2017确定带电粒子在磁场中运动轨迹圆心的方法.doc
带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题
带电粒子在磁场中的运动是一个充满深度和广度的问题，涉及到物理学中的许多重要概念和原理。
从宏观到微观，从经典到量子，这一主题的探讨可以帮助我们更深入地理解粒子在磁场中的行为，以及相关的物理规律。
一、带电粒子在磁场中的受力和运动1.受力分析当带电粒子进入磁场时，它会受到洛伦兹力的作用，这个力会使粒子发生偏转，并导致其在磁场中运动。
洛伦兹力的大小和方向取决于粒子的电荷大小、速度方向以及磁场的强度和方向。
2.运动轨迹在磁场中，带电粒子的运动轨迹通常是圆形或螺旋形的，具体取决于粒子的速度和磁场的强度。
这种运动旋转圆问题是研究带电粒子在磁场中行为的重要内容之一。
二、经典物理学对带电粒子运动的描述1.运动方程根据洛伦兹力和牛顿定律，可以建立带电粒子在磁场中的运动方程。
通过对这个方程的分析，可以得到粒子在磁场中的运动轨迹和运动规律。
2.圆周运动对于静止的带电粒子，它会在磁场中做匀速圆周运动；而对于具有初始速度的带电粒子，它会做螺旋运动。
这种经典的描述为我们理解带电粒子在磁场中的运动提供了重要参考。
三、量子物理学对带电粒子运动的描述1.量子力学效应在微观尺度下，带电粒子在磁场中的运动会受到量子力学效应的影响，比如磁量子效应和磁旋效应等。
这些效应对带电粒子的运动规律产生重要影响，需要通过量子力学来描述。
2.自旋和磁矩带电粒子除了具有电荷和质量外，还具有自旋和磁矩。
这些特性在磁场中会影响粒子的运动，使得其运动规律更加复杂和微妙。
四、个人观点和理解对于带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题，我认为它不仅具有重要的理论意义，还在许多实际应用中发挥着关键作用。
比如在核磁共振成像技术中，正是利用了带电粒子在外加磁场中的运动规律，实现了对人体组织和器官进行高分辨率成像。
深入理解这一问题，不仅可以帮助我们认识自然界的规律，还有助于科学技术的发展和进步。
总结回顾一下，带电粒子在磁场中的运动旋转圆问题是一个充满深度和广度的物理学问题，涉及到经典物理学和量子物理学的交叉领域。
带电粒子在磁场中的圆运动的轨迹画法及其计算
带电粒子在磁场中的圆运动的轨迹画法及其计算首先，带电粒子在磁场中的运动，本质是洛伦兹力提供向心力（粒子不受重力），粒子做匀速圆周运动（整圆或部分圆），故只有洛伦兹力，没有重力、电场力等，与带电物体在复合场的题目有明显差别，运动形式仅限于匀速圆周运动，没有其他运动形式（如直线、匀加速、平抛）。
其次，本类题目用到的主要公式及结论为：由222⎪⎭⎫⎝⎛==TmRRvmqvBπ得qBmvR=qBmTπ2=再次认识到，本类题目通常为大的计算题，分值大，难度大，必须处理好。
难点之一，就是如何画出运动轨迹，如何找到圆心，如何找到旋转半径与已知长度、角度的数量关系。
难点之二，就是极限条件的取得。
一、圆轨迹的画法:画圆的轨迹时，遵循下面的一些原则：1．过进入点作速度的垂线-----半径垂直于速度（速度沿圆的切线方向）2．作进出点连线的中垂线----对称性3．进入直线边界时夹θ角，出来时也夹θ角----对称性4．沿半径方向进入圆形磁场区域，出来时也沿半径方向----对称性通常，根据上述几点，可以画出带电粒子在磁场中的运动轨迹。
二、旋转半径的计算：在正确画出带电粒子在磁场中的运动轨迹后，下一步的主要任务是，求出旋转半径与已知长度量、角度量的关系。
而这主要是通过适当的辅助线，找到过旋转圆心的直角三角形（其斜边为旋转半径），运用勾股定理或者正余弦函数关系求解。
这里主要是通过适当的辅助线（找圆心时画的进出点间的中垂线不要太明显，以免影响直角三角形的寻找），找到过旋转圆心的直角三角形（其斜边为旋转半径），运用勾股定理或正余弦函数关系求解。
圆形磁场区域情形中，注意围成的四边形是对称的，对角和为180º，好找旋转角度关系。
三、常见的有限磁场区域：通常的有限磁场边界包括：半边磁场、条形磁场、矩形磁场、圆形磁场、扇形磁场（如上面图示）。
还可能有其他异型磁场区域。
粒子在这类磁场区域的运动轨迹，通常不足一个圆，但粒子进出边界的角度、旋转角度都具有特殊性，如垂直，30º、60 º、120 º、150 º、240 º、300 º等特殊角。
专题确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。
一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=2mvBe，由图还看出经历时间相差∆t=2T3=4πm3Be，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=rtan30=√3r又带电粒子的轨道半径可表示为：R=mv0qB 故带电粒子运动周期：T=2πmqB=2√3πv0r带电粒子在磁场区域中运动的时间t=60360T=√3πr3v0二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
