讲树及叉树的顺序存储
信息技术奥赛辅导树与二叉树
D. (k+1)/2
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满二叉树和完全二叉树 一般应用顺序存储结构 进行数据的存储。
对于非满二叉树，会有 某些编号没有对应的结 点（通常称为“虚结 点”），通常可以用特 殊标记符号（例如：#） 表示虚结点，将树转换 为满二叉树进行存储。
a
b
c
d ef g
hi
j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 abcdef g###h##i j
现实世界中，能用树的结构表示的例子： 学校的行政关系（P31）、书的层次结构（P32）、人类的家 族血缘关系等。
2
例：下图是一个有13个结点的树，其中A是 根，其余结点为分三个互不相交的子集： T1＝{B,E,F,K,L} T2＝{F,G} T3＝{D,H,I,J,M} T1、T2和T3都是 根A的子树。
二叉树是一种很有用的非线性结构。
二叉树具有以下两个特点： （1）非空二叉树只有一个根结点； （2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称
为该结点的左子树与右子树。
5
6 6
二叉树的性质：
性质1：在任意一棵二叉树中，度为0的结点（即
叶子结点）总是比度为2的结点多一个。
例子1：某二叉树中度为2的结点有18个，则该二 叉树中有 19 个叶子结点。
满二叉树是指除最后一层外，每一层上的所有结点都有
两个子结点。
完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层
上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边 的若干结点。 注意：满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满 二叉树。
若一棵完全二叉树的结点数n为偶数，则叶子结点 数为结点数除以2（即：n/2），若结点数为奇数，则 叶子结点数为结点数加一再除以2（即：（n+1）/2） 10
树的四种存储表示方法
树的四种存储表示方法
树是一种常见的数据结构，由节点和边组成，节点之间的关系是层级的。
树的存储方式有四种，分别是双亲表示法、孩子兄弟表示法、双向链表表示法和数组表示法。
1. 双亲表示法
双亲表示法是指每个节点都有一个指向其父节点的指针，根节点的指针为null。
这种表示法简单易懂，但是查找父节点比较麻烦。
2. 孩子兄弟表示法
孩子兄弟表示法是指每个节点都有指向其第一个孩子节点和下
一个兄弟节点的指针。
这种表示法可以方便地查找子节点和兄弟节点，但是查找父节点比较麻烦。
3. 双向链表表示法
双向链表表示法是指每个节点都有指向其父节点、第一个子节点和下一个兄弟节点的指针。
这种表示法可以方便地查找父节点、子节点和兄弟节点。
4. 数组表示法
数组表示法是指将节点存储在一个数组中，每个节点的位置和数组下标一一对应。
这种表示法可以方便地查找父节点、子节点和兄弟节点，但是浪费空间，因为如果树的深度不够大，数组中会存在大量的空节点。
以上四种树的存储表示方法各有利弊，根据具体情况选择最合适的方法可以提高程序的效率。
数据结构与算法系列研究五——树、二叉树、三叉树、平衡排序二叉树AVL
数据结构与算法系列研究五——树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL⼀、树的定义树是计算机算法最重要的⾮线性结构。
树中每个数据元素⾄多有⼀个直接前驱，但可以有多个直接后继。
树是⼀种以分⽀关系定义的层次结构。
a.树是n(≥0)结点组成的有限集合。
{N.沃恩}(树是n(n≥1)个结点组成的有限集合。
{D.E.Knuth})在任意⼀棵⾮空树中：⑴有且仅有⼀个没有前驱的结点----根(root)。
⑵当n>1时，其余结点有且仅有⼀个直接前驱。
⑶所有结点都可以有0个或多个后继。
b. 树是n(n≥0)个结点组成的有限集合。
在任意⼀棵⾮空树中：⑴有⼀个特定的称为根（root）的结点。
⑵当n>1时，其余结点分为ｍ（ｍ≥0）个互不相交的⼦集T1，T2，…，Tm。
