有理函数积分方法的优化
有理函数积分的教学探讨
有理函数积分的教学探讨1. 引言1.1 有理函数积分的重要性有理函数积分在数学中具有重要的地位，它是微积分中的一个重要内容，也是数学分析中的重要研究对象。
有理函数积分在求解一些特定函数的不定积分和定积分时显示出其强大的应用价值，尤其是在计算一些复杂函数的积分时，往往需要运用有理函数积分的方法。
有理函数积分的重要性体现在以下几个方面：有理函数积分是微积分的一个重要分支，它涉及到函数的积分、导数等概念，对于深入理解微积分知识具有重要意义；有理函数积分在工程、物理、经济等领域的数学建模中具有重要应用，能够帮助解决现实问题；有理函数积分可以帮助学生培养抽象思维能力和解决问题的能力，对于学生的数学素养和综合能力提升具有积极作用。
深入学习和掌握有理函数积分的方法和技巧，对于提高数学水平、拓展数学视野和应用数学知识具有重要意义。
通过对有理函数积分的学习和探讨，可以帮助我们更好地理解数学规律和现实问题，提升数学应用能力和解决实际问题的能力。
1.2 有理函数的定义与特点有理函数是指可以表示为两个多项式函数的商的函数。
通常表示为R(x) = P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是多项式函数，且Q(x)不等于0。
有理函数在数学中的重要性不言而喻，因为它们可以被用来描述许多实际问题，如物理学、工程学和经济学中的各种现象和关系。
有理函数具有一些特点，其中最重要的是它们的定义域和值域。
定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，而值域则是函数所有可能取得的数值的集合。
对于有理函数而言，由于分母不等于0，定义域通常是所有实数减去分母为0的点，而值域是所有实数。
另一个重要的特点是有理函数的奇偶性。
如果一个有理函数满足R(-x) = R(x)，则称其为偶函数；如果满足R(-x) = -R(x)，则称其为奇函数。
根据奇偶性，可以简化有理函数的运算和积分。
有理函数还具有分解为部分分式的能力。
通过部分分式分解，可以将复杂的有理函数拆分为简单的分式，从而更容易进行积分和求解。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高数同济六版课件D44有理函数积分
直接积分法
直接积分法是一种 常用的积分方法， 适用于求解有理函 数的积分
直接积分法的基本 思想是将有理函数 分解为若干个部分， 然后分别进行积分
直接积分法需要掌 握一些基本的积分 公式和技巧，如积 分换元法、积分部 分分式法等
直接积分法在实际 应用中具有广泛的 应用价值，如求解 物理、工程等领域 的问题
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有理函数积分
汇报人：
汇报时间：20XX/01/01
目录
01.
添加标题
02.
有理函数的定 义和性质
03.
有理函数的积 分方法
04.
有理函数积分 的应用
05.
有理函数积分 的注意事项和 常见错误
单击添加章节标题内容
01
有理函数的定义和性质
02
有理函数的定义
有理函数的定义域：函数定 义域内的所有实数
求解微分方程： 利用有理函数积 分求解微分方程
优化问题：在有 理函数积分中寻 找最优解
概率论与数理统 计：在有理函数 积分中应用概率 论与数理统计
线性代数：在有 理函数积分中应 用线性代数
在金融和经济中的应用
计算股票价格：通过积分计算股票价格的变化趋势 预测经济指标：通过积分预测GDP、CPI等经济指标的变化趋势 计算债券价格：通过积分计算债券价格的变化趋势 计算期权价格：通过积分计算期权价格的变化趋势
Байду номын сангаас
积分顺序错误：注意积分顺序的 正确性，避免先积分后求导或先 求导后积分
添加标题
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添加标题
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积分变量错误：注意积分变量的 正确性，避免使用错误的变量进 行积分
积分方法错误：注意积分方法的 正确性，避免使用错误的积分方 法进行积分
简单有理分式函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
【全文】有理函数的积分
1
dx 3x
2
3u2 1 u
du
3
(u2 1) 1 u
1
du
3
u
1
u
1
1
du
3 u2 u ln1 u C
2
3 3
( x 2)2 33
x 2 3ln 1 3
x 2 C.
2
例8
求
1 x
1 x dx. x
解令
1 x x
u,
则
x
1 u2 1 ,
dx
2udu (u2 1)2
则分解后为
M1x N1 M2x N2 Mk x Nk ,
x2 px q ( x2 px q)2
( x2 px q)k
其中 Mi , Ni 都是常数 (i 1,2,, k ).
特殊地:
k
1,分解后为
Mx N .
x2 px q
真分式化为部分分式之和的待定系数法.
