不等式的性质及一元二次不等式
第3节 不等式的性质、一元二次不等式
第3节 不等式的性质、一元二次不等式1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.1.两个实数大小比较的基本事实{a -b >0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b =0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b <0⇔a b (a ,b ∈R ). 2.不等式的基本性质3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示1.涉及实数的倒数有关的结论 (1)a>b,ab>0⇒1a <1b .(2)a<0<b ⇒1a <1b.(3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >bd.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b <1x<1a.2.两个重要不等式(1)若a>b>0,m>0,则ba <b+ma+m.(2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则a s+t+b s+t≥a s b t+a t b s.1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为( )A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.下列四个命题中为真命题的是( )A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,c>d,则a-c>b-dC.若a>|b|,则a2>b2D.若a>b,则1a <1 b3.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<13},则ab的值为( )A.-5B.5C.-6D.64.已知f(x)=x2+4x+1+a,∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.[√5-12,+∞} B.[2,+∞) C.[-1,+∞) D.[3,+∞)5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.不等式的性质及其应用1.已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2>b2B.ab>b2C.ln|ab|>0 D.2a-b>12.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是( )A.y>x≥zB.z≥x>yC.y>z≥xD.z≥y>x3.已知-1<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是,3x+4y的取值范围是.4.已知-1≤x+y ≤1,1≤x-y ≤3,则3x-2y 的取值范围是 .1.根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性质或特殊值法,而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式,可以利用构造函数,利用函数的单调性进行判断.2.当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法,作差时要注意变形技巧.3.已知x,y 的范围,求由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.4.已知由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围,求解形如cx ±dy(cd ≠0)的范围问题时,要利用待定系数法,将cx ±dy 用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出x,y 的范围后求cx ±dy 的范围,由于a>b,c>d ⇒a+c>b+d 不是可逆的,因此容易出现错解.一元二次不等式的解法及其应用角度一 不含参数的一元二次不等式不等式-3<4x-4x 2≤0的解集为( ) A.{x|-12<x<32} B.{x|-12<x ≤0或1≤x ≤32}C.{x|1≤x<32} D.{x|-12<x ≤0或1≤x<32}a ≤f(x)≤b 等价于{f (x )≥a ,f (x )≤b .角度二 一元二次不等式与一元二次方程的关系(多选题)已知关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是 A.a>0 B.bx-c>0的解集是{x|x>32}C.cx 2+ax-b>0的解集是{x|x<-23或x>1} D.a+b<c1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定 系数.角度三 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式:ax 2+(2-4a)x-8>0.1.一般地,在解含参数的一元二次型不等式时,若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根,则需要从如下两个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x 1>x 2,x 1=x 2,x 1<x2.2.若含参数的不等式对应的二次方程的判别式含参数,主要对关于不等式对应的方程是否有根进行讨论. [针对训练](1)不等式组{x 2-1<0,x 2-3x ≥0的解集是( )A.{x|-1<x<1}B.{x|1<x ≤3}C.{x|-1<x ≤0}D.{x|x ≥3或x<1} (2)设函数f(x)={x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3) (3)(多选题)对于给定实数a,关于x 的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为 A.R B.(-1,a ) C.(a,-1) D.(-∞,-1)∪(a,+∞)一元二次不等式恒成立问题角度一 一元二次不等式在R 上的恒成立问题若不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0]一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是{a>0,b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.角度二一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是( ) A.(-∞,-3] B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,1]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.角度三一元二次不等式的有解问题若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常用分离参数的方法,通过分离参数后利用:a>f(x)在区间[m,n]上有解,则a>f(x)min,a<f(x)在区间[m,n]上有解,a<f(x)max.(对于a≥f(x),a≤f(x)可类似处理)[针对训练](1)若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为( )A.(13,+∞)B.(5,+∞)C.(4,+∞)D.(-∞,13)(2)若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是.(3)若对于任意的x∈[0,2],不等式x2-2ax-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是.。