每个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（subtree）树的固有特性---递归性。
即⾮空树是由若⼲棵⼦树组成，⽽⼦树⼜可以由若⼲棵更⼩的⼦树组成。
树的基本操作1、InitTree(&T) 初始化2、DestroyTree(&T) 撤消树3、CreatTree(&T,F) 按F的定义⽣成树4、ClearTree(&T) 清除5、TreeEmpty(T) 判树空6、TreeDepth(T) 求树的深度7、Root(T) 返回根结点8、Parent(T,x) 返回结点 x 的双亲9、Child(T,x,i) 返回结点 x 的第i 个孩⼦10、InsertChild(&T,&p,i,x) 把 x 插⼊到 P的第i棵⼦树处11、DeleteChild(&T,&p,i) 删除结点P的第i棵⼦树12、traverse(T) 遍历树的结点：包含⼀个数据元素及若⼲指向⼦树的分⽀。
●结点的度: 结点拥有⼦树的数⽬●叶结点: 度为零的结点●分枝结点: 度⾮零的结点●树的度: 树中各结点度的最⼤值●孩⼦: 树中某个结点的⼦树的根●双亲: 结点的直接前驱●兄弟: 同⼀双亲的孩⼦互称兄弟●祖先: 从根结点到某结点j 路径上的所有结点（不包括指定结点）。
5(选讲)树和二叉树解析
树。所以树的定义是递归的 。
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2．树的基本术语
树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。
1. 树的结点:包含一个DE和指向其子树的所有分支; 2. 结点的度:一个结点拥有的子树个数,度为零的结点称为叶结点; 3. 树的度:树中所有结点的度的最大值 Max(D(I)) 含义:树中最大分支数为树的度; 4. 结点的层次及树的深度:根为第一层,根的孩子为第二层,若某结 点为第k层,则其孩子为k+1层. 树中结点的最大层次称为树的深度或高度 5.森林:是m(m>=0)棵互不相的树的集合 森林与树概念相近,相互很容易转换. 6 .有序树、无序树 如果树中每棵子树从左向右的排列拥有一定的 顺序，不得互换，则称为有序树，否则称为无序树。
广度优先（按层次）遍历定义为：先访问第一层结点（即树根结点）， 再从左至右访问第二层结点，依次按层访问 ……，直到树中结点全部被 访问为止。对图6-6 (a)中的树进行按层次遍历得到树的广度优先遍历序 列为：ABCDEFG。 说明： ① 前序遍历一棵树恰好等价于前序遍历该树所对应的二叉树。（6.2 节将介绍二叉树） ② 后序遍历树恰好等价于中序遍历该树所对应的二叉树。
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树的先序遍历算法描述如下： void Preorder(Btree *root) { if (root!=NULL) {printf(“%c\n”,root->data); //访问根结点 //先根遍历k叉树
for(i=0;i<k;i++)
preorder(root->t[i]); //递归前序遍历每一个子结点 }
祖父 家族关系表示： R={<祖父，伯父>,<祖父，父亲>，<祖父，叔父>， <伯父，堂兄>,<伯父，堂姐>，<父亲，本人>， <叔父，堂弟>,<堂兄，侄儿>}
二叉树的储存结构的实现及应用
二叉树的储存结构的实现及应用二叉树是一种常见的数据结构，它在计算机科学和算法设计中广泛应用。
二叉树的储存结构有多种实现方式，包括顺序储存结构和链式储存结构。
本文将从这两种储存结构的实现和应用角度进行详细介绍，以便读者更好地理解二叉树的储存结构及其在实际应用中的作用。
一、顺序储存结构的实现及应用顺序储存结构是将二叉树的节点按照从上到下、从左到右的顺序依次存储在一维数组中。
通常采用数组来实现顺序储存结构，数组的下标和节点的位置之间存在一定的对应关系，通过数学计算可以快速找到节点的父节点、左孩子和右孩子。
顺序储存结构的实现相对简单，利用数组的特性可以迅速随机访问节点，适用于完全二叉树。
1.1 实现过程在采用顺序储存结构的实现中，需要首先确定二叉树的深度，然后根据深度确定数组的长度。
通过数学计算可以得到节点间的位置关系，初始化数组并按照规定的顺序将二叉树节点逐一填入数组中。
