2018年秋九年级数学下册 第1章 解直角三角形阶段性测试(十二)练习 (新版)浙教版
浙教版2017-2018学年初三数学下册第1章解直角三角形试卷及答案
)
1
2
3
3
A.2 B. 2 C. 2 D. 3
4．如图 ，在坡度为 1∶ 2 的山坡上种树 ，要求相邻两棵树的水平距离是 6 m，
则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是 (
)
A．3 m B． 3 5 m C． 12 m D． 6 m
5．下列式子：① sin60°>cos30°；② 0<tanα<1(α为锐角 )；③ 2cos30°＝
2017-2018 学年九年级数学下册第 1 章解直角三角形测试卷
(时间： 120 分钟 满分： 120 分)
一、选择题 (每小题 3 分 ，共 30 分)
2
1．如图 ，在 Rt △ ABC 中，∠C＝ 90°，AB＝ 6，cosB＝3，则 BC 的长为 (
)
A．4
B．2 5
18 13 C. 13
12 13 D. 13
18． (8 分 )如图 ， 在△ ABC 中 ， BD⊥ AC，AB＝ 6，AC＝5 3， ∠A＝30°. (1)求 BD 和 AD 的长； (2)求 tanC 的值．
19． (8 分)如图① ，某超市从一楼到二楼的电梯 AB 的长为 16.50 米 ， 坡角 ∠ BAC 为 32°.
(1)求一楼与二楼之间的高度 BC；(精确到 0.01 米) (2)电梯每级的水平级宽均是 0.25 米，如图② .小明跨上电梯时 ，该电梯以每 秒上升 2 级的高度运行 ， 10 秒后他上升了多少米？ (精确到 0.01 米 )(备用数据： sin32°≈ 0.5299， cos32°≈ 0.8480，tan32°≈ 0.6249)
cos60°；④ sin30°＝ cos60°，其中正确的个数有 (
)
九年级数学(下)第一章解直角三角形测验卷(含答案)
第一章 解直角三角形（一）班级 姓名 学号一、选择题（每小题3分，共30分。
）1.（2013·天津中考）tan 60︒ 的值等于（ ）A.1B.2C.3D.2 2.（2013·重庆中考）计算6tan 452cos 60︒-︒ 的结果是( ) A.43 B.4C.53D.53.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒== 则sin A 的值是( ) A.34B.34C.35D.454.在ABC △中，90C =︒∠，如果2,1AB BC ==，那么sin A 的值是( ) A.21 B.55C.33 D.23 5.在ABC △中，90C =︒∠，5,3,AB BC ==则sin B = ( )A. 34B. 53 C. 43 D. 456.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度12∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310m 8.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）阶段性学业评价试卷九年级(下)数学 第7题图第3题图ACBA. 5B.37C. 7D. 389.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A.sin cos A A = B.sin cos A>A C.sin tan A>AD.sin cos A<A10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3cos 5A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．12B ．2C ．52 D ．55二、填空题（每题3分，共24分）11.（2013·广东中考）在Rt △ABC 中， 90,3,4=︒==ABC AB BC ∠，则sin A =______. 12.（2013·陕西中考）比较大小：8cos 31︒35.（填“＞”“=”或“＜”）13.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）14.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．15.大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 ．16.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_ ．17.如图，在四边形ABCD 中，609069=︒==︒==A B D BC ,CD ∠,∠∠,,则AB =__________. 18.如图，在△ABC 中，已知324530,∠,∠AB B C ==︒=︒，则AC =________． 三、解答题 （本题共有7小题，共46分）ABC第9题图ACB第18题19．（5分）计算：(1)()42460sin 45cos 22+- ； （2）2330tan 3)2(0-+--.20．（5分）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若12sin 13A =,求cosA, sinB, cosB.21．（6分）等腰梯形的一个底角的余弦值是223，腰长是6，上底是22求下底及面积22．（6分）某工程队修建一条高速公路,在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB(如图),为了预算造价,应测出隧道AB 的长,为此,在A 的正南方向1500米的C 处,测得∠ACB=620,求隧道AB 的长.(精确到1米,供选用的数:sin620=0.8829,cos620=0.4695,tan620=1.881,cot620=0.5317)23．（6分）已知tanA=2，求AA AA cos 5sin 4cos sin 2+-的值。
北师大版九年级数学下册--第一章 解直角三角形(2) 课堂检测练习题(含答案)
