(导学案)21.2.1配方法(第一课时)
人教版九年级数学上册21.2.1：配方法(第一课时)优秀教学案例
1.组织学生进行小组合作，让他们共同解决一个实际问题。例如，给学生提供一组购物数据，让他们运用配方法计算出最优的购买方案。
2.在小组讨论过程中，引导学生运用配方法解决问题，并鼓励他们分享自己的解题思路和方法。
3.教师巡回指导，解答学生的问题，并给予鼓励和肯定。鼓励学生提出疑问，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
5.设计具有梯度的练习题，让学生在实践中运用配方法，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心，使他们能够主动参与课堂讨论，积极思考问题。
2.引导学生认识到数学与实际生活的紧密联系，提高他们运用数学知识解决生活问题的能力。
3.教育学生勇于面对困难，敢于挑战，培养他们坚持不懈、克服困难的精神。
2.通过多媒体手段，展示与配方法相关的实际问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。例如，利用动画演示二次函数图像的平移过程，引导学生思考如何运用配方法解决问题。
3.设计具有挑战性的任务，让学生在解决问题的过程中自然地引入配方法。例如，让学生解决一个实际问题，并根据问题的特点引导学生尝试使用配方法。
（二）问题导向
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握配方法的基本概念和操作步骤，能够独立完成配方法的计算过程。
2.使学生理解配方法在解决二次函数图像与性质问题中的作用，能够运用配方法分析二次函数的顶点、开口方向等性质。
3.培养学生将实际问题转化为数学问题，并运用配方法解决问题的能力。
4.引导学生通过配方法的学习，总结归纳数学规律，提高他们的抽象思维能力。
2.问题导向的教学策略：通过提出具有挑战性的问题，引导学生进行深入思考，培养他们的抽象思维能力和解决问题的能力。问题导向的教学策略使得学生在解决问题的过程中自然地接触到配方法，并理解其作用。
配方法(第一课时)导学案
课题： 22.2.1配方法（第一课时） 课型：新授课9月6日 通过预习，我掌握了：通过预习，我有疑惑： 学习目标1、 会用开平方法解形如x 2=p 或(mx+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程。
2、能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。
课前自主学习（独学、对学、群学）1、求出或表示出下列各数的平方根。
（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5）169（6）121 2、求出下列各式中的x.（1）x 2=49 (2) 9 x 2 =16 (3) x 2=6 (4) x 2=－93、自学课本Ｐ35---P 36思考下列问题： （1）、教材问题1中由x 2=25得x =±5依据是什么？（2）、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？有几个根？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？ （3）、请你总结一下问题1解方程的过程。
（4）、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x 2=25相同点是什么？结合x 2=25的解法，尝试解（2x-1）2=5。
（5）、举例说明，什么是一元二次方程的“降次”？（6）、观察方程x 2+6x+9=2，请你把它化为与方程（2x-1）2=5相同的形式为 ；进行降次（开平方）得 ；方程的两根x 1= x 2= 。
（7）、以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？课堂合作探究，交流1、交流与点拨：（1）同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法。
（2）在自学的基础上，教师要重点对问题4、及问题7点拨，帮助学生更好的理解、学习，让学生真正明白“降次”思想。
（3）形如x 2=a(a ≥0)得x=a即直接开平方法。
（4）师生共同交流教材归纳中x 2=p 或(mx+n)2=p(p ≥0)为什么p ≥0。
2、例：解下列方程（1）、(1+x)2-2=0 (2)、(2x+3)2+3=0（3）4x2-4x+1=0 (4)9(x-1)2-4=03、课堂练习（教材Ｐ36练习）解下列方程：（1）2x2-8=0 (2)9x2-5=3 (3) (x+6)2-9=0(4) 3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6)9x2+6x+1=44、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。
人教版数学九年级上册21.2.1配方法第一课时 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名孙洋单位名称霍尔果斯市国门初级中学填写时间2020年8月21日学科数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称21．2.1配方法（1）难点名称运用直接开平方法，把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程。
难点分析从知识角度分析为什么难解一元二次方程不同于解一元一次方程，计算的难度变大了，需要学生有一定的数学基础和较强的计算能力。
