向量二阶非线性积分微分方程边值问题的奇摄动

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二阶积—微分方程边值问题解的存在性

二阶积—微分方程边值问题解的存在性
二阶积—微分方程边值问题是一类公认的重要问题，主要用于描述物理现象和分析时变系统，在物理科学和工程科学领域常见的求解方法是二阶积—微分方程边值问题解。

一、定义：
二阶积—微分方程边值问题是指在b(t)给定的边界上，研究边界值问题：
其中：u(t)是时变系统的未知函数，是满足微分方程：
二、存在性：
求解二阶积-微分方程边值问题的存在性的研究通过推理出给定问题的充分条件，如果充分条件全部满足，则满足问题存在性；如果不满足充分条件，则问题不存在解。

三、唯一性：
一般问题的唯一性可以表示为：
其中上标表示为满足边界值条件的u(t)的唯一解，表示该边值问题的解的唯一性。

四、具体方法：
综上所述，关于二阶积—微分方程边值问题解的存在性，可以采用相关理论和技术，以满足充分条件，来检验其是否存在解，及其唯一性，并利用拉普拉斯变换、参数外推、数值解法等方法求解，实现二阶积—微分方程边值问题更准确的求解。

含两个参数的向量二阶拟线性边值问题的奇摄动

中图分类号：１５１０７．３文献标志码：Ａ文章编号：６３８２（０８０－１２０１７．０２０）２００－０６
１７９６年文［］１证明了向量二阶拟线性边值问题
” ＋Ａ，ＹＹ＋（，） ’ ，Ｙ＝０；０）＝Ｏ）Ｙ１）＝／），）（，ｔ（，（，３（（）１
．
拓广为伴有边界摄动且含有两个参数的边值问题，即
『 ”＋Ａ（，）＋，ＹＹ，Ｙ＝０，），／、， ’
ｔ（ｙｇ）＝Ｏ，，（）：（）ｔ）Ｙ１一（，，
其中＞０，＞０是小参数， ∈ ［１一，，是ｎ维向量函数，ｎ×ｎ矩阵函数，，］Ｙ，是并且它们都可以按或或，渐近展开．本文给出了边值问题（）的渐近式的构造，幂２解并且导出了求形式渐近解的程序和余项估计，广和改进了文［］拓１的工作．
Ｐ（，，）＝一Ｃ，０Ｄ（，，）以及对于 ≤ ＜１一／，，，）（０，）ｘＯ０，ｚＱ（００
Ｃ，０．而且做变量替换（０，）
其中 “ ）是退化问题Ａ，，）＋厂０，）＝０ “ １（（０“ “ （， “ ，（）＝／（）的解，＞０是常数．近几年来，３０向量边值问题奇异摄动的研究又取得了一些新进展＿．文在文［］２本一Ｊ１工作的基础上，向量边值问题（）把１
修明

