有理函数积分法精选
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
4.1.4有理函数的积分
( x 2 + px + q ) n
前面三种积分已在例题中介绍了它们的解法， 前面三种积分已在例题中介绍了它们的解法，最后 已在例题中介绍了它们的解法
一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式. 一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式. 中的公式
dx
1 2x + 2 1 dx + ∫ dx = ∫ 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2
1 d( x 2 + 2 x + 2) d ( x + 1) = ∫ +∫ 2 2 x + 2x + 2 ( x + 1) 2 + 1 2
1 = ln x 2 + 2 x + 2 + arctan( x + 1) + C . 2
二、三角函数有理式的积分
1．三角函数有理式
由常数和三角函数经过有限次四则运算所得到的函数
称为三角函数有理式， 表示. 称为三角函数有理式，可用 R(sin x , cosx ) 表示. 三角函数有理式
2．半角代换法
2 R(sinxx= t cos则 dx 可用半角代换法化为有理函数的积分. , ， x ) x =可用半角代换法化为有理函数的积分. 2arctant ， dx = dt ， 令 tan
(t + 1)2 t 2 + 2t + 1 令 x − 1 = t, dx = d t dx ②∫ ∫ t 20 dt = ∫ t 20 dt ( x − 1)20
x2
t −17 t −18 t −19 − − +C = ∫ (t −18 + 2t −19 + t −20 )dt = − 17 9 19 1 1 1 =− − − +C . 17 18 19 17( x −1) 9( x −1) 19( x −1)
有理函数——精选推荐
本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法． 2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有 理函数的方法． 教学时数 3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具
有如下形式的函数：
( ) P x ( ) Q x
=
a0 xn b0 xm
⎟⎟⎠
⎥ ⎥ ⎦
t
=
x
+
p,a 2
=
q− p2 4
dt t2 +a2 n
而
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) In−1 =
( ) dt
t2 + a2
n −1
=
t t2 + a2
n−1 + 2
n −1
t2 t 2 + a2 n dt
( ) ∫ ( ) ( ) =
t t2 + a2
n−1 + 2(n − 1)
⎠
= a2 + b2 (sinϕsin x + cosϕcos x)
= a2 + b2 cos( x −ϕ)
其中ϕ = arctan a , 则
b
∫
a sin
dx x+b
cos
x
=
1 a2 +
b2
∫
cos
(
1 x
−
ϕ
)dx
= 1 ln sec( x − ϕ ) + tan ( x − ϕ ) + C
N
−
Mp ⎞ 2 ⎟⎠
dx
⎡⎢⎣⎢⎛⎝⎜
x
+
有理函数的积分
§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。
高等数学 第四节 有理函数的积分
有理函数的积分
P 210 −
初等函数 f ( x ) 在它的定义域上是连续 的 , 它的不定积
分 I = ∫ f ( x ) dx 一定存在 , 但是却不一定能把 I 用初等函数
表示出来 , 例如 sin x , x
1 , ln x
e
− x2
,
sin x2 .
我们称这些函数 "积不出来" , "积不出来" 不能说明它 的原函数不存在 .
