图论与代数-test
代数结构-图论
记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。 在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边 为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？ 程序结构度量：程序是否结构相似？ 如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？ 如何安排工作流程而达到最高效率？ 如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图； 有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、 完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图 （4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
图论与代数结构
假如 G1 G2 ，则必须满足： (1) | V (G1) || V (G2 ) |, | E(G1 ) || E(G2 ) | ． (2) G1 和 G2 结点度的非增序列相同． (3)存在同构的导出子图．
图的概念
性质1.1.5 非空简单图G中一定存在度相同的结点． 证明：设在G中不存在孤立结点，则对n个结 点的简单图，每个结点度d(v)的取值范围是 1~(n-1),由抽屉原理，一定存在两个度相同的 结点．若存在一个孤立的结点，亦类似可证．
图的概念
定义1.1.4 如果图G=(V,E)的每条边 ek (vi , v j ) 都赋以一 个实数wk 作为该边的权，则称G是赋权图．特别 地，如果这些权都是正实数，就称G是正权图． 图1.5就是一个正权图．权可以表示该边的长度， 时间，费用或者容量等．
图的概念
性质1.1.1 设G=(V,E)有n个结点，m条边，则
v V (G )
d (v) 2m
证明：由于每条边e=(u,v)对结点u和v度的贡献 各为１，因此m条边对全部结点的总贡献率为 2m.
图的概念
性质1.1.2 G中度为奇数的结点必为偶数个． 证明： G中任一结点的度或为偶数或为奇数，设 Ve是度为偶 的结点集，Vo 是度为奇的结点集，于是有
vVe
d (v) d (v) 2m
vV0
因此上式左边第二项也为偶数，也即度为奇数的结点 必为偶数个
图的概念
性质1.1.3 有向图G中正度之和等于负度之和．这是因 为每条边对结点的正，负度贡献各为1. 性质1.1.4 K n 的边数是n(n-1)/2. 证明：K n 中各结点的度都是(n-1),由性质 1.1.1就可以得到
图论与代数结构 1.1 基本概念
V={a, b, c, d} E={e1,e2,e3,e4,e5,e6} |V|称为结点数，记为n 该值有限，有限图 |E|称为边数，记为m.该值有限。
有向图 无向图
如果每条边都有方向的，则为有向图。 如果每条边都没有方向，则为无向图。 某些边有方向，某些边没有方向，混合图
邻接 e1 A
e4
B
图论与代数结构
清华大学 戴一奇 胡冠章等
图的概念-直观定义
• 由结点和连结两个结点的连线所组成的对象 称为“图”。 • 至于结点的位置及连线的长度无紧要
A
e4 B
e1 e3 e2
D
e5
C
形式定义：三元组(V(G),E(G),M(E,V))称为图。 其中V(G)为点的集合(非空集)，E(G)是边集， M(E,V)=边与点连接关系。 常简化为二元组 (V(G),E(G))称为图。简记为 G=(V,E)。
边数=
n(n-1)/2
非空简单图一定存在度相同的结点
证明:图G的结点数记为n。 由于它是简单图,无重复边与自环, 每点的度 数取值范围是0～n-1. 当没有度数为0的结点时,每点度数的取值范 围是1～n-1，根据鸽巢原则，这n个点中至少有 2个点的度数相同。 当有度数为0的结点时,剔除所有度数为0的结 点,对剩下来的结点所组成的图使用前面的证明.