两类奇异的非线性微分方程边值问题解的存在性分析

摘要分数阶微积分已有很长的历史. 早在1695年，在Leibniz 和L’Hospital 的往来书信中就已经提到了分数阶微分的概念. 在近三个世纪内，人们对分数阶微积分理论的研究主要集中在数学的纯理论领域. 然而在最近几十年内，许多学者纷纷指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，这些性质在经典模型中是常常被忽视的．如今，分数阶微分方程模型越来越多地被用于描述声学、热学系统、材料力学、信号处理、系统辨识、控制理论、机器人科学以及其它应用领域中的问题．本文的工作如下：第一部分是绪论，主要简要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的研究历史和发展现状，以及分数阶微分方程正解存在性方面的研究工作.第二部分研究了一类奇异的非线性semipositone Sturm-Liouville 边值问题正解的存在性. 我们的主要方法是对非线性部分()f y 进行重新定义，使其转化成非奇异的p ositone 边值问题，然后应用锥上的不动点定理以及泛函分析的知识证明该奇异非线性s emipositone Sturm-Liouville 边值问题的正解的存在性.第三部分讨论了一类奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题正解的存在性. 我们的主要思想是重新研究非线性部分0(,(),())f t x t D x t β+，使其转化为非奇异的分数阶微分方程边值问题，然后再对每一个重新定义的非线性部分为0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈)的边值问题，证明其存在正解n x ，最后通过紧集上函数列极限的性质给出原奇异非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题的正解的存在性.关键词：微分方程，分数阶微分方程，边值问题，正解，奇异性，不动点.AbstractFractional calculus has a long history. As early as in 1695, the concept of fractional differential was already mentioned in the correspondence of Leibniz and L'Hospital. During the past three centuries, the research of fractional calculus theory was mainly concentrated in the pure theoretical field of mathematics. However, in the recent several decades many scholars in succession pointed out that fractional calculus is very suitable to characterize materials and processes with memory and hereditary properties, which were often neglected in the classical models ．Nowadays, fractional differential equation models are increasingly used to describe the problems in acoustics, thermal systems, material mechanics ，signal processing, system identification, control theory, robotics and other applied fields ．This thesis is divided as follows:The first part is an introduction, briefly presents the research history and development status of the fractional calculus and fractional differential equations, and some past research works about the existence of positive solutions of the fractional differential equations.The second part studies a singular nonlinear semipositone Sturm-Liouville boundary value problem. We redefine the nonlinear part ()f y , and make the singular boundary value problem transform into a nonsingular positone boundary value problem, and then prove the existence of a positive solution for the original singular nonlinear boundary value problem by using the cone fixed point theorem as well as knowledge of functional analysis.The third part discusses the positive solution existence for Dirichlet boundary value problem of a singular nonlinear fractional differential equation. We study itsnonlinear part 0(,(),())f t x t D x t β+, and have it transform into a nonsingular boundaryvalue problem, and then prove the existence of a positive solution n x for eachboundary value problem with redefined nonlinear part 0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈), andfinally we give the existence of a positive solution for the original Dirichlet boundary value problem via the limit properties of a sequence of functions on compact sets. Keywords: Differential equation, fractional differential equation, boundary value problem, positive solution, singularity, fixed point.目录摘要 (1)Abstract........................................................................................................I I 第一章绪论 (1)1.1分数阶微积分的历史 (1)1.2分数阶微分方程的研究现状 (2)第二章带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville边值问题解的存在性52.1 引言 (5)2.2 预备知识 (6)2.3 主要结果 (7)第三章带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet边值问题正解的存在性 173.1 引言 (17)3.2 预备知识 (19)3.3 主要结果 (29)参考文献 (31)攻读硕士期间发表的论文 (34)后记 (35)第一章绪论1.1分数阶微积分的历史牛顿和莱布尼茨发明的微积分是现代数学和古典数学的分水岭，数学的发展和应用自此发生了根本性的变化，分析、几何和代数一同成为数学的三个基本研究方向和工具.对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是一个新奇的概念和数学工具，但它实际上早在300多年前就已被提出，和传统的整数阶微积分有着一样久远的历史.莱布尼茨最先引入/n n d y dx 来表示导数，也正是因为这个符号的出现，促使了L’Hospital 对分数阶导数问题的思考.1695年9月，L’Hospital 在写给莱布尼茨的信中问到：“一个函数()f x 的n 阶导数可以表示为()n n d f x dx ，如果当12n =时会有怎样的结果.” 莱布尼茨在回信中写道：“这显然是一个悖论，但总有一天会得出有用的结论.”由此，分数阶微积分诞生了，在之后300多年的学习研究过程中，莱布尼茨的这句话已经得到了验证，至少他说对了一半,尤其是在二十世纪，大量有关分数阶微积分的应用被人们所发现.尽管分数阶微积分有了这些应用以及一些数学背景，然而它的物理意义却很难把握，分数阶微积分的定义也不像整数阶微积分那样完善.历史上，莱布尼茨、欧拉、拉普拉斯、Lacroix 和傅里叶都曾对分数阶导数做出过重要贡献，其中,欧拉迈出了关键的第一步.他注意到，当n 时非整数时，幂函数a x 的导数na n d x dx在数学上有意义.1812年，拉普拉斯提出了积分形式的的函数()x T t t dt -⎰的分数阶导数的思想.1819年，Lacroix 第一次给出了1/21/21/2d x dx =1823年，Abel 在求解等时曲线的积分方程时，第一次使用分数阶算子并用分数阶微积分来表示该方程的解.1832年，Liouville 成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题，此后，Liouvile 发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的创始人.19世纪末，物理学家Heaviside发表的一系列文章表明，分数阶算子可以应用于求解特定的整数阶微分方程，从数学角度看，他的方法并不严格，但被证明对电缆中电流的传输这类问题非常有效.后来Heaviside的结果被证明是正确的，但他的处理过程在数学上并不完善，直到1919年Bromwich才把这一工作完善，Heaviside的想法极大的促进了分数阶算子的发展，但当时分数阶微积分还没有被应用于科学和工程的物理和力学建模.20世纪40年代，力学家Scott和Gerasimov分别独立的提出了介于牛顿流体和胡克定律表征的分数阶导数模型.地理学家Caputo和Mainardi将分数阶微积分方法运用到复杂黏弹性和流变介质，发展了若干的力学模型，更为重要的是，Caputo发展了一个不同于传统的Riemann-Liouville分数阶导数的新定义（被人们称为Caputo定义），克服了前者的强奇异性，并且自然的将初始条件含在定义中，在解决实际问题时得到了非常广泛的应用.1965年，美国耶鲁大学的Mandelbrot教授提出分形的概念，并首次指出自然界和工程中存在大量分数维的事实，并且整体与部分之间存在自相似现象，他认为分数阶布朗运动与Riemann-Liouville提出的分数阶微积分定义有紧密的内在联系.从此，作为分形几何和分形动力学的基础，分数阶算子理论特别是分数阶微分方程的研究开始得到广泛关注，分数阶微积分的研究重点也逐渐从纯数学领域转移到其它学科领域.20世纪末至今，由于反常扩散、多孔介质力学、非牛顿流体力学、黏弹性力学等研究的需要，分数阶导数的研究和应用再度引起广泛重视，成为多个领域学者研究的热点.1.2分数阶微分方程的研究现状现实的世界本质上是分数阶的.过去用整数阶微积分描述自然界中的事物，但自然界中许多现象依靠传统的整数阶微积分是不能精确描述的，必须对传统的微积分进行拓展才能更好的描述与研究这样的现象.分数阶微分方程是扩展传统微积分学的一种直接方式，即允许微分方程中对函数的导数阶次选择分数，而不是现有的整数.