有理函数积分法

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有理函数的积分

§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数；当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）．定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++．将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++．比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++，于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++．（二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−，等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫．例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−．等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−．于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫．（四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++．等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++．对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫．（Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++）于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++．等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值．于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是：（1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++；（2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式．定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一．设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。

44有理函数的积分知识讲解

44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。

有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。

下面将介绍有理函数积分的知识。

一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。

分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。

分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。

若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。

二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。

常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。

具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。

四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。

具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。

然后，用分部积分法求解原式的积分。

总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。

高数讲义第四节有理函数的积分全

例9
求积分
1
x
1 xdx x
解令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式

有理函数积分法

第21讲理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm mn n n xxx x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1)其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β．若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：第一步对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()tt t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121，（2）其中()t iji ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj ji =-=+∑∑==μλ第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是 ()();221kka x A a x A ax A -++-+-对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk q px xC x B q px xC x B qpx x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数．一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I ka x dx)()(；()⎰<-+++I I )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k对于()II ，只要作适当换元(令2p x t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt rtNLt dx q px xMLx kk222)(⎰⎰+++=,)()(2222kkr t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L p M N pq r-=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt rtt)ln(212222，.a r c t a n 122C rtr rtdt+=+⎰ （6）当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t tk k++-=+⎰-12222))(1(21)(.对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r tdtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t rI kk ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r ttrI rkk )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r.)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r tI （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x xx ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x xx dx x xx ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x xx x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=tdtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222tdtt t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到.)1a r c t a n (23)22(23)22(12222C x x x x dx x xx +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。

简单有理函数的积分

简单有理函数的积分
有理函数积分拆项原则求abc：通分，x^2+1=a（x-1）（x+3）+b（x+3）+c（x-1）^2，代入x＝1求得b，代入x＝-3求得c，再随便代入一个其它数字，求得a。

有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。

在数学中，理性函数就是可以由有理分数定义的任何函数，即为代数分数，使分子和
分母都就是多项式。

多项式的系数不须要就是有理数，它们可以在任何字段k中展开。

变量的情况可以在涵盖k的任何字段l中展开。

函数的域就是变量，分母不为零，代码区
为l。

代数几何定义编辑语音
设v为不容向量丛簇，座标环k[v]为整环，故存有商域k（v），称作v的函数域，
其元为v上的一个有理函数。

一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里f和g都是多项式函数。

有理函数
是特殊的亚纯函数，它的零点和极点个数有限。

有理函数的积分

1.有理函数的积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为其中都是常数，为非负整数。

我们只需考虑真分式的积分，先来考虑两种特殊类型：（Ⅰ）这种类型是容易积出来的，（Ⅱ）作适当换元（令）,可化为上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为：对第二个不定积分，记用分部积分法可导出递推公式：整理得重复使用递推公式，最终归结为计算而可积出来为这样就可完成对不定积分（Ⅱ）的计算。

对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分问题已经解决，下面主要考虑有理真分式(不妨设)的积分问题。

为叙述简便，不妨设．其方法是将化成许多简单分式（即类型（Ⅰ）、（Ⅱ））的代数和然后逐项积分。

由于类型（Ⅰ）、（Ⅱ）总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以“积出来”。

下面简述分解有理真分式（）的步骤：第一步按代数学的结论，将分母分解成实系数的一次因式与二次因式的乘幂之积。

其中均为自然数。

第二步根据因式分解结构，写出的部分分式的待定形式：对于每个形如的因式，所对应的部分分式为对于每个形如的因式，所对应的部分分式为把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对的部分分式分解。

第三步确定待定系数：通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系数的线性方程组，由此解得待定系数的值。

例8.13 求2.三角函数有理式和积分由及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于的有理式（或三角函数有理式）。

用表示对于这种函数的不定积分我们总可通过代换，化为以为变量的有理函数的积分。

理由是，，，又，故从而上面的讨论说明：三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具体问题而言，用上述方法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。

（1）如果是的奇函数时，即则设即可。

例如求（1）；（2）．（2）如果是的奇函数时，即则设即可。

例如求．（3）如果是关于与的偶函数时，即则设即可。

例如求（1）；（2）．（4）请研究被积函数为（为自然数）时的情况。

有理函数积分法(3)

