中考数学一轮复习 整式及运算

中考一轮复习---整式及运算知识梳理：考点一整式的有关概念1．单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的和．2．单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数．3．多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．考点二整式的运算1．整式的加减(1)同类项与合并同类项所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．(2)去括号与添括号①括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．②括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．(3)整式加减的实质是合并同类项．2．幂的运算同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m、n都是整数)．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a m)n＝a mn(m、n都是整数)．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，即(ab)n＝a n b n(n为整数)．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m、n都为整数) 3．整式的乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.4．整式的除法单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加．5．乘法公式(1)平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2. (2)完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍，即(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2.中考典例精析(1)(2010·台州)下列运算正确的是( ) A ．a·a 2＝a 2 B ．(ab)3＝ab 3 C ．(a 2)3＝a 6 D ．a 10÷a 2＝a 5 (2)(2010·济南)下列各选项的运算结果正确的是( ) A ．(2x 2)3＝8x 6 B ．5a 2b －2a 2b ＝3 C ．x 6÷x 2＝x 3 D ．(a －b)2＝a 2－b 2(3)(2010·眉山)下列运算中正确的是( ) A ．3a ＋2a ＝5a 2B ．(2a ＋b)(2a －b)＝4a 2－b 2C ．2a 2·a 3＝2a 6D ．(2a ＋b)2＝4a 2＋b 2【点拨】(1)题考查幂的四种运算，正确掌握运算法则是关键；(2)、(3)题均从四个方面考查整式的运算，解答此题需要逐项检验．【解答】(1)C (2)A (3)B(1)(2010·红河自治州)如果3x 2n －1y m 与－5x m y 3是同类项，则m 和n 的取值是( ) A ．3和－2 B ．－3和2 C ．3和2 D ．－3和－2(2)(2010·泉州)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x)的值．【点拨】(1)题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2n －1＝m ，m ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. (2)题考查求代数式的值，考虑整体代入思想．【解答】(1)C (2)原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1＝2(y ＋2x)＋1.当y ＋2x ＝1时，原式＝2×1＋1＝3.举一反三：1．下列运算中，正确的是( A ) A ．x 3·x 2＝x 5 B ．x ＋x 2＝x 3C ．2x 3÷x 2＝x D ．(x 2)3＝x 322．下列运算正确的是( C ) A ．a 3·a 4＝a 12 B ．a 6÷a 3＝a 2C ．2a －3a ＝－aD ．(a －2)2＝a 2－4 3．下列运算正确的是( D ) A ．2x 5－3x 3＝－x 2B ．(－2x 2y)3·4x －3＝－24x 3y 3C ．(12x －3y)(－12x ＋3y)＝14x 2－9y 2D ．(3a 6x 3－9ax 5)÷(－3ax 3)＝3x 2－a 54．如果a －3b ＝－3，那么代数式5－a ＋3b 的值是( D ) A ．