导学案年级：九年级课型：新授课使用时间：课题：解直角三角形(二)检测能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．课堂学习检测1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD 的长．3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．综合、运用、诊断5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13 )7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m23DE，求点B到地面的垂直距离BC．8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米?11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m3到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向?12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?17.如图，AC ⊥BC ，cos ∠ADC ＝45，tanB ＝33，AD ＝10， 求:（1）AC 的长； （2）BD 的长．18.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．17．解：（1）∵在Rt △ABC 中，cos ∠ADC ＝54，∴sin ∠ADC ＝53，∵sin ∠ADC ＝ADAC，AD ＝10，∴AC=AD •sin ∠ADC=6， （2）tanB ＝33，AC ＝6， ∴BC=AC •tanB ＝3218．解：解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴AB=sinBAD=3， ∴BD=22AD -AB =22， ∴BC=BD+DC=22+1； （2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=BC=2+12，∴DE=CE ﹣CD=2﹣12，∴tan ∠DAE=AD DE =2﹣12．。
2018年浙教版数学九年级下册《第一章解直角三角形》单元测试题含答案
第一章解直角三角形一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，若sin A=513，则cos A的值为( )A. 813B. 512C. 23D. 12132.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D，若BC=a，则CD等于( )A. 12a B. 32a C. 32a D. 3a3.已知tan A=23，则锐角A满足( )A. 0∘<A<30∘B. 30∘<A<45∘C. 45∘<A<60∘D. 60∘<A<90∘4.坡度等于1：3的斜坡的坡角等于( )A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘5.一个斜坡的坡角为30O，则这个斜坡的坡度为()A. 1：2B. 3:2C. 1：3D. 3：16.因为cos30∘=32，cos210∘=−32，所以cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−32，我们发现：一般地，当α为锐角时，有cos(180∘+α)=−cosα，由此可知cos240∘的值是()A. −12B. −22C. −32D. −37.在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子中不一定成立的是( )A. tan A=sin Acos AB. sin2A+sin2B=1C. sin2A+cos2A=1D. sin A=sin B8.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值( )A. 不变B. 扩大2倍C. 缩小2倍D. 不能确定9.如果∠A为锐角，且cos A=0.31，那么∠A的范围是A. 0∘<∠A≤30∘B. 60∘<∠A<90∘C. 45∘<∠A<60∘D. 30∘<∠A<45∘10.某水库堤坝的横断面如图所示，背水坡AD的坡度为1:1.5，迎水坡BC的坡度为1:3，坝顶宽CD=3m，坝高CF，DE均为10m，则坝底宽AB约为()A. 32.2mB. 29.8mC. 20.3mD. 35.3m二、填空题11.在△ABC中，若∠C=90∘，sin A=1，AB=2，则△ABC的周长为______ ．212.关于三角函数还有如下的公式：sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ，(如：sin75∘=sin(30∘+45∘)=sin30∘cos45∘+cos30∘sin45∘)利用这个公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值。
浙教版2018-2019学年九年级数学下册第1章解直角三角形测试题
第1章 解直角三角形一、选择题(每小题4分，共28分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( ) A.35 B.34 C.45 D.432．某水坝的坡比为1∶3，坡长为20米，则该水坝的高度为( ) A ．10米 B ．20米 C ．40米 D ．20 3米3．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°4．如图1所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，cos A ＝45，则下列结论中正确的有( )①DE ＝3 cm ；②EB ＝1 cm ；③S 菱形ABCD ＝15 cm 2. A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个125．如图2所示，两条宽度都为1的纸条交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( )A.1sin α B.1cos αC ．sin αD ．1 6．如图3，在4×4的正方形网格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦值是( )A ．2 B.2 55 C.12 D.55347．如图4，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧优弧CMO 上一点，则tan ∠OBC 的值为( )A.13 B ．2 2 C.24 D.2 23 二、填空题(每小题4分，共28分)8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝4，AC ＝6，则sin B 的值是________．9．在△ABC 中，如果锐角∠A ，∠B 满足|tan A －1|＋(cos B －12)2＝0，那么∠C ＝________°.10．如图5所示，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，sin A ＝23，弦AB 的长为________．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为________．5612．如图6，在小山的东侧点A 处有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧点B 的俯角为30°，则A ，B 两点间的距离为________米．13．如图7，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD ＝2 2，那么△ABC 的周长为________．