⌠ x+ p d 2 In = n 2 p p2 x + 2 + q − 4 ⌡
1 u + I1 + c , I2 = 2 2 2a u + a 2
In =
1 u + ( 2n − 3) I n −1 + c . n 2a 2 ( n − 1) ( u 2 + a 2 ) −1
B D − 1 Bp ⋅ I = n 2 n −1 + 2 2 (1 − n) ( x + px + q )
4
⌠ I n = 2 du 2 n , ⌡ (u + a )
p p2 u= x+ , a = q− . 2 4
我们已经知道 : I1 = 1 arctan u + c , a a
2
⇒
1− u , 2u sin x = , cos x = 2 1+ u2 1+ u
1+ u2
x
2u
1− u2
x = 2arctanu ,
dx = 2 du . 1+ u2
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
有理函数的不定积分例题(由简单到复杂)
有理函数的积分1、单项式积分：(1)⎰dx 0=C.(2)⎰dx =x+C.(3)⎰dx 2=2x+C. (4)⎰dx 31=3x +C.(5)⎰adx =ax +C. (a 为常数)(6)⎰xdx =22x +C. (7)⎰xdx 2=x 2+C. (8)⎰xdx 32=⎰xdx 231=32x +C. (9)⎰dx x 2=331x +C.(10)⎰dx x 23=x 3+C.(11)⎰dx x 22=⎰2332x =323x +C. (12)⎰dx x n =11++n x n +C. (13)⎰+dx x n n )1(=x n+1+C.(14)⎰dx ax n =11++n ax n +C. (15)⎰-dx nx n 1=x n +C.2、多项式积分(16)⎰+dx x )1(=⎰xdx +⎰dx =22x +x+C.或⎰+dx x )1(=⎰++)1()1(x d x =2)1(2+x +C ’=22x +x+C. (17)⎰-dx x x )23(2=⎰dx x 23-⎰xdx 2=x 3-x 2+C.(18)⎰---dx x x x )23(23=⎰⎰⎰---xdx dx x dx x 2323=44x --x 3-x 2+C. (19)⎰-dx x )1(2020=20212021x -x+C. (20)dx x x x x x )]5()3[(3199931999++--+⎰=dx x x ⎰---)34(3=-x 4-22x -3x+C. 3、整式乘法积分(21)dx x x ⎰-)1(=dx x x ⎰-)(2=33x -22x +C. (22)dx x x ⎰-+)1)(1(=dx x ⎰-)1(2=33x -x+C. (23)⎰+dx x 2)1(=⎰++dx x x )12(2=33x +x 2+x+C. 或⎰+dx x 2)1(=⎰++)1()1(2x d x =3)1(3+x +C ’=33x +x 2+x+C. (24)dx x x ⎰+)3(22=dx x x ⎰+)62(3=24x +3x 2+C. 或dx x x ⎰+)3(22=)3()3(22++⎰x d x =2)3(22+x +C ’=24x +3x 2+C. (25)dx x x ⎰-+)12)(2(=dx x x ⎰-+)232(2=323x +232x -2x+C. 4、整式除法积分 (26)dx x⎰1=ln|x|+C. (27)dx x a ⎰=aln|x|+C.(28)dx ax ⎰1=ax ||ln +C. (29)dx x ⎰+11=)1(11++⎰x d x =ln|x+1|+C. (30)dx x x ⎰+12=)1(112122++⎰x d x =21ln(x 2+1)+C. (31)dx x x ⎰-122=)1(1122--⎰x d x = ln|x 2-1|+C. (32)dx x x ⎰-2212=)21(2112122x d x ---⎰= -ln|1-2x 2|+C. (33)dx x x x ⎰+++2312=dx x x x ⎰+++)2)(1(1=dx x ⎰+21=ln|x+2|+C. (34)dx x ⎰21=x 1-+C. (35)dx x ⎰31=221x-+C. (36)dx x ⎰43=31x-+C. (37)dx x n ⎰1=1)1(1---n x n +C. (n>1) (38)dx x ⎰20202019=20191x -+C. (39)dx x x ⎰++24212=)1()1(1212++⎰x d x =)1(21+-x +C. (40)dx x ⎰+211=arctanx+C. (41)dx x ⎰+3212=dx x ⎰+1321312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x d x 321321612=66arctan x 32+C. (42)dx x x ⎰+14=241121dx x ⎰+=21arctanx 2+C. (43)dx x x ⎰++2212=)1(1)1(12+++⎰x d x =arctan(x+1)+C. (44)dx x ⎰-112= ⎝⎛-⎰dx x 1121-⎪⎭⎫+⎰dx x 11=21[ln(x-1)-ln(x+1)]=21ln 11+-x x +C. (45)dx x⎰-211= ⎝⎛+⎰dx x 1121+⎪⎭⎫-⎰dx x 11=21[ln(1+x)-ln(1-x)]=21ln x x -+11+C.(46)dx x x ⎰-221=dx x x ⎰---2211+dx x ⎰-211=⎰-dx +dx x ⎰-211=-x+21ln x x -+11+C. (47)dx x x ⎰+231=dx x x x ⎰++231-dx xx ⎰+21=⎰xdx -221121dx x ⎰+=-22x +21ln(1+x 2)+C. (48)dx x x x ⎰++231=dx x x x x x ⎰++-+)1()1)(1(2=dx x x x ⎰+-12=dx x x ⎰+-)11( =22x -x+ln|x|+C. (49)dx x x ⎰+220201=dx x x x x x x ⎰+-+-⋯-+-+22201620182018202011)1()( =dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋯--220162018111=x x x x arctan 2017201920172019--⋯--+C =x k x x k k arctan 12201910091122019---∑=-+C. (50)dx x x ⎰--2313=dx x x ⎰-+)2()1(12=dx x C x B x A ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++2)1(12. 则A(x+1)(x-2)+B(x-2)+C(x+1)2≡1, 当x=2时, C=91; 当x=-1时, B=31-; 又Ax 2+Cx 2≡0, ∴A=-91. 因此得dx x x ⎰--2313=dx x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)2(91)1(31)1(912 =91-ln|x+1|+)1(31+x +91ln|x-2|+C ’=)1(31+x +91ln 12+-x x +C ’. (题目可能千变万化，但是万变不离其宗，绝大多数都是用这些方法解决的)。