0 B ．2 C ．5 D ．85．如果代数式4y 2－2y ＋5的值为7，那么代数式2y 2－y ＋1的值等于( A ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．46．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝3，则m ＋n ＝2. 7．化简：(x ＋3)2－(x －1)(x －2)．9x ＋78．先化简，再求值：(2x －1)2－(x ＋2)(x －2)－4x(x －1)，其中x ＝ 3.考点训练：一、选择题(每小题3分，共45分)1．(2010·桂林)下列运算正确的是( ) A ．a 6÷a 2＝a 3 B ．5a 2－3a 2＝2a C ．(－a)2·a 3＝a 5 D ．5a ＋2b ＝7ab 【解析】(－a)2·a 3＝a 2·a 3＝a 5. 【答案】C2．(2010·山西)下列运算正确的是( ) A ．(a －b)2＝a 2－b 2 B ．(－a 2)3＝－a 6 C ．x 2＋x 2＝x 4 D ．3a 3·2a 2＝6a 6 【解析】(－a 2)3＝(－1)3·(a 2)3＝－a 6. 【答案】B3．(2010·黄冈)下列运算正确的是( ) A ．3－1÷3＝1 B.a 2＝aC ．|3.14－π|＝3.14－πD ．(12a 3b)2＝14a 6b 2【解析】(12a 3b)2＝(12)2·(a 3)2b 2＝14a 6b 2.【答案】D4．(2010·昆明)下列各式运算中，正确的是( ) A ．(a ＋b)2＝a 2＋b 2 B.(－3)2＝3C ．a 3·a 4＝a 12D ．(3a )2＝6a 2(a ≠0)【解析】(－3)2＝|－3|＝3.【答案】B5．(2009中考变式题)下列运算正确的是( ) A ．－2(a －b)＝－2a －b B ．－2(a －b)＝－2a ＋b C ．－2(a －b)＝－2a －2b D ．－2(a －b)＝－2a ＋2b 【解析】－2(a －b)＝－(2a －2b)＝－2a ＋2b. 【答案】D6．(2011中考预测题)下列运算正确的是( ) A ．3a ＋2a ＝a 5 B ．a 2·a 3＝a 6C ．(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2D ．(a ＋b)2＝a 2＋b 2【解析】本题考查平方差公式． 【答案】C7．(2009中考变式题)已知一个多项式与3x 2＋9x 的和等于3x 2＋4x －1，则这个多项式是( )A ．－5x －1B ．5x ＋1C ．－13x －1D ．13x ＋1 【解析】3x 2＋4x －1－(3x 2＋9x)＝3x 2＋4x －1－3x 2－9x ＝－1－5x. 【答案】A8．(2009中考变式题)如果单项式－3x 4a －b y 2与13x 3y a ＋b 的差也是单项式，那么这两个单项式的积是( )A ．x 6y 4B ．－x 3y 2C ．－83x 3y 2 D ．－x 6y 4【解析】如果单项式之差为单项式，说明原单项式是同类项，因此(－3x 3y 2)·13x 3y 2＝－x 6y 4.【答案】D9．(2009中考变式题)若a>0且a x ＝2，a y ＝3，则a x－y的值为( )A ．－1B ．1 C.23 D.【解析】因为a>0，所以a x －y ＝a x ÷a y ＝2÷3＝23.【答案】C10．(2009中考变式题)计算(－3)2 009·(13)2 010等于( )A ．－3 B.13 C ．3 D ．－13解析】(－3)2 009×(13)2 010＝(－3)2 009×(13)2 009×13＝[(－3)×13]2 009×13＝(－1)2 009×13＝－1×13＝－13. 【答案】D11．(2010·无锡)下列运算正确的是( ) A ．(a 3)2＝a 5 B ．a 3＋a 2＝a 5 C ．(a 3－a)÷a ＝a 2 D ．a 3÷a 3＝1 【解析】a 3÷a 3＝a 3－3＝a 0＝1. 【答案】D12．(2010·怀化)若x ＝1，y ＝12，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( )A ．2B ．4 C.32 D.12【解析】x 2＋4xy ＋4y 2＝(x ＋2y)2 当x ＝1，y ＝12时，原式＝(1＋2×12)2＝(1＋1)2＝22＝4.【答案】B13．(2011中考预测题)代数式3a 2－4a ＋6的值为9，则a 2－43a ＋6的值为( )A ．7B ．8C ．12D ．9【解析】∵3a 2－4a ＋6＝9，∴a 2－43a ＝1，∴a 2－43a ＋6＝1＋6＝7.【答案】A14．(2011中考预测题)下列各式中，与x 2y 是同类项的是( ) A ．xy 2 B ．2xy C ．－x 2y D ．