7814．如图8，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝3 2，CD ＝2 2，P 是四边形ABCD 四条边上的一个动点，若点P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有________个．三、解答题(共44分)15．(10分)如图9，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝200，∠B ＝30°，∠C ＝45°.求BC 的长．图916．(10分)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm ，图10①是一名同学的坐姿，把他的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图②的△ABC ，已知BC ＝30 cm ，AC ＝22 cm ，∠ACB ＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)图1017．(12分)如图11，反比例函数y ＝kx(x >0)的图象经过点A (2 3，1)，射线AB 与反比例函数的图象的另一个交点为B (1，a )，射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC ＝75°，AD ⊥y 轴，垂足为D .(1)求k 的值；(2)求tan ∠DAC 的值及直线AC 的函数表达式．图1118．(12分)如图12，一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里的B 处，它沿着北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发沿直线航行20分钟到达C处，求救援船的航行速度．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，3≈1.732，结果精确到1海里/时)图121．C [解析] 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝4，∴cos A ＝AC AB ＝45.故选C.2．A [解析] 如图，∵坡比为1∶3，∴设AC ＝x 米，BC ＝3x 米，根据勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2，即x 2＋(3x )2＝202，解得x ＝10.故选A.3．B [解析] 由题意得Δ＝2－4sin α＝0，解得sin α＝12，∴α＝30°.4．A [解析] ∵菱形ABCD 的周长为20 cm ，∴边长AD ＝AB ＝5 cm. 在Rt △ADE 中，cos A＝AE AD ，∴AE ＝AD cos A ＝5×45＝4(cm)，∴BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)，DE ＝AD 2－AE 2＝52－42＝3(cm)，∴S 菱形ABCD ＝DE ·AB ＝3×5＝15(cm 2)．故正确的结论有①②③，选择A.5．A6．D [解析] 设每个小正方形的边长都是1.由图可知，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝12＋22＝5，AB 2＝32＋42＝25，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝BCAB ＝55. 7．C [解析] 作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，则OD ＝CD 2－OC 2＝4 2，tan ∠CDO ＝OC OD ＝24， 由圆周角定理，得∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝24.8.349.75 10.43 5 [解析] 过点O 作OC ⊥AB 于点C ，在Rt △AOC 中，OC ＝OA sin A ＝2×23＝43，AC ＝OA 2－OC 2＝22－（43）2＝4－169＝36－169＝23 5.∴AB ＝2AC ＝2×23 5＝435.11．24 [解析] 如图，BC ＝8，tan A ＝43，tan A ＝BC AC ，∴8AC ＝43，∴AC ＝6，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×6×8＝24.12．750 213．6＋2 3 [解析] 依题意，得∠B 1AD ＝45°，AD ＝2 2，∴AB ＝AB 1＝AD ·cos45°＝2 2×22＝2.又∵∠ACB ＝30°，∴AC ＝2AB ＝2×2＝4，∴BC ＝AC 2－AB 2＝42－22＝2 3，∴△ABC 的周长＝2＋4＋2 3＝6＋2 3.14．2 [解析] 过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F . ∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝3 2，CD ＝2 2，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°， ∴∠CDF ＝90°－∠ADB ＝45°.∵sin ∠ABD ＝AE AB，∴AE ＝AB ·sin ∠ABD ＝3 2·sin45°＝3＞52，CF ＝2＜52，∴在AB 和AD 边上有符合点P 到BD 的距离为52的点各有1个，共有2个．15．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 在Rt △ABD 中，∵AD ＝200，∠B ＝30°，∠ADB ＝90°， ∴BD ＝3AD ＝200 3. 在Rt △ADC 中，∵∠C ＝45°，∠ADC ＝90°，∴DC ＝AD ＝200， ∴BC ＝BD ＋DC ＝200 3＋200.16．解：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求． 理由：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D . 在Rt △BDC 中，BD ＝BC sin53°≈30×0.8＝24(cm)， CD ＝BC cos53°≈30×0.6＝18(cm)，故AD ＝AC －CD ≈4 cm. 在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2≈592 cm ＜30 cm ，∴该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求． 17．