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
不等式的性质与应用
不等式的性质与应用不等式在数学中起到了重要的作用，它不仅仅只是一个数学概念，更是数学知识在实际生活中的应用。
本文将从不等式的基本性质出发，介绍不等式的常见类型及其应用。
一、不等式的基本性质不等式是数学中用于表示大小关系的一种关系式。
在不等式中，一般常用的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
不等式的性质主要包括以下几点：1. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
2. 反对称性：如果a > b，且a < b，则a = b。
3. 加减性：当a > b时，对两边同时加上（或者减去）同一个数c，不等号的方向不发生改变。
例如：若a > b，则a + c > b + c；若a > b，则a - c > b - c。
4. 乘除性：当a > b时，对两边同时乘以（或者除以）同一个正数c，不等号的方向不发生改变；当c为负数时，会改变不等号的方向。
例如：若a > b，则ac > bc；若a > b，则a/c > b/c。
5. 幂对数性：如果a > b，且c > 0，则a^c > b^c；如果a > b，且c< 0，则a^c < b^c。
二、常见的不等式类型及应用1. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式构成的不等式。
常见的一元一次不等式类型有：（1）线性不等式，形如 ax + b > c 或 ax + b < c。
其解集通常表示为一个区间。
（2）带有绝对值的一元不等式，形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c。
首先需要求得绝对值式子的值域，然后根据不等号的方向确定解集。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次式构成的不等式。
常见的一元二次不等式类型有：（1）二次函数的不等式，形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。
不等式不等式的性质及一元二次不等式课件理
•不等式的性质•一元二次不等式•不等式的应用目录•解题方法与技巧•一元二次不等式的扩展•练习题与答案解析总结词详细描述不等式的性质1：对称性总结词不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
详细描述如果a>b，c>0，那么ac>bc。
如果a>b，c<0，那么ac<bc。
不等式的性质2：传递性总结词在加法中，随着加数的增大，和也增大。
详细描述如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
总结词详细描述总结词详细描述不等式的性质5：同向正值不等式可乘性总结词如果a>b>0，c>d>0，那么a/c>b/d。
要点一要点二详细描述如果a>b>0，c>d>0，那么a/c>b/d。
当c>d>0时也可以得到类似的结论。
不等式的性质6：正值不等式可除性定义形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的式子，其中$a \neq 0$，称为一元二次不等式。
组成要素一元二次不等式一般是由一元二次方程经过变形或添加符号得到的，如$x^{2} - 6x + 9 > 0$变形为$(x - 3)^{2} > 0$。
一元二次不等式的定义0102033. 画出草图根据化简后的不等式，结合草图找出解集。
4. 解出解集注意事项2. 考虑对称性3. 注意空集问题1. 关注符号一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，如购物优惠、投资决策、工程设计等。
在数学学科中的应用一元二次不等式是数学学科中基础而重要的一部分，它贯穿于中学和大学的数学课程中。
在实际生活中的应用一元二次不等式的应用VS不等式的性质01传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
02加法单调性即如果a>b，c为任意实数或整式，则a+c>b+c。
03乘法单调性即如果a>b>0，c为任意实数或整式，那么ac>bc。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是代数学中的重要内容，它与一元二次方程相似，但存在着一定差异。
在本文中，我们将深入探讨一元二次不等式的性质、解法以及其在实际问题中的应用。
1. 一元二次不等式的性质一元二次不等式的一般形式为 ax^2 + bx + c < 0（或 > 0）。
其中，a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与二次方程类似，一元二次不等式也可以表示为图像形状不同的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法主要有两种：图像法和代数法。
2.1 图像法通过绘制一元二次不等式对应的二次函数图像，可以直观地获取不等式的解集。
首先，根据a的正负确定抛物线的开口方向。
然后，通过求解抛物线与x轴的交点，即解出方程 ax^2 + bx + c = 0 。
最后，根据抛物线的位置与x轴的交点确定不等式的解集。
2.2 代数法通过代数方法解一元二次不等式，可以利用求解二次方程的方法，或者根据不等式性质进行变形和分类讨论。
对于形如 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次不等式，可以首先求解对应的二次方程 ax^2 + bx + c = 0 。
根据一元二次方程求解公式，可以得到方程的两个根 x1 和 x2 。
然后，根据二次函数的凹凸性，结合不等式的符号要求，可以将解集分为3种情况，即 x < x1，x1 < x < x2，x >x2。
3. 一元二次不等式的应用一元二次不等式在现实生活中有着广泛的应用。
以某企业的生产问题为例，假设x表示产品的销量，其成本函数为 C(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
为了使企业利润最大化，我们可以通过解一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0 来确定销量x的取值范围。
此外，一元二次不等式还可以应用于优化问题、几何问题等各个领域。
§7.1 不等式的概念及性质、一元二次不等式
b m
b <⑦ a m ; b > b m (b-m>0);
a
a am
a m
a > a m ; a <⑧ b m (b-m>0).