目前，分数阶算子的定义主要有Riemann-Liouville型、Caputo型、Grunwald-Letnikov型，Weyl型、Erdelyi-Kober型、Riesz型以及Marchaud-Hadamard型分数阶微积分[]23，前面三种定义用的最为广泛，同时这三种定义还存在着一定关系:Riemann-Liouville型分数阶微分定义和Caputo型分数阶微分定义都是在Grunwald-Letnikov型分数阶微分定义的基础上进行改进而得到的，但是它们同时又有各自的侧重点，其中对于Riemanna-Liouville 型定义是从数学角度出发，在计算时初始条件是必要的，但这个定义在应用方面缺乏物理背景，是得它在很大程度上不能适用于具体模型;而对于Caputo 型定义，它正好弥补了Riemanna-Liouville 型定义可以很好的应用到数学模型中去，因为此时的初始条件恰好是整数阶的导数，这样连带的初始条件就可以很好的描述一些物理现象的特征，并能准确的对它进行计算，它还比较适用于拉普拉斯变换，有利于分数阶微分方程的进一步讨论随着分数阶微积分定义的出现，分数阶微分方程的求解就成为数学家至今仍在研究的主要课题,在分数阶微分方程的解析解研究方面：Agarwal []26,29,30研究了分数常微分方程解的存在性、唯一性；Miller 和Ross []21给出了一种分数阶微分方程的求解方法；Wyss []36等人给出了分数阶Black-Scholes 方程的一个完整解；Zhanbin Bai []40,41, Chuanzhi Bai []11等研究了分数微分方程正解的存在性;然而，由于分数阶微分方程的解析解以及基本解大多带有特殊函数(如多变量的Mittag-Lemer 函数)，这些特殊函数的计算是相当困难的，而且并非所有的分数阶微分方程都能得到其解析解.因此，建立分数阶微分方程的数值方法是非常必要的，在分数阶微分方程的数值解研究方面：Diethelm []1314，等人对于Adams类型的分数阶微分方程，提出用预测校正法来得到微分方程的数值解并且讨论了分数阶非线性微分方程的求解问题，在特定初值和Riemann-Liouville 型分数阶微积分定义的条件下求解分数阶微分方程的数值解；Diethelm 和Ford []15在分数阶微积分的Caputo 定一下给出了给出了一种求解分数阶微积分的数值算法；Sayed []33等人对于线性分数阶微分方程给出了一种计算其近似的数值解的算法，该算法需要很大的计算量来得到计算权数；Agrawal []4等人在Caputo 型分数阶微积分的基础上，求解了分数阶漫射波方程，数值解在实际问题中得到了广泛的应用，数学家们给出了自己的解法，每种解法都随着计算机技术的快速发展得到了验证.在最近的十多年里，有关分数阶微分方程的论文和著作相继出现，在这些论文和著作当中，也有很大一部分文章是关注不同边值条件和不同阶数取值范围下的分数阶微分方程正解存在性和唯一性问题，在不同的边值条件和阶数条件范围下，可以采用不同方法来求解分数阶微分方程的解以及证明其正解的存在性.已知的求解方法中较多是采用各种推广的特殊函数来直接求解，其中Green 函数是研究的重点内容，不同的边值条件和阶数的取值范围会产生不同的Green函数以及相应的Green函数值的有所不同，进而导致在后续估计分数阶微分方程正解的存在的条件以及在证明正解存在性的方法上出现显著差别.本文主要利用非线性泛函分析中的不动点理论,把解的存在性转化为某个非线性算子不动点的存在性.研究了一类分数阶微分方程在边值条件下正解的存在性.第二章带有奇异的非线性SemipositoneSturm-Liouville 边值问题解的存在性2.1 引言近年来，带有奇异的或非奇异的positone 问题(其中非线性项()f y 为非负值)的研究已引起了很多的学者的关注，详见文献[17，25,26,28].最近，文章[19,20]开始讨论了Semipositone 非奇异问题. 这里Semipositone 问题指的是非线性项()f y 可能在0y =处奇异并且f 可以取负值.本章主要研究了带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.0μ>这里是常数，1[0,1],q L ∈:(0,)f R ∞→连续并且在0y =处奇异, ,,,0:0.αβγδργβαγαδ≥=++>及在文献[27]中作者研究了带有奇异的Semipositone Dirichlet 边值问题 ()()(())0,01(0)(1)0;y t q t f y t t y y μ''+=<<⎧⎨==⎩解的存在性.受以上文献启发，本文讨论了带有奇异的Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.本章主要利用锥上的不动点理论来建立边值问题解的存在性，本章第二部分首先介绍了一些基本定义和引理,给出我们后面用到的基本定理，第三部分是我们的主要定理并给出了(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ特殊情形时的一个例子，边值问题(1)0,01(0)(1)0,0,0p q y y y t y y p q μ-''⎧++-=<<⎨==>>⎩ 当μ充分小时，有一个解()2[0,1](0,1),()0,0,1y C C y t t ∈⋂>∈且有()()(())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t y y y y μαβγδ''+=<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩2.2 预备知识定理 2.2.1[]27(,)E E K E =⋅∈设是一个Banach 空间，是一个锥，,r R 都是常数且有r R <<0.{}(=:)R R A K K x E x R Ω⋂→Ω∈<假设:这里，A 是一个连续的紧映射并且假设下列条件成立：(1) (),[0,1)E r x A x x K λλ≠∈∈∂Ω⋂且， (2) ,E R Ax x x K >∈∂Ω⋂，那么算子{}:A K x E r x R ⋂∈≤≤在集合上有一个不动点.引理 2.2.1[]27设{}[0,1]()0,[0,1]()[0,1]K y C y t t y t ∈≥∈＝:并且是上的凸函数，如果y ,K ∈那么 01()(1),[0,1];=max ()t y t t t y t y y t ≤≤≥-∈这里. 引理2.2.2 1[0,1],()0,(0,1),q L q t t ∈>∈假设那么边值问题()()=0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t t y y y y αβγδ''+<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩(2.2.1) 的解0()(),[0,1]w t w t G t t C t ≤∈满足(,);G t t 其中(,)为边值问题 =0,(0)(0)0,(1)(1)0;y y y y y αβγδ''⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩其中1()(),01,1()(),01,t s s t G t s s t t s γδγβαργδγβαρ⎧+-+≤≤≤⎪⎪⎨⎪+-+≤≤≤⎪⎩(,)= 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 记 ():,():,01t t t t t ϕγδγψβα=+-=+≤≤.证明：因为(2.2.1)式的解Green G t s 的函数(,)当t=s 的情形,1011()()()()()()()t t w t t s q s ds s t q s ds γδγβαγδγβαρρ=+-+++-+⎰⎰10()()1()()()()t t t t s q s ds s q s ds ϕψβαγδγρρρ=+++-⎰⎰ 10()()()()()()t t t t t t q s ds q s ds ϕψϕψρρ≤+⎰⎰ 所以有00()()()(,)t t w t C G t t C ϕψρ≤=. 引理2.2.3 :(0,)f R M ∞→>设的连续函数并且存在一个常数0,使得 ()0,f u M +≥(0,)u ∀∈∞，若边值问题*()()(()())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t t y y y y μφαβγδ''⎧+-=<<⎪'-=⎨⎪'+=⎩（2.2.2） 211[0,1](0,1)()(),(0,1),y C C y t t t φ∈⋂>∈有一解且 ()=(),t Mw t φμ这里 *()(),0f v f v M v =+>.1()()()u t y t t φ=-那么为(1.1.1).式的一个非负解证明：因为1()()()u t y t t φ''''''=-=*1()(()())()q t f y t t Mq t μφμ--+ []1()(()())()q t f y t t M Mq t μφμ=--++1()(()())()(())q t f y t t q t f u t μφμ=--=-所以有()u t ''=()(())q t f u t μ-，即1()()()u t y t t φ=-是(2.1.1).式的一个非负解2.3 主要结果假设下列条件成立:(H1):(0,)f R M ∞→>的连续函数并且存在一个常数0,使得()0,f u M +≥ (0,)u ∀∈∞.(H2)()()()f u M g u h u +=+,(0,)u ∀∈∞，其中0g ∞为（，）上正的连续递减函数并且存在000()()(),0,0K g ab K g a g b a b >≤∀>>使得. h ∞为[0,）上的连续非负函数并且有0hg∞为（，）上的递增函数. (H3) 存在常数,(,)(1),L G t t Lt t ≤-使得存在0,r MLC μ>使得00001,()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 1021002max 2(1)(),2(1)(),b t t q t dt t t q t dt ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭⎰⎰其中，100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰. (H4)11((1))(0,),()(,)2()((1))((1))a a Rg a a R a R r q s G s ds g R g a a R h a a R εμσεε--∈>≤-+-⎰存在有这里 00MLC Rμεε>≥是任意常数且满足1-，11[0,1]01()(,)sup ()(,)a aaat q s G s ds q s G t s ds ξξ--∈≤≤=⎰⎰满足.定理2.3.1 假设条件(H1)、(H2)、(H3)和 (H4)成立，那么边值问题(2.1.1) 式有一个解2[0,1](0,1)(0,1)()0.y C C t y t ∈⋂∈>且有当时证明：记0*0001:(1)m N m N a a R m ηηε⎧⎫=∈<<-⎨⎬⎩⎭且. 我们首先证明边值问题0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.1）对0m N ∀∈有一个解m y ，()0,()(),[0,1],,m m m y t y t t t r y R φ≥≥∈≤≤这里1()()(),()11()(),0.m f v M g v h v v mf vgh v v mm ⎧+=+≥⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩欲证（2.3.1）式，我们接下来看下式*0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.2） *1()()(),11()()(),01()(0),0.m f v M g v h v v m f v g h v v mm g h v m ⎧+=+≥⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩这里所以我们有*()0,(,).m f v v ≥∀∈-∞∞0,([0,1],){[0,1]()0,[0,1]()[0,1]}.m N E C y C y t t y t ∈=∈≥∈固定并且Ｋ＝:且是上的凸函数()():[0,1]y t y t A K C →是边值问题（2.3.2）式的解当且仅当是算子1*01()()(()())(()())m Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ=-++⎰(,) （2.3.3）的不动点.:[0,1]A K C →由文献[27]知算子是连续的并且是全连续算子.:A K K →接下来验证*()0,(,)()0.m u K f v v Au t ∀∈≥∀∈-∞∞≥对,因为，所以有同时也容易看出()0A u t ''≤，(0,1),.t ∈ {}{}12=[0,1]:,[0,1]:.u C u r u C u R Ω∈<Ω=∈<设1,[0,1).y Ay y K λλ≠∈∈⋂∂Ω我们首先证明且=0.