解：(1)k ＝2 3×1＝2 3. (2)过点B 作BH ⊥AD 于点H ，如图，把B (1，a )代入反比例函数表达式y ＝2 3x，得a ＝2 3，∴B 点坐标为(1，2 3)， ∴AH ＝2 3－1，BH ＝2 3－1， ∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴∠BAH ＝45°. ∵∠BAC ＝75°，∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAH ＝30°，∴tan ∠DAC ＝tan30°＝33. ∵AD ⊥y 轴，∴OD ＝1，AD ＝2 3.∵tan ∠DAC ＝CD AD ＝33， ∴CD ＝2，∴OC ＝1，∴C 点坐标为(0，－1)． 设直线AC 的函数表达式为y ＝mx ＋b ，把A (2 3，1)，C (0，－1)代入，得⎩⎨⎧2 3m ＋b ＝1，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝33，b ＝－1，∴直线AC 的函数表达式为y ＝33x －1.18．解：作辅助线如图所示，BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF . 由题意知∠FAB ＝60°，∠CBE ＝37°， ∴∠BAD ＝30°.∵AB ＝20海里，∴BD ＝10海里．在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝202－102＝10 3≈17.32(海里)．在Rt △BCE 中，sin37°＝CE BC，∴CE ＝BC ·sin37°≈10×0.6＝6(海里)．∵cos37°＝EB BC，∴EB ＝BC ·cos37°≈10×0.8＝8(海里)．∵EF ＝AD ≈17.32海里，∴FC ＝EF －CE ≈11.32海里，AF ＝ED ＝EB ＋BD ≈18海里． 在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋FC 2≈182＋11.322≈21.26(海里)． ∵20分钟＝13小时，∴21.26÷13＝21.26×3≈64(海里/时)．答：救援船的航行速度约是64海里/时．。
2018年秋九年级数学下册第1章解直角三角形1.3解直角三角形第1课时同步测试新版浙教版
1.3 解直角三角形(第1课时)1．在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边角的过程，叫做____________． 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c . (1)三边之间的关系：____________； (2)锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a.A 组 基础训练1．(杭州中考)在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°2．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是( ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 3．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300m ，250m 和200m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，那么三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．丙的最低 4．一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则它的底角的正切值为( ) A.310 B.512 C.125 D.12135．在△ABC 为，∠C ＝90°，tanA ＝12，AB ＝10，则△ABC 的面积为________．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝35，c ＝352，则∠A ＝________，b ＝________． 7．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ＝30°，b ＝4，则a ＝________，c ＝________．8．如图所示，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是________米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．第8题图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长．第9题图10．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 恰好落在AD 边上，设此点为F.若AB∶BC ＝4∶5，求tan ∠ECB 的值．第10题图B 组 自主提高11．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，sinB ＝35，AC ＝2cm ，则⊙O 的面积是( )第11题图A.259πcm 2 B.1009πcm 2 C.925πcm 2 D.9100πcm 212．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC ＝2m ，CD ＝5.4m ，∠DCF ＝30°，则车位所占的宽度EF 约为多少米？(3≈1.73，结果精确到0.1m )第12题图13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C ＝45°，sinB ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长； (2)求tan ∠DAE 的值．第13题图C组综合运用14．(江西中考)如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10cm.(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01cm)(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511)第14题图1．3 解直角三角形(第1课时)【课堂笔记】1．解直角三角形2．(1)a2＋b2＝c2(2)∠A＋∠B＝90°【课时训练】 1－4.DBBC 5.2 6.45° 35 7. 43 3 83 3 8.39. ∵sin A ＝BC AB ＝45，∴BC ＝AB×45＝12.∴AC＝AB 2－BC 2＝9.∴△ABC 周长为36.10. 