第二章传递函数
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第二章 传递函数
5. 振荡环节
nt
第二章 传递函数
常见振荡环节的实例： (1) 机械位移系统 Y(s) 1 G(s)= F(s) = ms2+fs+k (2) 他激直流电动机 1/Ce N(s) G(s)= U(s) = T T s2+T s+1 a m m (3) RLC电路 Uc(s) 1 G(s)= U (s) = LCs2+RCs+1 r
Δ
0
1 R(s)= S
t C(s)= TS ·1 S G(s) =RC s
第二章 传递函数
液位系统 d[h0+h(t)] =[qi0+qi(t)]-[qo0+qo(t)] A dt qi—流入箱体 平衡时：qi0=qo0 其中: 流量增量 qi0 +qi 故 qi0—流入箱体 dh(t)流出箱体 qo =q (t)-q A dt — 的流量 o(t) i 流量增量 qoh—液面高度 (t)的流量公式 h0+h o0—流出箱体 的流量 增量 qo(t)=a h(t) qo0+qo A—dh(t) 箱体面积 h0—液面高度 +a h(t) 得: A 根据物料平衡关系=qi(t) dt
实例
水位控制系统
V1
θo
控制阀
浮球
RPB Q1 UB H 水箱 V2 Q2用水量
RPA
K1
变速箱
θm
伺服电动机
UA 控 制 器 放 大 器
△U
Ua
SM
第二章 传递函数
1 c(t)=1- e Sin(ω 2 单位阶跃响应： 微分方程： 2 dt+β) 2 ωn T 1-ζ G(s) = 2 d2c(t) ζ ζ 1 dc(t) = S2+2ζ ω n S+ω n2 2 2 S + 单位阶跃响应曲线 = r(t) S+ T +2T T 2 + c (t) 2 T dt dt 1 r(t) —无阻尼自然振荡频率 ωn = c(t) ζ — 阻尼比 T — 时间常数 T c(t) 1 振荡环节方框图 传递函数： r(t) R(S) C(s) ωn2 1 C(S) = 2 22 G(s) = R(s)+2ξω S+ω + 2T ζ S+ 1 2 TS n n 0 S t
第二章2传函
n
n 1
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初 始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系 统传递函数为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm Y ( s) G ( s) n n 1 R( s) a0 s a1s an1s an
d Cm lim ( s s1 ) F ( s ) Cm 1 lim [( s s1 ) m F ( s )] s s1 s s1 ds
m
Cm j
1 dj lim j [( s s1 ) m F ( s )] j! s s1 ds
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [( s s1 ) m F ( s )] (m 1)! s s1 ds f (t ) L1[ F ( s )] Cm Cm 1 m 2 m 1 [ t t (m 1)! (m 2)! C2t C1 ]e s1t
线性微分方程
性能指标
傅 氏 变 换
拉氏变换
传递函数 S=jω
频率特性
计算
频率响应
拉氏反变换
按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分 式法计算：
F (s )
分解
部分分式
查表
原函数
F (s ) 的一般形式为 B ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm F (s) n A( s ) s a1s n 1 an 1s an
Uo ( s) [例] 求如图所示电路的传递函数 U i ( s )
C i1 R1 i2 R2
[解]：解法一：列出回路电压方程和输 出节点方程
1 i1dt R1i1 R1i2 ui R2 i2 uO
第2章(3) 系统传递函数
特点：输出滞后于输入，但不失真。
例 4：
U o ( s) RCs Ts G( s) U i (s) 1 RCs Ts 1
5．一阶超前环节 （一阶微分环节）
i (t ) xi (t ) xo (t ) 微分方程： Tx
传递函数： G( s) Ts 1 时间响应：
单位阶跃响应 1 0
单位斜坡响应 t
（3）一切物理系统都有n≥m 3．传递函数的物理意义 传递函数是系统单位脉冲响应的象函数
xi (t ) (t ) ， X i (s) 1
X o ( s) G( s) X i ( s) G( s)
1 1
xo (t ) L1 [ X o ( s)] L1[G( s)] w(t ) G( s ) L[ w(t )]
§2.2 系统的传递函数
一、传递函数
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
(n m) 作拉氏变换（在零初始条件下） n m (an s a1s a0 ) X o ( s) (bm s b1s b0 ) X i ( s) (n m) 1.定义：
m b s b1s b0 (n m) L[ xo (t )] X o ( s) m G( s) n a s a1s a0 L[ xi (t )] X i ( s) n
2
特征量——
时间常数： T
固有振荡频率： n 1T
阻尼比：
0 1 : 欠阻尼（振荡） 1： 临界阻尼 1 : 过阻尼
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
第二章 传递函数-梅逊公式
第二章 自动控制系统的数学模型
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
2.3 传递函数与系统动态结构图
2.3.1 传递函数的定义
设系统的标准微分方程为
an
dnc(t) dt n
a n1
dn1c(t) dt n 1
……
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
dmr(t) dt m
bm1
d m 1r ( t ) dt m1
……
b1
dr(t) dt
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
方框图： R(S) k/s C(S)
3
传
递
积分调节器：
C
在A点列方程可得：
函 数
Ur(t)
R
i2
i1
A
Uc(t) i2=i1, i1=Uc(t)/R Uc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt
设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt
拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)
5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。
6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。
m
(s z j )
7）传递函数可以写成
G(s)
Kg
j1 n
第二章(3)传递函数
特点：改善系统的动态性能； 增加系统的阻尼，提高系统的稳定性 常被作为校正装置
例 如图所示永磁式直流测速机， 已知 u (t) k di (t) 0 dt U 0 (s ) G ( s ) ks 进行拉氏变换后得 i (s ) d i 则
U 0 (s) k dt (t )
U0(t)
式中，T—振荡环节的时间常数 ζ—阻尼比，对于振荡环节，0<ζ<1 K—比例系数
特点:在一定条件下，具有振荡可能，取决于系统本身的固有特性， 这是因为有两个储能元件，有能量交换，这种能量交换在一定条件下 以振荡方式存在。
只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。
（4）积分环节
如果输出变量正比于输入变量的积分，即 进行拉氏变换得 X 0 (s) k
x 0 ( t ) k x i ( t )dt
G (s) X 0 (s ) k X i (s ) s
则
X i (s) s
特点：系统的输出和输入之间没有唯一对应的关系， 有记忆功能，能提高系统的稳态精度， 系统中的积分环节不能大于2个，否则系统不稳定。
例
如图所示弹簧-阻尼系统。
Xi(t)
kx i (t ) x 0 (t ) D
dx0 (t ) dt
Xo(t)
kX i (s) X o (s) DsXo (s)
D s 1X o (s) X i (s) k
X (s) 1 G (s) 0 X i (s) D s 1 k
i (t)
对于相同量纲的理想微分环节物理上是难以实现的， 电路中常遇到下述的近似微分环节。
i (t ) ——输入转角； 其中， u0(t) ——输出电压。
例 如图所示永磁式直流测速机， 已知 u (t) k di (t) 0 dt U 0 (s ) G ( s ) ks 进行拉氏变换后得 i (s ) d i 则
U 0 (s) k dt (t )
U0(t)
式中，T—振荡环节的时间常数 ζ—阻尼比，对于振荡环节，0<ζ<1 K—比例系数
特点:在一定条件下，具有振荡可能，取决于系统本身的固有特性， 这是因为有两个储能元件，有能量交换，这种能量交换在一定条件下 以振荡方式存在。
只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。
（4）积分环节
如果输出变量正比于输入变量的积分，即 进行拉氏变换得 X 0 (s) k
x 0 ( t ) k x i ( t )dt
G (s) X 0 (s ) k X i (s ) s
则
X i (s) s
特点：系统的输出和输入之间没有唯一对应的关系， 有记忆功能，能提高系统的稳态精度， 系统中的积分环节不能大于2个，否则系统不稳定。
例
如图所示弹簧-阻尼系统。
Xi(t)
kx i (t ) x 0 (t ) D
dx0 (t ) dt
Xo(t)
kX i (s) X o (s) DsXo (s)
D s 1X o (s) X i (s) k
X (s) 1 G (s) 0 X i (s) D s 1 k
i (t)
对于相同量纲的理想微分环节物理上是难以实现的， 电路中常遇到下述的近似微分环节。
i (t ) ——输入转角； 其中， u0(t) ——输出电压。
第二章 2-2传递函数
6
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。
3
为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，
式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系 数（放大系数）。
4
二、传递函数的零、极点
式（2-52）中zj (j=1.2……m)为分子多项式的根，称为传 递函数的零点。 Pi(1.2……n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由 于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数 零极点时，它们必是成对共轭的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式 (2-49)的特 征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程 的特征方程。 在特征方程中，s最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次， 如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。
1
一、传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系 统的传递函数。
若线性定常系统的微分方程为：
在初始条件为零时，对（2-49）进行拉氏变换，得
2
根据传递函数的定义，描述该线性定常 系统的传递函数为：
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示， 输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递 函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条 件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。
§2-2传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数 学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条 件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系 统的动态过程。 但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会 同时变化，不便于对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一 种数学模型 ——传递函数。 它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究 系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。 在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是 在传递函数基础上建立起来的。
