例谈数形结合思想在函数教学上的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
浅淡数形结合在函数教学中的应用_曾剑华
法 。 在 数 学 教 学 中 ，它 主 要 表 现 在 把 抽 象 的数量关系，转化为适当的几何图形，从图 形的直观特征发现数量之间存在的联系， 以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的 目 的 ，使 问 题 简 捷 地 得 以 解 决 。 而 函 数 在 中 专 数 学 教 学 中 占 了 很 主 要 部 分 ，学 好 函 数对于学好数学也就至关重要了。下面主 要从两个方面来进行阐述。
的 基 础 知 识 记 忆 牢 固 ，才 能 做 到 温 故 而 知 新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学 思 维 ，提 高 数 学 能 力 。 教 学 中 运 用 形 象 记 忆 的 特 点 ，使 抽 象 的 数 学 尽 可 能 地 形 象 化 ， 对学生输入的数学信息和映象就更加深 刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以 形象地帮助学生理解和记忆。
初看题面往往被“关于坐标轴对称” 这 一 要 求 所 吸 引 ，觉 得 （１ ）（２ ）（３ ）三 个 图 满足要求，因 而 选 择（Ｂ），而事实上正确答 案 应 当 是 （Ｄ ），仔 细 审 题 发 现 题 目 中 前 边 说 的 是 “ 图 象 ”，后 面 说 的 是“ 函 数 图 象 ”，题 目 要 求 找 图 象 ：① 是 函 数 的 图 象 ② 图 象 关
图１
图３
图２ ２５４ 科技创新导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
如图 １ 所 示 是 余 弦 函 数 ｙ＝ｃｏｓｘ 的图 象 ，从 中 我 们 可 以 知 道 余 弦 函 数 的 定 义 域 是 （－ ∞ ，＋ ∞ ），值 域 是［－ １，１］，函 数 在（２ｋ π，２ｋ π ＋ π）内单调减少，在（２ｋ π ＋ π， ２ｋ π ＋２ π）内单调增加，函 数 的 周 期 是 ２ π，｜ｃｏｓｘ｜ ≤ １，函数有界，函数是偶函数，在 区间（２ｋ π－π ／２，２ｋ π ＋ π ／２）上是下凹 的 ，在 区 间 （２ｋ π ＋ π ／２，２ｋ π ＋３ π ／２）上 是 上 凹 的 。（ｋ ∈ Ｚ）
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用数形结合思想在二次函数教学中的应用是非常重要的。
二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题时，往往需要将数学知识与几何图形相结合，才能更好地进行分析和解决。
在讲解二次函数的基本概念时，可以借助几何图形进行解释。
通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到二次函数的特点和性质。
可以引导学生观察图像的特点，如顶点、对称轴、开口方向等。
通过观察图像，学生可以更深入地理解二次函数的定义和性质。
数形结合思想在解决二次函数的最值问题时也能起到很大的帮助。
当需要求一个二次函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过分析几何图像的形状来确定最值的位置。
如果是一个开口向上的抛物线，最小值即为顶点的纵坐标；如果是一个开口向下的抛物线，则最大值为顶点的纵坐标。
通过这种数形结合的思想，学生不仅可以快速找到最值的位置，还能够对最值的意义有更深入的理解。
数形结合思想在解决二次函数方程的根的个数和位置问题时也很有用。
通过绘制抛物线的图像，可以让学生观察到抛物线与x轴交点的个数和位置与方程的根的个数和位置是一致的。
如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程也只有一个实根；如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实根；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实根。
通过这种数形结合的思想，学生可以更好地理解二次函数方程根的个数与位置的关系。
数形结合思想在解决二次函数的图像变换问题时也能起到很大的帮助。