设AB ＝4，则BC ＝5，在△DFC 中，FC ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝4，∴DF ＝3，∴AF ＝2，又可证△DFC∽△AEF，得EF ＝2.5＝BE ，∴tan ∠BCE ＝2.55＝12.11. A12. ∵∠DCF＝30°，CD ＝5.4m ，∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2.7m .又∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC＝2，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＋∠CDF＝90°.∵∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠ADE ＝∠DCF＝30°，∴在Rt △AED 中，DE ＝AD×cos ∠ADE ＝2×32＝3(m )，∴EF ＝2.7＋3≈4.4(m )．答：车位所占的宽度EF 约为4.4m . 13. (1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°，在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1，在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝AD sin B ＝3，∴BD ＝AB 2－AD2＝22，∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1； (2)∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12. 14. (1)作OC⊥AB 于点C ，如图1所示，由题意可得，OA ＝OB ＝10cm ，∠OCB ＝90°，∠AOB ＝18°，∴∠BOC ＝9°，∴AB ＝2BC ＝2OB·sin 9°≈2×10×0.1564≈3.13cm ，即所作圆的半径约为3.13cm .第14题图(2)作AD⊥OB于点D，作AE＝AB，如图2所示，∵保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB＝18°，OA＝OB，∠ODA＝90°，∴∠OAB＝81°，∠OAD＝72°，∴∠BAD＝9°，∴BE＝2BD＝2AB·sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm.。
2018年秋九年级数学下册第1章解直角三角形检测卷同步测试新版浙教版
第1章 解直角三角形检测卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，那么cos B 的值是( ) A.45 B.35 C.34 D.432．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是( )A ．253mB ．25mC ．252m D.5033m第2题图3．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，sin ∠A ＝23，则弦AB 的长为( )第3题图A.253B.2133 C ．4 D.4534．(攀枝花中考)如图，点D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝( )第4题图A.12B.34C.45D.35 5．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 边上的高，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，则sin ∠ACD ＝( )第5题图A.34B.35C.45D.436．如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树10m 的B 处，测得树顶的仰角为∠CAD ＝30°，已知测角仪的架高AB ＝2m ，那么这棵水杉树高是( )A ．(1033＋2)mB ．(103＋2)m C.1033m D ．7m第6题图7.如图，某同学用圆规BOA 画一个半径为4cm 的圆，测得此时∠O ＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A 端不动，将B 端向左移至B ′处，此时测得∠O ′＝120°，则BB ′的长为( )第7题图A ．(26－4)厘米B ．(6－2)厘米C ．(22－2)厘米D ．(2－2)厘米 8．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为( )第8题图A ．2 6B ．3 2C ．4D ．3 69.如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ，使BD ＝AB ，连结CD .若tan ∠BCD ＝13，则tan A ＝( )第9题图A.13B.23 C ．1 D.3210．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( )第10题图A.3＋1B.2＋1 C ．2.5 D. 5 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．如图，点P 是直线y ＝32x 在第一象限上的一点，那么tan ∠POx ＝____．第11题图12．已知α为锐角，且2cos 2α－5cos α＋2＝0，则α＝____． 13．已知等腰三角形两边长为4和6，则底角的余弦值为____．14．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，DE ＝8cm ，sin A ＝45，则菱形ABCD 的面积是____cm 2.第14题图14．(菏泽中考)如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE ，DE ＝CE ，连结BE ，则tan ∠EBC ＝____．第15题图16．在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过点P (1，1)，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan ∠ABO ＝3，那么点A 的坐标是____．三、解答题(本大题共8小题，共80分) 17．(8分)计算下列各题： (1)2()2cos45°－sin60°＋244； (2)(－2)0－3tan30°＋||3－2.18．(8分)已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件，解直角三角形． (1)BC ＝8，∠B ＝60°； (2)AC ＝2，AB ＝2.19．(8分)(重庆中考)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．第19题图20．(8分)一副直角三角尺如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，求CD 的长．