高斯型积分公式
高斯求积公式
x xj xi xj
ji
高斯求积公式具有较高的代数精度((2n+1)阶）, 并且是数值稳定的.
三、几种常见的高斯求积公式
1.高斯-勒让德求积公式
取( x) 1,积分区间为[1,1]上的高斯求积公式
称为高斯－勒让德公式。
1
f ( x)dx
1
n
i f ( xi )
i0
xi 勒让德多项式的零点
式 Ln( x)，
由插值原理，可用插值多项式Ln( x)作为 f ( x)的近似，由于多项式求导较为简单，
f (k ) ( x) L(nk ) ( x) (k 1,2, , n) 这 样 建 立 的 数 值 微 分 公式 称 为 插 值 型 数 值 微分公式。
应当指出，即使 f (x) 与 Ln( x)处处相差不多， f ( x) 与 Ln ( x) 在某些点仍然可能出入很大.
f
( x0 )
+
1
f
( x1 )
令f ( x) 1, x, x 2 , x 3 使上式成立，得非线性方程组
0＋1＝2
0
x0
+ 1 x1
0
0
x
2 0
0
x03
+ 1 x12 + 1 x13
2
3 0
0 1
1 1
x0
3 3
x1
3 3
由此得两点公式
1
f ( x)dx f (
3)+ f(
以高斯点 xk (k 0,1, , n)为零点的 n+1次多项式，
pn+1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
称为勒让德(Legendre)多项式。
数值分析4。4高斯型求积公式
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
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此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
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2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
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2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。
b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
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即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
积分间的关系-高斯公式
令
M (x, y, z)
P Q R
1
lim v ndS
x
y
z
V M
定义2 称 P Q R 为速度场v 在点 M 的通量密度
x y z
（或散度）记作 div v(M ). 即
div v(M ) P Q R . x y z
其中为柱面x2 y2 1及平面z 0，z 3 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的 外侧.
5
解 P ( y z)x,Q 0, R x y, z
P y z, Q 0, R 0,
3
x
y
z
原式 ( y z)dxdydz
其中 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 均具有一阶连续偏导， 是场内的一片有向曲面，n 是 在点 (x, y, z) 处的单位 法向量，则积分
A ndS
称为向量场 A 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量）
注：通量
A ndS (P cos Q c积分之间的联系，又可以写成
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy.
例3 求向量场
A(x, y, z) yzj z2k
穿过曲面 流向上侧的通量，其中 为柱面 y2 z2 1(z 0) 被平面 x 0, x 1 截下的有限部分.
第六节 高斯公式 通量与散度
一、高斯（Gauss)公式及其应用 二、通量与散度
一、高斯（Gauss)公式及其应用
牛顿—莱布尼兹公式
b
a
f
x dx
F
高等数学高斯公式(一)
高等数学高斯公式(一)高等数学高斯公式1. 高斯公式的表述高斯公式是数学中一个重要的积分公式，用于计算曲线或曲面上的积分。
在向量分析和复变函数等领域中有广泛应用。
2. 高斯公式的一维形式对于一维场景，高斯公式可以表示为：∫f b a (x)dx=−∫fab(x)dx其中，f(x)是定义在区间[a,b]上的可积函数。
3. 高斯公式的二维形式对于二维场景，高斯公式可以表示为：∬(∂P∂x+∂Q∂y)D dA=∮(Pdx+Qdy)C其中，D表示一个有向区域，C表示该区域的边界曲线，P和Q是定义在D上的一阶连续偏导数函数，dA表示二维区域D上的面积元素。
4. 高斯公式的三维形式对于三维场景，高斯公式可以表示为：∭(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)V dV=∯(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy) S其中，V表示一个有向空间区域，S表示该区域的表面，P、Q和R是定义在V上的一阶连续偏导数函数，dV表示三维区域V上的体积元素。
5. 高斯公式的应用举例一维场景假设有一个函数f(x)=x2，要计算在区间[1,4]上的积分。
根据高斯公式的一维形式，我们有：∫x2 41dx=−∫x214dx通过计算得到：∫x2 41dx=x33|14=643二维场景假设有一个二维区域D，其中D由曲线y=x2和y=1所围成。
现在需要计算在区域D上的积分，例如函数f(x,y)=x2+y2。