难点教学方法1.通过复习回顾平方根的相关知识引入本节课内容，为后面探索解法作铺垫。
2.通过创设情境，激发学生探究新知的兴趣，通过四个问题，探索总结用直接开平方法解一元二次方程。
教学环节教学过程导入（一）复习回顾，引出课题问题1 试述平方根的意义和性质．平方根的意义：平方根的性质：问题2 写出下各数的平方根： 9，16，8，24，0，-25．回答：前面我们学习了一元二次方程的有关概念，今天我们开始研究一元二次方程的解法．21.2.1 配方法（一）知识讲解（难点突破）（二）创设情境，探索解法问题3 一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1 未知数？等量关系？代数式？思考2 怎样解这个方程？思考3 所求方程的解是实际问题的解吗？解：问题4 根据平方根的意义我们可以求得方程x2=25的解，那么你能求出下列方程的解吗？（1）x2-9=0； （2）2x2=4； （3）3x2-81=0； （4）x2=a(a≥0)．问题5 对照上述方程的求解过程，你知道如何解下列方程吗？（1）(x+1)2=2； （2）(x-1)2-4=0．问题6 前面我们依据平方根的意义求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．（1）当方程具有什么形式时，可以用直接开平方法求解？如何求解？回答：（2）用直接开平方法解一元二次方程的实质是什么？用直接开平方法解一元二次方程的实质是：问题7 你能用直接开平方法解方程x2+6x+9=2吗？分析：如果方程能化成x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的形式，就可以用直接开平方法求解．解：课堂练习（难点巩固）三、应用提高（一）巩固应用例1 解下列方程：（1）2x2-8=0； （2）9x2-5=3； （3）(x+6)2-9=0；（4）3(x-1)2-6=0； （5）x2-4x +4=5； （6）9x2+6x +1=4．解：解题心得：四、落实训练（一）当堂训练1.选择题(4道)2.填空题(2道)3.问答题(2道)小结（二）回顾提升思考：通过这节课的学习你有哪些收获？回顾交流，概括总结：。
21.2.1 解一元二次方程-配方法
x1 a ,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
思维拓展
2 1、把方程x -3x+p=0配方得到
(x+m)2=
1 2
(1)求常数p，m的值；
(2)求方程的解。
2、若: x y 4 x 6 y 13 0,
2 2
则x _____ -8
y
理论迁移
1、将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式 为 (x+3)2-7 。 2、比较大小：
6x ≤ x2+9．（填“＞”、“＜”、“≥”、 3、若代数式2x2-6x+b可化为2(x-a)2-1，则 a+b的值是 5 。
课堂小结
1、一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方
根的定义，可解得
例题精讲
例1 用配方法解下列方程：
(1) x2 - 8x ＋1 =0
(2) 2x2 +1=3x (3) 3x2-6x+4=0
教材P42
2、 3
归纳总结
解一元二次方程的基本思路：
二次方程
降次
一次方程
把原方程变为(mx+n)2＝P的形式(其中m、 n、P是常数）。
当P≥0时，两边同时开平方，这样原方 程就转化为两个一元一次方程。 当P<0时，原方程的解又如何？
ห้องสมุดไป่ตู้
把一元二次方程的左边配成一个完全 平方式,然后用直接开平方法求解,这种 解一元二次方程的方法叫做配方法.
21.2.1 配方法(第一课时)
教学过程
完全平方公式：
a2 2ab b2 (ab)2; a2 2ab b2 (ab)2.
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2 (2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2 (3) y2 5y （__52_）_2 _ ( y __52 _)2
得 ___x___3______2_____,
x x 方程的根为 __3___2_, ___3____2___.
1
2
如果方程能化成x2 p或（mxn）2 p的形式，
那么可得x p或mx n p.
化成两个一 元一次方程
P6练习: 解下列方程: (1) 2x2－8=0; (2) 9x2－5=3;
(3) (x+6)2 －9 =0； (4) 3(x － 1)2 －6 =0；
(5) x2 － 4x + 4=5。 (6) 9x2+ 5=1。
小结
直接开平方法：
如果方程能化成x2 p或（mxn）2 p的形
那么可得x p或mx n p.
利用平方根的定 方程“降次”， 两个一元一次方
(4)
y2
Байду номын сангаас
1 2
y
（__14_）_2
(
y__14 _)2
当二次项系数为1时，左边所填常数等于一次项系
数一半的平方.
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m2，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
21.2.1配方法(第1课时)教案
以根据平方根的意义直接开平方求解，而无论是消元还是降次，都是转化思想的体现，把不
会的向一直的知识转化，调动已学的知识思考通过什么方式进行转化，转化思想不仅仅用在
数学上，在日常生活的解决问题上也会给同学们以启迪.
2.如果方程能化成 或 （ ）的形式，那么可得x= 或
注意：
1.根据平方根的定义开平方，不要漏掉负的平方根.
2移项要变号.
作
业
1.教科书习题21.2.1 P6练习题.