b bm b
4
考向突破
考向 利用不等式性质比较大小
例1 (2017山东烟台模拟,9)若a,b为非零实数,且a<b,则下列判断正确的
是 ( )
解析 原不等式变形为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,x≤-1.
②当a≠0时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
当a>0时,x≥ 2 或x≤-1.
a
当a<0时,由于 2 -(-1)= a 2 ,
a
a
于是,当-2<a<0时, 2 ≤x≤-1;
a
当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤ 2 .
ab2 a2b
ab
答案 C
5
考点二 一元二次不等式
考向基础 1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
6
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不 等式的性质,将二次项系数转化为正数,再对照上表求解. 2.含参一元二次不等式的解法 (1)若二次项含有参数,则应先讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后 整理不等式. (2)当二次项系数不为0时,讨论判别式Δ与0的关系,判断相应一元二次 方程的根的个数. (3)确定无根时直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两根的大 小关系,从而确定解集的形式.
a
9
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为
不等式的性质+一元二次不等式
不等式的性质与解法【知识回顾】一、不等关系1、不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分， 基本性质有:（1）a b b a >⇔<（对称性） （2）,a b b c a c >>⇒>（传递性） （3）a b a c b c >⇔+>+（加法单调性）（4）0,;0,c a b a c b c c a b a c b c >>⇔><>⇔<时时（乘法单调性） 运算性质有:（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+（相加法则） （2）,a b c d a c b d ><⇒->- （3）0,0a b c d a c b d >>>>⇒>（相乘法则） （4）0,0a b a b c d cd>><<⇒>（5）0(,1)()n na b a b n z n >>⇒>∈>且乘方法则（6）0,)a b n z >>⇒>∈且n >1（开方法则）2、比较两个实数的大小:常用作差比较法,基本步骤是:作差、变形、判断符号、下结论，其中变形的方向应有利于判断差式的符号，而变形的常用手段有通分、因式分解、配方等.二、一元二次不等式的解法：常用数形结合法，注意先将二次项系数化为正数.三、分式不等式的解法：解分式不等式的基本方法是转化为整式不等式来解，具体步骤是：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化成右边为0的形式，然后通过符号法则把分式不等式转化为整式不等式来解.常见的等价转化有如下几种形式:（1）()0()()0()f xf xg xg x>⇔>；（2）()0()()0()f xf xg xg x<⇔<；（3）()()0()()0()f xg xf xg xg x≥⎧>⇔⎨≠⎩；（4）()()0()()0()f xg xf xg xg x≤⎧<⇔⎨≠⎩.四、含绝对值不等式的解法：解含绝对值不等式既可以利用绝对值的性质剔去绝对值，也可以利用以下恒等变换剔去绝对值.（1）22|()||()|[()][()]f xg x f x g x>⇔>；（2）22|()||()|[()][()]f xg x f x g x<⇔<；（3）|()|()()()()()f xg x f x g x f x g x>⇔><-或；（4）()() |()|()()()()()()f xg xf xg x g x f x g xf xg x>-⎧<⇔-<<⇔⎨<⎩.目标一：不等关系与不等式例1：比较(3)(5)a a ++与(2)(4)a a +-的大小例2：1、已知,,a b c R ∈，则下列推理： ①22a b a b cc>→>②3311,0ab a b ab>>→<③2211,0a b a b ab>>→<其中正确的个数为________________ 2、若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |3、下列四个命题中，为真命题的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dC ．若a >|b |，则a 2>b 2D ．若a >b ，则1a <1b4、设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ＞B例3：已知,a b a b≥【目标训练】1、若1x ≥2、已知,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）A 、22a b > B 、1ba < C 、lg ()0ab -> D 、11()()33a b< 3、已知1x ≤，试比较33x 和231x x -+的大小4、设0,0,a b >>求证：1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭目标二：不等式的解法例1：解下列不等式（1）22430x x ++< （2）23280x x --+≤ （3）28116x x -≥【目标训练】1、不等式0)2)(1(>+-x x 的解集是（ ）A 、{}21|<<x xB 、{}12|<<-x xC 、{}12|<->x x x 或D 、{}12|>-<x x x 或2、不等式0)2)(1(≥--x x 的解集是（ ）A 、{}21|≤≤x xB 、{}21|≤≥x x x 或C 、{}21|<<x xD 、{}21|<>x x x 或3、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<06422x x x 的解集是（ ）A 、{}22|<<-x xB 、{}60|<<x xC 、{}40|<<x xD 、{}20|<<x x4、不等式250a x x c ++>的解集为11{|}32x x <<，那么a 、c 为（ ）A 、6a =，1c =B 、6a =-，1c =-C 、1a =，6c =D 、1a =-，6c =- 5、不等式3611()24x x ++≤的解集为 .例2：不等式1201x x ->+的解集【目标训练】1、不等式12x x-≥的解集为（ ）A 、[1,0)-B 、[1,)-+∞C 、(,1]-∞-D 、(,1](0,)-∞-+∞2、不等式21x x<+的解集为 .