高斯型多维积分公式
高中数学 高斯积分
高中数学高斯积分高斯积分是数学中的一个重要概念，它在高中数学中也是一个常见的考点。
高斯积分是对高斯函数的积分运算。
在解决一些复杂的数学问题时，高斯积分经常发挥着重要的作用。
高斯积分的表达式为∫e^(-x^2)dx，其中e是自然对数的底数，x 为变量。
这个积分在数学中非常有特殊性，它的积分结果不能用有限的初等函数来表示，因此只能用一个特殊的函数来定义，即高斯函数。
高斯积分常常出现在概率论、统计学和量子力学等领域的计算中。
在概率论中，高斯积分被用来计算正态分布的概率密度函数。
在统计学中，高斯积分则用来计算样本均值的概率分布。
在量子力学中，高斯积分是计算波函数的模长平方的重要工具。
高斯积分的计算方法有多种，其中一种常见的方法是使用换元法。
通过适当的变量替换，可以将高斯积分转化为标准的形式，从而简化计算过程。
另外，高斯积分还有一些特殊的性质，比如它是奇函数的积分结果为0，对称轴为x轴的高斯函数的积分结果等于对称轴为y轴的高斯函数的积分结果。
在解决实际问题时，高斯积分也经常被应用。
比如在计算机图像处理中，高斯积分可以用来进行图像的模糊处理。
当我们希望对图像进行模糊处理时，可以通过对图像进行高斯滤波来实现。
高斯积分可以帮助我们计算滤波器的权重，从而得到模糊效果。
除了在数学和应用领域中的重要性，高斯积分还具有一些有趣的性质。
例如，高斯积分在实数轴上的积分结果等于π的平方根。
这个性质不仅令人惊奇，也反映了高斯函数的特殊性。
高斯积分是数学中一个重要的概念，它在高中数学中被广泛应用。
高斯积分的计算方法和应用领域多种多样，包括概率论、统计学和量子力学等。
它在解决实际问题时发挥着重要的作用，同时也具有一些有趣的性质。
对高斯积分的理解和运用，不仅可以提高数学水平，还可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
高斯求积公式
⾼斯求积公式⽬录数值积分考虑带权的积分如下：∫b a f(x)w(x)dx其中w(x)≥0,∫b a w(x)dx>0 称为权。
⼀般的数值积分公式有如下的形式：∫b a w(x)f(x)dx≈n∑i=0w i f(x i)即⽤n+1 个函数值的加权和来近似积分的值。
以x i(i=0,1,⋯,n) 为节点的拉格朗⽇(Langrange)插值多项式为：L n(x)=n∑i=1f(x i)l i(x)l i(x)是拉格朗⽇插值基函数，则：f(x)=L n(x)+R[f],R[f]=1(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)∫b a w(x)f(x)dx=n∑i=0∫b a w(x)l i(x)dx f(x i)+∫b a w(x)R[f]dx⼀般我们取w i=∑n i=0∫b a w(x)l i(x)dx，则数值积分公式的误差就是上式等号右侧的第⼆项，当f(x) 是不超过n次的多项式时，容易看出误差为0。
若数值积分公式对不超过k次的多项式精确成⽴，我们就称它的代数精度为k。
所以上述数值积分公式的代数精度⾄少为n。
数值积分公式中含有n+1 个w i和n+1个x i，共2n+2 个⾃由度，所以可以想象通过适当选取节点x i，它的代数精度最多可以为2n+1 。
我们把具有2n+1 次代数精度的求积公式称为⾼斯求积公(GaussianQuadrature)，其节点x i(i=0,1,⋯,n) 称为⾼斯点。
正交多项式与⾼斯点称多项式p(x),q(x) （带权）正交如果：∫b a w(x)p(x)q(x)dx=0假设以x i(i=0,1,⋯,n) 为零点的多项式p(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n) 与任何不超过n次的多项式正交，由多项式的带余除法可知，对于不超过2n+1次的多项式f(x) ，有不超过n次的多项式q(x),r(x) 使得：f(x)=p(x)q(x)+r(x)那么：∫b a w(x)f(x)dx=∫b a w(x)p(x)q(x)dx+∫b a w(x)r(x)dx=∫b a w(x)r(x)dx=n∑i=0w i r(x i)⼜：()f(x i)=p(x i)q(x i)+r(x i)=r(x i)所以：∫b a w(x)f(x)dx=n∑i=0w i f(x i)通过这种⽅式，我们发现只要选取节点为正交多项式的零点就可以得到⾼斯求积公式。
重积分的高斯积分和狄利克雷积分
重积分的高斯积分和狄利克雷积分重积分是微积分中的重要分支之一，它可以用来求解在三维空间中的体积、质量、重心、转动惯量等问题。
而其中的高斯积分和狄利克雷积分是重积分中比较常见的两种类型。
在本文中，我们将详细讨论这两种积分的定义、性质以及应用。
一、高斯积分高斯积分也称为三重积分，它是一种在三维空间中对于标量或矢量场的积分。
它的表达式为：$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$其中，$\Omega$是积分区域，$dV$表示三维空间中的体积元素，$f(x,y,z)$是被积函数。
高斯积分在物理学、工程学以及数学分析等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解电场、磁场等问题；在工程学中，它可以用来求解流体动力学、结构力学等问题。
在数学分析中，它则可以用来求解曲面积分、体积积分等。
由于高斯积分的计算比较复杂，常常需要利用公式或特殊性质进行简化。