(0,1)=y Ay y Ay λλλλ≠∈当时，显然成立当时，假设成立，我们有*()()(()())0,01m y t q t f y t t t λμφ''+-=<< （2.3.4）00[0,1](0,1),(0,)()0,y t t t y t '∈∈≥由是凸函数可知，在区间上存在点使得当时有000(,1)()0,().t t y t t y t y r '∈≤==时有并且在处有0(,)()(1)=()(1)()(,),0,1(1)G t t y t t t y y t t t r w t G t t C L t t t ≥-≥-≤≤∈-因为以及,（）0()()()=()1()1()MLC Mw t y t t y t y t y t r μμφ⎡⎤⎡⎤--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以 0,r MLC μ>由于所以有0()()()10,0,1MLC y t t y t t r μφ⎡⎤-≥->∈⎢⎥⎣⎦（）（2.3.5） *11()=()()()0m v f v g v h v v v m m≥+∞≤≤当时，，因为g 在(0,)上递减，所以当时，*1()()()()()m f v g h v g v h v m=+≤+，*(()())(()())(()()),(0,1)m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈故有(0,1)(2.3.4)x ∈因此当时，由式我们有()()(()())(()())y x q x g y x x h y x x μφφ''≤-+--(()())()(()())1(()())h y x x q x g y x x g y x x φμφφ⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭(2.3.5)由式，我们有0(()())()()()11(()())MLC h y x x y x q x g y x r g y x x μφμφ⎧⎫-⎡⎤''≤-+⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭-（） 00()1)1()())(MLC h r K gq x g y x rg r μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭（（）（2.3.6）不等式00()t t t t ≤两边从到积分得，00()()(())1)1()(t t MLC h r y t K g y t g q x dx rg r μμ⎧⎫'≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（）（2.3.7） =y Ay λ由知，1*01()()(,)()(()())(()())m y t Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤=-++⎰ 1*1(,)()(()())(()())m G t t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤-++⎰1*1(1)()(()())(()())m Lt t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤--++⎰ 因此++(0)(1)y y m mγδβαδβρρ++≤≤有，. 取++=max ,m mm γδβαδβηρρ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭0(2.3.7)t ，对式两边从0到积分,以及由分部积分得00+00()1)1()()(rt mMLC duh r K g xq x dx g u r g r γδβρμμ+⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰⎰（）有 0000()11)11)()()(1mrt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬-⎩⎭⎰⎰（（）000(2.3.6()1t t t t t ≥类似的，如果我们对）式两边先从到积分，然后再对不等式两边从到积分得m1000()11)11)()()(rt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭⎰⎰（（）有 000()1)1()(mrMLC duh r K b g g u r g r ημμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（）（2.3.8）其中0b 为条件（H3）中所定义，又因为由条件（H3）有00001()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 所以当η充分小时有0001()11()r du K b gu MLC h r g r g r ημμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 与（2.3.8）式产生矛盾.接下来我们证明，当 2y K Ay y ∈⋂∂Ω>时，有，2K ⋂∂Ω因为当时，有()(1),[0,1]y t t t R t ≥-∈.0(0,1)()()()1()(1)MLC t y y t t y t y t t t R r μφεε⎡⎤∈∈-≥-≥≥-⎢⎥⎣⎦当时, [],1t a a ∈-因此，当时，我们有 ()()(1),y t t a a R φε-≥-1()()(1)y t t a a R m φε-≥->由有 []*(()())=(()())(()()),,1mf y t tg y t th y t t t a a φφφ--+-∈- 1*01()()(()())(()())m Ay G s q s f y s s ds mξμξφϕξψξρ=-++⎰(,) 1*()(()())a m a G s q s f y s s dsμξφ-≥-⎰(,)1(()())()(()())1(()())a ah y s s G s q s g y s s ds g y s s φμξφφ-⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭⎰(,)1((1))()1()((1))aa h a a R g R G q s ds g a a R εμξε-⎧⎫-≥+⎨⎬-⎩⎭⎰(,s)(),(2.9).Ay R y ξ≥=由条件(H4)知因此式成立211.2.1(\),(1),[0,1]m m m A y r y R y t t r t ∈ΩΩ≤≤≥-∈由定理知有不动点并且有.0(1)(1)()()m y t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=因为m y 所以是边值问题(2.3.1)式的解.{}0[0,1].m m N y ∈下证是定义在区间上的有界，等度连续的函数族因为 *(()())(()())(()()),(0,1).m m m m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈(()())()()(()())1(()())m m m m h y t t y x q x g y t t g y t t φμφφ⎧⎫-''≤-+⎨⎬-⎩⎭所以我们有-00()()1)1()())()m m MLC h R y x K g q x gy x rg R μμ⎧⎫''≤-+⎨⎬⎩⎭-（（（2.3.9） 0(),()()()1()1,(0,1)()m m m m m MLC Mw s r y R y s s y s y s s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤≤≤-=-≥-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又因为，(0,1),(0,)()0,(,1)()0,m m m m m t t y t t y t ''∈≥≤同时存在使得在区间上在区间上 (2.3.9)()m m t t t t ≤对式两边从到积分得00()()1)1()())(mt m t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（）（2.3.10）(2.1.9)()m m t t t t ≥另一方面式两边从到积分得00()()1)1()())(m tm t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫-≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（）（2.3.11）由（2.3.10）、（2.3.11）式可知'00()()1)1(),(0,1)())(m m y t MLC h R K g v t t g y t rg R μμ⎧⎫≤-+∈⎨⎬⎩⎭（（）（2.3.12）其中{}{}10max ,min ,()()t a t a v t q x dx =⎰，{}{}00010inf :sup :1m m a t m N t m N a <<∈≤∈<<.注：这里0,1()0m m m t y t '=是区间（）上唯一的一点，满足,有{}0inf :0m t m N ∈>. 倘若不成立，那么存在0N 的子列，使得0m m t →∞→当时，有. 对（2.3.10）式两边从0m t 到积分可得()00000()1)1()()(()m m m m y t t MLC duh R du K g xq x dx g u r g R g u ημμ⎧⎫≤-++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰（）（2.3.13）因为0,0m m m t η→∞→→当时，有，由（2.3.13）式可知m →∞当时有()0m m y t →，然而因为()m m y t 在区间[0,1]的最大值在m t 处取得，所以当0m m y →∞→当时，有这与()(1),[0,1]m y t t t r t ≥-∈矛盾故有{}0:m 0m inf t N ∈>.类似的可以证明{}0sup :1m t m N ∈<. 定义映射0:[0,)[0,),()()y duI I y g u ∞→∞=⎰，显然{}0)m m N I y ∈（是有界的.(())(())m m I y t I y s -()()()()(())m m y t t my s sm y x dudx g u g y x '==⎰⎰00()1)1()(ts MLC h R K g v x dx rg R μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（）可知{}0)m m N I y ∈（是等度连续的. 由，[]1()I I R -在区间0,上的一致连续性以及11())(()=((()))((()))m m m m y t I y s I I y t I I y s ----知{}0[0,1]m m N y ∈是定义在区间上的有界，等度连续的函数族.