例3：不等式11x -＜的解集是 .【目标训练】1、不等式1|12|<--x x 的解集是_______________.2、不等式112x x +≥+的实数解为_______________.3、不等式130x x +--≥的解集是_______________.目标三：含参不等式的解法1、解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax )(R a ∈．2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫1α，1β B ．⎝⎛⎭⎫－1α，－1β C.⎝⎛⎭⎫1β，1α D ．⎝⎛⎭⎫－1β，－1α3、关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式0)2)((>-+x b ax 的解集为（ ）A 、)2,1(-B 、),1()2,(+∞--∞C 、)2,1(D 、),2()1,(+∞--∞目标四：不等式的恒成立问题例1：1已知不等式2220m x x m -+-<.若对于所有的实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围2、若不等式－x 2＋2ax <3x ＋a 2恒成立，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，34 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，343、若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)4．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5] 上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－235【目标训练】1、不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对于一切x R ∈恒成立，则a 的范围是（ ） A 、(,2)-∞ B 、(,2]-∞ C 、(2,2]- D 、(2,2)-2、不等式2240820m x m x x x --<-+的解集为R ，则实数m 的取值范围是 .3．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .则a 的取值范围是4、已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．5．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．补充：根的分布问题数列综合训练：1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S （2）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和2、已知f (x )＝2x x ＋2，在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝f (a n －1)，n ≥2，n ∈N *.(1)证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列； (2)求a n ．3.数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T4、已知正数数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足111(2),221n n n S S n a S --=≥=+。
不等关系及一元二次不等式
不等关系及一元二次不等式自主梳理1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存有的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连结两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝b a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝b a b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0).3.不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ， a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ， a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2).2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a>0)的根有两相异实根x 1,2＝－b±b 2－4ac 2a(x 1<x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝________没有实根一元二 次不等 式ax 2 ＋bx ＋ c>0 的解集a>0(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)(－∞，－b2a)∪(－b2a，＋∞)a<0 (x 1，x 2)例题讲解例1 比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小.例2 已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小.归纳：作差比较法的步骤是：1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；3、判断符号；4、作出结论． 练一练1.设a >b >1，c <0，给出以下三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c ).其中所有准确结论的序号是________.2. 已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a ＋3b 的取值范围．3.若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，则a －|b | 的取值范围是________________．(一) 一元二次不等式的解法例3 解以下不等式：.022)4(;012)3(;032)2(;0127)1(2222>+-<+-≥+-->+-x x x x x x x x归纳：可利用求根公式得到方程a x 2＋b x +c ＝0的解，再求不等式的解集 练一练1.解以下不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0.2. 