以下是一些常用的高斯积分公式：1.球面高斯积分公式$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{ 2\pi}f(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)r^2\sin\thetad\phi d\theta dr$其中，$R$是球的半径。
2.柱面高斯积分公式$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\int_{a}^{b}\int_{0}^{2\pi}\int_{h(x, y)}^{g(x,y)}f(x,y,z)rdzd\theta dr$其中，$a$和$b$表示柱体的上下底面，$h(x,y)$和$g(x,y)$分别表示左右侧面的方程，$r=\sqrt{x^2+y^2}$是柱体的半径。
二、狄利克雷积分狄利克雷积分是一种对于无限积分的形式变换。
它的定义为：$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\pi e^{-a}f(i a)+\pi e^{a}f(-i a)$其中，$a$是常数，$f(x)$是定义在实数轴上有界的连续函数。
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
Gauss型积分公式
G a u s s型积分公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n 次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为12此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre 求积公式的系数其中k 的取值范围为Gauss 点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss 点，在实际应用中只需查表即可。
高斯(Gauss)型求积公式
(6.13)对函数 f (x) 1, x, x2 , x3 都准确成立， 只要 x0 , x1 和 A0 , A1 满足方程组
A0 A1 2
A0 x0
A1 x1
0
A0
x02
A0
x03
A 0
解之得
A0 A1 1
定义6.4 一个仅以区间-1,1上的高斯点
xk , (k 0,1,, n) 为零点的n+1次多项式 称为Legendre多项式。
定理6.6 若 xk , (k 0,1,, n) 是高斯点，则以这些点 为根的多项式 (x) 是最高次幂系数为1的勒让得多项
式 L~(n1) (x) ，即
(x) = L~(n1) (x)
其中
(x)
n k 0
(x
xk ), L~n1 (x)
(n 1)! d n1
(2n 2)!
(x 2 1) n1 dx n1
从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P144表6-3给 出当积分区间是-1,1时，2个点至5个点的高斯求积
公式的节点、系数和余项,其中 -1,1，需要时
可以查用。
三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似
值，将它们相加即得积分 值。
b
a
f
(x)dx
的近似
数值计算方法
数值计算方法
高斯（Gauss）型求积公式*
1.1 高斯积分问题的提出 在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计
算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后 再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的 精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插 值形求积公式至少具有n次代数精度，我们不仅要 问，是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若 有，最高代数精度能达到多少呢？让我们先看一个 例子：
第四节 高斯Gauss求积公式讲解
1
? F (t )dt ?1
?
A0F (t0) ?
A1F (t1 ) ?
A2F (t2 ) ?
? 0.888888889 f (0) ? 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积
? 公式计算积分1 x ? 1.5dx ?1
解 :由三点高斯-勒让德求积公式有
1
? x ? 1.5dx ?1
? 0.555556( 0.725403? 2.274596)? 0.888889 1.5
(高斯点），
2.用高斯点 x 0 , x 1 ,? x n 对 f ( x )作 Lagrange 插值多项式
n
? f ( x ) ? li ( x ) f ( x i )
i? 0
? ? ? 代入积分式
b
b
n
? ( x ) f ( x )dx ? ? ( x )(
a
a
li ( x ) f ( x i ))dx
解：先作变量代换
x
?
1 (a
?
b) ?
1 (b ?
a)t
?
1 (1 ?
t ),
2
2
2
dx ? 1 dt 2
? ? ? 于是
1
1
f ( x )dx ?
11
?1
f ( (1 ? t ))dt ?
1
F (t )dt
0
2 ?1 2
2 ?1
? 对积分 1 F (t )dt用四点 Gauss ? Legendre 求积公式 ?1
? 0 ( x ), ? 1 ( x ), ? 2 ( x ).
