数形结合思想在求参数范围中的应用
初中数学教学中数形结合思想的应用
初中数学教学中数形结合思想的应用摘要：数与形之间的结合转换，是目前数学课堂构成的核心。
了解数与形之间的对应关系，并对于目前数学课堂教学内容做出适当的转变，能够激发学生在课堂上学习的积极性。
强调数学课堂教学的应用发展，通过数形变换内容，丰富学生的想象能力以及认识能力，让学生在数学课堂上进行有效学习。
基于此，本文将就初中数学教学中数形结合思想应用进行分析，由数形转换知识储备、解题分析、答疑解惑为中心。
注重数形结合思想渗透化发展，注重数与形之间的对应关系，增强学生转换能力，化简为难，提高其学习效果。
关键词：初中数学；解决问题；数形结合引言数形结合思想在数学应用之中非常广泛，在初中阶段，正处于学生数学学习的启蒙和基础阶段。
在其中渗入数形结合的思想，化繁为简，能够为学生后续阶段的学习打好基础，同时也能够更好地锻炼学生的逻辑思维，帮助学生解决实际性的数学问题。
在数与形的相互转换过程中，通过分类讨论渗透相应的思想，让学生透过数形结合观念，正确解决问题。
培养学生新的认识思维，并在数与形的可操作化发展过程中，打好初中数学课程教学的基础，为学生的有效学习铺垫。
一、数形结合思想概述所谓数形结合思想，即是对应数与形之间的关系进行相互转换，将两者做出融合，共建一种更具思维化、可视化的教学方式。
数形结合思想对目前初中数学课堂的打造而言，是十分重要的。
它能够将数学知识做出简易化分析，最终提高数学课堂教学的有效性。
关于数与形两个关系的探讨，这始终是目前数学课堂教学的核心。
必须针对数与形两个基本观念进行分析，找准数与形结构关系，不论是数形的知识理解，还是习题的研究训练，都需要对于数形关系知识结构进行有效的划分。
结合数形结合思想教学应用，让学生的学习更显高效化。
对于学生而言，数形结合思想，能够开拓学生的视野。
避免复杂的计算以及推理过程，让数学解题内容更加简便。
数形结合思想正是空间思维以及抽象思维进行融合的一种教学模式，对应数与形之间的关系，让学生在学习过程中真正做好突破。
以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。
笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。
”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。
正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。
(完整版)数形结合思想例题分析(最新整理)
数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：
例 1 已知 x 、 y 、 z 、 r 均为正数，且 x2 y2 z2 , z
求证： rz xy.
C
x2 r2 x2
y A
r
x
B z
分析：由 x2 y2 z2 , 自然联想到勾股定理。由 z x2 r 2 x2. 可以联想到
则 G、E、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。作出图形，延长 DB 至 F，使 BF//AG 且
BF=AG，连接 GF.
2
则在 Rt△DGF 中，DF=1+2=3，GF=AB=2
D
1 a Eb B
2
DG DF 2 GF 2 32 22 13
G
2
F
CE+DE 的最小值是 13.
即 a2 4 b2 1 的最小值是 13.
AB CF ＞ AC BE
当A 90时 , AB CF = AC BE .
3 /5
数形结合思想例题分析
综上： AB CF AC BE.
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。
例 7 如图，在正△ABC 的三边 AB、BC、CA 上分别有点 D、E、F.若 DE BC，EF AC，FD AB 同时成立，
射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种 算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略） 小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然 后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：
例 2 已知：0＜ a ＜1，0＜ b ＜1. 求证
专题：利用零点比大小秒杀参数取值范围
y
=
x
，当
a
³
1
ee
时，ax ³ loga x 恒成立，且切点为 (e ，e) ；当 ax ³ loga x 在区间 (m ，+ ¥) 恒成立，且 m > e ，则边界 x = m
就是 a 取得最小值的点，如图 5-2-2．找点法则通常是不考虑区间找出临界值，再考虑区间来分析端点值．
图 5-2-1
图 5-2-2
2
2
2
2
图 5-1-8
注意：关于双变量其中一个参数取得最值的时候，通常是两个函数在零点相切的时候取得．
【例 5】（2017•深圳一模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x b 是曲线 y a ln x 的切线，则当 a 0 时，
实数 b 的最小值是
．
【解析】法一 设出曲线上的一个切点为 (x ，y) ，由 y a ln x ，得 y a ，因为直线 y x b 是曲线 y a ln x x
线求出对应的 g(x) + m1 ，再根据过相同零点时的方程 g(x) + m2 ，从而得到一个取值范围，即为题目所求．
第二讲 构造零点比大小问题秒杀指对跨阶型单参数问题
在一些定义域为人为设计无零点，比如指数函数，需要通过构造并凑出零点，方法通常是指对互换（反
函数代换法），换元法，将 ex 转换成 ln x ，构造出定义域端点为零点后，再利用数形结合，解出参数的取值
可知 h2 (x) = ex - e ，此时显然 h2 (x) 与 t(x) 有两个交点，两凹凸性相反的函数在同一单调区间相交时无公切
线理论（参考公切线专题），故可知 -e < - b < -2 Þ b < e < 3 ，所以 m 3 ．
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
浅谈确定解几问题中的参数取值范围的策略.