根据高斯公式的二维形式，我们可以将该积分转化为对边界曲线进行积分。
∬(2x+2y) D dA=∮(x2+y2)Cds具体计算方法可以使用参数方程对曲线进行参数化，然后进行积分计算。
三维场景假设有一个三维空间区域V，其中V为一个球体，半径为r。
现在需要计算在区域V上的积分，例如函数f(x,y,z)=x2+y2+ z2。
根据高斯公式的三维形式，我们可以将该积分转化为对球体表面进行积分。
∭(2x+2y+2z) V dV=∯(x2+y2+z2)SdS具体计算方法可以使用球坐标系下的公式对球体表面进行参数化，然后进行积分计算。
gauss型积分公式
gauss型积分公式
Gauss型积分公式是一种经典的积分计算方法，它是18世纪德国数学家克劳德高斯（Karl Friedrich Gauss）提出的数学方法，又称作高斯积分或高斯积分公式。
这种积分方法非常简单、实用，是数学及其相关学科研究时常用到的数学工具。
Gauss型积分公式的特点是它可以将复杂的一元定积分问题转化为解一个多项式方程组的几何问题，从而减少不少的计算量。
它的优势在于，无论是写出这种方程，结合数学技巧便可算出结果，还可用另一种方法，通过积分变换来完成积分计算，而且可以在结果上获得较高的精度。
Gauss型积分公式可简化定积分问题计算，但由于其复杂性，对多元积分这类计算量较大的问题无能为力。
在这种情况下，可以使用另外一种积分方法，即数值积分法，在这种方法中，采用多项式函数来模拟定积分问题，从而减少计算量，并可以得出比较准确的结果。
Gauss型积分公式在数学研究中具有重要意义，可求出很多有用的结果，尤其是在求解复杂的一元定积分问题上。
它的有效性可以通过用它来求曲线的极限等数学知识的计算来证明。
此外，它还可以用于计算椭圆积分，复数积分等。
Gauss型积分公式的应用范围十分广泛，它在数学研究中可以帮助研究者减少许多计算量，从而节省时间，使得数学研究变得更加有效率。
它在量子力学、电磁学、计算物理学、天文学、计算生物学以及统计学等领域也有着广泛的应用。
从以上可以看出，Gauss型积分公式在数学及其相关学科中具有重要意义，它可以帮助研究者提高研究效率，具备很多实用性，是一个重要的数学工具。
对于Gauss型积分公式的应用，学者们和工程研究者们都应该进行进一步的深入研究，从而更好地发挥它的作用。
高斯曲线积分
高斯曲线积分一、概述高斯曲线积分，也称为高斯积分，是一种特殊的定积分。
它是由德国数学家高斯在研究电磁场时引入的。
高斯曲线积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
二、基本概念1.曲线积分曲线积分是将一个向量函数沿着一条曲线进行积分，通常用于计算物理量在空间中的变化量。
2.高斯公式高斯公式是描述向量场与曲面之间关系的定理。
它将一个向量场通过曲面上的积分转化为该向量场在该曲面所包围区域内的散度值。
3.散度散度是描述向量场在某点处流出或流入该点的强度大小，通常用数值表示。
4.高斯积分高斯积分是对三维空间中一个标量函数或者一个向量函数沿着某个闭合曲面进行积分。
它可以通过高斯公式来计算。
三、计算方法1.标量函数的高斯积分设f(x,y,z)为定义在闭合曲面S上的连续可微函数，则S上f(x,y,z)的高斯积分为：∫∫S f(x,y,z)dS = ∫∫∫V (∇·f)dxdydz其中，V为曲面S所包围的空间体积，∇·f为f的散度。
2.向量函数的高斯积分设F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在闭合曲面S上的连续可微向量函数，则S上F(x,y,z)的高斯积分为：∫∫S F(x,y,z)·dS = ∫∫∫V (∇·F)dxdydz其中，V为曲面S所包围的空间体积，∇·F为F的散度。
四、应用领域1.电磁学高斯曲线积分在电磁学中有广泛应用。
通过对电场、磁场进行高斯曲线积分，可以计算出它们在某个区域内的总量和强度大小。
2.流体力学在流体力学中，通过对速度场进行高斯曲线积分，可以计算出流体在某个区域内的总质量和流量。
3.工程领域高斯曲线积分也被广泛应用于工程领域。
例如，在材料科学中，通过对应力场进行高斯曲线积分，可以计算出材料在某个区域内的总应力。
五、总结高斯曲线积分是一种特殊的定积分，主要用于计算物理量在空间中的变化量。
它可以通过高斯公式来计算。
高斯型函数的积分公式
ii =
12
1 1 i1i2 = i1i2 (2 2 1)!! 3
ii i i
1234
1 { i1i2 i3i4 i1i3 i2i4 i1i4 i2i3 } (4 2 1)!!
=
1 { i1i2 i3i4 i1i3 i2i4 i1i4 i2i3 } 5 3 1
2A x B 0
注意 x 是 B 的函数。 2.
1 xA -1 x 2
f (x) （2） det A e
-n -1
dx xf (x)
n
x 0
1 1
dx n xxf (x) x x A dx n xxxf (x) x x x + x x x + x x x 0 dx n x x x x f (x) x x x x + x x x x + x x x x
ii i i i i
123456
1 { i1i2 i3i4 i5i6 i1i2 i3i5 i4i6 i1i2 i3i6 i4i5 7 5 3 1 i1i3 i2i4 i5i6 i1i3 i2i5 i4i6 i1i3 i2i6 i4i5 i1i4 i2i3 i5i6 i1i4 i2i5 i3i6 i1i4 i2i6 i3i5 i1i5 i2i3 i4i6 i1i5 i2i4 i3i6 i1i5 i2i6 i3i4 i1i6 i2i3 i4i5 i1i6 i2i4 i3i5 i1i6 i2i5 i3i4 }
1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 1 2 3 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2