Gauss型（Gaussianquadrature）求积公式和方法
Gauss型（Gaussianquadrature）求积公式和⽅法⽬录0、Gauss型积分通⽤形式1、Gauss–Legendre quadrature勒让德2、Gauss–Laguerre quadrature拉盖尔——积分区间[0，inf]3、Chebyshev–Gauss quadrature切⽐雪夫0、Gauss型积分通⽤形式The integration problem can be expressed in a slightly more general way by introducing a positive weight functionω into the integrand（被积函数）, and allowing an interval other than（除了，不同于） [−1, 1]. That is, the problem is to calculatefor some choices of a, b, and ω. For a = −1, b = 1, and ω(x) = 1, the problem is the same as that considered above（勒让德问题）. Other choices lead to other integration rules. Some of these are tabulated（列表） below.1、Gauss–Legendre quadrature勒让德——积分区间[-1，1]The most common domain of integration for such a rule is taken as [−1, 1], so the rule is stated aswhich is exact for polynomials of degree 2n − 1 or less. This exact rule is known as the Gauss-Legendre quadrature rule. The quadrature rule will only be an accurate approximation to the integral above if f(x) is well-approximated by a polynomial of degree 2n − 1 or less on [−1, 1]. The Gauss-Legendre quadrature rule is not typically used for integrable functions with endpoint singularities.（端点奇点）（1）基本概念注：P0没有根（与x轴⽆交点），P1有1个根（与x轴有⼀个交点），P2有2个根（与x轴有两个交点），。
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Dr
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k r (14)
m0 m1
m1
m2
mr 1 mr
mr
mr 1
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m2r 2 m2r 1
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m2r 1 m2r
College of Mechanical and Electrical Engineering
2.2 多项式混沌展开
Hunan University of Science and Technology
m0 m1
Pr
(x)
1 Dr 1
det
m1
mr 1
m2 mr
1 x
mr 1 mr
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xr1 xr
sin(x)
(1)k
x2k 1
k 0 (2k 1)!
图1：基于泰勒展开式对sin(x)的逼近
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sin(x) sin( x) k0
(1)k x2k 1 (2(k1)k1)!x2k1
0
Pk (x)，Pr (x)
Dr
Dr1
kr k r
Pk (x)，Pr (x)
0
Pr (x)，Pk (x)
Dr
Dr1
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2.2 多项式混沌展开
Hunan University of Science and Technology
2.2 多项式混沌展开
Hunan University of Science and Technology
m0
xi , Pr (x)
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E[xi ]
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mr E[xi1 ]
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E[y]
E
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R r 0
ar E[xr
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(6)
mr E[xr ] xr (x)dx
(7)
R
E[ y] armr
(8)
r 0
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2.1 数值积分
Hunan University of Science and Technology
E[y]
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ws H ts
n
R
ws artsr
R
ar
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(9)
s 1
s 1
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wstsr mr， r 0,1, , R
Company
LOGO
高斯型多维积分公式
报告人：肖 青 导 师：周少武
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1、研 究 背 景
内容
2、单 变 量 函 数 2.1 数 值 积 分 研 2.2 多 项 式 混 沌 展 开研 3、多 变 量 函 数 3.1 张 量 积研 3.2 稀 疏 网 格 法 3.3 容 积 量 法 3.4 算 例 4、总 结
2.Байду номын сангаас 多项式混沌展开
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cr
Dr 1 Dr
H (x)，Pr (x)
Dr1 Dr
H (x) Pr (x) (x)dx(17)
c0
1 D0
H (x) P0 (x) (x)dx
1. 研究背景
Hunan University of Science and Technology
n
E[yr ]
ws H r ts,1 , ,ts,m
(3)
s 1
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2. 单变量函数
Hunan University of Science and Technology
R 2n 1 r 0,1, , 2n 1
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2.1 数值积分
Hunan University of Science and Technology
m0 m1
det
m1
m2
mn mn1
2.1 数值积分
Hunan University of Science and Technology
(x)
1
x2
e2
2
P0 (x) 1 P1(x) x P2 (x) x2 1 P3 (x) x3 3x
Pn1(x) xPn (x) nPn1(x)
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mn
mn
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2.1 数值积分
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m0 m1
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xir 1 xir
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2.1 数值积分
Hunan University of Science and Technology
Pn (x) ( An x Bn )Pn1(x) CnPn2 (x)
(12)
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2.1 数值积分
2.2 多项式混沌展开
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xi , Pr (x) 0
xi , Pr (x)
Dr Dr 1
k
Pk (x) bi xi i0
k
Pk (x)，Pr (x) = bi i0
xi，Pr (x)
0 b0
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1 x
mn1 mn
mn
mn1
m2 n 2
m2 n 1
xn1 xn
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1
mn
mn1
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y = H x cr Pr (x) r 0
(16)
H (x)，Pr (x) ck Pk (x)，Pr (x) k 0
ck Pk (x)，Pr (x) k 0
cr
Dr Dr 1
College of Mechanical and Electrical Engineering
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1. 研究背景
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输 入
非线性传 递系统
输 出
X
y
y = H x1 , ,xi , ,xm
(1)
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2.1 数值积分
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s 1
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sin(x) sin( x) k0
(1)k x2k 1 (2(k1)k1)!x2k1