第一章 抽样分布
统计学中的抽样分布与中心极限定理
统计学中的抽样分布与中心极限定理在统计学中，抽样分布和中心极限定理是两个重要概念。
抽样分布是指从总体中连续地抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
中心极限定理则是指在一定条件下，当样本容量趋于无穷大时，样本均值的分布逐渐接近正态分布。
一、抽样分布抽样分布是指在统计学中，从总体中随机地抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
根据总体分布的不同形态，抽样分布可按照如下方式分类：1. 正态总体的抽样分布当总体服从正态分布时，样本均值的抽样分布也将服从正态分布。
这就是著名的正态抽样分布或称为正态分布的中心极限定理。
正态抽样分布在统计学中具有广泛的应用，因为许多自然界和社会科学现象都服从正态分布，故而正态抽样分布的应用范围较广。
2. 非正态总体的抽样分布当总体不服从正态分布时，样本均值的抽样分布通常不会呈现正态分布。
在这种情况下，我们可以通过大数定律和中心极限定理来描述样本均值的抽样分布。
这两个定理告诉我们，当样本的大小足够大时，即使总体不服从正态分布，样本均值的分布也会逐渐趋近于正态分布。
二、中心极限定理中心极限定理是统计学中的重要定理之一，它描述了当样本容量趋于无穷大时，样本均值的分布逐渐接近正态分布。
中心极限定理有三个不同的形式：李雅普诺夫定理、林德伯格-列维定理和辛钦定理。
这三个定理分别适用于不同的情况和总体分布。
1. 李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理适用于总体方差有限且总体分布没有特殊形态的情况。
该定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逐渐接近于正态分布。
2. 林德伯格-列维定理林德伯格-列维定理是对于总体分布为任意形态的情况。
该定理表示，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似为正态分布。
这个定理是中心极限定理最常用的形式。
3. 辛钦定理辛钦定理适用于总体分布为指数分布或者离散分布的情况。
通过辛钦定理，我们可以得知，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逐渐接近于正态分布。
综上所述，抽样分布和中心极限定理是统计学中非常重要的概念。
6.3抽样分布定理
2． ．
σ σ
2 1
2 S12 S2 2 2
～ F ( n1 − 1, n2 − 1) .
σ 12
2 σ2
N ( µ1 − µ 2 , + ) 3. X − Y ～ n1 n2
10
证明
1．因为 ．
X ~ N ( µ1 ,
独立， 且 X 与Y 独立，则
σ
2
n1
) ，Y ~ N ( µ 2 ,
σ
2
n2
U V / ( n1 + n2 − 2)
( X −Y ) − (µ − µ ) ~ t (n + n =
1 2
Sω
1 1 + n1 n2
1
2
−2)
13
2．因为 ．
( n1 −1) S
σ12
2 1
( n2 − 1) S ~ χ ( n1 − 1)， 2
2
2 2
σ2
~ χ 2 ( n2 − 1)，
且它们相互独立，按 F 分布的定义即得 且它们相互独立，
2
1 n 1 n E ( X ) = ∑ E ( Xi ) = ∑ µ = µ n i =1 n i =1
1 n 1 n 2 σ2 D( X ) = 2 ∑ D ( X i ) = 2 ∑σ = n i =1 n i =1 n
于是
X ~ N (µ ,
X −µ σ/ n
σ2
n
)
从而
～ N (0,1)
( n1 − 1) S12 / ( n2 − 1) S
σ
2 2
σ
2 1
( n1 − 1)
2 2
/ ( n2 − 1)
=
概率论抽样分布
备用题
例1-1
服从＿＿＿＿，又若 服从＿＿＿＿. 解 因同为样相互独立的正态随机变量的线性和服从
正态分布 因而
所以 得
例1-2 解 以 表示样本均值，则
因此, 样本容量n至少取35.
例1-3 解
例1-4 解
等价于 此时样本距离超过标准差的可能性不大于0.01.
例1-5
概率. 解
例1-6 解
概率论抽样分布
2020/8/14
一、问题的提出
由于统计量依赖于样本,而后者又是随机变量
故统计量也是随机变量,因而统计量就有一定的
概率分布.称这个分布为“抽样分布”. 也即抽样 分布就是统计量的分布.
抽样分布
(小样本问题中使用) (大样本问题中使用)
这一节, 我们来讨论正态总体的抽样分布.
二、抽样分布定理
引理
证 所以
1. 样本来自单个正态总体 定理5.3
或 标准化样本均值
注 自由度减少一个!
减少一个自由度的原因：
事实上，它们受到一个条件的约束：
2° 3°
推论1
证 且两者独立, 由 t 分布的定义知
例1
现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个
灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2000h，就 认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使通过检 验的概率超过0.997，问至少检查多少只灯泡. 解
因此，当n至少取97时，满足上述条件.