电荷在磁场中运动的圆心、半径、运动时间的基本求解方法
电荷在磁场中运动的圆心、半径、运动时间的基本求解方法大家知道，当带电粒子进入匀强磁场的速度方向与磁场垂直时，带电粒子做匀速圆周运动。
那么，圆周运动的圆心、半径、以及粒子在磁场中运动的时间都该怎么求呢？下面我们来对这个问题进行总结。
首先来找圆心，常见的有三种不同的情况。
第一种情况，已知粒子运动轨迹上两点的速度方向。
因为速度方向就是轨迹的切线方向，而半径一定与切线垂直，所以做出两速度方向的两条垂线，两垂线的交点就一定是圆心。
第二种情况，已知粒子运动轨迹上一点的速度方向和另一点的位置。
还是要先做出这个速度方向的垂线，这样圆心一定在这条线上。
接着还要找一条线，那就先连接这两点，形成圆的一条弦，接着做出这条弦的中垂线，圆心也一定在这条中垂线上。
两垂线的交点就是圆心。
第三种情况，已知粒子运动轨迹上的三点位置，分别连接两点，得到两条弦，两条弦的中垂线的交点就是圆心。
这就是找圆心时常见的三种情况，解题时要根据具体情况选择方法。
圆心找到以后，半径就很容易确定了。
半径一方面满足公式r=mνqB，另一方面也可以在图中利用几何知识来求。
最后就是粒子运动的时间，关键有两点，先根据公式T=2πm qB求出粒子圆周运动的周期，接着根据几何关系，计算出粒子运动的圆心角θ，然后就可以根据比例关系求时间t 。
再详细说一下圆心角θ的计算。
如图粒子运动的轨迹是一段劣弧，α为弦切角，θ为圆心角，β为偏转角。
圆心角θ就是弦切角α的2倍，也就是θ=2α。
在这个四边形中圆心角θ和β的补角互补，所以θ=β。
如果换一种情况，粒子运动的轨迹是一段优弧，图形跟轨迹是劣弧时几乎完全一样，只是θ和β都换了位置。
这种情况的θ等于2π-2α，但θ和β依然相等。
下面我们来看一个例子，图中是垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=1T，一电子从x轴上与x轴成300角方向以ν=3.2x107m/s速度出发。
已知电子的质量是m=9.0x10-31kg，电荷量大小q=1.6x10-19c。
带电粒子在磁场中的运动
例1：关于回旋加速器中电场和磁场的作用的 叙述，正确的是( CD ) A、电场和磁场都对带电粒子起加速作用 B、电场和磁场是交替地对带电粒子做功的 C、只有电场能对带电粒子起加速作用 D、磁场的作用是使带电粒子在D形盒中做匀速圆 周运动
25
例2：质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析
同位素的重要工具，它的构造原理如图，离子源S
为Ｂ。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿向外的电场。一
质量为ｍ、带电量为＋ｑ的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝ａ的Ｓ点出发，
初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点Ｓ， 则两电极之间的电压Ｕ应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）
【例6】如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子， 从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒 中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后 仍从A点射出，问发生碰撞的最少次数? 并计算此过程中正离子在磁场中运动的时间t ? 设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒 子的重力。
d
度角，则初速度有什么要求？
B
变化3：若初速度向上与边界成α =60度角，则初速度有什么要求？
9
10
例：两板间（长为L，相距为L）存在匀强磁场，带
负电粒子q、m以速度V0从方形磁场的中间射入，要
求粒子最终飞出磁场区域，则B应满足什么要求？
m
v0
B
L
q
L
11
情境：
q
已知：q、m、 v0、 m d、L、B
2aq
v
B
射出点坐标为（0， 3a ） O/
o
v ax
7
3、穿过矩形磁场区的运动
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的三种巧妙方法