在访问二叉树节点时，可以通过计算得到节点的父节点和子节点的位置，从而实现随机访问。
1.2 应用场景顺序储存结构适用于完全二叉树的储存和遍历，常见的应用场景包括二叉堆和哈夫曼树。
二叉堆是一种特殊的二叉树，顺序储存结构可以方便地实现它的插入、删除和调整操作，因此在堆排序、优先队列等算法中得到广泛应用。
哈夫曼树则是数据压缩领域的重要应用，通过顺序储存结构可以有效地构建和处理哈夫曼树，实现压缩编码和解码操作。
二、链式储存结构的实现及应用链式储存结构是通过指针将二叉树的节点连接起来，形成一个类似链表的结构。
每个节点包含数据域和指针域，指针域指向节点的左右孩子节点。
链式储存结构的实现相对灵活，适用于任意形态的二叉树，但需要额外的指针空间来存储节点的地址信息。
2.1 实现过程在链式储存结构的实现中，每个节点需要定义为一个包含数据域和指针域的结构体或类。
通过指针来连接各个节点，形成一个二叉树的结构。
在树的遍历和操作中，可以通过指针的操作来实现节点的访问和处理，具有较高的灵活性和可扩展性。
数据结构答案第5章
第 5 章树和二叉树1970-01-01第 5 章树和二叉树课后习题讲解1. 填空题⑴树是n（n≥0）结点的有限集合，在一棵非空树中，有（）个根结点，其余的结点分成m（m＞0）个（）的集合，每个集合都是根结点的子树。
【解答】有且仅有一个，互不相交⑵树中某结点的子树的个数称为该结点的（），子树的根结点称为该结点的（），该结点称为其子树根结点的（）。
【解答】度，孩子，双亲⑶一棵二叉树的第i（i≥1）层最多有（）个结点；一棵有n（n>0）个结点的满二叉树共有（）个叶子结点和（）个非终端结点。
【解答】2i-1，(n+1)/2，(n-1)/2【分析】设满二叉树中叶子结点的个数为n0，度为2的结点个数为n2，由于满二叉树中不存在度为1的结点，所以n=n0+n2；由二叉树的性质n0=n2+1，得n0=(n+1)/2，n2=(n-1)/2。
⑷设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，该二叉树的结点数可能达到的最大值是（），最小值是（）。
【解答】2h -1，2h-1【分析】最小结点个数的情况是第1层有1个结点，其他层上都只有2个结点。
⑸深度为k的二叉树中，所含叶子的个数最多为（）。
【解答】2k-1【分析】在满二叉树中叶子结点的个数达到最多。
⑹具有100个结点的完全二叉树的叶子结点数为（）。
【解答】50【分析】100个结点的完全二叉树中最后一个结点的编号为100，其双亲即最后一个分支结点的编号为50，也就是说，从编号51开始均为叶子。
⑺已知一棵度为3的树有2个度为1的结点，3个度为2的结点，4个度为3的结点。
则该树中有（）个叶子结点。
【解答】12【分析】根据二叉树性质3的证明过程，有n0=n2+2n3+1（n0、n2、n3分别为叶子结点、度为2的结点和度为3的结点的个数）。
⑻某二叉树的前序遍历序列是ABCDEFG，中序遍历序列是CBDAFGE，则其后序遍历序列是（）。
【解答】CDBGFEA【分析】根据前序遍历序列和后序遍历序列将该二叉树构造出来。
叉树的存储结构(顺序二叉三叉)
插入和删除操作只需修改指针，时间复杂度较低。
查找操作的比较
顺序存储结构
查找操作需要从根节点开始逐层遍历，时间 复杂度较高。
链式存储结构
由于节点之间通过指针连接，查找操作可以 更快地定位到目标节点，时间复杂度较低。
PART 06
总结
叉树存储结构的重要性
高效的数据存储
叉树的存储结构能够高效地存储 大量数据，并且能够快速地访问、
修改和删除节点。
方便的算法实现
叉树的存储结构为算法的实现提供 了便利，例如二叉搜索树、堆排序 等算法可以在叉树存储结构上实现。
灵活的数据结构
叉树的存储结构可以根据实际需求 进行选择，例如顺序存储结构和链 式存储结构，以满足不同的应用场 景。
顺序存储结构和链式存储结构的适用场景选择
顺序存储结构
适用于节点数量固定且内存空间充足的场景 ，可以快速地访问任意节点，但插入和删除 操作需要移动大量节点，时间复杂度较高。
通过紧凑的存储结构，叉树的存储结 构可以减少空间浪费，从而更有效地 利用存储空间。
支持高效算法
叉树的存储结构可以支持高效的算法 实现，例如遍历、查找、插入和删除 等操作。
PART 02
顺序存储结构
顺序存储结构的定义