例2-1 解
例2-2 解
例3-1 解
例3-2
U=_________ 服从 N(0,1), T=_________ 服从t(n-1), M=_________ 服从 解 由抽样分布的性质知
同时 所以
相互独立
抽样及抽样分布
给定概率值 p 求相应的值: f x/统计/FINV/按对话框的提示键入相应的 变量。
NEXT
第三节 抽样的组织方式
简单随机抽样 分层抽样 等距抽样 整群抽样
多阶段抽样
简单随机抽样:简单随机抽样又称纯随机抽样， 是直接从总体中按随机的原则抽容量为 n 的样本， 每一个总体单位有相同的可能性被抽中。
z
(
X 1
X
)
2
( 1
) 2
s2 1
s2 2
nn
1
2
渐近服从标准正态分布。
如果： X1 和 X2 是两个非正态总体，当和样本容
量足够大，
z
(
X1
X
2
)
(
1
2
)
s2 1
s2 2
n1 n2
渐近服从标准正态分布。
NEXT
二、样本成数及成数差的抽样 分布
成数的概念 样本成数的分布 两个总体样本成数差的分布
法从两个总体中分别抽出容量为n1和n2 独立样本，
样本均值差 X1
X 2服从正态分布，且均值为
1
-
2
，
方差为 2 1
2 2
n1 n2
，则
z ( X1 X 2 ) (1 2 )
2 1
2 2
nn
1
2
服从标准正态分布。
特别：若两总体的方差未知，可以用样本的方
差 s12 和 s22 替代。当样本容量足够大，
n
样本均值的数学期望 E( X )
方差 D( X ) 2 N n
n N 1
定理：设总体服从正态分布 N (, 2) ，从总体 中随机容量为 n 的样本 。样本平均数X 服从正态分 布。
抽样分布及其上分位数
例4 对Z ~ N (0,1),Tn ~ t(n)，有
P( Z z /2 ) , P( Z z /2 ) 1 ,
P( Tn t /2(n)) , P( Tn t /2(n)) 1
证明： P( Z z / 2 ) P(Z z / 2 ) P(Z z / 2 )
对标准正态密度函数( x)有
sup pn( x) ( x) 0.0041
x
特别,当n 时, 有
lim
n
pn
u
1
u2
e 2 (u)
2
概率论与数理统计
t分布的性质
定理3.5: 如果Z～N(0,1) , ~ 2(n), 且Z与 相互独立，则有
Z ~ t(n)
n
概率论与数理统计
定理 3.6
如果X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N (, 2 )
的样本, Xn和S 2分别为样本均值和样本方差,
则有
Xn ~ t(n 1)
Sn
概率论与数理统计
证明：由定理3.4
Z
Xn / n
~
N (0,1),
(n 1)S 2
2
~
2(n 1).
且它们独立. 则由定理3.5得到
Z
Xn
/(n 1) / n
F分布的性质
定理3.7:如果 ~ 2(n), ~ 2(m),和独立，则 F n ~ F (n, m) m 1 m ~ F (m, n) F n
概率论与数理统计
设X1, X2 , , Xn是来自总体X的样本， Y1,Y2 , ,Ym是来自总体Y的样本. 如果总体X 和总体Y 独立，则来自这 两个总体的样本也相互独立.于是
/2 /2
P( Z z / 2 ) 1 P( Z z / 2 ) 1 ,
抽 样 分 布
抽样估计的效果关键看抽样平均误差的控制。抽样平均 误差小，抽样效果从整体上看就好；否则，抽样效果就不理 想。从前面的分析知道，抽样平均误差受以下几方面因素的 影响：一是总体的变异性，即与总体的标准差大小有关；二 是样本容量；三是抽样方法；还有一个重要的因素，就是抽 样的组织形式。抽样的组织形式有简单随机抽样、分层抽样、 整群抽样和等距抽样等。不同的抽样组织形式设计意味着对 总体信息不同程度的利用，意味着不同的调查成本，它们之 间的抽样效果存在较大的差异。
一、抽 样 分 布
一、 抽样的基本概念
1. 总体和样本
抽样推断是从统计总体中抽取部分单位组成样本进行调查的。 统计总体简称为总体，是指所要研究的客观现象的全体，组成总体 的每一个元素称为个体。例如，我们要研究某市居民的家庭收入水 平，那么该市所有居民的家庭收入便构成了研究总体，而每一户居 民的家庭收入就是个体。一般来说，我们所研究的总体，即研究对 象的某项数量指标X，是一个随机变量，它的取值在客观上有一定的 分布。实际上，我们对总体的研究就是对相应的随机变量X的分布的 研究。因此，今后将不区分总体和相应的随机变量。
一、抽 样 分 布
分层抽样是一种常用的抽样方式。它具有以下优 点：一是分层抽样除了可以对总体进行估计外，还可以 对各层的子总体进行估计；二是分层抽样可以按自然区 域或行政区域进行分层，使抽样的组织和实施都比较方 便；三是分层抽样的样本分布在各个层内，从而使样本 在总体中的分布比较均匀；四是如果分层抽样做得好， 可以提高估计的精度。