21．(10分)(绍兴中考)如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2.(1)求∠CBA的度数；(2)求出这段河的宽(结果精确到1m，备用数据：2≈1.41，3≈1.73)．第21题图22．(12分)如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 上一点．将正方形折叠，使点A 与点E 重合，折痕为MN .若tan ∠AEN ＝13，DC ＋CE ＝10.第22题图(1)求△ANE 的面积； (2)求sin ∠ENB 的值．23．(12分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad)，如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A ＝底边腰＝BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题．(1)sad60°＝__1__；(2)对于0°<A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是__0<sad A <2__； (3)如图2，已知sin A ＝35，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．第23题图24．(14分)如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上．(1)已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；(2)此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC长约为多少？(结果可保留根号)第24题图下册 第1章 解直角三角形检测卷1．A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.A 8.A 9.D 10.B 11.3212.60°13. 34或1314. 8015. 1316. (－2，0)或(4，0) 17. (1)2 (2)3－2 318. (1)在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝8，∴∠A ＝30°，AB ＝8cos 60°＝16，AC ＝8tan 60°＝83； (2)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝2，∴cos A ＝AC AB ＝22，∴∠A ＝45°，∴∠B ＝45°，BC ＝ 2.19. 在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8，在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝45，∴sin B ＋cos B ＝75.20. 过点B 作BM⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10，∴∠ABC ＝30°，BC ＝10×tan 60°＝103，∵AB∥CF，第20题图∴BM ＝BC×sin 30°＝103×12＝53，CM ＝BC×cos 30°＝15，在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°，∴∠EDF ＝45°，∴MD ＝BM ＝53，∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.21. (1)由题意得，过点B 作BD⊥CA，交CA 延长线于点D ，∠BAD ＝45°，∠BCA ＝30°，∴∠CBA ＝∠BAD－∠BCA＝15°； (2)设BD ＝x m ，∵∠BCA ＝30°，∴CD ＝BDtan 30°＝3x ，∵∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ＝x ，则3x －x ＝60，解得x ＝603－1≈82.答：这段河的宽约为82m .22. (1)∵tan ∠AEN ＝tan ∠EAN ＝13，故若设BE ＝a ，则AB ＝3a ，CE ＝2a.∵DC＋CE ＝10，∴3a ＋2a ＝10，∴a ＝2.∴BE＝2，AB ＝6，CE ＝4.∵AE＝AB 2＋BE 2＝4＋36＝210，∴AG ＝10.∵tan ∠EAN ＝NG AG ＝13，∴NG ＝103.∴AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＋（10）2＝103.∴S △ANE ＝12AN ·BE ＝12×103×2＝103(或S △ANE ＝12AE ·GN ＝12×210×103＝103); (2)sin ∠ENB ＝EB NE ＝2103＝35. 23. (1)1 (2)0<sad A<2第23题图(3) 如图所示，直角三角形ABC 中，设AB ＝5a ，AC ＝4a ，BC ＝3a ，作AD ＝AC ＝4a ，过D 作DH⊥AC 于点H.因为∠BCA＝∠DHA，∠A ＝∠A，所以△ABC∽△AD H ，所以BC DH ＝AB AD ＝54，所以DH ＝45×BC ＝125a.同理可得：AH ＝165a ，CH ＝AC －AH ＝45a.所以CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 52＝4105a ，故sad A ＝4105a ÷(4a)＝105. 24. (1)在Rt △BPQ 中，PQ ＝10，∠B ＝30°，则BQ ＝103，又在Rt △APQ 中，∠PAB ＝45°，则AQ ＝cot 45°×PQ ＝10，即：AB ＝(103＋10)米；第24题图(2)过A 作AE⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，∠B ＝30°，AB ＝103＋10，∴AE ＝sin 30°×AB ＝12(103＋10)＝53＋5，∵∠CAD ＝75°，∠B ＝30°，∴∠C ＝45°，在Rt △CAE 中，sin 45°＝AEAC ，∴AC ＝2(53＋5)＝(56＋52)米．。
2018年秋九年级数学下册 第1章 解直角三角形阶段性测试(十二)练习 (新版)浙教版