在讲解平移变换时，可以通过移动抛物线的顶点，让学生理解平移变换对函数图像的影响；在讲解伸缩变换时，可以通过改变抛物线的开口程度，让学生理解伸缩变换对函数图像的影响。
通过这种数形结合的思想，学生可以更直观地理解各种函数变换的效果和特点。
浅谈数形结合在函数教学中的应用
题 的核 心 ， 即 深 化 了 对 它 的理 解 ， 立 这是 因 ２ ＋２ ） ｋ 内单 调 增 加 ， 数 的 周 期 是 ２ 为 他 们 “ 函 看 着 函 数 研 究 函数 。 丁， ＯＸ ≤ １ 函数 有界 ， ｒｆ Ｓｆ ， Ｃ 函数 是偶 函数 ， 在 又如 例题 函数 ｙ ｆ（ ） （ ， ） ＝ ｘ 在 Ｏ ２上是减 函 区间 （ｋ丁 一 ”／ ， ｋ ＋ 丁 ／ ） 是 下 凹 ２ ｒ ２２ ｒ ２上 数， 且关 于 Ｘ的 函数 ｙ ｆ （＋２是 偶 函数 ， ＝ ｘ ） 的 ， 区 间（ｋ ＋ ７ ／ ， ｋ ｎ ＋ ／ ） 在 ２ ｒ ２２ ３ ２上 那 么 ： ） （ 是 上 凹的 。 ｋ ∈Ｚ （ ） ）（ ＜ （ 厂３；（）（ ＜ （ ＜ （） ，专 ， ＜ （ 丑，３ ，导 ， ； ） ） ） ） （ ） 用 数 形结 合有 助 于 提 高 学 生解 函 ２应 （） （ ＜ （ ＜ （） （ ）（ ＜ （ ＜ （） ｃ Ｊ３ 厂 厂号 ； Ｄ， 厂 ３ ，号． 广） ） 数 题 的 能 力 。 数 形 结 合 的 思想 是 重 要的 数
不是 函数 图象 ， 管 它 关 于 Ｘ轴 对 称 ， 不 尽 也 符合 题 目要 求 。同 理 ， ③也 在 不 选 之 列 ， ③ 虽 然 是 函数 图 象 ， 对 称 性 不 符 合 要 求 。 但 通过对这个 问题的讨论 ， 同学 们 抓 住 了问
２数形结合在 函数教学中的应用
数 形 结 合 是 一 种 重 要 的 教 学 思 想 方 法 。 在 数 学 教 学 中 ， 主 要 表 现 在 把 抽 象 它 的 数 量关 系 ， 化 为适 当的 几 何 图形 ， 图 转 从 形 的 直 观 特 征 发 现 数 量 之 间存 在 的 联 系 ，
巧用“数形结合”思想进行二次函数教学
巧用“数形结合”思想进行二次函数教学发布时间：2022-03-30T15:26:34.416Z 来源：《中国教师》2022年4月下作者：刘浩东[导读] 在初中的数学中二次函数的知识内容占据主要的地位，，并且也是学生学习的重难点。
教师在讲解二次函数知识时，要灵活的运用数形结合的方法，这样会帮助学生理解二次函数的概念，并通过直观图像的形式让学生掌握二次函数的性质。
数形结合的思想方法可以将复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，而且利于学生养成抽象的思维意识，给学生学习数学知识提供了更好的思想方法。
刘浩东安徽省合肥市第三十八中安徽合肥 230000【摘要】在初中的数学中二次函数的知识内容占据主要的地位，，并且也是学生学习的重难点。
教师在讲解二次函数知识时，要灵活的运用数形结合的方法，这样会帮助学生理解二次函数的概念，并通过直观图像的形式让学生掌握二次函数的性质。
数形结合的思想方法可以将复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，而且利于学生养成抽象的思维意识，给学生学习数学知识提供了更好的思想方法。
【关键词】数形结合、二次函数、教学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2022）4-152-01前言：在初中数学中函数属于重点学习内容，初中涉及到的函数学习分为三种：一次函数、反比例函数以及二次函数。
二次函数相对于另外两种函数而言，更具有复杂性和抽象性，增加了学习难度。
学生在学习中最大的阻碍就是对函数的概念缺乏认知和深度理解，不能简单的将函数间的关系进行转换。
因此，教师必须在进行二次函数教学中运用数形结合的思想方法，才能帮助学生解决这一障碍。
一、数形结合思想的内涵“数”和“形”的有效结合是以两者之间相互转换的形式来解决数学问题，它可以从两个方面来分析，一是“以形论数”，二是“以数论形”。
通过两者之间的互相转化和对应，将复杂转为简单，抽象转为具体，它将严谨的数和直观的长融合到一起，将复杂的解题过程变得简单化，是一种经常用到的数学思想方法。
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈【摘要】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在数学教学过程中，处处渗透着数形结合的思想。