解以下不等式：(1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.（二）解绝对值不等式例4 （1）235x -<. （2）415x -≥.（3）2325x ≤-<练一练1.解以下不等式: （1）11x xx x>++. （2）234x x ->.（3）2560x x -+>. （4）2312x x ->+.（5）|4x -3|>2x +1. （6）125x x ++->（三）解分式不等式 例5 解关于x 的不等式3)1(--x x a ＞1(a ＞0)练一练1.解以下不等式: （1）2335x≥-. (2) (3)(2)(1)(4)0x x x x ++--< (3) 12315222>+---x x x x （4）(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-()()()()1000000x a.x a x b x bx a x b x a x b x b ->⇔-->---≥⎧-⎪≥⇔⎨--≠⎪⎩<≤基本原理或时类似可解2.不等号右边是非零常数时，移项通分转化成右边是零，一般不能乘以分母(四)解指数不等式：（五）解对数不等式)1,0)(33(log )32(log .4;)33(log )32(log .3)33(log )32(log .2;1)12(log .122122122222≠>-<---<---<--<-+a a x x x x x x x x x x x a a()()()()22322313123481251231112222230144528052222x x (x )(x )x x x x x x x xx x x .;..a a a a ..a a ---------+-⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>>≠-⋅+≥-<-且为大于零的常数01f (x )g (x )f (x )g (x )a a a a a a ≥≤>≠一般地，指数不等式先变形为或（其中，）然后利用指数函数的单调性转化为代数不等式(六）解无理不等式的解法（1）⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型（2）⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 （3）⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 （4）例6 ：解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x()12211824321201a a a .log x .log (x x )log (x )log ,(a ,a )+<+--->>≠解下列不等式：01001010a a log f (x )log g(x )(a a )f (x )f (x )a g(x )a g(x )f (x )g(x f (x )g(x >>≠>>⎧⎧⎪⎪>><>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩对数不等式且当时，同解于 当0<时，同解于））解对数不等式，实质是利用对数函数的单调性将其转化为同解的代数不等式，但要注意底数和真数的制约因素.例7 ：解不等式 125->-x x练习：解不等式x x x 211322+>+-例8 ：解不等式x x x 211322+<+-练习：1. 不等式35x x ->-的解集为_________2.231x x -<+（七） 含参数的一元二次不等式的解法例9 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.归纳：解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步 骤实行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．练一练(1)ax2－(a＋1)x＋1<0. (2) 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(3)不等式x－12x＋1≤0的解集为________.（八）一元二次不等式恒成立问题例10已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．例11设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.练一练(1).当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是__________.(2)关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．例12 (1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．(2)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围________.练一练(1)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________.(2)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围．归纳：不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R ，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.。
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Δ >0
{x|x<x1 _______ 或x>x2} _______ {x|x1<x<x2} ___________
Δ =0
{x|x≠x1} _________
Δ <0
R
ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
∅
∅ __
【金榜状元笔记】 1.倒数性质的几个必备结论 (1)a>b,ab>0⇒ 1 < 1 .
2 ï í ï 1 ï b＝ ［f (1)- f (- 1)］ . ï ï 2 î
所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
考向一 【典例1】
比较大小及不等式性质的应用
(1)(2016·北京高考)已知x,y∈R,且x>y>0,则 (
1 1 A. x y C.( 1 ) x 2
)
>0
1 y <0 ( ) 2
B.sin x-sin y>0 D.ln x+ln y>0
(2)设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________.