解直角三角形阶 段 性 测 试(十二)(见学生单册)[考查范围：解直角三角形(1.1～1.3)]一、选择题(每小题5分，共25分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，那么tan B ＝( D ) A.35 B.45 C.43 D.342．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则tan E 的值等于( C )第2题图A.12B.22C. 3D. 333．在△ABC 中，若cos A ＝22，tan B ＝3，则这个三角形一定是( A ) A. 锐角三角形 B ．直角三角形C. 钝角三角形 D ．等腰三角形4．如图所示，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上．这时段动车的平均速度是( A ) A ．20(3＋1)米/秒B ．20(3－1)米/秒C ．200米/秒D ．300米/秒第4题图5题图5．如图所示，点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°.则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( A )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米二、填空题(每小题5分，共25分)6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan 2B ＝．7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则tan ∠BOD 的值等于__3__．第7题图第8题图8．如图所示，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40 km ，仰角是30°，n 秒后，火箭到达B 点，此时仰角是45°.火箭在这n 秒中上升的高度是第9题图9．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图所示，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB ＝12米，背水坡面CD ＝123米，∠B ＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tan E ＝3133，则CE 的长为__8__米． 10．如图所示，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝__113__，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝__1n －n ＋1__．(用含n 的代数式表示)第10题图三、解答题(5个小题，共50分)11．(10分)将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连结AD ，求∠ADB 的正切值．第11题图解：延长DB 过A 作AH⊥BH，设AB ＝k ，∴BC ＝3k ，BD ＝126k ，BH ＝AH ＝22k ， ∴tan ∠ADB ＝22k 6＋22k ＝3－12.第12题图12．(10分)如图所示，在水平地面上有一幢房屋BC 与一棵树DE ，在地面观测点A 处测得屋顶C 与树梢D 的仰角分别是45°与60°，∠CAD ＝60°，在屋顶C 处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC ＝6米，求树高DE 的长度．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝6 m ，∴AC ＝BC sin ∠CAB＝62m. 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AD ＝AC cos ∠CAD＝122m. 在Rt △DEA 中，∠EAD ＝60°， DE ＝AD·sin 60°＝122×32＝66m ， 即树DE 的高为66米．第13题图13．(10分)如图所示，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km 到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)解：作CH⊥AD于点H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∴AH＝CHtan 37°＝xtan 37°，在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴AHHD＝ACCB，∵AC＝CB，∴AH＝HD，∴xtan 37°＝x＋5，∴x＝5tan 37°1－tan 37°≈15，∴AE＝AH＋HE＝15tan 37°＋15≈35(km)，∴E处距离港口A有35 km.第14题图14．(10分)如图所示，信号塔PQ座落在坡度i＝1∶2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为25米，落在警示牌上的影子MN长为3米．求信号塔PQ的高．(结果不取近似值)第14题答图解：如图，作MF⊥PQ于点F，QE⊥MN于点E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN＝x，则EQ＝2x，∵QN2＝EN2＋QE2，∴20＝5x2，∵x＞0，∴x＝2，∴EN＝2，EQ＝MF＝4，∵MN＝3，∴FQ＝EM＝1，在Rt△PFM中，PF＝FM·tan 60°＝43，∴PQ＝PF＋FQ＝43＋1(米)．第15题图15．(10分)在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝32，CD＝7，点P是BC边上的一动点(不与点B重合)，过点D作DE⊥AP，垂足为E.(1)求AB 的长；(2)设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；(3)延长DE 交AB 于点F ，连结PF ，当△ADE 为等腰直角三角形时，求sin ∠FPA 的值．第15题答图解：(1)过D 作DG⊥BC，垂足为G.AB ＝DG ＝CDsin C ＝7×22＝722. (2)∵∠B＝∠AED＝90°，AD ∥BC∴∠DAE ＝∠APB，∴△ABP ∽△DEA ，∴DE AB ＝AD AP ，y 722＝32x ，y ＝21x . 取值范围是722<x ≤109. (3)由题意知AE ＝DE ＝EF ＝ADsin 45°＝32×22＝3. ∴AP ＝213＝7，PE ＝7－3＝4.PF ＝PE 2＋EF 2＝42＋32＝5，∴sin ∠FPA ＝EF PF ＝35.。
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解直角三角形
阶 段 性 测 试(十二)(见学生
单册)
[考查范围：解直角三角形(1.1～1.3)]
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3
5，那么tan B ＝( D )
A.3
5
B.4
5
C.4
3
D.34
2．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则tan E 的值等于( C )
第2题图
A.1
2
B.2
2
C. 3
D.
