自动控制原理简明教程第二版4.第四章 根轨迹法

法则2 根轨迹的起点和终点
例：如开环零点数m=1，开环极点个数n=5，则 只有？条根轨迹终止在开环零点处, 另外有 ？条根轨迹 终止于无穷远处。 只有1条根轨迹终止在开环零点处, 另外有 n- m=4条根 轨迹终止于无穷远处。
图示
法则３、根轨迹的渐近线
由法则一可知：当开环极点数n大于开环零点数m时，有（n－m） 条根轨迹分支终止于无限远零点（无穷远处）。 （ n－m）条根轨迹是沿着渐近线趋于无限远处，也就是说有几 条终止于无限远零点的根轨迹，就有几条渐近线。 根轨迹的渐近线是由以下两个属性刻画：
根轨迹方程为：
G(s) H (s) 1
4.1.2、 根轨迹方程
如何判断给定的某一点是根轨迹的点？
1、 幅值条件是必要条件： ① 某一点满足幅值条件,则该点一定是根轨迹上的点吗？ ② 某一点是根轨迹上的点，则该点一定满足幅值条件吗？ 2、 相角条件是充要条件： ① 某一点满足幅值条件,则该点一定是根轨迹上的点吗？ ② 某一点是根轨迹上的点，则该点一定满足幅值条件吗？
例：结构图如图所示，确定幅值和相角
第一步：写出开环与反馈传递函数乘积的表达形式
K* G(s) H (s) ( s 1 ( s 5) ）
第二步：写出根轨迹方程的表达形式
K* G(s) H (s) 1 ( s 1 ( s 5) ）
第三步：分别写出根轨迹上点的模值条件和相角条件:
∞ - 4+j∞ - 4-j∞
则对应的根轨迹如下图所示：
4-1 根轨迹法的基本概念
4.1.1、根轨迹法的基本概念 4.1.2、根轨迹方程
4.1.2、 根轨迹方程
根轨迹是根轨迹方程绘制的。
如给定系统的开环传递函数G(s)以及反馈函数H(s)， 则特征方程D(s)为：
D(s) 1 G(s) H (s) 0
i 1 i 1 m
n
i
i
i
4.1.2、 根轨迹方程
将开环与反馈传递函数的乘积写为零极点的形式:
G ( s) H ( s) K
(s z )
i
m
(s p )
i i 1
i 1 n
1
则某一点为根轨迹上的点，其相角条件为：
(s z ) (s p ) (2k 1)
a＝
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
(0) (1) (5) (4) 1 3 1
例 已知系统的开环传递函数，确定根轨迹的渐近线。
G( s) H ( s) K ( s 1) s ( s 4)( s 2 2s 2)
1.计算开环零极点： p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 4 z 1
此时的K为开环增益
② 当开环传递函数写为“零极点”形式
b ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) G ( s) 0 K* a0 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
4.1.2、 根轨迹方程
将开环与反馈传递函数的乘积写为零极点的形式:
G ( s) H ( s) K
(s z )
i
m
(s p )
i i 1
i 1 n
1
则某一点为根轨迹上的点，其幅值条件为：
K
sz
i 1 n i 1
m
i
s p
1 K
s p sz
4
j1
法则4、实轴上的根轨迹
实轴上某一区段，若其右边开环实数零、极点 个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。
例 已知开环传递函数，根据法则四确定实轴上的根轨迹。 K ( s 1)( s 4)( s 6) G ( s) H ( s) s 2 ( s 2)( s 3) 2 第一步：在图上标出零极点的位置
例：判断给定的某一点是否为根轨迹点的步骤
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹法的基本概念
4.2 常规根轨迹的绘制法则
4.4 广义根轨迹
4.5 系统性能的分析
4.2 常规根轨迹的绘制法则
8条法则绘制常规根轨迹 （常规根轨迹：开环系统的开环增益K*由0→∞变化时,闭环特 征方程式D(s)的根在s平面变化的轨迹）
第一步：计算开环传递函数的极点 和零点:
p1 0, p2 1, p3 5
z 4
第二步：因为n=3,m=1,所以存在?条渐近线 n-m=2条渐近线。
例 已知开环传函 G(s) H (s)
近线的表达形式。
K (0.25s 1) ，根据法则三条写出渐 s(s 1)(0.2s 1)
j
s平面
表示两重极点
6 5
4 3 2
1
o