【巧思妙解】(特值验证)易知x=2,y=1时A选项为负值,
1 p 排除A,x=π,y= ,B选项为负值排除B,若x=1,y= , 2 2
D选项为负值,故排除D,选C.
(2)设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,
第六章 第一节
不等式、推理与证明
不等式的性质及一元二次不等 式
【教材基础回顾】
1.两个实数比较大小的依据
> = < (1)a-b>0⇔a__b.(2)a-b=0 ⇔a__b.(3)a-b<0 ⇔a__b.
2.不等式的基本性质 b<a a>c (1)对称性:a>b⇔____.(2) 传递性:a>b,b>c⇒____. (3)可加性:a>b⇒a+c>b+c.(4)可乘性:a>b,c>0⇒ ac<bc ac>bc ______;a>b,c<0 ⇒______. a+c>b+d (5)加法法则:a>b,c>d⇒________.
祆 m＋n＝4， m＝3， 镲 镲 于是得 眄 解得 镲 n - m＝- 2， n＝ 1. 镲 铑
所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 又因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10. 答案:[5,10]
【一题多解微课】解决本例(2)还可以采用以下方法: ì f (- 1)＝a - b， ï ï (解方程组法)由 í ï ï î f (1)＝a＋b， ì 1 ï ï ï a＝ ［f (- 1)＋f (1)］，
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根
有两个相异 __________ 实根x1,x2 _________ (x1<x2) _______
有两个相 _________ 等实根 _______
_没有实 数根
判别式Δ =b2-4ac
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集
1 1 (2)a<0<b⇒ < . a b a b (3)a>b>0,0<c<d⇒ > . c d (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒ 1 < 1 < 1 . b x a a b
2.两个重要不等式 若a>b>0,m>0,则
b b ＋m b b ；> (1) < a a＋m a a a a＋m a a 2 ；< ( ) > b b＋ m b b m (b - m > 0). m m (b - m > 0). m
(
)
【解析】选B.由题设得a<a-b<0,所以有
1 1 c < ? a- b a a- b c ， 所以B中式子不成立. a
2.(2016·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x| 2x-3>0},则A∩B= (
3 A.(- 3, - ) 2 3 C.(1, ) 2
)
3 B.(- 3, ) 2 3 D.( ,3) 2
a 0, 若a≠0,则由题意,得 2 a 4a 0,
解得-4≤a<0,综上,得a∈[-4,0]. 答案:[-4,0]
【母题变式溯源】 题号 知识点 源自教材 1 比较大小 P74·例1 2 一元二次不等式的解法 P80·习题3.2A组T4 一元二次不等式的恒成 3 P103·A组T3 立问题
3.一元二次不等式的解法技巧 求不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集,先求出对应方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根,再根据口诀:大于取两边,小于 取中间求解集.
【教材母题变式】 1.设a<b<0,c>0,则下列不等式中不成立的是
c c A. ＞ a b C. a c > - bc c c B. > a- b a - a D. > c - b c
1 1 【解析】(1)选C. = y - x <0;当x=π ,y= p 时, x y xy 2 sin x-sin y<0;函数y= ( 1 ) x 在R上单调递减,所以 2 1 时,ln x+ln y<0. 1 x 1 y 1 x 1 y 当 x=1,y= ( ) ＜( ) ，即( ) - ( ) ＜0. 2 2 2 2 2
ac>bd (6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒______. an>bn (7)乘方法则:a>b>0⇒_____(n∈N,n≥1).
n a > b (8)开方法则:a>b>0⇒_________ (n∈N,n≥2). n
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程 的关系 判别式Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 Δ >0 Δ =0 Δ <0
【解析】选D.A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},
3 3 B={x|2x-3>0}= {x|x > } .所以A∩B= {x| < x < 3} . 2 2
3.已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有 f(x)≤0,则实数a的取值范围是________.
【解析】若a=0,则f(x)=-1≤0恒成立,