2
2
( x2 px q)n
dx
类型4
A
2
(x2
2x px
p
q)n dx
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A
2
(x2
1 px
q)n d ( x 2
px
q)
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A 1 2 1n
(x2
1 px q)n1
(B p A) 2
arctan
x
2 x (1 x2 )2 dx
arctanx
1 2x 2
2 (1 x2 )2
dx
arctanx 1 2
2x (1 x2 )2 dx
2 (1 x 2 )2 dx
arctanx
1 2
1
1 x2
2
1 (1 x 2 )2 dx
15
1 x x2 ( x2 1)2
13
例4
求
1
3
x x
3
dx.
解
1
3
x x
3
dx
(
1
1
x
1
x1 x x2
)dx
1
3
ln1
x
1
x1 x x
2
dx
ln1
x
(2x 1) 2 1 x x2 2dx
ln1
x
1 2
1
2x x
1 x2 dx
3 2
1
1 x
x2 dx
ln 1 x 1 ln1 x x2 3
( x 1)( x 2)2

有理函数积分法

第21讲理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm m nn n x x x x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1) 其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β．若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：第一步对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()t t t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121 ，（2）其中()t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj j i=-=+∑∑==μλ第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是()();221kk a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk qpx xC x B qpx x C x B q px x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x CBx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数．一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I k a x dx )()(； ()⎰<-+++II )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k 对于()II ，只要作适当换元(令2px t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt r t NLt dx q px x M Lx kk 222)(⎰⎰+++=,)()(2222k k r t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L pM N p q r -=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt r t t )ln(212222， .arctan 122C rtr r t dt +=+⎰ （6）当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t t k k++-=+⎰-12222))(1(21)(. 对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r t dtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t r I k k ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r t t r I r kk )(11222212 ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r .)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r t I （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就完成了对不定积分（II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x x x ⎰+-+ 解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x 现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x x x dx x x x ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x x x x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=t dtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222t dt t t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到 .)1arctan(23)22(23)22(12222C x x x x dx x x x +-++--=+-+⎰ 二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。

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第21讲理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm m nn n x x x x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1) 其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β．若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：第一步对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()t t t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121 ，（2）其中()t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj j i=-=+∑∑==μλ第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是()();221kk a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk qpx xC x B qpx x C x B q px x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x CBx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数．一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I k a x dx )()(； ()⎰<-+++II )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k 对于()II ，只要作适当换元(令2px t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt r t NLt dx q px x M Lx kk 222)(⎰⎰+++=,)()(2222k k r t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L pM N p q r -=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt r t t )ln(212222， .arctan 122C r t r rt dt +=+⎰ （6）当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t t k k++-=+⎰-12222))(1(21)(. 对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r t dtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t r I k k ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r t t r I r kk )(11222212 ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r .)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r t I （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就完成了对不定积分（II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x x x ⎰+-+ 解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x 现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x x x dx x x x ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x x x x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=t dtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222t dt t t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到 .)1arctan(23)22(23)22(12222C x x x x dx x x x +-++--=+-+⎰ 二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。

一般通过变换2tan xt =，可把它化为有理函数的不定积分。

这是因为,122tan12tan22cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2222t t x x x x x x x +=+=+=（8） ,112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos cos 22222222t t x x x x x x x +-=+-=+-= ,122dt t dx += (9) 所以⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=dt t t t t t R dx x x R 22221211,12)cos ,(sin ．例3 求⎰++dx x x x)cos 1(sin sin 1解令2tanxt =，将(8)、(9)、代人被积表达式， ⎰⎰+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=++dt t t t t t t t dx x x x 222221*********)cos 1(sin sin 1 .2tan ln 212tan 2tan 41ln 2221122122C x x x C t t t dt t t +++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰ 例4 求).0(cos sin 2222≠+⎰ab xb x a dx解：由于⎰⎰⎰+=+=+22222222222tan )(tan tan sec cos sin b x a x d dx b x a x x b x a dx , 故令x t tan =,就有⎰⎰⎰+=+=+222222222)()(1cos sin b at at d a b t a dt x b x a dx C b at ab +=arctan 1.tan arctan 1C x b a ab +⎪⎭⎫⎝⎛= 三、某些无理根式的不定积分1.⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++dx d cx b ax x R n ,型不定积分)0(≠-bc ad ．对此只需令n d cx b ax t ++=，就可化为有理函数的不定积分．例5求⎰-+dx x x x 221. 解：令,22-+=x x t 则有,)1(8,1)1(22222dt t tdx t t x --=-+= ⎰⎰+-=-+dt t t t dx x x x)1)(1(4221222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=dt t t221212C t t t+--+=arctan 211lnC x x x x x x +-+--+--++=22arctan 2)2/()2(1)2/()2(1ln例6 求⎰-++.2)1(2xx x dx解：由于x x x x x x -++=-++21)1(12)1(122，故令x xt -+=21，则有,)1(6,1122222dt t t dx t t x +=+-= ⎰⎰-++=-++dx xxx xx x dx 21)1(12)1(22⎰⎰++--=+-==+⋅⋅+=C x x C t dt tdt t t t t t 12323232)1(69)1(222422。