33
3．在△ABC 中，若cos A ＝2
2
，tan B ＝3，则这个三角形一定是( A ) A. 锐角三角形 B ．直角三角形 C. 钝角三角形 D ．等腰三角形
4．如图所示，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上．这时段动车的平均速度是( A )
A ．20(3＋1)米/秒
B ．20(3－1)米/秒
C ．200米/秒
D ．300米/秒
第4题图
5题图
5．如图所示，点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°.则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( A )
A ．29.1米
B ．31.9米
C ．45.9米
D ．95.9米 二、填空题(每小题5分，共25分)
6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan 2B ＝．
7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则tan ∠BOD 的值等于__3__．
7题图
第8题图
8．如图所示，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40 km ，仰角是30°，n 秒后，火箭到达B 点，此时仰角是45°.
火箭在这n 秒中上升的高度是
第9题图
9．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图所示，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB ＝12米，背水坡面CD ＝123米，∠B ＝60°，加固后拦水坝的
横断面为梯形ABED ，tan E ＝3
13
3，则CE 的长为__8__米．
10．如图所示，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝__113__，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝__1n －n ＋1__．(用含n 的代数式表示)
第10题图
三、解答题(5个小题，共50分)
11．(10分)将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连结AD ，求∠ADB 的正切值．
第11题图
解：延长DB 过A 作AH⊥BH，
设AB ＝k ，∴BC ＝3k ，BD ＝126k ，BH ＝AH ＝2
2
k ，
∴tan ∠ADB ＝2
2k 6＋2
2
k ＝
3－1
2
.
第12题图
12．(10分)如图所示，在水平地面上有一幢房屋BC 与一棵树DE ，在地面观测点A 处测得屋顶C 与树梢D 的仰角分别是45°与60°，∠CAD ＝60°，在屋顶C 处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC ＝6米，求树高DE 的长度．
解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝6 m ，∴AC ＝BC
sin ∠CAB ＝62m.
在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°， ∴AD ＝
AC
cos ∠CAD
＝122m.
在Rt △DEA 中，∠EAD ＝60°， DE ＝AD·sin 60°＝122×3
2
＝66m ， 即树DE 的高为66米．
第13题图
13．(10分)如图所示，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点
处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km 到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
解：作CH⊥AD于点H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∴AH＝CH
tan 37°
＝x
tan 37°
，
在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，
∴AH
HD
＝
AC
CB
，∵AC＝CB，∴AH＝HD，
∴
x
tan 37°
＝x＋5，∴x＝
5tan 37°
1－tan 37°
≈15，
∴AE＝AH＋HE＝
15
tan 37°
＋15≈35(km)，
∴E处距离港口A有35 km.
第14题图
14．(10分)如图所示，信号塔PQ座落在坡度i＝1∶2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为25米，落在警示牌上的影子MN长为3米．求信号塔PQ的高．(结果不取近似值)
第14题答图
解：如图，作MF⊥PQ于点F，QE⊥MN于点E，则四边形EMFQ是矩形．
在Rt△QEN中，设EN＝x，则EQ＝2x，∵QN2＝EN2＋QE2，∴20＝5x2，
∵x＞0，∴x＝2，∴EN＝2，EQ＝MF＝4，
∵MN＝3，∴FQ＝EM＝1，在Rt△PFM中，PF＝FM·tan 60°＝43，∴PQ＝PF＋FQ＝43＋1(米)．
第15题图
15．(10分)在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝32，CD＝7，点P是BC边上的一动点(不与点B重合)，过点D作DE⊥AP，垂足为E.
(1)求AB 的长；
(2)设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； (3)延长DE 交AB 于点F ，连结PF ，当△ADE 为等腰直角三角形时，求sin ∠FPA 的值．
第15题答图
解：(1)过D 作DG⊥BC，垂足为G. AB ＝DG ＝CDsin C ＝7×
22＝7
2
2. (2)∵∠B＝∠AED ＝90°，AD ∥BC ∴∠DAE ＝∠APB，∴△ABP ∽△DEA ， ∴DE AB ＝AD AP ，y 722＝32x ，y ＝21x
. 取值范围是7
2
2<x ≤109.
(3)由题意知AE ＝DE ＝EF ＝ADsin 45°＝32×
2
2
＝3. ∴AP ＝213＝7，PE ＝7－3＝4.PF ＝PE 2＋EF 2＝42＋32
＝5，∴sin ∠FPA ＝EF PF ＝35.
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