2.1-2.3逻辑代数的基本运算和规则

式
合并律: 吸收律：
AB + AB = A A + AB = A
A + AB = A + B
证明：
A + AB = ( A + A)( A + B) = 1i( A + B) = A + B AB + AC + BC = AB + AC
证明：
AB + AC + BC = AB + AC + ( A + A) BC = AB + AC + ABC + ABC = AB + AC
A•0 = 0 A •1 = A A• A = A
A• A = 0
A +1 = 1 A+0 = A A+ A= A
A+ A =1
4
3、与普通代数相似的定律 交换律：
A• B = B • A
A+ B = B + A
结合律： ( A • B) • C = A • ( B • C ) 分配律：
( A + B) + C = A + ( B + C )
1
2.1.2 三种基本运算（与、或、非）
举例：考察电路中，开关A、B的状态如何影响灯泡F的状态。（逻辑关系）
A E A B F E F E A F R
B
逻辑变量：A 规定：
B
F
开关合上： A=1 灯亮： F=1
B=1
开关断开：A=0
B=0
灯灭： F=0
1、与运算（逻辑乘）
A E B F
表达式：
F = A • B = AB
F = f ( A, B, C ,
举例：
)
A
0 0 0 0 1
1
F1 = A + BC F2 = ( A + B )( A + C )
B C
F1
F2
0 0 1 1 0
0
0
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
逻辑函数的相等： 对于形式不同的两个逻辑函数，如果 1、输入变量相同 2、真值表相同
A+ B = A• B
用 B = C + D 代替等式两边的B，则有：
A + C + D = A•C + D = A•C • D
5
2. 反演规则： 对于任意一个逻辑函数F，将表达中：
• 换成＋ 0换成1
＋换成 • 1换成0 反变量换成原变量
原变量换成反变量
所得到的新的表达式为F的反函数，记为： F 举例： 求 F = A + B + C + D + E 的反函数。 注意： 1、原式中变量的运算顺序不变 2、不属于单变量上的非号保留不变
1 0 1 0
1
1 1
1 1
0 1
2.2 逻辑代数的基本定律和规则
2.2.1 基本定律
1、常量之间的逻辑关系 2、变量和常量之间的逻辑关系
0•0 = 0 0 •1 = 1• 0 = 0 1•1 = 1 0+0 = 0 0 +1 = 1+ 0 = 1 1+1 = 1
0 =1 1= 0
0－1律： 自等律： 重叠律： 互补律：
F = AB + AC = ( A + B)( A + C ) = AB • AC = ( A + B) + ( A + C ) = A B + AC
与或式 或与式 与非与非式 或非或非式 与或非式
作业： 2-1(1,3) 2-2(1,3,5,7) 证明左式成立
10
2.3 复合逻辑
2.3.1 复合逻辑运算和复合门
与非
A B A B A B
F = AB
&
或非
A B
F = A+ B
≥1
F
与或非
F = AB + CD
F
F
A B
F
A B C D
& ≥1
F
F
A B
+
F
7
异或运算
F = A B + AB = A ⊕ B
A
B
F
逻辑符号:
A B
A B
=1
F
0 1 1 0
输入变量取值相同时，函数为0； 输入变量取值不同时，函数为1.
A + BC = ( A + B)( A + C )
A • ( B + C ) = AB + AC
4、逻辑代数中的特殊规律 反演律： 还原律：
A• B = A + B A= A
A+ B = A• B
2.2.2 三个重要规则
1. 代入规则： 任何一个逻辑等式，如果将等式两边出现的某一变量都代之以同一 逻辑函数，则等式仍然成立。 举例：
B
A
B
F
0 1 1 0
A⊕ B = A
( A ⊕ B)′ = A
1 0 0 1
互为反函数 互为对偶函数
B
B
A
(A
B = A⊕ B
B)′ = A ⊕ B （自证）
异或运算与同或运算的一些特性： 1、因果互换性
A
B
F
F = A⊕ B A=F⊕B B=F⊕A
2、常用公式（见书） 其中：
F=A A=F B=F
B B A
0 1 1 0
A⊕ A⊕ A⊕
推广：
⎧0 ( A的个数为偶数） ⊕A=⎨ ⎩1 （A的个数为奇数）
A
B
F
A⊕ B ⊕C ⊕ D ⊕
=?
思考：这个性质可以用来干什么？
1 0 0 1
9
2.3.1 逻辑运算符的完备性
完备集： 对于一个代数系统，若仅用它所定义的一组运算符号就能解决 所有的运算问题，则称这一组运算符号是一个完备的集合，简称为～。 逻辑代数中的完备集： 【与，或，非】 举例： 【与非】 【或非】 【与或非】
F = A• B •C • D• E
3. 对偶规则： 对于任意一个逻辑函数F，将表达中：
• 换成＋
0换成1
＋换成 • 1换成0
所得到的新的表达式为F的对偶函数，记为： ′ F 举例： 求 F = A + B + C + D + E 的对偶函数。 F ′ = A • B • C • D • E 求 F = A • B + A • (C + 0) 的对偶函数。 F ′ = ( A + B) • ( A + C • 1) 注意： 1、原式中变量的运算顺序不变 2、不属于单变量上的非号保留不变
A B A B
&
F
逻辑符号：
国标符号 美国符号 （国际符号） 常用符号
U CC (+5V )
R(3.9 K )
F
A
B
F
A B
F
0 0 0
1
二极管与门：
V1
A
F
B
V2
2
2、或运算（逻辑加） 表达式：
A B E F
F = A+ B
≥1
国标符号 美国符号 （国际符号） 常用符号
逻辑符号： A
B A B
A B
F
A B
⊕
F
同或运算
F = AB + AB = A
B
逻辑符号:
A
B
F
A B
=
F
1 0 0 1
输入变量取值相同时，函数为1； 输入变量取值不同时，函数为0.
A B
F
A B
F
8
异或运算与同或运算的关系： 异或运算 同或运算
F = A B + AB = A ⊕ B
F = AB + AB = A
A B F
第二章 逻辑代数基础
2.1 三种基本逻辑运算
2.1.1 逻辑变量
逻辑变量: 逻辑代数中用来表达事物状态的量。通常用大写字母表示。 逻辑变量的取值： 0，1
没有数值大小的意义，仅仅表示事物的两种相互对立的状态。 例如：开、关； 行、止； 同意、不同意；
举例： A ：表示房间里某个灯的状态。A=1（灯亮） A=0 （灯灭）
F
F
A
B
F
+
V1
A B
F
0
1 1
二极管或门：
F
V2
R (3.9 K )
1
3、非运算（逻辑反） 表达式：
R
F=A
A F
逻辑符号：
E A F
A
国标符号
美国符号 F （国际符号） 常用符号
A
F
A
F
二极管或门：
U CC (+5V )
RC
A
R
F (U O )
V
3
2.1.3 逻辑函数
逻辑函数: 用来表达输入逻辑变量（自变量）与输出逻辑变量（因变量） 之间逻辑关系的函数。