由Arzela Ascoli -定理知，存在0[0,1],N N y C ∈的子列以及函数 m →∞当时m y y 有在区间[0,1]上一致收敛到同时有(0)(0)0y y αβ'-=(1)(1)0y y γδ'+=，r y R ≤≤，()(1),[0,1]y t t t r t ≥-∈，且有0()(1)(1)()()y t t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=. 固定(0,1)t ∈，不失一般性，我们假设12t >，固定(0,1),x x t ∈>满足，对1[,]2s x ∀∈ 0()()()()1()1()MLC Mw s y s s y s y s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤-=-≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦00(1)(1)112MLC MLC x s s r r r r μμ-⎡⎤⎡⎤≥--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦选择0001(1)12MLC x n N r n r μ-⎡⎤∈<-⎢⎥⎣⎦使得，，设{}10:.N m N m n =∈≥ 当1,m y m N ∈时，由泰勒公式有12111()()()222x m m m y x y y x f s x s ds⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰=[]12111()(()())(()()()222x m m m m y y x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'+-+-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰因为(1)()m rs s y s R -≤≤，所以11,2my m N ⎧⎫⎛⎫'∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为有界序列，[]0,1s ∈. 故112m m N y ∈⎧⎫⎛⎫'⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭有一个收敛的子列，不妨设子列的极限收敛到0r R ∈，在1N 中当m →∞时，我们有，[]10211()()(()())(()()()22x y x y r x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（2.3.14）对（2.3.14）式两边求二阶导有[]()()(()())(()())0y x q x g y x x h y x x μφφ''+-+-=所以有 [][]()()(()())(()())0,0,1y t q t g y t t h y t t t μφφ''+-+-=∈*()()(()())0,01y t q t f y t t t μφ''+-=<<.因此y 为（2.2.2）式的解并且有()()y t t φ>，(0,1)t ∈. 下面我们通过一个实例来给出了定理2.3.1的一个应用. 例：考虑边值问题(1)0,01(0)(1)0,p q y y y t y y μ-''⎧++-=<<⎨==⎩ (2.3.15) 这里0(0,)μμ∈且满足()100(1)12pp μμ++≤. (2.3.16)那么边值问题(1.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.我们将应用定理 2.3.1来证明，边值问题(2.3.15)式是(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ的特殊情形. 设01,(),(),1p q M g y y h y y K -====,1L =，14a =，其中 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰10[0,1]111max 112t t t sds sds t t ∈⎧⎫=+-=⎨⎬-⎩⎭⎰⎰. 11210021max 2(1),2(1)6b t t dt t t dt ⎧⎫=--=⎨⎬⎩⎭⎰⎰.01122r MLC r μμμ==<≤=取时有，，()1001112121121()11()ppp r p q du r gu r rp p MLC h r g r g r μμμ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪+++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (2.3.16)由式有()()00000011122222121()11()p pr du K b p p gu MLC h r g r g r μμμμμμ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<≤≤=++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 取01111222MLC R R R μμε=>=-≥,当时有，1- . 最后当,1R q →∞>时有，13((1))320()((1))((1))333232pq p qp qR Rg a a R g R g a a R h a a R Rεεε-+-+⎛⎫⎪-⎝⎭=→-+-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此定理2.3.1的条件（H1）、（H2）、（H3）、（H4）均满足，故边值问题(2.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.第三章带有奇异的非线性分数阶微分方程D i r i c h 边值问题正解的存在性3.1 引言近年来，人们开始并越来越多的关注、研究分数阶微分方程，主要是因为分数阶微积分自身理论的发展以及在多种学科中的应用，例如物理学，化学，工程学等等，详见文献[8,23,30,31].分数阶微分方程的Dirichlet 边值问题是很多学者研究是的焦点，在文献[40]中作者研究了边值问题()(),()0(0)(1)0D y t f t y t y y α+===正解的存在性和多解性，这里[][]()12,0,1,0,f C α<≤∈∞为非负函数，Bai Zhanbin 通过Krasnosel’skii 不动点定理和Leggett-Williams 不动点定理得到了相关结论.在文献[32]中，Zhang 研究了边值问题()(2)()(),,0,01,1n D u t q t f u u u t n n αα-'+=<<-<≤， (3.1.1)(2)(2)(0)(0)(0)(1)0,n n u u u u --'===== (3.1.2)这里0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数，q 可能在t=0处奇异，f 可能在(2)0,0,0n u u u -'===处奇异.在此基础上Goodrich 在文献[42]中研究了边值问题()0(),(),01,1,vD y t f t y t t n v n +-=<<-<≤ (3.1.3) ()0,02,i y i n =≤≤-（0） (3.1.4)00()0,12,t D y t n αα+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (2.1.5)这里的3n >,可以看出边值条件(3.1.2)式是边值条件(3.1.4)和(3.1.5)式的特殊情形，文献[42]在Zhang 研究的基础上进一步阐述了Green 函数的有关性质Harnack-like 不等式，这是在锥上寻找正解存在性的一个重要性质.文献[28]中Agarwal 等研究了边值问题()(),(),()0,D u t f t u t D u t αμ+= (3.1.6) (0)(1)0,u u == (3.1.7)正解的存在性，这里12,0,1αμαμ<<>-≥，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.f 是正的Caratheodory 函数并且(,,)0f t x y x =在处奇异，通过锥上的不动点定理以及函数列的相关性质证明了边值问题(3.1.6)、(3.1.7)式正解的存在性.本章主要在文献[28,42]的基础上研究下面的带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题00()(,(),())0,01D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.8) ()(0)0,02i x i n =≤≤- (3.1.9)01()0,02t D x t n μμ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (3.1.10)正解的存在性.这里1n n α-<≤，01βα<≤-，f 是正的Caratheodory 函数并且在[0,1],(0,)B B ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件(([0,1]f C a r B ∈⨯，(,,)0f t x y x =在处奇异，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.我们说函数f 在集合[0,1],(0,)B B R ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件，如果函数f 满足下面三个条件：[]()(,,):0,1(,)a f x y x y B →∀∈是可测函数，成立， [](b)(,,):0,1f t B t →∈是连续的，a.e.成立， []1()0,1,c B L κκϕ∈对中的任一紧集，存在函数使得[](,,),0,1(,)f t x y t x y B κϕ≤∈∀∈a.e.，成立，函数[]0,1u C ∈称为边值问题(2.1.8)-(2.1.10)的一个正解，如果x 在区间(0,1)上有0x >，[]00,1D x C β+∈，[]100,1D x L μ+∈且满足边值条件(3.1.9)、(3.1.10)式和等式(3.1.8),对几乎所有的[]0,1t ∈成立.本文中假设函数f 满足下列条件：[]()1():0,1,(0,),H f Car C B B ∈⨯=∞⨯[]0lim (,,),..0,1,x f t x y a e t y +→=∞∈∀∈(3.1.11)并存在正整数m 满足(,,)(1)f t x y m t μ≥-，[]..0,1,(,)a e t x y ∈∈∀∈(3.1.12)()[]2():(,,)()()()(),..0,1,(,)H f t x y t q x p x y a e t x y B γω≤++∈∈∀∈这里[]()[)1()0,1,0,1,,0,1t L q C p C γω∈∈∈都是正的函数，其中q 单调递减，,p ω单调递增，且有[]10()((1))s q K s s ds αγ-<∞⎰，()1mK α=Γ+ (3.1.13)()()lim0x p x x xω→∞+= (3.1.14)因为(3.1.8)式是一个奇异方程，故我们定义1(,,)11(,,)0n f t x y x n f f t y x n n⎧≥⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩有[]()[)**0,1,0,n f Car C B B ∈⨯=∞⨯，n ∈，由条件1()H 和2()H 可得[]*1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭ (3.1.15)[]1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭(3.1.16)接下来我们首先讨论一般的分数阶微分方程00()(,(),())0,01n D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.17) 3.2预备知识定义2.1[]40空间[]0,1C 上的范数[]{}max ():0,1x x t t =∈，空间[]10,1L 上的的范数1()Lxx t dt =⎰.