数形结合思想

数形结合思想
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合，相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题，几何问题相互转化，使抽象思维与形象思维有机结合。

应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件与结论之间的内在联系,既分析其代数意义又提示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合，寻求解题思路，使问题得到解决。

运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。

一、选择题 １．设()y f x =
的图象经过点(1,2)--（ )
A.(2,1)- B ．(8,1)-- C.(4,-解:已知得(1)2f -=-,∴1(2)1f --=- 令1
222
x -=
+,得8x =-，故选答案 ２.已知函数32
()f x ax bx cx d =+++A.(,0)b ∈-∞ Ｂ.(0,1)b ∈ C.b
解:根据图象可知()(1)(2)f x ax x x =--展开得32()32f x ax ax ax =-+
与32()f x ax bx cx d =+++比较系数知b 3．方程1
sin()44
x x π-=的实根个数是( )
A ．2 B.３
解:分别作出sin(y x =
与直线1
:4
l y x =的图象如下 只须考虑[4,4]x ∈-时交点个数，得答案
B.
4．设Ｐ
(,)
x y 是圆22(1)1x y +-=上的任意一点,欲使不等式
0x y c ++≥恒成立,则c 的取值范围是( ）
A.[11]--
B.1,)+∞
C.(1)
D.(,1]-∞
解:由线性规划知识知0x y c ++≥表示点P 在直线:0l x y c ++=的上方
∴圆在l 上方，即圆心(0,1)到l 的距离大于（或等于）1
1,
∴1c
（舍去）或1c ≤,得答案D.
5.已知()()()2f x x a x b =---（其中a b <)且α、β是方程()0f x =的两根(αβ<)，则实数,,,a b αβ的大小关系是( ）
Ａ．a b αβ<<< Ｂ.a b αβ<<< C.a b αβ<<< Ｄ.a b αβ<<<
解:易知,a b 是()()()0g x x a x b =--=
∵()()2f x g x =-，作(),()f x g x 得答案Ａ.
6．平面上整点(横、纵坐标都是整数的点）到直线54
35
y x =+的最小值是( ） A.
170
B.85
C.
120 D ．1
30
解：直线方程化为2515120x y -+=,设整点坐标为(,)m n ，则距离
d =
=
∵5(53)051015m n -=±±±或或或
∴min |5(53)12|2m n -+=，此时2,4m n ==
∴min 85
d ==，此时整点为(2,4),选答案B ．
)
7
解:
1
y
x-
且P
如图
8.a 作出函数
∴a的取值范围为[2,)
+∞．
d 为点M 到左准线距离，则
|MF |1
2
d = ∴2|MF |d =
∴|PM |2|MF||PM ||PK |d +=+≥
“=”成立时，M 是与椭圆的交点, 得答案
M (-.
11．当[4,0]x ∈-时
,4
13
a x ++恒成立，则a 的取值范围是．
解：作出1y a =40x -≤≤）与2413
y x =+的图象， 易知1y 表示以(2,)a - 为圆心，2为半径的上半圆,2y 为直线，如图,
依题意1y 在2y 下方，故有:
圆心到直线4330x y -+=的距离2d ≥
∴|4(2)33|
25
a ⨯--+≥
得5a -≤或5
3
a ≥（舍去）
∴a 的取值范围是(,5]-∞-．
１２.把一个长、宽、高分别为25、2０、5的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少为. 解：木盒最小周长的侧面为长２０,宽5
得222222205
x x y y ⎧+=⎨+=⎩ ∴2
x y ==
∴正方形窗口的最小边长为22
=（)．
三、解答题
13.解关于x 的方程lg(1)lg(3)lg(1)x x ax -+-=-.
解：原方程化为1(1)(3)13
ax x x x -=---⎧⎨
<<⎩①
①化为此时∆=0∆=0∆>时抛物线当(22,a ∈当42a =-时,原方程有唯一解当12
2a <<时，原方程有两个解当1
3
a <2
1４．已知函数()f x =()2g x x =+
（1）若方程()()f x a g x +=有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围;
（2)若()()f x g x b -≥的解集为1[1,]2
-，求实数b 的值．
解：(1）(f x +与y ∴a =实根时,(2a ∈(2)()(f x g x >-作出()f x 知直线
∴12
22
b
=+-
∴5
2
b
-
=为所求.
15．设关于x的方程sin0
x x a
+=在(0,)π内有相异解,αβ，（1）求a的取值范围; (2）求tan()
αβ
+的值.
解:(1）原方程化为2sin()
3
a x
π
=-+，
用五点法作出
1
2sin()
3
y x
π
=-+在(0,)π上的图象如下
(2)
∴
1６
C=
①当2a -≤≤0时，24a z ≤≤即2{|4}C z z z =≤≤
要使C B ⊆,必须且只需234a +≥，得1
2
a ≥,这与20a -<≤矛盾
②当02a ≤≤时,04z ≤≤即{|04}C z z =≤≤, 要使C B ⊆，由图可知，必须且只需234a +⎧⎨
⎩≥，解得1
2a ≤≤
③当2a >时，20z a ≤≤即{|0C z z =≤≤要使C B ⊆，必须且只需2232
a a a ⎧+⎨>⎩≤,解得23a <≤
④当2a <-时,A =∅,此时B C ==∅,则C B ⊆成立 综上所述，a 的取值范围是1
(,2)
[,3]2
-∞-.
17.已知cos sin ,cos sin a b c a b c ααββ+=+=（0,,ab k k Z αβπ≠-≠∈), 求证:2
2
2
2
cos
2c a b αβ
-=+
证明:在平面直角坐标系中,点(cos ,sin )A αα与点(cos ,sin )B ββ是直线:l ax by c +=与单位圆221x y +=的两个交点,如图 222即1∴-1。