一、抽 样 分 布
（2）分层抽样。
分层抽样是按一定标志对总体各单位进行分类，然后分别从每 一类中按随机原则抽取一定的单位构成样本。类型抽样的前提是对 总体的结构有一定的了解，为了充分利用这些信息，提高估计的精 确性，对总体按确定标志进行分类，保证抽出的样本与总体尽可能 保持相似的结构。例如，抽样调查一个城市的居民收入分配状况， 如果历史资料反映了该城市居民的贫富结构（如高收入者、中等收 入者与低收入者的比例结构），那么就可以按此结构分类分别从高 收入者、中等收入者和低收入者中按一定的比例抽取样本。这样就 可以避免样本全来自于某一收入阶层所产生的系统偏差。
抽样及抽样分布
抽样及抽样分布引言在统计学中，抽样是从总体中选择一部分个体进行研究的过程。
通过抽样可以获得总体的估计值，从而对总体进行推断。
抽样是统计学的基础，也是进行统计推断的前提。
本文将介绍抽样的基本概念和方法，以及抽样分布的概念和特性。
抽样方法进行抽样时，需要选择合适的抽样方法。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和群组抽样等。
简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法，每个个体被随机地选入样本，且每个个体被选入样本的概率相等。
这种方法可以确保样本具有代表性。
系统抽样系统抽样是按照一定的规则从总体中选取样本，例如每隔一定间隔选取一个个体。
这种方法简单实用，但需要注意规则的选择是否会引入偏差。
分层抽样分层抽样是将总体分成若干层，然后从每层中随机选取个体组成样本。
这种方法可以保证每个层次都有足够的代表性。
群组抽样群组抽样是将总体划分为若干群组，然后随机选取若干群组作为样本。
这种方法适用于总体中包含多个群组，但群组内个体相似的情况。
抽样分布抽样分布是指抽样统计量的分布。
统计量可以是样本均值、样本方差、样本相关系数等。
样本均值的抽样分布假设总体服从正态分布，样本均值的抽样分布也会服从正态分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将变得更加接近正态分布。
样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布是以总体方差为参数的分布，通常服从卡方分布。
样本容量的大小将影响样本方差的抽样分布形状。
样本相关系数的抽样分布样本相关系数的抽样分布通常是以总体相关系数为参数的分布。
样本容量的增加会使样本相关系数的抽样分布趋向于正态分布。
抽样误差与置信区间抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
抽样误差的大小会受到样本容量和抽样方法的影响。
为了评估抽样结果的可靠性，可以构建置信区间。
置信区间是总体参数的一个区间估计，表示总体参数落在该区间的概率。
置信区间的宽度与置信水平、样本容量以及总体标准差等相关。
较高的置信水平会使置信区间变得更宽，而较大的样本容量和总体标准差会使置信区间变得更窄。
理论分布与抽样分布
在回归分析中的应用
建立回归模型
根据自变量和因变量的关系，建立合 适的回归模型，如线性回归、非线性 回归等。
估计模型参数
利用样本数据对回归模型的参数进行 估计，得到回归方程的系数和截距。
检验模型显著性
通过计算F值或t值等统计量，对回归 模型的显著性进行检验，判断自变量 对因变量是否有显著影响。
预测和控制
理论分布与抽样分布
目 录
• 引言 • 理论分布概述 • 抽样分布概述 • 理论分布与抽样分布的关系 • 理论分布与抽样分布在实践中的应用 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
阐述理论分布与抽样分布的概念及其关系 分析在统计学中理论分布与抽样分布的重要性 探讨如何利用理论分布与抽样分布进行统计推断
汇报范围
在方差分析中的应用
方差齐性检验
在进行方差分析前，需要对各组的方差 进行齐性检验，以确定是否满足方差分
析的前提条件。
计算统计量
利用样本数据计算各组均值、总均值、 组间方差和组内方差等统计量。
建立模型
根据研究问题和数据特点，建立方差 分析模型，包括因素、水平、交互作 用等。
进行F检验
根据方差分析模型，计算F值，并利 用F分布进行假设检验，判断因素对 结果是否有显著影响。
抽样分布的形状和特性与总体分布密切相 关。
依赖于样本量
统计量的分布
随着样本量的增加，抽样分布的形状逐渐 趋近于正态分布。
抽样分布描述的是统计量（而非单个样本 值）的分布情况。
抽样分布的形成原理
中心极限定理
当从均值为μ、方差为σ^2的总体中随机抽取容量为n的样本时，随着n的增大，样本均值的抽样分布逐渐趋近于 均值为μ、方差为σ^2/n的正态分布。