定义 3.2[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶积分由以下公式给出：1001I ()()()()ty t t s y s ds ααα-+=-Γ⎰ (3.2.1) 上式右端在(0,)∞上有定义，其中10()s e s ds αα∞--Γ=⎰.定义3.3[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶微分由以下公式给出：0101()()()()n tn d y s D y t ds n dt t s ααα+-+⎛⎫= ⎪Γ--⎝⎭⎰ (3.2.2)上式右端在(0,)∞上有定义，其中[]1n α=+，[]α表示实数α的整数部分.引理3.1[]28关于分数阶微积分有如下性质：（1）00I ()()D y t y t αα++=，..(0,1]a e t ∈, 1(0,1)y L ∈, 0α>（2）如果0α>，0λ>，那么110()()D ttαλλαλλα---+Γ=Γ- (3) []10()(,1),0,1tt s s ds t B t βααβαβ----=-∈⎰,其中B 为Beta 函数1110(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --=->>⎰，()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+(4) [][]1()(),0,1,()0,1.I I f t I f t t f t L αβαβ+=∈∈ 由性质(4)可知()111()()()(,)()()t s tt s s f d ds B t s f s ds αβαβττταβ+-----=-⎰⎰⎰引理3.2[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂，那么分数高阶微分方程0()0D y t α+=有唯一解1212()N N y t C t C t C t ααα---=+++，,1,2,,i C R i N ∈=,其中N 是大于或等于α的最小整数.引理 3.3[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂且关于α的分数阶导数0()(0,1)(0,1)D yt C L α+∈⋂，那么120012I ()()N N D u t u t C tC t C t ααααα---++=++++ (3.2.3)其中，,1,2,,i C R i N ∈=，N 是大于或等于α的最小整数.引理3.4[]42设[]0,1f L ∈，那么边值问题0()()0,01,1D u t f t t n n αα++=<<-<≤， ()(0)0,02i u i n =≤≤-01()0,02t D u t n ββ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦有唯一的解1()(,)()y t G t s y s ds =⎰，其中11111(1)(),01()(,)=(1),01()t s t s s t G t s t s t s ααμαααμαα-------⎧---≤≤≤⎪Γ⎪⎨-⎪≤≤≤⎪Γ⎩证明：由引理2.3知，边值问题的解为12120()I ()n n u t C t C t C t f t αααα---+=+++- (3.2.4)由边值条件（1.4）式知230n C C C ====，对上式两边求μ阶导数，由引理2.1以及边值条件(2.1.5)式知11010()1()()()()()tD u t C t t s y s ds μαμαμααμαμ----+Γ=--Γ-Γ-⎰ 当1t =时有，1110()10(1)()()()C s y s ds αμααμαμ--Γ=--Γ-Γ-⎰，故有 11101(1)()()C s y s ds αμα--=-Γ⎰ 1111001()(1)()()()()()t t y t s y s ds t s y s ds ααμααα----=---ΓΓ⎰⎰111111011((1)())()(1)()()()t tt s t s y s ds t s y s ds ααμαααμαα-------=---+-ΓΓ⎰⎰ 设[][]{}0,1:0,1X x C D x C β=∈∈，给空间X 赋以范数{}*max ,x x D x β=，由文献[14]知X 是Banach 空间.定义空间X 中的锥P ，[]{}:()0,0,1.P x X x t t =∈≥∈为了证明边值问题(3.1.9)、（3.1.10）、(3.1.17)有一个正解，我们首先通过公式定义锥上的算子n T ，10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰ (3.2.5)引理3.5如果条件1()H 和2H （）成立，那么:n T P P →是一个全连续算子. 证明：设x P ∈，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以[]10,1n f L ∈，故有10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰1110(1)(,(),())()n t s f s x s D x s ds ααμβα---=-Γ⎰ 101()(,(),())()t n t s f s x s D x s ds αβα---Γ⎰ []10()(,(),())0,1(,)0tn t s f s x s D x s ds C G t s αβ--∈≥⎰由以及，可知()()[]()()0,1,0n n T x t C T x t ∈≥ (3.2.6)接下来由引理3.1的性质（3）、（4）可知()()()()()()101nn tn n d D T x t t s T x s ds n dt βββ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰()()()111(,)(,(),())nn t nd t s G s f x D x d ds n dt ββτττττβ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰⎰=()()1111001s (1)(,(),())()nn tn d t s f x D x d ds n dt αβαμβτττττβα-----⎛⎫-- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()110011()(,(),())()nn t s n d t s s f x D x d ds n dt βαβτττττβα---⎛⎫--- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()111101s (1)(,(),())()nn t n d t s ds f x D x d n dt βααμβττττταβ-----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰⎰ ()()()+101,(,(),())()nn t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰()()1+1101,(1)(,(),())()nn n d t B n f x D x d n dt αβαμβαβττττταβ----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()()+101,(,(),())()n n t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()(11101,(1)(,(),())()i n n B n it f x D x d n αβαμβαβαβττττταβ----≤≤--∏-+=-ΓΓ-⎰()10(,(),())tn t f x D x d αββτττττ--⎫--⎪⎭⎰所以有()()()(11101(1)(,(),())i n nn iD T x t ts f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ--⎫--⎪⎭⎰ (3.2.7)因此有[]0,1,:n n D T x C T P P β∈→.为了证明n T 是一个连续算子，设{}m x P ⊂是一个收敛序列而且有*lim 0m m x x →∞-=,可知*,m x M m ≤∀∈对，M 是一个正的常数，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，我们有[]lim (,(),())(,(),()),..0,1n m m n m f t x t D x t f t x t D x t a e t ββ→∞=∈由(2.1.15)、(2.1.16)式可知，10(,(),())()()()()n m m f t x t D x t t q p M M n βγω⎛⎫<≤++ ⎪⎝⎭(3.2.8)由Lebesgue 控制收敛定理有1lim (,(),())(,(),())0n m m n m f t x t D x t f t x t D x t dt ββ→∞-=⎰ (3.2.9)()10()()()()(,)(,(),())(,(),())n m n n m m n T x t T x t G t s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ-=-⎰ ()1(1,)(,(),())(,(),())n m m n G s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰10(,(),())(,(),())n m m n f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰()()()11101()()()()(1)(,(),())(,(),())i n n m n n m m n iD T x t D T x t ts f s x s D x s f s x s D x s dsn ββαβαμββαβαβ----≤≤-∏-+-≤--Γ+-⎰()()()101(,(),())(,(),())ti n nmm n it s f s xs D x s f s x s D x s dsn αβββαβαβ--≤≤-∏-++--Γ+-⎰()1012(,(),())(,(),())i n n m m n if s x s D x s f s x s D x s ds n ββαβαβ≤≤-∏-+≤-Γ+-⎰故有lim 0n m n m T x T x →∞-=，所以n T 是连续算子.最后，设P X Ω⊂是中的有界集，*,x x L ∀∈Ω≤有，L 是一个正的常数，由于[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以存在[]10,1L ϕ∈使得()[]0(,(),())..0,1,n f t x t D x t t a e t x βϕ<≤∈∀∈Ω对[],0,1x t ∀∈Ω∈有，11()()(,)(,(),())(,(),())n n n L T x t G t s f s x s D x s ds f s x s D x s ds ββϕ=≤≤⎰⎰()11101()()(1)(,(),())i n n n iD T x t t s f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ----⎰()012i n L i n αβϕαβ≤≤-∏-+≤Γ+-故()n T Ω是X 中的有界集，下证n T 是等度连续的,设1201t t ≤<≤，1111212101()()()()()(1)(,(),())()n n n T x t T x t t t s f s x s D x s ds αααμβα-----=--Γ⎰111120(()())(,(),())t n t s t s f s x s D x s dsααβ--+---⎰2112()(,(),())t n t t s f s x s D x s dsαβ---⎰1111111211201()(1)()(()())()()t t t s s ds t s t s s ds αααμααϕϕα------≤--+---Γ⎰⎰。