本文试从“以形助数”、“以数辅形”两个方面，举例说明“数形结合”在数学教学中的应用，重点列举了在解集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等问题中的应用，藉此引起广大数学教师对“数形结合”的重视。
【关键词】数形结合数学教学以形助数以数辅形数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。
华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。
因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。
下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。
1.以形助数1.1 数形结合思想在集合中的应用。
对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。
例1：有48名大学生，每人至少参加一项公益活动，参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？分析：一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
数中见形,形中有数浅谈“数形结合”在数学教学中的作用
数中见形，形中有数浅谈“数形结合”在数学教学中的作用我们需要理解“数形结合”是什么意思。
简单来说，它是将数学中的抽象概念与具体的形象联系起来，通过图形、图像等视觉化的方法来帮助学生更容易地理解数学知识。
这种教学方法能够让学生从感官上去感受数学，使得数学不再是一堆无法触摸的概念，而是有形的、可视的东西。
这样的教学方法对于学生来说是非常有益的，因为它可以帮助他们更好地理解数学概念，并且激发他们对数学学习的兴趣。
在数学教学中，“数形结合”的教学方法可以应用于各个年级的教学中。
在小学阶段，可以通过教学资料的图形化呈现来帮助学生理解加减乘除等基本运算，让他们在视觉上感受数学运算的结果。
在初中阶段，可以通过几何图形的绘制来教学，让学生更清楚地理解几何图形的性质和相关的定理。
而在高中阶段，可以通过图形化的方法来教授微积分、线性代数等抽象的数学内容，让学生更轻松地理解并掌握这些概念。
除了在不同年级的教学中应用，数学教学中的各个知识点也可以通过“数形结合”来更好地呈现出来。
在教学整数的时候，可以通过图示整数的线段和点的表示方式来让学生理解正整数、负整数和零的概念，从而更好地掌握整数运算的规则。
在三角函数的教学中，可以通过图形化的方法来让学生理解三角函数的周期性和性质，从而更好地掌握三角函数的计算和应用。
通过这种方法，学生可以更好地掌握数学知识，并且在实际的问题中更好地应用数学知识。
“数形结合”在数学教学中的应用也可以帮助学生培养一些重要的思维能力。
图形化的教学方法可以让学生更好地理解抽象的数学概念，从而培养他们的空间想象力和逻辑思维能力。
通过绘制图形、图像来解决数学问题，可以激发学生的创造力和表达能力。
这种教学方法也可以拓展学生的思维方式，培养他们的综合思考和解决问题的能力。
并非所有的数学知识都适合通过图形化的方法来教学。
有些概念和定理可能比较抽象，很难通过图形化的方法来表达。
在实际的教学中，教师需要根据具体的教学内容和学生的学习情况来灵活运用“数形结合”的教学方法。
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即 一 ６＋ ＞ Ｏ ． 因 一 ｂ
严密地表达题意 ， 从而化抽 象为形象 ， 化 模 研 形语言 可 以准 确 、
，
Ｉ 虱 ；
版 糊为明确， 也更符合学习认知中由具体到抽象的认识过程
， ．
。
一一１ ， 则 ６—
数 教学中非常注重函数及其图像联动， 明确地将函数的图像作
理 为函数 教学 内容 的三要 素 ， 更是 将画 函数 图像作 为解 决 函数
例３ 已知二次 函数 Ｙ—ｎ ｚ ＋
６ ｚ ＋ｃ的 图像 如 图 。 所示， 下列 结论 ：
， ＝ Ｉ
：
丫 匕 问 题 的 方 法 之 一 ．
例 １ 画 函数 一 ３ ｘ 的 图像 （ 如图 １ ） ， 并
～ 一
、 ／
— 肼
（ 声 ＋１ ） 在 第 四象 限 的交点
，
ＭＮ 上
回答 如 下 问 题 ： 函 数 一 ３ ｘ 的 图像 是什 么 ？ ３
分析 ： Ｓ △ Ｍ ０ 一 １ ． ５实 际 是 建 立 面 积 与 参 数 户 的联 系 ， 而 由 图可 知 ｐ值 的 正 负 情 况 结 合两 者 ， 可知 ｐ值． 由 上 一 问 结