3x 2y 2【解析】同类项必须满足所含字母相同并且相同字母的指数也相同． 【答案】C15．(2011中考预测题)现规定一种运算：x*y ＝xy ＋x －y ，其中x 、y 为实数，则x*y ＋(y －x)*y 等于( )A ．x 2－yB ．y 2－yC ．y 2D ．y 2－x【解析】x ※y ＋(y －x)※y ＝xy ＋x －y ＋(y －x)·y ＋y －x －y ＝xy ＋x －y ＋y 2－xy ＋y －x －y ＝y 2－y. 【答案】B二、填空题(每小题3分，共24分)16．(2010·遵义)已知a 2－a －1＝0，则a 2－a ＋2 009＝________.【解析】∵a 2－a －1＝0，∴a 2－a ＝1，∴a 2－a ＋2 009＝2 010. 【答案】2 01017．(2009中考变式题)单项式－35m 2n 的系数是______，次数是________．【解析】单项式的次数是所有字母的指数之和．【答案】－35318．(2009中考变式题)若m 、n 互为倒数，则mn 2－(n －1)的值为________． 【解析】若m 、n 互为倒数，则mn ＝1，mn 2－(n －1)＝mn·n －n ＋1＝n －n ＋1＝1【答案】119．(2010·遵义)如图，在宽为30 m 、长为40 m 的矩形地面上修建两条宽都是1 m 的道路，余下部分种植花草．那么，种植花草的面积为________m 2.【解析】(30－1)×(40－1)＝29×39＝1 131.【答案】1 13120．(2010·济宁)若代数式x 2－6x ＋b 可化为(x －a)2－1，则b －a 的值是________【解析】x 2－6x ＋b ＝x 2－6x ＋9＋b －9＝(x －3)2＋b －9，∴a ＝3且b －9＝－1，∴b ＝8，∴b －a ＝8－3＝5.【答案】521．(2010·宁波)若x ＋y ＝3，xy ＝1，则x 2＋y 2＝________. 【解析】x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝32－2×1＝9－2＝7. 【答案】722．(2011中考预测题)用如图所示的正方形和长方形卡片，拼成一个长为3a ＋b ，宽为a ＋2b 的矩形，需要A 类卡片________张，B 类卡片________张，C 类卡片________张．【解析】(3a ＋b)(a ＋2b)＝3a 2＋7ab ＋2b 2【答案】3 7 223．(2010·湖州)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________．【解析】S 甲＝(a －b)(a ＋b)，S 乙＝a 2－b 2，∵S 甲＝S 乙，∴(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2. 【答案】(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2 三、解答题(共31分)24．(5分)(2010·宁德)化简：(a ＋2)(a －2)－a(a ＋1)． 解：原式＝a 2－4－a 2－a ＝－4－a.25．(5分)(2009中考变式题)计算：(a ＋2b)(a －2b)－ 12b(a －8b)． 解：原式＝a 2－4b 2－12ab ＋4b 2＝a 2－12ab.26．(5分)(2010·苏州)先化简，再求值：2a(a ＋b)－(a ＋b)2，其中a ＝3，b ＝ 5.解：2a(a ＋b)－(a ＋b)2＝2a 2＋2ab －a 2－2ab －b 2＝a 2－b 2 当a ＝3，b ＝5时，原式＝(3)2－(5)2＝3－5＝－2.27．(5分)(2009中考变式题)已知x 2－4＝0，求代数式x 2(x ＋1)－x(x 2－1)－x －7的值 解：x 2(x ＋1)－x(x 2－1)－x －7＝x 3＋x 2－x 3＋x －x －7＝x 2－7 当x 2－4＝0即x 2＝4时，原式＝4－7＝－3.28．(5分)(2011中考预测题)先化简，再求值：(3＋m)(3－m)＋m(m －6)－7，其中m ＝12.解：(3＋m)(3－m)＋m(m －6)－7＝9－m 2＋m 2－6m －7＝2－6m 当m ＝12时，原式＝2－6×12＝2－3＝－1.29．(6分)(2011中考预测题)给出三个整式a 2，b 2和2ab. (1)当a ＝3，b ＝4时，求a 2＋b 2＋2ab 的值．(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．解：(1)a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b)2 当a ＝3，b ＝4时，原式＝(3＋4)2＝72＝49 (2)答案不唯一，举例如下：选a 2和2ab ，a 2＋2ab ＝a(a ＋2b)．。