二阶椭圆型方程奇摄动边值问题的渐近解

＝
如一
即可（ｆ，Ｙ）满足
ａ ∈ ２塑Ｏｙ
一
０
，
一＞０；
可（，０）一０，
∈ ０；
可（Ｏ，Ｙ）＝（），利用虿（０）：０，（０）＝０，得
Ｏｙ２一ｅ一
三。（）昙＋６（）Ｇｑ２＋ｃ（）器舢）＋ｅ（训）南圳
其中系数０，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，，都是有界区域ＱＣＲ上的连续函数且ａ（ｘ，Ｙ）＞０，／（ｘ，Ｙ）０．若存在两次连续可微函数（，Ｙ）和ｑＹ（ｘ，Ｙ）使得ｌ（）Ｉ［一皿］，Ｖ（ｘ，Ｙ） ∈Ｑ，
本文在文f71的基础上进一步讨论一类二阶线性椭圆型方程的奇摄动边值问题利用边界层函数法89构造出问题的零次形式近似并应用椭圆型算子的最大值原理作出解的渐近估计
第４６卷第１期２０１３年３月
数学研究
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｔｕｄｙ
式近似，并应用椭圆型算子的最大值原理对问题的解作出渐近估计．
关键词奇摄动；椭圆型方程；边值问题；边界层函数法；最大值原理Ｏ１７５．２５文献标识号Ａ
中图分类号
１引言
１９５０年，Ｌｅｖｍｓｏｎ［１】首先研究了一类二阶椭圆型方程的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题，在构造形式近似式的基础上，应用椭圆型方程的极值原理给出精确解的渐近估计．随后涌现出大批研究偏微分方程奇摄动边值问题的论文［２－６］．１９９６年，ＤｅＪａｇｅｒ和江福汝【７】综合阐述了奇异摄动理论和方法，并对二阶和高阶偏微分方程的奇摄动问题作了系统的研究．本文在文【７］的基础上进一步讨论一类二阶线性椭圆型方程的奇摄动边值问题，利用边界层函数法【８，９ｊ构造出问题的零次形式近似，并应用椭圆型算子的最大值原理作出解的渐近估计．引理１【７Ｊ（椭圆型算子的最大值原理）设

学优秀科研成果评选结果

论文
熊进
15
重庆电大
我国金融安全的预警机制与风险控制研究
研究报告
南旭光罗慧英艾向军周莉向玲
16
贵阳电大
新学入黔--贵州近代教育的源流及发展
著作
何幼兰
17
广东电大
空间相位调制对强非局域空间光孤子的影响
论文
秦晓娟邵毅全郭旗
18
辽宁铁岭电大
远程学习者学习动机与学习研究
著作
于连科
19
贵州电大
“虚拟全能导师”学习支持服务模式的研究与应用
附件：
2008年度广播电视大学优秀科研成果评选结果
（按标准分排序）http//
一等奖
序号
单位
成果名称
类别
获奖者
1
浙江电大2
天津电大
数字化学习型社区学习中心模式和综合研究
研究报告
冯雪飞张庆生郑占文杨顺起韩建华
3
江苏电大
汉语修辞文化概论
哈尔滨电大
基于网络的行动学习模式的探索
论文
杨旭东
28
宁夏电大
对我国诉讼契约制度的几点思考和理解
论文
陈永忠
29
福建电大
国家艺术科学“十五”规划课题：《闽台文化艺术源流、现状和发展趋势研究》
论文
何绵山
30
广东惠州电大
网络时代的大众文化
论文
陈更海
31
重庆电大
影视图像处理
著作
陈丹李昆陈春燕毛婉月
32
湖南电大
科学发展观视野下的广播电视大学系统建设
论文
周德义
33
成都电大
浅析课程自主学习设计的结构与层次策略
论文

二阶非线性积分-微分方周期边值问题

（十ＮＴ（）了Ｍ．ＩＳ）ｆ一、ｈ（）
’
依据引理１方程（），４等价于算子方程：
（）５
为了研究方程（）我们先考虑线性厨期１，
收稿日期：０９０ —８２０ —９２
作者简介：晓东（９２，，肃临洮人．读硕士研究生．蒲１８～）男甘在主要研究方向为非线性泛函分析．
ＥｍｉｐｘｏｏｇＯ＠１３ｃｔ — ａｌｕｉｄｎ４６６．ｏｌｌａｌ
第２卷第ｌ９期
２１００年１月
数学教学研究
ｒ一（）￡一（）ＮＳｕｔ一（）Ｓｐ０。）））
２ｓ￣ｌｎｆｉ
因Ｎ＜为Ｎ因为＜
不含Ｓｕ时建立了类似的结果．他们都要求但
Ｃ［，］满足ｚＯ，
１ｏ（（ｃ “）Ｎｕ）∈ ｆ）一）（），）Ｓ∞）￡Ｍ（十 “，ｔｔ一 “ Ｊ甜，ｏ ≤ （，（ ≥ （（．
，
‘ ３
其。Ｍ（）。Ｎｉ中＜＜。≤ ＜ｆ￣，２ｎｌ２ｓ
｛）“（ｕ），￡）：ｔＪｆｏ）Ｍ（一（。．，（一ｕ）ｈ）∈ 一：（ “，ｏ “，ｃ）（（（ｕ
‘ ２
引Ｌ设ｏ＜ｆ，则对ｖ ∈ 理１。＜Ｍ＼１Ｃ，Ｕｈ
“ Ｔｈ，垒Ｍ且
文献
（）线２存．文的主要目的是讨论二阶非线ＣＩ，性周期边值问题（）在唯一解本１丁：［，一ｃ［，］）Ｍｃｏ］ｏ叫为线性全连续

二阶非线性积-微分方程边值问题正解的存在性与多解性

ｔ∈ Ｅ，］ｏ１，
｛ｏ一（一“０一“（一０ “ ）１）１（）（）
来描述，文献［ — ２．见１］若一一，Ｇ（，）为线性二阶边值问题设ｔｓ
一
‘ ３ ’
（）４
（）一ｈｆ，ＥＥ，］ “ ０￡（）ｔｏ１；（）一Ｕ（）：０１
ｆ厂，， “（），（“ ）ｓ））ｓｓ（（ｓｄ
所以Ｉｌ
Ｉ≤ Ｉｆ５“ ｓ，Ｓ）ｓ）ｓｌ（，（）（ｕ（）ｄ．ｓ
当￡寺，］因为Ｇｔ） ∈［１时，（ｓ≥专ｓｏ１，，，ＥＥ，按上式有ｓ］
（ｕ（）一ＩＧ（，）ｓ“ ｓ，Ｓ）ｓ）ｓＱ）￡ｔｓｆ（，（）（ｕ（）ｄ ≥
２１０１年９月
二阶非线性积一分方程微
边值问题正解的存在性与多解性
钱媛媛，永祥李
（北师范大学数学与信息科学学院，肃兰州７０７）西甘３００
摘
要：非线性二阶积一分方程边值问题正解的存在性进行了研究，用锥压缩与锥拉伸不动点定对微利
引理１Ｑ（Ｐ，Ｑ：Ｐ）且Ｐ— Ｐ为全连续映射．
证明对ＶＥＰ，Ｑ的定义，ＶｔＥ，］有按对 ∈ ｏ１，（）ｆ（）＝ｌＧ（，）（，（）（）ｓ）ｓｔｆｓ乱ｓ，（）ｄ ≤
Ｊ０
称为方程（）的正解是指ＵＥＣＥ，］满足方程（）当ｔ（，）时 “ ￡＞０１。ｏ１，１且Ｏ１Ｅ（）．

奇异摄动法在微分方程中的应用

奇异摄动法在微分方程中的应用微分方程是数学中极为重要的一种工具，应用范围涉及物理、化学、生物、工程等领域。

奇异摄动法，也称为渐进展开法，是解决微分方程的一种有效方法。

它是一种基于渐进分析的近似解法，通过将微分方程中的解展开成一系列的渐近级数，来求解微分方程。

奇异摄动法是微分方程理论中的一个重要分支，其应用极为广泛。

一、奇异摄动法的基本概念奇异摄动法是一种基于渐进分析的方法，它是一种将解函数分解为一个正常的函数和一个渐近级数的方法。

其基本思想是通过对解函数进行分解，将其转化为一个可求解的问题。

奇异摄动法的具体实现方法是：对于一个微分方程，设其解为y=y(x)，当解在某个点x0处存在一个奇异点（即y(x)会发生突变或者发散）时，我们可以将解函数y(x)分解为一个正常函数和一个渐近展开函数。

