Gauss型积分公式
高斯-勒让德积分公式
高斯-勒让德积分公式
作为代数学的一部分内容，高斯-勒让德积分公式具有重要价值。
高斯-勒让德积分公式又称椭圆积分，是一种特殊的积分形式，由德国数学家高斯（Gauss）和法国数学家勒让德（Legendre）两人独立发现并推导得出。
高斯-勒让德积分公式的一般形式为∫(dx/√(a^2x^2-b^2c^2))，其中a、b、c都是常数，x是变量。
在现实中，我们会看到许多这样的公式出现在物理，工程和其他科学领域的计算中，比如椭圆轨道的面积计算，以及电学和磁学中的一些问题。
此外，高斯-勒让德积分公式还有一种等价的形式，即通常所说的椭圆积分，形式为∫(dx/√(1-k^2sin^2φ))，其中φ是角度，k是偏度参数，也是一个常数。
根据高斯-勒让德积分公式，我们可以推导出其他一些重要的积分公式和恒等式，这在数学研究和实际应用中具有重要的作用。
例如，可以通过积分变换将其转化为某些特殊函数的积分，进一步计算出所需的结果。
需要指出的是，不同的场合，高斯-勒让德积分公式需要配合相应的推导方式来求解。
在使用的过程中，需要具备一定的数学技巧和知识。
总的来说，高斯-勒让德积分公式以其独特的形式，为解决复杂问题提供了有效的工具，具有广泛的应用价值。
gauss型积分公式
gauss型积分公式
高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。
在误差函数的定义中它也出现。
虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。
高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。
它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。
高斯积分的几何意义就是：
g是从点A所能看到曲线L的角的度量。
设(x,n)是x轴正方向与n的夹角，(x,r)是x轴正方向与r的夹角，则
(r,n) = (x,n) - (x,r)
所以：
cos(r,n) = cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)
=((x-e)cos(x,n)/|r| + (y-m)sin(x,n)/|r|
代入高斯积分：
g = ∫[L] ((y-m)sin(x,n)/(|r|2) + (x-e)cos(x,n)/(|r|2)) ds
化成第二型曲线积分：
g = ±∫[L] ((y-m)/(|r|2) dx - (x-e)/(|r|2) dy)
±表示法线n的两个方向。
此方程满足积分路径无关的条件，假如L是一条闭曲线，A在L外部，那么g=0，如果A在内部，根据挖奇点法，积分结果为2π。
高斯(Gauss)型求积公式
1.2 高斯求积公式的构造与应用 像构造两点高斯求积公式(6.14)一样,对于插值
型求积公式(6.15), 分别取 f (x) 1, x,, x 2n1 用代定系数法来确定参数xk和 Ak , (k 0,1,, n) 从而构造n+1个点高斯求积公式。但是，这种做法 要解一个包含2n+2个未知数的非线性方程组，其 计算工作量是相当大的。一个较简单的方法是： (1) 先利用区间a,b上的n+1次正交多项式确定高斯
三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似
值，将它们相加即得积分 值。
b
a
f
(x)dx
的近似
数值计算方法
在构造形如
1
1 f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1 )
（6.13）
的两点公式时,如果限定求积节点, x0 1, x1 1
那么所得插值求积公式
1
f (x)dx f (1) f (1) 1
的代数精度仅为1。但是,如果对式(6.13)中
的系数 A0 , A1 和 x0 , x1节点都不加限制，那么 就可适当选取 x0 , x1 和 A0 , A1 ,使所得公式的
其中
(x)
n k 0
(x
xk ), L~n1 (x)
(n 1)! d n1
(2n 2)!