2.预习配方法解一元二次方程（第二课时），做《自主学习》P19 4.5.6.7题
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
教学
重点
理解开平方法的基本思想，会用开平方法解一元二次方程．
教学
难点
通过探究解方程的思路，得出解一元二次方程的基本思路——降次．
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
复
习
引
入
请同学们课前预习完成上述方程组，并思考下面的问题：
【问题1】解二元一次方程组和
三元一次方程组的基本思路是
什么？
【问题2】为什么要用这种思路？它体现了什么数学思想？
形状的盒子的全部外表面，你能
算出盒子的棱长吗？
【问题3】你会解方程 吗？
依据是什么？
【追问1】类似的，你能给出下列
方程的解吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
【追问2】上述方程有什么共同点？
你能归纳一下这类方程解的情况
吗？
【探究2】对照上面解方程
的过程，你认为应该怎样解方程
21.2.1配方法(第一课时)直接开平方法(人教版初中数学)
21.2.1配方法（第一课时）配方法是基本形式———直接开平方法（一）教学目标1.知识技能（1）理解一元二次方程降次的转化思想，会用直接开平方法解简单的一元二次方程.（2）会利用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程．2.过程方法通过观察思考，根据实际问题，向学生渗透知识来源于生活，获得一元二次方程的解法 “直接开平方法”.3.情感态度通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.（二）教学重难点1.重点：运用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程，领会降次转化的数学思想.2.难点：通过根据平方根的意义解形如x 2=p （p ≥0）的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程．（三）教学过程设计一、复习旧知：1.平方根的意义：2.说下列各数的平方根：9、81、0、8、1.5、916、34.3.判断下列方程是否是一元二次方程：（1）a 2−b 2=3； （2）1x +x 2=3；（3）2x 2+3=x −5； （4）3(x 2+2)=3x 2−2x +5.设计意图：课前准备二、探究新知1.探究一：出示问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，培养学生自学的能力.让学生独立完成列方程的过程，对于部分学生可以给予一定帮助，鼓励同学互相帮助.解题过程：（1）审题；（2）设未知数正方体的棱长为x；（3）找等量关系，列方程：10×6×x2=1500；（4）解方程：10×6×x2=1500化简得x2=25根据平方根的意义，得x=±5既x1=5，x2=−5.检验5和-5是方程的两个根，因为棱长不能说负值，所以盒子的棱长为5cm.小结：（1）将方程转化为x2=p形式；（2）直接开平方将一元二次方转化成一元一次方程；（3）分别解这两个一元一次方程得出方程的两个解.2.探索二：（1）一元二次方程(x+3)2=5、4x2=9与x2=25的形式有何联系；（2）对比x2=25的解题过程，求解(x+3)2=5、4x2=9；（3）分析上述方程在形式和解法上的异同之处。
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21.2.1配方法（第1课时）
学习目标
1、理解配方法的含义．
2、把一元二次方程转化为
q p x =+2)(，熟练地用配方法解一元二次方程。
3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。
学习重点：会用配方法解一元二次方程。
学习难点：会正确熟练的用配方法解一元二次方程。
学习过程
一、温故知新
1、请说出完全平方公式
2、填空：（1）2x +6x+( )=(x+ )2；
（2）2x -8x+( )=(x- )2
；
我们知道，形如02=-A x 的方程，可变形为)0(2≥=A A x ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如2
0x bx c ++=的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．
二、自主学习
解下列方程，并说明解法的依据：
A 组：（1）x 2=4 （2） (x+3)2=9
这两个方程都可以转化为以下两个类型： ()()()2
200x b b x a b b =≥-=≥和
根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。
如()212x -=-
三、合作交流
B 组：（1）2321x
-= （2）()2160x +-=
解下列方程：
（1）2x ＋2x ＝5； （2）2x －4x ＋3＝0.
能否经过适当变形，将它们转化为
(
)2= a 的形式，应用直接开方法求解？ 解（1）原方程化为2x ＋2x ＋1＝6， （方程两边同时加上1）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为2x －4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
教师点拨：
上面，我们把方程2x －4x ＋3＝0变形为()22x -＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
探究规律：在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？小组交流总结。
四、巩固练习
1、填空
22_____)(_____8+=+x x x ； 2210_____(_____)x x x -=+
22_____)(______5-=+-x x x ； 229______(_____)x x x -+=-
22_____)(_____23-=+-x x x ；22______(_____)x bx x ++=+
2 、用配方法解下列方程：
（1）2x －6x －7＝0； （2）2
x ＋3x ＋1＝0.
（3）2x ＋8x －2＝0 （4）2x －5 x －6＝0.
五、总结反思：通过本节课的学习你有什么收获？还有什么疑惑？与同学交流。
反思本节课的解题过程，归纳小结配方法解一元二次方程的步骤：整理后，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；如果方程的右边是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
六、达标检测
（一）、选择题
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
（二）填空题
1．方程x2+4x-5=0的解是________．
2．代数式
2
2
2
1
x x
x
--
-
的值为0，则x的值为________．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
（三）、综合提高题
已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．。