浅谈确定解几问题中的参数取值范围的策略重庆一中 李红林求参数的取值范围在中学数学中比比皆是,它使函数、方程与不等式、数与形、常量与变量有机地结合在一起。
这类问题不仅综合性强,而且情景新颖，能很好地考查考生的创新能力和潜在的数学素质，是历年高考命题的热点和重点.本文结合近几年的高考试题，对此问题的转化方法作简单探讨.转化策略一：构造关于目标参数的不等式建立关于目标参数的不等式，然后解出不等式，则得到所求参数的取值范围.建立目标参数的不等式有多种途径,常见的有：圆锥曲线的x,y 取值范围、函数的有界性、判别式、基本不等式及位置关系(点与曲线、曲线与曲线)等。
通过解不等式求参数的取值范围特别要注意必须进行等价变换，不然会扩大或缩小参数的取值范围。
例1（2004年高考题重庆卷10题）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ） A 43 B 53 C 2 D 73分析：因题意涉及到双曲线的焦半径,故可考虑利用双曲线的两种定义。
若用第一定义则据焦半径存在一个取值范围能列出关于离心率的不等式；若用第二定义（焦半径公式）则据双曲线上的点的坐标存在取值范围也能列出关于离心率的不等式.略解1：由双曲线的定义可得：122232PF PF a PF a -=⇒= (点P 在双曲线的右支上） 2PF c a ≥- 523()533a c a a c e ∴≥-⇒≥⇒≤ 所以选B. 略解2：∵点P （x,y)在双曲线的右支上，由焦半径公式可得： 1PF a ex =+ 2PF a ex =-+ 5533ax x a e e ∴=≥∴≤ 例2(2002年高考题全国卷19题）设点P 到点)0,1(-M 、)0,1(N 距离之差为m 2，到x 轴、y 轴距离之比为2.求实数m 的取值范围.分析:显然点P 是直线与双曲线的交点，其交点P 的横坐标、纵坐标都与参数m 有,显化这种关系，则为实数的平方，根据其有界性即可列出关于参数m 的不等式。
浅谈集合中参数取值范围问题
185神州教育浅谈集合中参数取值范围问题董佳辽宁省实验中学东戴河分校随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也日益变化，以达到素质教育的要求。
高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。
可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。
纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域(最值)相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。
可谓参数问题在高中数学中无处不在。
含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。
作为中学数学的重要内容，参数问题在课程教学中占有重要地位。
按照高中数学的教学脉络，这部分知识与集合、简易逻辑、函数思想、微积分应用、立体几何、数列等都有紧密的联系。
其中新课改之后，更是把导数中的参数问题的讨论和解决，变为重中之重。
学生们学习中的思维和视野角度都变宽泛了。
代数方法中关于参数问题解析和讨论，大多运用分离参数方法，多和分类讨论思想相结合。
在运用分类讨论思想的时候，少有著作详细分析常规的步骤。
在代数分析的时候，大多要注意导函数图象的大致形状，导函数对应方程的根，以及要注重根的大小的比较。
教者们在讲解时也因为知识点多，方法多，与其他知识交汇点众多，从而使得学生接受起来困难重重。
关于参数讨论，多和函数思想结合，这方的著作例如白建华[3]的《函数与方程思想在解题中的运用》提出了可以把函数中参数问题转换成方程有解问题来解决。
集合是高中数学的重要基础知识，它贯穿于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的运用。
在高考中，它也是年年必考内容之一。
例谈“分段函数”中的参数范围问题
的 图 象 (如 图 １ 所 示 ),因
为f(
０)是f(
x)的 最 小 值,
２
所 以 满 足 a ≤２＋a,因 为
(
２
a－１)
x＋４－３a,
x＜１,
的
,
l
gx x≥１
{
图１
本题需 要 根 据 参 数 与 零 的 大 小 关 系 进 行 讨
论,分 a＜０,
a＝０,
a＞０ 三种情 况 ．利 用 函 数
综上,
a 的取值范围是
[
０,
２]．
．
的 图 象 易 知,为 满 足
题意应使 直 线 y＝ (
２
a－１)
x＋
４－３
a 单调递增,且当 x＝１ 时,
y≥０,所以有
图２
２
a－１＞０,
解得 １ ＜a≤３．故 a 的
２
(
)
,
２
a－１ ×１＋４－３a≥０
{
取值范围是(１ ,
３]．
２
本题侧重 考 查 了 “数 形 结 合 思 想 ”在 解 题 中
的灵活运用,有 利 于 进 一 步 提 升 学 生 对 分 段
函数图象与性质的理解与认识 ．
x２ ＋x,－２≤x≤c,
例 ３ 已 知 函 数 f(
若
x)＝ １
,
c＜x≤３,
x
{
１ ],则实数 的取值范围是
函数 f(
x)的值域是[－ ,
２
c
４
．
１
由c＜x≤３ 时,
x)＝ ,可知c≥０．画出二
f(
x
次函数 g(
构建不等式(组),求解参数的取值范围 ．
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数形结合思想在求参数范围中的应用
[典例] 已知函数y ＝|x 2
－1|x －1 的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．
[解析] 因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，所以函数y ＝kx －2的图象恒
过点(0，－2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0<k <1或1<k <4.
[答案] (0,1)∪(1,4)
[题后悟道]
所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的
几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题首先作出y ＝|x 2
－1|x －1
的图象，然后利用图象直观确定直线y ＝kx －2的位置．作图时应注意不包括B 、C 两点，而函数y ＝kx －2的图象恒过定点A (0，－2)，直线绕A 点可以转动，直线过B 、C 两点是关键点．
针对训练
1． 设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观
察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )
恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －1|，x <2，3x －1
，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则
实数a 的取值范围为( ) A ．(1,3)
B ．(0,3)
C ．(0,2)
D ．(0,1) 解析：选D
因为方程f (x )－a ＝0的根，即是直线x ＝a 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|2x
－1|，x <2，
3
x －1，x ≥2的图象交点的横坐标，画出函数图象进行观察可以得知，a 的取值范围是(0,1)．。