• 顺序存储结构是指将叉树中的节点按照某种顺序（如层序或按 值）连续地存储在数组中。每个节点在数组中的位置与其在叉 树中的位置相对应。
顺序存储结构的优缺点
存储空间利用率高
节点在数组中的位置与其在叉树 中的位置一一对应，因此不需要 额外的指针或链接来存储节点之 间的关系。
随机访问速度快
由于节点在数组中是连续存储的 ，因此可以通过索引直接访问任 意节点，速度较快。
树和二叉树的知识点总结
树和二叉树的知识点总结一、树的基本概念1. 树的定义：树是一种非线性数据结构，由 n（n>=1）个结点组成的有限集合。
对于每个非终端节点，都有一个被称为根的结点，且除根节点外，其他结点可以分为 m（m>=0）个互不相交的子集合，而每个子集合本身又是一个树。
2. 树的基本特点：树是一种分层数据的抽象模型，具有层级关系的数据结构。
树的结点包括根结点、子节点、叶子结点、父节点等。
3. 树的术语解释：树的根节点是树的顶端结点，没有父节点；子节点是一个结点向下连接的结点；叶子结点是没有子节点的结点；父节点是有一个或多个子节点的结点。
二、树的分类1. 二叉树：一种特殊的树，每个结点最多有两个子结点，分别为左子结点和右子结点。
二叉树的子树有左子树和右子树，必须遵循左子树 < 根节点 < 右子树的顺序。
2. 平衡树：每个结点的左子树和右子树的高度之差不能超过1的二叉树。
3. 满二叉树：每个结点要么没有子节点，要么有两个子节点的二叉树。
4. 完全二叉树：除了最底层，所有层的结点数都达到最大，并且最底层的结点都依次从左到右排列。
三、二叉树的基本概念1. 二叉树的特点：每个结点最多有两个子结点，分别为左子结点和右子结点。
二叉树的子树都遵循左子树 < 根节点 < 右子树的顺序。
2. 二叉树的遍历：分为前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历先访问根节点，再递归左右子树；中序遍历先递归左子树，再访问根节点，最后递归右子树；后序遍历先递归左右子树，最后访问根节点。
3. 二叉树的存储：二叉树的存储方式可以采用链式存储和顺序存储。
链式存储是通过结点间的指针链接，顺序存储是通过数组或列表进行存储。
四、二叉树的应用1. 二叉搜索树：是一种特殊的二叉树结构，对于任意节点，其左子树上的结点值都小于该节点的值，右子树上的结点值都大于该节点的值。
2. 堆：是一种特殊的完全二叉树，分为最大堆和最小堆。
最大堆的每个结点的值都大于或等于其子节点的值，最小堆的每个结点的值都小于或等于其子节点的值。
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第8讲树的定义和二叉树的顺序存储
重点：二叉树的性质、顺序存储
难点：二叉树性质的应用
一、树的定义和和基本术语
1．定义
树是n个结点的有限集。
在任意一棵非空树中，
（1）有且仅有一个称为根的结点。
（2）其余的结点被分为若干个互不相交的有限集，每个集合又是一棵树，称为该树的子树。
2．树的表示法
图示法
广义表表示法
集合表示法
缩进表示法
3．结点的分类
终端结点和非终端结点
根、叶子、分支
双亲、孩子、祖先、子孙、兄弟、堂兄弟4．度
结点的度
树的度
5．深度（高度/层数）
结点深度
树的深度
6．有序树与无序树
7．有向树与无向树
8．n元树：度为n
(d) 缩进表示法
图5.1 树的几种表示法
9．位置树：有序树，每个结点位置固定 *10．m 叉树：m 元位置树 11．森林：多个树构成。
**12．结论：n 个结点的树中一定有n-1条边！！！ e=n-1
二、二叉树的性质
1．二叉树的定义
二叉树或者为空，或者是由一个根结点和两个互不相交的分别称为左子树和右子树的二叉树构成。
2．二叉树的五种形态
3．二叉树性质
性质1：在二叉树的第i 层上至多有2i-1个结点。
性质2：深度为k 的二叉树至多有2k -1结点。
**性质3：在二叉树中，叶子结点总数总比度为2的结点总数多一个。
n0=n2+1 证明：
设n1和n 为度为1的结点总数和整个结点总数。
则，n0+n1+n2=n （1） 又 n1+n2*2=n-1 (2) 作差并整理，得 n0=n2+1 证毕
(a) 满二叉树 (b) 完全二叉树 图5.5 满二叉树与完全二叉树
满二叉树和完全二叉树
下面的性质均以完全二叉树为前提!!!