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第21讲 理函数的不定积分讲授内容一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm m nn n x x x x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1) 其中n ，m 为非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()t t t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121 ， （2）其中()t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj j i=-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是()();221kk a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk qpx xC x B qpx x C x B q px x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解 解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x CBx x A x A x A x R （3） 用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I k a x dx )()(； ()⎰<-+++II )04()(22q p dx q px x M Lx k ． 对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k 对于()II ，只要作适当换元(令2px t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt r t NLt dx q px x M Lx kk 222)(⎰⎰+++=,)()(2222k k r t dt N dt r t t L （5） 其中.2,422L pM N p q r -=-=． 当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt r t t )ln(212222， .arctan 122C r t r rt dt +=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t t k k++-=+⎰-12222))(1(21)(. 对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r t dtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t r I k k ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r t t r I r k k )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r .)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r t I （7） 重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就完成了对不定积分（II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x x x ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x 现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x x x dx x x x ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x x x x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=t dtx x 由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222t dt t t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到 .)1arctan(23)22(23)22(12222C x x x x dx x x x +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。
一般通过变换2tan xt =，可把它化为有理函数的不定积分。
这是因为,122tan12tan22cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2222t t x x x x x x x +=+=+=（8） ,112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos cos 22222222t t x x x x x x x +-=+-=+-= ,122dt t dx += (9) 所以⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=dt t t t t t R dx x x R 22221211,12)cos ,(sin ．例3 求⎰++dxx x x)cos 1(sin sin 1解 令2tanxt =，将(8)、(9)、代人被积表达式， ⎰⎰+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=++dt t t t t t t t dx x x x 222221*********)cos 1(sin sin 1 .2tan ln 212tan 2tan 41ln 2221122122C x x x C t t t dt t t +++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰ 例4 求).0(cos sin 2222≠+⎰ab xb x a dx解：由于⎰⎰⎰+=+=+22222222222tan )(tan tan sec cos sin b x a x d dx b x a x x b x a dx , 故令x t tan =,就有⎰⎰⎰+=+=+222222222)()(1cos sin b at at d a b t a dt x b x a dx C b at ab +=arctan 1.tan arctan 1C x b a ab +⎪⎭⎫⎝⎛= 三、某些无理根式的不定积分1.⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++dx d cx b ax x R n ,型不定积分)0(≠-bc ad ．对此只需令n d cx b ax t ++=，就可化为有理函数的不定积分．例5求⎰-+dx x x x 221. 解：令,22-+=x x t 则有,)1(8,1)1(22222dt t tdx t t x --=-+= ⎰⎰+-=-+dt t t t dx x x x)1)(1(4221222⎰⎪⎭⎫⎝⎛+--=dt t t221212Ct t t+--+=arctan 211ln C x x x x x x +-+--+--++=22arctan 2)2/()2(1)2/()2(1ln 例6 求⎰-++.2)1(2xx x dx解：由于xxx x x x -++=-++21)1(12)1(122，故令xxt -+=21，则有,)1(6,1122222dt t t dx t t x +=+-= ⎰⎰-++=-++dx xxx xx x dx 21)1(12)1(22⎰⎰++--=+-==+⋅⋅+=C x x C t dt tdt t t t t t 12323232)1(69)1(222422（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。