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的三种巧妙方法(一)对称法1.如图8220所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。
现将带电粒子的速度变为v 3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12Δt B ．2Δt C.13Δt D ．3Δt解析：选B(二)旋转圆法2. (多选)如图8221所示，扇形区域AOC 内有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。
某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有部分粒子从边界OC 射出磁场。
已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T 2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间不可能为( )A.T 12B.T 8C.T 4D.T 3 解析：选AB 粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦。
初速度大小相同，轨迹半径R ＝m v qB 相同。
设OS ＝d ，以S 为圆心，将轨迹圆逆时针旋转。
当出射点D 与S 点的连线垂直于OA 时，DS 弦最长，轨迹所对的圆心角最大，周期一定，则粒子在磁场中运动的时间最长。
由此得到：轨迹半径为：R ＝32d ，当出射点E 与S 点的连线垂直于OC 时，弦ES 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短。
则：SE ＝32d ，由几何知识，得θ＝60°，最短时间：t min ＝T 6。
所以，粒子在磁场中运动时间范围为16T ≤t ≤T 2，故不可能的是A 、B 。
(三)放缩圆法3．如图8222所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad 边中点O 射出与Od 边夹角为30°，大小为v 0的带电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力忽略不计，求：(1)试求粒子能从ab 边上射出磁场的v 0的大小范围；(2)粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。
带电粒子在磁场中运动确定圆心的方法
带电粒子在磁场中运动确定圆心的方法1.赫歇尔效应：赫歇尔效应是指当带电粒子垂直进入磁场时，在运动轨迹上会形成一个圆弧，通过测量带电粒子轨迹和圆弧的属性，可以确定圆心位置。
首先，将带电粒子垂直射入均匀磁场中。
磁场可以是由恒定电流通过直线导线所产生的恒定磁场。
当带电粒子进入磁场后，磁场会施加一个力，即洛伦兹力。
洛伦兹力公式为F=q*(v×B)，其中F为洛伦兹力，q是带电粒子电荷量，v是带电粒子的速度，B是磁场强度。
由于带电粒子在磁场中的速度方向会发生改变，其轨迹会是一个圆弧。
测量赫歇尔效应需要确定带电粒子的轨迹和圆弧的属性，主要包括半径R、速度v和磁场强度B。
具体步骤如下：步骤1：首先，将带电粒子从一定的高度以垂直方向射入磁场区域。
步骤2：通过观察带电粒子在磁场中的运动，确定形成的圆弧。
步骤3：测量圆弧的半径R，可以通过测量圆弧的弯曲程度或直接使用测量仪器进行测量。
步骤4：测量带电粒子的速度v。
可以使用速度测量仪器，如速度计或摄像机，测量带电粒子在穿过磁场前后的速度。
步骤5：测量磁场强度B。
可以使用磁力计或其他磁场测量仪器进行测量。
步骤6：根据赫歇尔效应公式R=(m*v)/(q*B)计算圆心位置。
2.洛伦兹力：洛伦兹力是指带电粒子在磁场中受力而产生的向心力，通过测量带电粒子在磁场中运动的轨迹和运动属性，可以确定圆心位置。
首先，将带电粒子垂直射入均匀磁场中。
同样，磁场可以是由恒定电流通过直线导线所产生的恒定磁场。
然后，测量带电粒子在磁场中运动的轨迹和运动属性。
具体步骤如下：步骤1：确定磁场的方向和大小，通过使用磁力计等磁场测量仪器进行测量。
步骤2：观察带电粒子在磁场中的运动轨迹，并记录轨迹的形状、角度和速度等信息。
步骤3：根据洛伦兹力的公式F=q*(v×B)，计算洛伦兹力的大小。
步骤4：根据洛伦兹力对带电粒子的向心作用，确定圆心位置。
带电粒子在磁场中受到向心力的作用，因此其轨迹处于一个圆形或弧形的运动路径上。
(完整版)高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