△Ｏ ＤＣ
、
△ Ｎ０ Ｄ 和 △ ＭＯＮ 面 积 之 间关 系 进 行 求 解 ， 通 过 图
点 Ｍ 在Ｙ 一３ ｘ上 ， 且距离 与原点距 离等 于 ６ ，
求 Ｍ 的坐标． 同 学 们 觉 得 是 借 助 函 数 图 像 还
是 直 接 用 函 数 进 行 以 上 求 解 更 为 简 便 ？通 过 类 似 深了函数图像的概念 ， 也给 学生初 步展 示 了借助 目
： 理解函数图像的定义， 明确函数图像是“ 数” 与“ 形” 的
培养学生数形结合的思想并非一蹴而就． 不妨从理解函
数 图像 人 手 ． 因 为 函 数 图 像 上 每 点 横 坐 标 和 纵 坐 标 分 别 代 表
２
ｎ ． 因 ａ＜ ０ ｂ： ２ ｎ， 即 ６ ＜ｏ ， 且 ｚ— ｏ时 ， ＞ ｏ， 叫ｃ ＞ ０， 故
… ’ ■： 。 。 ＝ ＝ － 。 ： ． ， 二 … … ．
～ 。 ～ 一 ～ ……
． ，
Ｉ
自 变量与函 数值， 两者间有着明确的 对应关系（ 函数关系） ， 反 Ｎ是双曲 线Ｙ 一÷与直线Ｙ 一一 ｚ ＋
之， 适 合 此 函 数 关 系 的 点 也 会 出 现 在 该 函 数 图像 上 ・ 所 以教 学 过程 ， 首 先 需 要 学 生 明 确 函数 图像 的特 征 （ 直 线 还 次 要 记 住 该 函数 图像 的 分 布 （ 所在 象限 ） ， 再次 要抑 随 自变 量 的 变化 而 变 化 是 否 规 律 ． 这些 内容 是数 开 初 阶段 ， 是 今 后 开 展 更 高 层 次 的数 形 结合 教学 的 基
．
图像上的每点横坐标与纵坐标关系如何？ 值如何随ｚ值发生变化？是否图像上所有点
都 满 足 此关 系 ？ 该 图 像 经 过 哪 些 象 限 ？若 某
／ Ｉ ／Ｉ
１
论， 求出方程的根， 得到直线与ｚ轴的交点 Ｄ的坐标 ， 再求双 曲线与直线交点的几何问题， 将题 目所求转化为三个三角形
摘要 ： 函 数 是 中学 数 学 的重 点 内容 ． 学好 函数 的 关 键 之 一 就 是 掌 握 好 函数 与其 图 像 之 间 的 关 系 ， 本 文 以初 中 阶 段 的 一
捉 曲数 ， 反 比例 幽 教 和 二 次 幽教 的 数 彤 结 合 的 例 于 八 于 ， 浅祈
函数 通 过 直 角 坐 标 系 ， 沟 通 了数 与 形 之 间 的 联 系 ， 它 是 研 究 函 数 及 其 图像 的工 具 ．
Ｂ（ 一 ： 此 题 如 直 接 求 解 需 曰－ １ ， － 建立 和Ｙ ｚ 之 间 的 不 等 式 关
一 ＿ Ｉ ｌ ｏ 、 ／ ３ ｉ
式、 方程、 数列等有着直接的 联系， 也在众多自 然科学中有着 ｚ的取值范围 ．
一
｝
Ａ（ ３１ 一 三 ｚ 的图像交于点 ’ … 一 … ） 、 。
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＼
（ ３ ， Ｉ ）
／ ．
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．． ． ．
、
函数在 中学数学 中 占有举 足轻 重 的地位 ， 函数既 与代数
广泛的应用 ， 还被用 于建模工具 ， 用 以解 决 实 际 问 题 ． 《 全 日制 义务教育数学课程标准 （ 实验稿） 》 中， 初 中 函 数 教 学 的 主 要 内
掌
缺乏全面的思考． 而借助直观 、 形象 、 便 于观察 、 记 忆 和 联 想 图
（ ） ＋ ＋ ＜。 ， （ ） 。 一 ＋ ＞。 ，
分析 ： 由图可知 ： 当－ ｚ一 １时 ， ＜
／ ／ ／ 、 、
二 由 于 、 买 初中 址 萃 生 例 还 处于 抽 象思 维的 初 级阶 段， 对该 类问 题 仍 数 、 … 为 … （ 一 ） ・ 、 … … …… … ’ ／ ／一 １ ０ Ｉ
１ ， ｑ ２ 如 图 Ｚ， 已 知 一 次 凼 ＼ ３
了数 形 结 合 思想 在 函数 上 运 用 的 具 体 方 法 ．
关 ： 数 形结合 ； 一 次 函数 ； 反 比例 函数 ； 二 次 函 数 引 言
。
一
数Ｙ 一 ｚ ２ 与 反 比 例 函 数
３ 。
＼ 。 ／
Ｉ 虱２
中 们尽可能地用路程与时间， 圆面积与半径等实际问题来削弱 … 一 ： ｚ… …… 一 学 函数的概括性、 抽象性和多样性， 但不可否认 的是长期以来函 学生比较困难・ 但若画出图像 ， 通过观察， 则很容易徙 ｝ 出： 当０
生 数教学一直处于花了功夫收效不好的尴尬局面． 笔者在 Ｈ常 ＜ｚ ＜３ 或ｚ ＜ １ 时， 有 ＜ ・