例1
求
x2
i
i
i
i
i
i
有理函数化为部分分式之和的一般规律:
(1) 分母中若有因式 ( x a)k , 则分解后为
A1 A2 Ak ,
x a ( x a)2
( x a)k
其中 A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地: k 1,分解后为 A ;
xa
(2) 分母中若有因式 ( x2 px q)k ,其中 p2 4q 0,
解
2u
sin x
,
1 u2
cos x 1 u2 , 1 u2
2
dx
du,
1 u2
2u
sin x
dx
有理函数的积分
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
1 4
sin x cos2 x
dx
1 4
1 sin
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
11
11
11
4 cos2 x d(cos x) 4 sin x dx 4 cos2 x dx
1 4cos
x
1 ln tan 4
x 2
1 tan 4
x
C.
三、简单无理函数的积分
讨论类型 R( x, n ax b), R( x, n ax b ), cx e
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
,
x2
px q x
p2
2
q
p2 , 4
令 x pt
2
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
(
x
Mx 2 px
1 a2
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
sin x 2sin x cos x 22
2tan x 2
sec2 x
解 sin A sin B 2sin A B cos A B
2
2
1 sin x sin 3x sin
《有理函数的积分》课件
有理函数积分的应
04
用
在微积分中的应用
计算定积分
证明数学定理
有理函数的积分可以用来计算定积分 ，特别是当被积函数为有理函数时。 通过计算有理函数的积分，可以得到 定积分的值。
有理函数积分在数学证明中也有广泛 应用。例如，可以通过有理函数积分 证明一些数学定理，如定积分的几何 意义等。
解决微分方程
详细描述
三角函数有理式是指分母和分子都包含三角函数的代数式，如 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$ 。求解这类有理函数的积分需要利用三角恒等式和有理函数的性质，如部分分式分解、三 角函数的倍角公式等。
举例说明
对于有理函数 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$，可以先将其转化为部分分式形式，然后利用三 角恒等式进行化简，最终得到其原函数。
有理函数的性质
总结词
有理函数具有一些重要的性质，如连续性、可微性等。
详细描述
有理函数在其定义域内是连续的，并且大部分情况下也是可微的。这意味着它们 的行为可以通过其导数来描述，这使得它们在微积分中有广泛的应用。
有理函数的分类
总结词
有理函数可以根据分子和分母的次数进行分类。
详细描述
有理函数可以根据分子和分母的次数被分为不同的类型。例如，如果分子和分母都是一次多项式，那么这个有理 函数被称为线性函数；如果分子和分母都是二次多项式，那么这个有理函数被称为二次函数，以此类推。此外， 根据分子和分母的符号，有理函数还可以被分类为正有理函数、负有理函数和无理函数等。
举例说明
对于有理函数 $frac{x^2+1}{x}$，可以先将其化为部分分式形式 $frac{x}{1} + frac{1}{x}$，然后分别对 每一部分进行积分，得到其原函数。
用“2+3”法解决分母为二次多项式的有理函数的积分问题
（ １ ３ ） 兰 出 一 专 垒 云 如 一 专 × （ １ ２ ） ＝ 吉
Ｉ ｎ ｛ 。 一２ ｘ ＋５ ｌ ＋Ｃ
ｎ ｌ ｘ ２ － ２ ｘ － １ ｌ ＋ １ ｎ Ｊ ｘ － ｌ 而 － Ｊ ￣ ｌ ＋ ｃ
如 一 云 出 ＋
－
（ １ ４ ）￣ ｘ２ －２
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍｅ ｄ ｉ ｃ ｉ ｎ ｅ
Ｖｏ １ ． ２ ６
Ｎｏ ．２
２ ０ １ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ４ — ４ ３ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ２ ３ ８ — ０ ３
中图分类 号 ： Ｇ６ ４ ２ ． ４ ２ １
（ ｚ一 ２ ｚ＋ ５ ） 出
ｚ
（ ４ ）
（ ５ ）
㈣ 一ｌ ｌ
＿ ｌ 一 吉 云 妇 一 吉 × （ ３ ） ＝ 丢 ｌ ｎ
出一 兰 ＋ ＝ 如一
ｄ （ ｚ ｚ 一２ ｚ ＋５ ） 一ｌ ｎ ｔ ｚ ｚ 一２ ｚ ＋ｌ ＋ｃ
ｌ ｚ －２ ｘ －１ ｌ ＋Ｃ
解法二 ： （ 根据本文 中定理 １ 及公 式 １ 计算 ）
原 式 』
一 ｆ 南
＿ １ ）
Ｉ （ ｘ － 丽 １ ） － ３ Ｉ ＋ ｃ 一 景ｌ ＋ ｃ
说明 ： 易见两法本质相 同， 但 由于解法 二应用 定理 １及公
定理 １ ： 任何 二次多项式 都可表 示为完 全平 方 和（ 一个含 ｚ的完全平 方 ， 一 个 不含 的完 全平 方 ） 或 完 全平 方 差 的形
３ 计算 实例
材 中传统计算 方法 的适用范 围更广 。
（ ３ ）ｆ
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有理函数积分的方法优化
一、有理函数积分有理函数定义：形如n