(x 2 1) n1 dx n1
从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P144表6-3给 出当积分区间是-1,1时，2个点至5个点的高斯求积
公式的节点、系数和余项,其中 -1,1，需要时
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
gauss型求积公式
gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。
1. 定义。
- 在数值积分中，Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。
对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx（其中ρ(x)为权函数），Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。
这里x_i称为求积节点，A_i称为求积系数，n为求积公式的节点个数。
2. 特点。
- 高精度：Gauss型求积公式具有很高的代数精度。
对于n个节点的Gauss型求积公式，其代数精度为2n - 1。
这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x)，该求积公式能精确成立，即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i)，其中m≤slant2n - 1，P_m(x)是m次多项式。
- 节点分布：Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。
这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。
例如，当ρ(x) = 1，[a,b]=[- 1,1]时，对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x)，Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。
二、求积节点与求积系数。
1. 求积节点的确定。
- 以勒让德 - Gauss求积公式为例（ρ(x)=1，[a,b]=[-1,1]），求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。
勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x)，P_0(x)=1，P_1(x)=x来计算。
通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。
2. 求积系数的计算。
- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。
一种常见的方法是利用正交性条件。
对于勒让德 - Gauss求积公式，求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算，其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的三个重要公式，用于计算曲线、曲面和体积上的积分。
1. 格林公式（Green's theorem）：该公式用于计算平面上的曲线积分和二重积分之间的关系。
设曲线C是一个简单闭合曲线，方向为逆时针方向，曲线内部围成的区域为D，若函数
P(x, y)和Q(x, y)在区域D内有一阶连续偏导数，则有：
∮C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
2. 高斯公式（Gauss's theorem）：该公式用于计算封闭曲面上的曲面积分和三重积分之间的关系。
设曲面S是一个封闭曲面，曲面内部的区域为V，若函数F(x, y, z)在区域V内有一阶连续偏导数，则有：
∮S F · dS = ∬∬S ∇·F dS = ∭V ∇·F dV
3. 斯托克斯公式（Stokes' theorem）：该公式用于计算曲面边界上的曲线积分和曲面积分之间的关系。
设曲面S是一个有向曲面，曲面边界为曲线C，若函数F(x, y, z)在曲线C和曲面S内都有一阶连续偏导数，则有：
∮C F · dr = ∬S (∇×F) · dS
这三个公式为微积分中的基本定理，可以用于求解各种应用问题，如流体力学、电磁学等领域中的问题。
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
电磁学中常用的积分公式
在电磁学中，常用的积分公式包括：
1. 高斯定律（Gauss's Law）：
∮S E · dA = ε₀∫V ρdV
这个公式描述了电场通过闭合曲面的总通量与该曲面内所包围电荷的总量之间的关系。
其中，E是电场强度，S是曲面，A是曲面上的微小面积元素，V是曲面所包围的体积，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
2. 斯托克斯定理（Stokes's Theorem）：
∮C B · dl = μ₀∫S J ·dA
这个公式将闭合曲线C沿着某个方向的环流与该曲线所围成的曲面S上的面积分之间建立了联系。
其中，B是磁场强度，dl是沿着曲线C的微小长度元素，J是电流密度，dA 是曲面S上的微小面积元素，μ₀是真空磁导率。
3. 法拉第电磁感应定律（Faraday's Law of Electromagnetic Induction）：
∮C E · dl = -d/dt ∫S B · dA
这个公式描述了磁场变化引起的电场感应与磁场沿着某个闭合曲线C的环流之间的关系。
其中，E是电场强度，dl 是沿着曲线C的微小长度元素，B是磁场强度，dA是曲面S
上的微小面积元素。
这些积分公式是电磁学中的基本定律，通过它们可以推导出电磁场的行为规律，解决各种与电场和磁场有关的问题。
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摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数A k=∫ρ(x)ωn(x)(x−x k)ω′n(x)dx1−1=∫ρ(x)L n(x)(x−x k)L′n(x)dx 1−1其中k的取值范围为k=1,2,⋯,nGauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点{x k}和系数{A k}，在实际应用中只需查表2)高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）积分公式拉盖尔（Laguere）多项式L n(x)=e x d ndx n(x n e−x),0≤x<+∞,n=0,1,2⋯称为拉盖尔多项式。
其首项系数为(−1)n,且具有性质：正交性，在区间[0,+∞)上关于权函数ρ(x)=e−x正交，而且(L m,L n)=∫e−x L m(x)L n(x)dx∞0={0, m≠n(n!)2, m=n积分区间为[0,+∞)，权函数为ρ(x)=e−x的Gauss型积分公式称为高斯-拉盖尔积分公式，其中Gauss点为拉盖尔多项式L n(x)的零点，高斯-拉盖尔积分公式为∫e−x f(x)dx ∞0≈∑A k f(x k) nk=1同样高斯-拉盖尔积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：3)高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）积分公式埃尔米特（Hermite）多项式H n(x)=(−1)n e x2d n e−x2n,−∞<x<+∞,n=0,1,2⋯被称作埃尔米特多项式，其首项系数为2n，具有性质如下正交性，在区间(−∞,+∞)上关于权函数e−x2正交，而且(H m,H n)=∫e−x2H m(x)H n(x)dx+∞−∞={0, m≠n 2n n!√π, m=n积分区间为(−∞,+∞)，权函数为ρ(x)=e−x2的Gauss型积分公式称为Gauss-Hermite积分公式，其Gauss点就是Hermite正交多项式H n(x)的零点。
Gauss-Hermite求积公式为∫e−x2f(x)dx ∞−∞≈∑A k f(x k) nk=1同样高斯-埃尔米特积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：3、算法实例1) 用3点Gauss 型求积公式计算∫cos xdx 1−1解：根据积分限可以知道应该用Gauss-Legendre 积分公式，具体程序如下所示#include <iostream> #include <math.h>using namespace std; const int M(10);void main() {int i=0; int n=0; int m=0; int sign=0; double sum=0; double x[M]={0}; double A[M]={0}; double x1[]={0};double x2[]={-0.57735502692,0.57735502692}; double x3[]={-0.77459666920,0.77459666920,0}; doublex4[]={-0.8611363116,0.8611363116,-0.3399810436,0.3399810436};doublex5[]={-0.9061798459,0.9061798459,-0.53846931010,0.538469310 10,0};doublex6[]={-0.9324695142,0.9324695142,-0.6612093865,0.6612093865 ,-1.2386191816,1.2386191816};doublex7[]={-0.9491079123,0.9491079123,-0.7415311856,0.7415311856 ,-0.40584515140,0.40584515140,0};doublex8[]={-0.9602898565,0.9602898565,-0.7966664774,0.7966664774 ,-0.5255324099,0.5255324099,-0.1834346425,0.1834346425};double A1[]={2};double A2[]={1};double A3[]={0.5555555556,0.8888888889};double A4[]={0.3478548451,0.6521451549};double A5[]={0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889};double