U3
1、可构作双射g: V(c)→V(d)，其中g(a)=u3， g(b)=u1，g(c)=u4，g(d)=u2。 2、<a,b>→<u3,u1>，<b,d>→<u1,u2>， <a,c>→<u3,u4>，<c,d>→<u4,u2>
e5 e2
图论与代数结构第一二三章习题解答
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个）m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。
3•记a i为结点V i的正度数，a「为结点V i的负度数，则n n n nv a j 2「[ (n -1) - a" ]2 = n(n -1)2-2( n-1)、a「a「i 4 i 4n因为Z a「= c n = n(n -1)/2,i討4. 用向量（a1,a2,a3）表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 （a1,a2,a3为非负整数）的所有向量作为各结点，如果⑻耳厲）中某杯的水倒满另一杯得到（a' a' a'）,则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由（8, 0, 0 ）到（4, 4, 0 ）的一条有向路，以下即是这样的一条：(8 0 0 ).(5 0 3 )■( 5 3 0 )• f 0 Q \(2, 5, 1 ) (8, 0, 0丿 f ( 5, 0, 3丿r ( 5, 3, 0丿----- r■t / 4 4 O \ -----►(4, 4, 0 )T(7, 0, 1 )■ ( 7, 1, 0 )1^ ( 4, 1, 3 )5. 可以。
6若9个人中没有4个人相互认识，构造图G,每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。
1）若可以找到点v, d（v）＞5，则与v相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个相互不认识（作K6并给边涂色：红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。
集合论、图论重要习题100
集合论、图论重要习题100例：1、设A,B是两个集合,B≠￠,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)?n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,?n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}?{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
离散数学——图论
2023/5/24
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§8.3欧拉图
❖ 欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
❖ 定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
❖ 定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
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正则图
❖ 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 ❖ 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连
的四边形。 ❖ 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
❖ 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
❖ 例子
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❖ 1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念 和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
❖ 1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的 概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
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4
❖ 1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig) 发 表了第一部集图论二百年研究成果于一书的 图论专著《有限图与无限图理论》，这是现 代图论发展的里程碑，标志着图论作为一门 独立学科。
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连通性
❖ 定义：无向图，若它的任何两结点间均是可达的， 则称图G是连通图；否则为非连通图。
❖ 定义：有向图，如果忽略图的方向后得到的无向图 是连通的，则称此有向图为连通图。否则为非连通 图。
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有向连通图
❖ 定义：设G为有向连通图， ❖ 强连通：G中任何两点都是可达的。 ❖ 单向连通：G中任何两结点间，至少存在一个方向
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。
- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。
- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。
2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。
- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。
- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。
3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。
- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。
- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。
- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。
- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。
- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。
- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。
6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。
- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。
- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。
7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。
- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。
- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。
- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。
- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。
- 空间复杂度：算法空间需求的分析。
- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。
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南 京 航 空 航 天 大 学
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二○ ～ 二○ 学年 第二学期《 》考试试题 考试日期： 年 月 日 试卷类型： 试卷代号： 班号 学号 姓名 题号
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分
一、（1）证明：无向图中的奇度点的数目一定是偶数。
（2）分别判断下面数列是否可以图化？是否可以简单图化？如果可以，分别画出一个相应的图。
写出求解过程。
① (3,3,3,1) ②(4,3,3,3,3,3,3)
本题分数 10分
得 分
二、T 是简单无向图，请由定义直接证明：T 连通无回路 当
且仅当 T 中任意两点之间有唯一的初级通路（即基本通路）。
三、求K 7和K 2,3的点色数、边色数和面色数（请写出求解过程）。
本题分数 10分得 分 本题分数 10分
得 分
四、无向简单平面图G 中最小度δ>4，证明：G 中至少有30条边。
五、设i 是虚数单位，Z 是整数集，+是普通加法， G={a+bi | a,b ∈Z}，证明：<G ,+>是群。
本题分数 10分得 分
本题分数 10分
得 分
六、<Z 10,+10>是模10加群，求<Z 10,+10>的单位元、每个元
素的逆元、所有的生成元和所有的子群。
七、R*是非零实数集合，<R*,o>是代数系统，对于R*中元素x,y ，令xoy=x+2y-2。
请问<R*,o>中是否存在单位元、零元、哪些元素有逆元？运算o 是否满足交换律和结合律。
分别说明理由。
本题分数 10分得 分
本题分数 10分
得 分
八、f 是群G 到群H 的满同态，R 是G 上的一个二元关系，
R={<a,b>|f(a)=f(b)},证明： ①R 是G 上的一个等价关系。
②<a,b>∈R 当且仅当 a 与b 关于ker(f)的右陪集相等。
九、H ，K 是G 的两个子群且H ≠G ，K ≠G ，证明：H ∪K ≠G 。
本题分数 10分
得 分 本题分数 10分
得 分
十、在下列矩阵中找出5个数，行列各不相同（即任意两
个数不在同行也不在同列）且5个数的和尽可能的大。
①将上述问题转换为图论问题。
②设计一种算法求解上述问题，写出简要的算法步骤、理由及求解结果。
本题分数 10分
得 分 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡8 3 5 4 69
4 6 4 3
5 2 2 3 67 4 5 4 82 4 3 5 7。