m m n n n b x b x b a x a x a x Q x P x R +⋯⋯+++⋯⋯++==--110110)()()(当n m ≤时，)(x R 为假分式；当n m >时，)(x R 为真分式
有理函数⇒相除多项式+真分式，其中真分式⇒分解
若干部分分式之和
其中部分分式的形式为：
从上述定义可以看出，有理函数的积分是利用分式函数可拆分的性质解题的，即
C k a x A dx a x A k
k +--=--⎰1)()(1，()
c x P q px x B dx q px x N Mx ++++-=+++⎰)(222这种做法对于式子比较简单，即分母能拆解的项数是在三项或者三项以下的比较实用，但是对于三项以上，即要设三个未知数以上，最后通过求解多元一次方程组求解各个系数，最后通过简单的不定积分计算得出答案。
对于有学过数学的朋友都知道，一旦涉及的未知数较多的时候特别考验计算能力，即使平时计算能力还不错得体同学，对于式子较多时，亦会存在不少的问题，以下列两道例题体现该方法的优势和劣势：
例1dx
x x x ⎰+-+6532解：())3(2652--=+-x x x x ，所以3
26532-+-=+-+x B x A x x x 所以可列二元一次方程得3)2()3(+=-+-x x B x A ，即⎩⎨
⎧=--=+3231
B A B A 解得65=-=B A ，，则c
x x dx x dx x dx x x x +-+-=-+--=+-+⎰⎰⎰)3ln(6)2ln(5-3
6256532例2dx
x x x x ⎰++-+)1()1(6322
解：令()()()())
1(111)1)(1(1)1(1)1()1(63222222222++--+++++++-=++++-+-=++-+x x x x D Cx x x B x x x A x x D Cx x B x A x x x x 则()()()2
2211)1)(1(63-+++++++-=+x D Cx x x B x x x A x 令1=x 得3
,39==B B 令1=x 得D
B A ++-=6令1-=x 得)
(423C D B A -++-=令2=x 得D
C B A +++=27712故原式()C x x x x dx
x x x dx x dx x dx x x x x ++++---=++++-+-=++-+⎰⎰⎰⎰)1ln(1
31ln 2-112113112-)1()1(6322222从例2可以看出，对于四个未知数求解参数，计算量非常大，如果对于考试，这道题目需要将近十分钟的时间取解答，所以针对此类次数较高的，可以根据裂项的思想去求解，由此引出方法2
二、裂项法求有理函数积分
裂项常用公式：
（1）1
11)1(1+-=+x x x x ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+A x x A A x x n n n n 111)
(1
（3）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+-A x x A x A x x n n n n n 11)(11（4）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=-a x a x a a x 1121122（5）
()⎦⎤⎢⎣⎡++--=-11113111223x x x x x 此类方法主要考察因式分解的能力，即对裂项公式要熟练掌握并对式子有一定的感知能力。
同样以上述两个例题作为例子。
例1dx
x x x ⎰+-+6532解：2
53623332131)3(6532---=-+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=+-+x x x x x x x x x x x x 所以c
x x dx x dx x dx x x x +-+-=-+--=+-+⎰⎰⎰)3ln(6)2ln(5-36256
532例2dx
x x x x ⎰++-+)1()1(6322分析：由于()x x x x 31-122=-++所以()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++--+=++-+1111363)1()1(632222x x x x x x x x x 即()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++--+++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++--+=++-+1111211111111211111363)1()1(632222222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 对于1
)1(22212)1(211)1(21111211)1(12222222++++-+---=++++-⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以()1
121312)1()1(632222++++-+--=++-+x x x x x x x x x 故原式
()C x x x x dx x x x dx x dx x dx x x x x ++++---=++++-+-=++-+⎰⎰⎰⎰)1ln(131ln 2-112113112-)1()1(6322222例2用裂项法可以分成两步进行，如果裂项公式十分熟悉，这种拆分方式是比较快的，相比于传统的有理函数积分解法，可以不用设未知数A 、B 、C 、D ，降低了计算的难度，对于式子简单的可以知解套用裂项公式。
变式1⎰+1x e dx 变式2⎰+x x dx 2sin sin 2。