性质4：有n个结点的完全二叉树的深度为log2n +1。
2k-1-1≤n≤2k-1
（略）
性质5：对于完全二叉树，双亲i/2，左孩子2i，右孩子2i+1。
性质6：对于完全二叉树，结点个数为偶数时，n1=1，否则n1=0。
性质7：对于完全二叉树，编号大于n/2的均为叶子结点。
例，已知一棵完全二叉树中有723个结点，问
（1）树的高度？
（2）最后两层上各有多少个结点？
（3）n0、n1、n2各是多少？
解：（1）log2723 +1= log2512 +1=10
（2）第9层有：29-1=256个，第10层上有：723-（29-1）=723-511=212 （3）n1=0, n2=361 , n0=362 (n0=n2+1)
三、二叉树的顺序存储
利用一维数组将二叉树按完全（满）二叉树的形状存储，注意虚结点。
○
○
○
○
○
1．类型定义
#define VirNode ‘‘ /* 用空格符描述“虚结点” */ #define MAXSIZE 64
typedef char ElemType;
typedef ElemType SqBitTree[MAXSIZE];
0号单元存结点总数（满二叉树），（有时也存高度）
2．基本操作实现
（1）建立二叉树
void crebitree(SqBitTree BT,int n) /* n为二叉树真实结点数*/
{ int i,j,m;
i=1; m=0;
while(m<n)
{ for(j=i;j<2*i;j++)
{ scanf("%c",BT+j);
if(BT[j]!=VirNode) m++;
}
i=2*i;
}
BT[0]=i-1;
}
（2）层次遍历（输出）
void levellist(SqBitTree BT)
{ int i,j;
i=1;
while(i<=BT[0])
{ for(j=i;j<2*i;j++)
if(BT[j]==VirNode) printf("*");
else printf("%c",BT[j]);
printf("\n");
i*=2;
}
}
（3）求二叉树的高度
int high(SqBitTree BT)
{ int h=0,i;
i=1;
while(i<=BT[0])
{ h++;i*=2;}
return h;
}
（4）交换所有结点的左右子树
void exchlr(SqBitTree BT)
{ int i,m,n;ElemType t;
i=2;
while(i<BT[0])
{ for(m=i,n=2*i-1;m<n;m++,n--)
{ t=BT[m];BT[m]=BT[n];BT[n]=t;}
i*=2;
}
}
（5）统计各类结点的数目（n0,n1,n2）
int countleaf(SqBitTree BT)
{ int i,n=0;
for(i=1;i<=BT[0]/2;i++)
if(BT[i]!=VirNode&&BT[2*i]==VirNode&&BT[2*i+1]==VirNode) n++;
for(;i<=BT[0];i++)
if(BT[i]!=VirNode) n++;
return n;
}
int countn1(SqBitTree BT)
{ int i,n=0;
for(i=1;i<=BT[0]/2;i++)
if(BT[i]!=VirNode&&(BT[2*i]==VirNode&&BT[2*i+1]!=VirNode||
BT[2*i]!=VirNode&&BT[2*i+1]==VirNode))
n++;
return n;
}
int countn2(SqBitTree BT)
{ int i,n=0;
for(i=1;i<=BT[0]/2;i++)
if(BT[i]!=VirNode&&BT[2*i]!=VirNode&&BT[2*i+1]!=VirNode)
n++;
return n;
}
main()
{ SqBitTree T;int n;
clrscr();
crebitree(T,5); （见右侧图）
levellist(T);
printf("High=%d\n",high(T));
exchlr(T);
levellist(T);
printf("n2=%d\n",countn2(T));
getch();
}
作业：查找值为x的第一个结点，并输出其双亲结点和孩子结点的值。