2017版考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇课件专题9数学思想第39练

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体验高考
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1.(2016· 课标全国乙)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等 于( A.100 ) B.99 C.98 √ D.97
9a1＋a9 9×2a5 解析 由等差数列性质，知 S9＝ ＝ 2 ＝9a5＝27， 2
7－1 3＋1 ( 2 ， 2 ) 是________________.
解析
答案
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8.已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P，Q在正视图中所示位置： 点P为所在线段的中点，点Q为顶点，则在几何体侧面上，从P点到Q点 2 a 1 ＋ π 的最短路径的长为________.
4 4 3 sin B 所以5sin B＝5cos B＋5sin B. 故 tan B＝ cos B＝4.
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高考必会题型
题型一 例1 解
正难则反的转化
已知集合 A ＝ {x∈R|x2 － 4mx ＋ 2m ＋ 6 ＝ 0} ， B ＝ {x∈R|x<0} ，若
A∩B≠∅，求实数m的取值范围. 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}， 3 即 U＝{m|m≤－1 或 m≥ }. 2 若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均为非负，
得
4 a＋4＝－t＋ t ，
4 ∵t>0，∴－t＋ t ≤－4，
∴a≤－8，即实数a的取值范围是(－∞，－8].
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高考题型精练
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1.若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围 是( )
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3 5.已知 f(x)＝ x ，则 f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋… 3＋ 3
2 016 ＋f(2 016)＝________.
解析
x
3 3 3 3x f(x)＋f(1－x)＝ x ＋ 1－x ＝ x ＋ 3＋ 3 3 ＋ 3 3＋ 3 3＋3x
2
∴ log 1 m＝－log 1 n， ∴mn＝1，∴0<m<1，n>1， 3 ∴m＋3n＝m＋ 在 m∈(0，1)上单调递减， m 当m＝1时，m＋3n＝4，∴m＋3n>4.
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3.过抛物线 y＝ax2(a>0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点，若线 1 1 段 PF 与 FQ 的长度分别为 p，q，则 ＋ 等于( p q A.2a 1 B. 2a C.4a √ 4 D. a )
得a5＝3，而a10＝8，
a10－a5 因此公差 d＝ ＝1， 10－5
∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.
解析
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2.(2016· 课标全国丙)已知a＝2 ，b＝4 ，c＝25 ， 则(
4 3
2 5
1 3
)
√
A.b<a<c C.b<c<a
B.a<b<c D.c<a<b
4 3 2 5 4 5
37 ，－5 － 3 3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是______________.
解析
答案
题型二
例2
函数、方程、不等式之间的转化 1 已知函数 f(x)＝eln x，g(x)＝ f(x)－(x＋1). e
(e＝2.718……)
(1)求函数g(x)的极大值；
解析答案
2 g － 1 ＝ x －x＋2≥0， 则 2 g 1 ＝ x ＋x≥0，
(*)
解得x≥0或x≤－1， 即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞).
解析答案
题型四
以换元为手段的转化与化归
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例4
5 3 π 是否存在实数 a， 使得函数 y＝sin x＋acos x＋ a－ 在闭区间[0， ] 8 2 2
(－∞，－1]∪[0，＋∞) 对任意a∈[－1，1]恒成立，则x的取值范围为______________________. 解析 ∵f(x)是R上的增函数， ∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1，1]. (*)式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0对a∈[－1，1]恒成立. 令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.
B.(－∞，3] 51 A.(－∞， 8 ] 51 C.[ 8 ，＋∞)
√
D.[3，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减， 则有f′(x)≤0在[1，4]上恒成立，
3 1 即 3x －2tx＋3≤0，即 t≥2(x＋x)在[1，4]上恒成立，
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3 1 51 3 1 所以 t≥2(4＋4)＝ 8 ，故选 C. 因为 y＝2(x＋x)在[1，4]上单调递增，
当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点； a 2x 当 a>0 时，因为 e 单调递增，－x单调递增，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.
a 1 又 f′(a)>0，当 b 满足 0<b<4且 b<4时，f′(b)<0，
故当a>0时，f′(x)存在唯一零点.
解析答案
2 (2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋alna. 证明 由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)的唯一零点为x0，
解析
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9.求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围.
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10.已知 f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且 f(1)＝1，若 m，n∈[－1，1]， fm＋fn m＋n≠0 时，有 >0. m＋n (1)证明 f(x)在[－1，1]上是增函数；
解析答案
题型三 例3
主与次的转化
已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)
的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范 2 － ，1 3 围为________.
点评
解析
答案
变式训练3
设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)
转化与化归思想的原则 (1) 熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题 转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. (2) 简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. (3) 和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与 形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用 某种数学方法或符合人们的思维规律. (4) 正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面， 设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.
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2.已知函数f(x)＝ log 1 x ，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是(
)
A.[2 3，＋∞) C.[4，＋∞)
2
B.(2 3，＋∞) D.(4，＋∞) √
后期修订换题，学生用书已换；
教师用书因已印刷，没有更换
解析 ∵f(x)＝ log 1 x ，若m<n，有f(m)＝f(n)，
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(2)解不等式f(x2－1)＋f(3－3x)<0； 解 因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且在[－1，1]上是增函数，
不等式化为f(x2－1)<f(3x－3)，
2 x －1<3x－3， 2 － 1 ≤ x －1≤1， 所以 －1≤3x－3≤1，
当x∈(0，x0)时，f′(x)<0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).
a 由于 2e － ＝0， x0
2 x0
a 2 2 所以 f(x0)＝ ＋2ax0＋aln ≥2a＋aln . 2x0 a a 2 故当 a>0 时，f(x)≥2a＋alna.
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4.已知函数f(x)＝(e2x＋1＋1)(ax＋3a－1)，若存在x∈(0，＋∞)，使得不等 式f(x)<1成立，则实数a的取值范围是( )
e＋2 A.(0， ) 3e＋1 2 B.(0， ) e＋1
√
e＋2 C.(－∞， ) 3e＋1 1 D.(－∞， ) e＋1
p≤－1或p≥1， 2 f－1≤0， 则 ⇒ 3 f1≤0 p≤－3或p≥2
3 ⇒p≤－3 或 p≥ ， 2
3 取补集为－3<p<2，即为满足条件的 p 的取值范围. 3 故实数 p 的取值范围为(－3，2).