
8
【解】
x(
1 x
1)2dx
1 x
(
x
1 1)2
x
1
1
dx
1dx x
(
x
1
1)2
dx
1 dx x1
ln |
x|
1 ln | x1
x 1| C.
【例3】求积分
【解】 (1 2
x
1
(1 2x)(1
1 )(1
x2
dx )
x
2
)
dx.
4
1
5 2
x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 ln 5
|1
2x
|
1 5
2x 1 x2
dx
1 5
1
1 x2dx
2 ln | 1 2x | 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C .
5
5
5
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【例4】
求积分
x2
x
2 2x
个多项式和一个真分式之和.
【例】
x3 x2
x1 1
x
x
1 2
1
.
【难点】将有理函数化为部分分式之和.
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3
4.【有理函数化为部分分式之和的一般规律】
①分母中若有因式 ( x ，a则)k
P( x) ＝ A1 (x a)k (x a)k
A2 ( x a)k1Fra bibliotekAk xa
22
四、小结
有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能）
简单无理式的积分. （方法：去根号）
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23
【思考题】
将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
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【思考题解答】
其中 M i , N i 都是常数(i 1,2, , k ).
特殊地：k 1, 分解后为
x
Mx N 2 px
q
;
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5.【待定系数法】真分式化为部分分式之和的方法