第二步：根据法则四（实轴上某一区段，若其右边开环实数零、 极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹）确定实轴上的 根轨迹
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
例 已知 G ( s) H ( s)
K ，根据前四条法则绘制根轨迹 s ( s 2)
。
第一步：计算开环零极点： p1 1, p2 2 第二步：根据法则一确定？条根轨迹
n 2，m 0
共有2条根轨迹
第三步：根据法则二知道？条终止在开环零点， 有 ？条根轨迹终止于无穷远处 没有终止在开环零点的根轨迹, 有2条终止于 无穷远处的根轨迹
例 已知 G ( s) H ( s)
K ，根据前四条法则绘制根轨迹 s ( s 2)
。Байду номын сангаас
第四步：根据法则三写出渐近线的形式:
渐近线与实轴交点
a
n m
p z
i 1 i j 1
i
nm

2 0 1 20
渐近线与实轴正方向的夹角
k 0, a 900 (2k 1)180 a = k 1, a -90 nm
i i 1 j 1 n j
m
1
根轨迹的分支数等于开环极点数n和开环零点数m 中的较大者：max(n,m)； 根轨迹对称于实轴。
法则2 根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点； 若开环零点数m少于开环极点个数n，则只有m条终 止在开环零点, 另外有 n- m条根轨迹终止于无穷远处。
( s) C (s) G(s) M (s) R ( s ) 1 G ( s ) D( s )
判别系统稳定性方法有： 解析法： 第三章介绍的劳斯判据 根轨迹法：本章介绍 频域法： 第五章介绍
区分开环增益与根轨迹增益的概念
① 当开环传递函数写为“标准因子”形 式
( 1s 1)( 2 s 2 2 2 s 1) ( i s 1) G(s) K (T1s 1)(T2 s 2 2 T2 s 1) (T j s 1)
第三步：写出渐近线的形式: ① 渐近线与实轴的夹角:
K ( s 4) G ( s) H ( s) s( s 1)( s 5)
(2k 1)180 k 0, a 90 , k 1, a 270 a nm 1） K的个数等于n-m的数值；
2） K的取值顺序为：0，1，-1，2，-2，„„； ②渐近线与实轴的交点:
当K从0→∞变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连续曲线
根 S1= - 4 + 16 K S2= - 4 - 16 K
K
0 0 -8
0 → 16 0 →- 4 - 8→- 4
不等实根
16 16 →∞ - 4 - 4+j K1 16 - 4 - 4-j K1 16
重 根
共轭复根 两根对称
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
此时的K 2K为开环增益
*
注意：求根轨迹增益时，开环传递函数必须写为零极点形式
第二步：写出特征方程及特征根的形式
8K s2 + 8s+ K = 0 s = -4 16 - K D s = 1 G( s) 1 1,2 s(s 8) s(s 8)
法则1、根轨迹的分支数和对称性 法则2、根轨迹的起点和终点 法则3、根轨迹的渐近线 法则4、根轨迹在实轴上的分布 法则5、根轨迹的分离点与分离角 法则6、根轨迹的起始角和终止角 法则7、根轨迹与虚轴的交点 法则8、闭环特征方程根之和与根之积
法则1、根轨迹的分支数和对称性
根轨迹方程：
K
(s z ) (s p )
a＝
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
例 已知开环传函 G(s) H (s)
近线的表达形式。
K (0.25s 1) ，根据法则三条写出渐 s(s 1)(0.2s 1)
注意：首先观察开环传递是否为零极点的形式，如不是，则需 要将开环传递函数化为零极点的形式
K (0.25s 1) K ( s 4) G(s) H (s) s(s 1)(0.2s 1) s( s 1)( s 5)
2.计算渐近线的条数： n-m=3条渐近线。
3.渐近线与实轴交点：
p z (0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 ＝
i 1 i j 1 j a
n
m
s平面
j1
nm
4 1
3
5 3
4.渐近线与实轴正方向的夹角：
k 0, a 600 (2k 1)180 a = k 1, a 180 nm k -1, a -60