初中数学竞赛 知识点和真题 第18讲 四点共圆

第18讲 四点共圆
……对数学之美的感觉，对数与形之和谐的感
觉，对几何学之优雅的感觉。

这是一种所有数学家都
深知的真正的美感。

而这就是一种敏感性。

——庞加莱
知识方法扫描
“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.
证明四点共圆常常利用以下一些方法思考：
(1) 要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等．特别是先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角；此外若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆．
(2) 若两线段AB ，CD 相交于E 点，且AE·EB=CE·ED ，则A ，B ，C ，D 四点共圆；若相交直线PA ，PB 上各有一点C ，D ，且PA·PC=PB·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆．
共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介．
经典例题解析
例1．在锐角△ABC 中，以BC 为直径作圆与BC 边上的高AD 及其延长线交于M ，N 。

以AB 为直径作圆与AB 边上的高CF 及其延长线交于P ，Q 。

求证：M ，P ，N ，Q 四点共圆。

证明 连接BM ，MC ，在Rt △BMC 中，∠BMC ＝90°，
MD ⊥BC ，故BM 2＝BD ·BC 。

即 BM ＝BN ＝BC BD ⋅，同理 BP ＝BQ ＝BA BF ⋅.
因为∠AFC ＝∠ADC ＝90°，故A ，F ，D ，C 四点共
圆。

由割线定理，得 BD ·BC ＝BF ·BA 。

故BM ＝BN ＝BP ＝BQ 。

于是，M ，N ，P ，Q 四点同在以B 为圆心、BM 为半
径的圆上，即M ，N ，P ，Q 四点共圆。

例2．(1994年哈尔滨市初中数学竞赛试题)如图,ΔABC, D 是BC 上一点, DE ∥AC 交AB 于E, DF ∥AB 交于F, 过D 作EF 的垂线交于EF 于G , 交ΔABC 的外接圆于D′, DG ＝D′G , CD′与EF 交于H 。

求证：（1）C 、D 、H 、F 四点共圆；
(2)AB ＝AC.
证明 如图，（1）连接AD 、DF 、DH, 依题意, AEDF 是平行四边形. 作AK ⊥EF, K 为垂足, 则AK ∥D′G , AK= D′G ∴AD ∥FE.
又AE ∥DF, ∴∠DFE ＝∠FEA ＝∠EAD′＝∠D′CB,∴C 、D 、H 、F 四点共圆.
(2) ∵C 、D 、H 、F 四点共圆，∴∠FCH ＝∠FDH,
∵D ′是D 关于直线的EF 的对称点，∴∠FDH ＝∠FD′H, FD ＝FD′,
∴∠FCH ＝∠FD′H, ∴FC ＝FD′＝FD,
∵FD ∥AB, ∴FC
AC FD AB =, 故AB ＝AC. 例3．(第27届莫斯科数学奥林匹克)A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.
求证：O ，O 1，O 2，O 3四点共圆. 证明 将O ，O 1，O 2，O 3两两相连，并连接AO 2， BO 3.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA.
观察△OBC 及其外接圆，立得 ∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB . 观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=2
1∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1⇒O ，O 1，O 2，O 3共圆.
评注 利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆.
例4．（第二届“袓冲之杯”初中数学竞赛试题）在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM =∠CBK .求证：∠DMA ＝∠CKB .
证明 ∵∠DAM =∠CBK ，∴A ，B ，M ，K 四点共圆. 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .
∵AB ∥DC ，故∠DAB +∠ADC ＝180°，
∴∠CMK +∠KDC ＝180°.
故C ，D ，K ，M 四点共圆，于是∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ，∴∠DMA ＝∠CKB .
例5．（1980年哈尔滨初中数学竞赛题）如图，在△ABC 中，BD 、CE 为高，F 、G 分别为ED 、BC 的中点，O 为外心，求证：AO ∥FG .
证明 过A 作⊙O 的切线AT. 连接DG 、EG 。

∵BD 、CE 为高，∴B 、C 、D 、E 四点共圆.
∴∠TAC=∠ABC=∠ADE 。

∴AT ∥ED.又AO ⊥AT ， ∴AO ⊥ED.
A B C O
O O O 123？？A B C D K M ··
又∵G 为BC 中点，∴DG=12
BC=EG 。

而EF=DF ，∴FG ⊥ED.故AO ∥FG . 例6．如图，⊙O 的弦AB 和CD 相交于K ，过弦AB ，CD 的两端的切线分别相交于P ，Q ．求证：OK ⊥
PQ.
证明 连OP ，OQ 分别交AB ，CD 于M ，N ，再连OA ，OD ，MN ，并延长OK 交PQ 于H.因PA ，PB 切⊙O 于A,B ，故OA ⊥PA,OP ⊥AB 。

于是OA 2= O M ·OP, 同理OD 2= O N ·OQ ，∴OA= OD ，
∴OM·OP=ON·OQ ，故 M ，N ，Q ，P 四点共圆，
=∠∴OMN +∠∴︒=∠=∠∠OMB ONK OMB OQP ,90. 180.ONK ∠=︒ 故 O ，N ，K ，Q 四点共圆，所以,OKN OMN ∠=∠且,OQP OKN ∠=∠ 所以 N ，K ，H ，Q 四点共圆，⋅⊥∴︒=∠=∠∴PQ OK OHQ ONK ,09
例7．（2002年全国初中数学联赛试题B 卷）如图，等腰△ABC 中，P 为底边BC 上任意一点，过P 作两腰的平行线分别与AB ，AC 相交于Q ，R 两点，又P ′是P 关于直线RQ 的对称点。

证明：P ′在△ABC 的外接圆上。

证明 如图，连接P'B 、P'C 、P'Q 、P'R 、P'P ．
∵PQ ∥AC ，∴QP =QB ．
又∵P 、P'关于QR 对称，∴QP =QP'. 有P'Q=QP=QB ．故Q 为△P'BP 的外心，同理，R 为△P'PC 的外心，
)'180(2'2'PC P PB P QB P ∠-=∠=∠
R P C PR P PC P ∠-∠-∠-=''360
PCR R PP PC P ∠-∠-∠-=''360 ,'RC P ∠=。