A6[]={0.1713244924,0.3607615730,0.4679139346};doubleA7[]={0.1294849662,0.2797053915,0.3818300505,0.4179591834};doubleA8[]={0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834};cout<<"请输入节点个数"<<endl;cin>>n;switch(n){case 1:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x1[i];A[i]=A1[i];}break;case2:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x2[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A2[i/2 ];}break;case3:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x3[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A3[i/2 ];}break;case4:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x4[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A4[i/2];}break;case5:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x5[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A5[i/2];}break;case6:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x6[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A6[i/2];}break;case7:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x7[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A7[i/2];}break;case8:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x8[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A8[i/2];}break;default:cout<<"输入出错，请从新输入！！"<<endl; break; }for(i=0;i<n;i++) {sum=sum+A[i]*cos(x[i]); }cout<<sum; }运行结果：2) 用两点Gauss 型求积公式计算积分∫e −10x sinxdx ∞解：根据积分限可以知道应该用Gauss-Laguerre 积分公式，具体程序如下所示#include "stdafx.h"#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;const int M(10);void main(){int i=0;int n=0;int m=0;int sign=0;double sum=0;double x[M]={0};double A[M]={0};double x2[]={0.5857864376,3.4142135624};double x3[]={0.4157745567,2.2942803602,6.2899450829};double x4[]={0.3225476896,1.7457611011,4.5366202969,9.3950709123};doublex5[]={0.2635603197,1.4134030591,3.5964257710,7.0858100058,12.6408008442};doublex6[]={0.2228466041,1.1889321016,2.9927363260,5.7751435691,9.8374674183,15.9 828739806};double A2[]={0.853*******,0.1464466094};double A3[]={0.7110930099,0.2785177335,0.010*******};double A4[]={0.6031541043,0.3574186924,0.0388879085,0.0005392947};doubleA5[]={0.5217556105,0.3986668110,0.0759424497,0.0036117587,0.0000233700};doubleA6[]={0.4589646793,0.4170008307,0.1133733820,0.010*******,0.0002610172,0.00 00008985};cout<<"请输入节点个数"<<endl;cin>>n;switch(n){case 2:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x2[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A2[i];}break;case 3:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x3[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A3[i];}break; case 4:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x4[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A4[i];}break; case 5:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x5[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A5[i];}break; case 6:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x6[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A6[i];}break; default: cout<<"输入出错，请从新输入！！"<<endl; break;}for(i=0;i<n;i++) { sum=sum+A[i]*sin(x[i])*exp(-9*x[i]); }cout<<sum; }运行结果：3) 用两点Gauss 型求积公式计算积分∫e −x 2cosxdx ∞−∞解：根据积分限可以知道应该用Gauss-Hermite 积分公式，具体程序如下所示#include "stdafx.h" #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; const int M(10);void main() {int i=0;int n=0;int m=0;int sign=0;double sum=0;double x[M]={0};double A[M]={0};double x2[]={-0.7071067811,0.7071067811};double x3[]={-1.2247448714,1.2247448714,0};doublex4[]={-0.5246476232,0.5246476232,-1.6506801238,1.6506801238 };doublex5[]={-0.9585724646,0.9585724646,-2.020*******,2.020******* };doublex6[]={-0.4360774119,0.4360774119,-1.3358490704,1.3358490704 ,-2.3506049736,2.3506049736};doublex7[]={-0.8162878828,0.8162878828,-1.6735516287,1.6735516287 ,-2.65196135630,2.65196135630,0};double A2[]={0.8862269255};double A3[]={0.2954089751,1.8163590006};double A4[]={0.8049140900,0.0813128354};doubleA5[]={0.3936193231,0.0199532421,0.9453087204,0.5688888889};double A6[]={0.7246295952,0.1570673203,0.0045300099};doubleA7[]={0.4256072526,0.0545155828,0.0009717812,0.8102646175};cout<<"请输入节点个数"<<endl;cin>>n;switch(n){case2:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x2[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A2[i/2 ];}break;case3:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x3[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A3[i/2 ];}break;case4:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x4[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A4[i/2 ];}break;case5:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x5[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A5[i];}break;case6:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x6[i];}for(i=0;i<n;i++){A[i]=A6[i/2 ];}break;case7:for(i=0;i<n;i++){x[i]=x7[i];A[i]=A7[i/2];}break;default:cout<<"输入出错，请从新输入！！"<<endl;break;}for(i=0;i<n;i++){sum=sum+A[i]*cos(x[i]);}cout<<sum;}运行结果：4、对结果进行分析实验结果较为理想，但是仅仅只能计算函数在特殊的区间上的值。