具体过程是：在奇异点附近，将解y(x)指定为一个未知函数u(t)，然后通过一系列近似代入来计算u(t)，并将其代入原方程中。

在这个过程中，我们可以将解分解成两个部分，一个是奇异部分，另一个则是正常的部分。

二、奇异摄动法的应用奇异摄动法是求解某些复杂微分方程的一种有效方法，由于其具有一定的灵活性和精确性，被广泛应用于理论物理、力学、天文、生物、化学等领域。

下面，我们分别就这些领域中奇异摄动法的应用进行讨论。

1、理论物理奇异摄动法在理论物理中的应用，主要体现在量子力学和广义相对论等领域。

其中，量子力学中的手征摄动和角动量摄动就是奇异摄动法的两个典型应用。

此外，在广义相对论中，对于黑洞事件视界的研究也需要借助奇异摄动法等数学工具，来对从黑洞中传出的信号进行研究。

2、力学在力学领域，奇异摄动法主要应用于研究非线性振动问题，如变参数系统中的稳定性问题、自激振动等。

在这些领域中，奇异摄动法通常被用于求解非线性常微分方程、偏微分方程和差分方程等问题。

3、天文在天文学中，奇异摄动法被广泛应用于研究天体运动的不稳定性问题。

例如，人们可以借助奇异摄动法来分析彗星轨道的发散性和非对称性等问题，从而为彗星的运动研究提供了重要的理论支持。

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维普资讯
２０，７６：１３１４０７２Ａ（）３— １０１
数学物理学报
向量二阶非线性积分微分方程边值问题的奇摄动
林苏榕
（福建广播电视大学计算机系福州３００）５０３
摘要：该文研究向量二阶非线性积分微分方程边值问题的奇摄动，在适当的条件下利用对角化方法证明了解的存在性，构造出解的渐近展式并给出余项的一致有效的估计．
维普资讯
ห้องสมุดไป่ตู้
ｌ３１４
数
学物
理
学
报
Ｖ１７ｏ２ｌ．Ａ
（）（，，￡ｍｌ０（，，￡Ｉ０并且ｆｔＹ关于满足Ｈ２Ｙ），，，＞，Ｙ）Ｉ＞，，，（，，），，Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ条件，其中＝＿ｉＪ＝１２… ，；ｍ，为两正数，ｌ为礼×ｎ单位阵；Ｌ，，ｏ，，ｎｚ，（３，关于满足Ｎｇｍｏ条件，即在［，Ｈ）ａｕ０＋∞）上存在某一正的、非减的连续函数西，使得ｌ（，Ｙｚ￡Ｉ￣１ｌ和当ｓｏＩｔ，，）ｆ，Ｉ（ｚ）ｌ１ — 。时Ｓ／（）ｏ；西ｓ一ｏ（４Ｈ）退化问题：ｆｔｙ，ｏ，），（）（）（）［１上有唯一解ｙ（，中（Ｔｏｙ，０＝０００＝０在０］，０，ｏ）其ｔ
设（，，）１一￡，，）￡展开时前若干项分别为ｓ￡，（丁ｓ￡按幂（ｓ￡＝（ｓ＋￡１，）２ｓ＋ … ．，）０）（ｓ＋￡（，），，（一￡－，）ｏ７ｓ＋１７ｓ＋￡２丁ｓ＋… ．１７ｓ７＝（，）（，）（，），－－－（．）２６（．）２７
（．１１）
ａｅｙＯ￡一６￡（，）Ｑ￡，（）（，）（）１￡＝（）（）（，）（）０￡＝（）ｃ￡１￡＋ｄ￡（，）￡
（．１）２
０
的奇摄动，其中ＹｆＱ￡，￡为ｒ维向量，０￡，（）ｃ￡，（），，（））凡（（）６￡，（）ｄ￡为适当阶的矩阵函数，￡＞
２构造形式渐近解
我们设想形式渐近解为
ｙｔ￡＝Ｙ（￡＋ｅ（，）（），ｔ）ＵＷ￡，，其中Ｙ（￡为外部解，ｕＴ￡是边界层函数，丁＝（一）￡并设ｔ），（，）１／，Ｙ（￡＝ｙ（＋￣ｌｔ＋￡Ｙ（＋ … ，ｔ）ｏｔｙ（，））２ｔ）ｕ７￡＝Ｕ（）ｕ（）Ｕ（）一．（，）ＯＴ＋￡１－＋－７２Ｔ＋・把（．式代入（．）２１）１式，并视ｔ丁为独立变量，从而可令１和￡￡＝ｆｔＴ＇Ｙ，）ｙ（，）（ｙ￡，，ｕ（，）７￡＝Ｃ（，（，）ｕ（，）￡．－ＴｕＴ￡，－，）７￡
Ｔｙｏ＝
（ｓＯｙ（）ｓ，）ｏｓｄ．，对于向量函数或矩阵函数Ａｔ＝（）Ｅｃｏ１规定范数为（）叭（）［］，，
．
Ｉ）［２），Ｉｔ＝ａＡｌＡｌ ∑。ｔＩ）。ｘ（（＝］Ａｌｍｔｔ（２（ … Ｉ）ｌ，
零、零向量和零矩阵都将表示为０
为小参数，
是定义在ＣＯ１上的积分算子［１，
Ｔ＝／（ｓ￡（ｄ，ｙｔ∈ｃｏ１ｙｔ，）ｓｓ（，））［］，．
√Ｏ
我们首先构造出（．）（．）解的形式展开式，然后借助于对角化方法证明了解的存１１，１２式在性并给出解的一致有效的余项估计．文中恒假设下列条件成立．
其中 Ⅳ 是任一给定的正整数，￡是某一小正数，并且ａＯ＞０ｂ），（０ｃ）ｏ（），（＝０６），（＞ｏ￡ｏ０ｄＯ＞０，（）；
｝收稿日期：０５１ — ６修订日期：０６１８２０ —１１；２０ —００
Ｅ－ｉｓ＠ｆｒｖ．ｄ．ｎｍａｌｒｊｔｕｅｕｃ：ｌ
开始有人用微分不等式的方法研究纯量（一维）程的边值问题【，用微分不等式的方法方但研究向量方程的边值问题的奇摄动尚有困难．本文采用对角化的方法克服了困难，取得了新的结果．本文将研究非线性向量二阶积分微分方程Ｒｏｉ值问题ｂｎ边
其中
（．）２１
（．）２２（．２３）
（．２）４（．）２５
ＣＴｕ丁￡，（，））ｆｔ（（，（，ｕ丁￡，＝［，Ｙ＋ｅ））￡（Ｔｕ，ｙ＋￡，￡￡一ｆｔｙｙＹ，］１．ｕｙ一ｔ，）（＇＇）一，￡｛
（１Ｈ）
ｆｔＹ，） Ⅳ ［１ ×Ｒ ×［￡］（，，￡ ∈Ｃ＋（，］。０ｏ，，０，）
（ｓ￡ ∈ｃ＋（， ×［１ ×［￡］ｔ，）ＮＩ［１０］０ｏ，，０］，，）０￡，（，（，（ ∈ｃ＋（，ｏ．（）￡ｃ）￡６）￡ｄ）ＮＩ［￡Ｊ０）
关键词：向量积分微分方程；边值问题；奇异摄动，
ＭＲ（００主题分类：５中图分类号：１５１文献标识码：２０）４ＪＯ７．Ａ文章编号：０３９８２０）６１３—８１０— ９（０７０—１３３０
１引言
积分微分方程在很多领域中有着重要的应用，以往的工作多为研究初值问题［近年来１】＇