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确定带电粒子在磁场中运动轨迹圆心的方法
带电粒子垂直进入磁场，在洛仑兹力的作用下，做匀速圆周运动，找到圆心，画出轨迹，是解这类题的关键。
下在举例说明圆心的确定方法。
一、由两速度的垂线定圆心
例1. 电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。
当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。
为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度 ，此时磁场的磁感强度B应为多少？
图1
解析：如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。
做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。
图2
设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有
eU mv
=22/
对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有
=2/
evB mv R
由图可知，偏转角θ与r、R的关系为
θ2=r R
tan(/)/
联立以上三式解得
θ
122
=(/)/tan(/)
B r mU e
二、由两条弦的垂直平分线定圆心
例2. 如图3所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向向里。
一带正电荷量为q的粒子，质量为m，从O点以某一初速度垂直射入磁场，其轨迹与x、y轴的交点A、C到O点的距离分别为a、b。
试求：（1）初速度方向与x轴夹角；（2）初速度的大小。
图3
解析：（1）粒子垂直射入磁场，在xOy平面内做匀速圆周运动，如图4所示，OA、OC
是圆周上的两条弦。
做两条弦的垂直平分线，交点O1即为圆轨迹的圆心，以O1为圆心，OO
1＝R为半径画圆。
正电荷在O点所受的洛仑兹力F的方向（与初速度垂直）和粒子的初速度v的方向（与OO
垂直斜向上），也在图上标出。
1
图4
设初速度方向与x 轴的夹角为θ，由几何关系可知，∠O 1OC ＝θ。
在直角三角形OO 1D 中，有
tan (/)/(/)/θ==a b a b 22 θ=arctan(/)a b
（2）由直角三角形OO 1D ，粒子的轨道半径
R a b =+(/)(/)2222
粒子在磁场中运动有 q v B mv R =2/
由上述两式可得 v qB a b m =+222/()
三、由两洛仑兹力的延长线定圆心
例3. 如图5所示，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。
在匀强磁场中做匀速圆周运动的一个电子，动量为P ，电量为e ，在A 、C 点，所受洛仑兹力的方向如图示，已知AC ＝d 。
求电子从A 到C 时发生的偏转角。
图5
解析：如图6所示，A 、C 为圆周上的两点，做洛仑兹力的延长线，交点O 为圆周轨迹的圆心。
以O 为圆心做电子从A 到C 的运动轨迹。
过A 、C 画出速度的方向，则θ角为偏转角。
图6
设粒子的质量为m ，速度为v ，则轨迹半径
R mv eB P eB ==/()/()
由几何关系有 s i n (/)(/)/θ
22=d R 联立以上二式解得 θ=22a r c s i n [/()]deB
P
四、综合定圆心
确定圆心，还可综合运用上述方法。
一条切线，一条弦的垂直平分线，一条洛仑兹力的延长线，选其中任两条都可找出圆心。
例4. 如图7所示，在y <0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B 。
一带正电的粒子以速度v 0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ。
若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L ，求该粒子的电量和质量之比q/m 。
图7
解析：如图7所示，粒子进入磁场后，受洛仑兹力的作用，做匀速圆周运动，从A 点射
出磁场。
OA 是圆轨迹上一条弦，初速度v 0与圆周轨迹相切。
做弦的垂直平分线和初速度v 的垂线，交点O 1即为圆轨迹的圆心。
以O 1为圆心，以O 1到入射点O 的距离R （轨道半径）画出粒子圆周运动的轨迹。
由洛仑兹力公式和牛顿定律有
qv B mv R 002=/
O 1是弦OA 的垂直平分线上的点，由几何关系有 L R /sin 2=θ
联立以上二式解得 q m v LB /sin /()=20θ。