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
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RC
duc (t ) dt
uc
(t)
ur
(t)
ur(t)
拉氏变换为：
L
C uc(t)
LCU c (s)s2 RCU c (s)s Uc (s) Ur (s)
传递函数为：
G(s)
Uc (s) Ur (s)
LCs 2
1 RCs
1
六、比例微分环节 （P-D）
定义：环节输出响应既正比于输入信号，也正比 于输入信号对时间的微分。
d2c(t ) dt 2
2n
d dt
c(t )
n2c(t )
n2r(t )
传递函数
G(s)
s2
n2 2n s
n2
式中: ——相对阻尼比(无量纲) n——无阻尼自然频率（s-1）
G(
s)
T
2
s2
1
2
Ts
1
如图RLC电路，求系统传递函数。
解: 系统微分方程为：
i(t) R
LC
d
2uc (t ) dt 2
定义：环节的输出响应正比于输入对时间的积分。
微分方程为 传递函数为 积分器框图
c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
G(s) c(s) 1 r(s) Tis
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
1
U2(s) Cf s 1 1
U1(s)
R1
R1Cf s Ti s
三、纯微分环节
-
R
Uc(s)
I(s) 1 Uc(s) Cs
将方框图连接起来,得出系统的动态结构图。
七、比例积分环节 （P-I）
定义：环节输出正比于输入信号和它对时间的积分。
微分方程
c(t )
K
r
t
1 Ti
t
0
r
t
dt
传递函数
1
G(s)
K
1
Tis
阶跃响应曲线
八 、延迟环节
方框图： R（s） e s C（s）
微分方程： c(t) r(t )
传递函数： C(s) e s R(s)
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率。
微分方程
c(t )
TD
dr(t dt
)
传递函数 G(s) TDs
测速发电机 u(t ) Kt&(t )
U(s)
(s) Kts
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程 T dc(t) c(t) Kr(t)
dt
传递函数 G(s) K
Ts 1
运算放大器
1 U2(s) Rf Cf s U1(s)
Rf
1 Cf s
R1
Rf R1 K RfCf s 1 Ts 1
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的
过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而
最终趋于稳定值。
微分方程
（2）. 组成 ①信号线：带有箭头的直线， 箭头表示信号传递方向，信 U(s) 号线上标信号的原函数或象 函数。
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
R(s)
C(s)
G(s)
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
U(s) U(s)
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
网络的微分方程
ur (t) Ri(t) uc (t)
i(t
)
C
duc (t dt
)
对上式进行拉氏变换，得
Ur (s) Uc (s)
RI(t)
I(s)
1 R Ur (s) Uc(s)
I
(s)
CsUc (s)
Uc(s)
1 Cs
I(s)
绘制上式各子方程的方框图
Ur(s)
Ur(s)-Uc(s) Ur(s)-Uc(s) 1 I(s)
微分方程
c(t )
K
r(t )
TD
dr(t dt
)
传递函数
G(s)
c r
s s
K
1
增 益K足够大时
U2(s)
K
U1(s) 1 1 K
RCs 1
K RCs 1
RCs 1 K
RCs 1 RC s 1 1
KK
RCs 1
s1
阶跃响应曲线
多项式形式
零极点形式
➢只适用于线性定常系统 ➢是在零初始条件下定义的 ➢只表示系统的端口关系
输入输出之 间关系
2. 控制系统的传递函数
➢复数阻抗 （广义欧姆定律）
例： RLC 网络如图，试采用复数阻抗法求取 该网络的传递函数。
解： 传递函数为
电网络系统的传递函数可直 接由复数阻抗写出
例: 有源网络（比例积分PI）如图所示， 求传递函数。
到系统传递函数。
• 2、G S Lht r t t
• 3、运用算子阻抗法（针对电路网络） • 4、框图代数法
4. 系统传递函数的建立
系统的结构图
§2.5 动态结构图
1．结构图的组成 2．结构图的建立 3．结构图的等效变换 4．梅逊公式
1.动态结构图(或称方块图、方框图)
（1）. 定义 动态结构图是表示组成控制系统的各个元 件之间信号传递动态关系的图形。
系统微分方程 初始条件为零时，拉氏变换为
§2.4 传递函数
1. 传递函数的定义 2. 列写传递函数 3. 典型环节的传递函数 4. 系统的传递函数
1.传递函数的定义
在零初始条件下，系统或环节输出信号的 拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，称为系 统或环节的传递函数
则输出的拉氏变换为
➢传递函数的表示形式
• 特点：输出与输入完全相同（大小相同、形状相同），但 输出在时间上有滞后。
• 延迟环节存在于大多数系统中，只是程度问题，延迟大， 则容易造成系统振荡甚至不稳定。
传递函数求取方法
• 1、定义法： （1）、求取系统的时域模型 （2）、在零始条件下进行拉式变换 （3）、求得输出象函数与输入象函数之比，得
U(s)
U(s) B(s)
B(s)
2.结构图的建立
(1) 建立系统各元部件（或典型环节） 的微分方程。
(2) 对各微分方程在零初始条件下进行拉 氏变换，并做出各元部件的方框图。
(3) 按照系统中各变量的传递顺序，依次 用信号线将各元件的方框图连接起来。系 统的输入变量在左端，输出变量（即被控 量）在右端，便得到系统的动态结构图。
解：
3 典型环节的传递函数
一、比例(放大)环节
定义：任何瞬时输出正比于瞬时输入的环节。
其微分方程为
c(t) Kr(t)
比例环节方块图
K为常数，称比例系数或增益。
传递函数为
G(s) K
特点：无超前，无滞后，响应及时，无惯性。
运算放大器：
U2 Rf K
U1
R1
电位器：
U s s
Em
m
K
二、积分环节