微元法与几何应用
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数概念的理解：微积分中的函数概念是在中学数学的基础上进一步深化而来的。
通过微积分的学习，可以更好地理解函数概念的本质，掌握函数的应用。
2. 几何应用：微积分中的微元法可以应用于中学数学中的几何问题。
例如，计算曲线的长度、曲率、面积等问题，都可以通过微元法来解决。
3. 方程的求解：中学数学中的方程问题可以通过微积分中的微分方程来解决。
例如，求解函数的导数、积分、微分方程等问题，都可以通过微积分来解决。
4. 数值计算：微积分中的数值计算方法可以应用于中学数学中的数值计算问题。
例如，求解函数的极值、拐点、数值积分等问题，都可以通过微积分来解决。
需要注意的是，微积分在中学数学中的应用主要是一些简单的问题，需要以实际需求为基础，选择合适的方法和技巧来解决。
同时，中学数学中的知识点有限，可能无法提供足够的支撑，需要借助其他工具和方法来辅助解决一些复杂的问题。
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
谈微元法在高中物理解题中的应用
谈微元法在高中物理解题中的应用
谈微元法在高中物理解题中的应用
微元法是一种解决科学和工程问题的方法，它是基于微元法的工程分析和应用。
微元法是一种基于有限元的工程模拟方法。
它采用小的模型对实际结构的运动特性进行建模，从而可以用来模拟复杂的结构体的运动特性，以及对工程结构进行处理和分析。
高中物理解题是一种基础性的物理学习，内容包括力、运动、动能和势能以及物理运动过程中的各种物理现象，这些概念都要求学生理解和认识，以便能够更好地解决物理问题。
在解决实际问题时，学生要运用一定的物理原理来推导和解释物理现象，以达到预期的解决方案。
在这种情况下，微元法可以提供一种有效的解决方案，通过它可以更加直观地理解和解释物理运动过程，从而更好地解决物理问题。
在物理解题方面，微元分析可以使物理问题更加深入地推导，从而更好地理解物理现象。
例如，当讨论惯性力的大小时，可以根据给定的情况，结合动量定理以及惯性定律，来推导惯性力的大小。
而采用微元分析，则可以通过构建模型得出结论，从而更加直观地了解惯性力的大小和它对物理运动的影响。
此外，微元法还可以帮助学生们更加全面而准确地认识物理现象，正如采用微元法处理热传导这一问题所能得到的结果，即可以更好地认识和理解热传导现象的性质和特征。
从而帮助学生深入分析和推导物理问题，以达到更好地理解和解决问题的目的。
总而言之，微元法可以帮助高中物理学习者更好地理解和解决物
理问题，以及更全面和准确地认识物理现象，从而提高高中生的物理知识和解答能力。
求定积分的方法总结
求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。
本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。
2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。
通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。
例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。
常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。
根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。
3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。
它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。
微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。
常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。
一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。
在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。
例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。
通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。
它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。
但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。
第3节 微元法
第3节微元法微元法又称微分法，是数学分析中的一种重要方法。
它通过对函数的微小增量进行分割，将函数在任意一点上的性质转化为在该点附近的一个局部性质。
在物理学中，微元法常常被用于处理微小的物理量，求解微小的变化量和微分方程等问题。
下面介绍微元法的几个主要应用。
1.微分的几何意义微元法的基础是微积分学中的微分，微分的几何意义是函数在某一点上的斜率。
假设函数y=f(x)在某点处的斜率为k，则k可以表示为：k=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{dy}{dx}其中，$\Delta x$表示自变量x的增量，$\Delta y$表示函数值y的增量。
当$\Delta x$趋近于0时，$\Delta y$也趋近于0，此时称$\Delta y$是y的微小变化量，$\Deltax$是x的微小变化量。
因此，当$\Delta x$趋近于0时，$\Delta y/\Delta x$的极限就表示函数y=f(x)在点(x,f(x))处的斜率k，这就是微分的几何意义。
微元法在应用中利用了微分的几何意义，将函数的微小性质转化为斜率或变化率，从而进行计算和分析。
2.微分方程微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微元法是解微分方程的重要方法之一。
假设某一物理量的变化量可以表示为函数y=f(x)，则其微小变化量就是dy=f'(x)dx。
如果已知微小变化量dy和dx，就可以根据微分方程求出函数的具体形式。
例如，当dy/dx=-ky时，可以得到y=Ae^{-kx}，其中A为常数。
3.微积分的应用微元法还常常用于微积分的应用，例如求曲线的面积、弧长、体积等。
对于曲线的面积问题，可以将曲线分割成若干微小的线段，然后利用微分求出每个小线段的面积，再将其相加即可得到整个曲线的面积。
同理，对于曲线的弧长问题，可以将曲线分割成若干微小的线段，然后利用微分求出每个小线段的弧长，再将其相加即可得到整个曲线的弧长。
微元法在高中物理中的应用
微元法在高中物理中的应用
微元法是一种分析、解决物理问题的常用方法，其基本思想是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从而将复杂的物理问题转化为简单的、易于解决的子问题，以便更好地进行分析和求解。
在高中物理中，微元法可以应用于以下几个方面：
1.计算物体的面积和体积：通过微元法，可以将物体的面积和体
积分别分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物体的面积和体积。
2.计算物理过程中的变化量：通过微元法，可以将物理过程分成
无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到整个物理过程中的变化量。
3.计算物理量在时间或空间上的变化率：通过微元法，可以将时
间或空间分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物理量在时间或空间上的变化
率。
总之，微元法在高中物理中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地解决一些复杂的物理问题。
微元法及其在物理中的应用(大 整理好)
三、举例例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光 滑球面放在水平桌面上，球面上放臵一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不 能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足：θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθcos cos Lg G T ∆=∆=∆由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和， 即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθcos cos L g Lg T T观察 θcos L ∆的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ， 所以∑=∆R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L g T ρθρcos例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量 为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈 的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上， 使弹性绳圈水平停留在平衡位臵上，如图3—5所示，若 平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k.解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角 是△θ，则每一小段的质量 M m πθ2∆=∆ △m 在该平面上受 拉力F 的作用，合力为2sin2)2cos(2θθπ∆=∆-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ∆=∆=F FT 22 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，二力的合力与T 平衡.即 θtan ⋅∆=mg T现在弹性绳圈的半径为 R R r 2222==ππ 所以 ︒===4522sin θθR r 1tan =θ因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπθ∆=∆F Mg 2， 解得弹性绳圈的张力为： π2MgF =设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=所以绳圈的劲度系数为：RMgR Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-==例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图3—6所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的 张力为T ，则同上例分析可得 22sin 2ωθmr T ∆=∆ 因为△θ很小，所以22sin θθ∆≈∆，即 2222ωπθθMr T ∆=∆⋅解得最大角速度 MrTπω2= 例7：一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间△t ，在△t 内又有△M=ρ△x 落到地面上静止.地面对△M 作用的冲量为I t Mg F ∆=∆∆-)( 因为 0≈∆⋅∆t Mg所以 x v v M t F ∆=-⋅∆=∆ρ0 解得冲力：t x vF ∆∆=ρ，其中tx ∆∆就是t 时刻链条的速度v ， 故 2v F ρ= 链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的即时速度，即v 2=2g x ，代入F 的表达式中，得 gx F ρ2=此即t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力. 所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332LMgxgx gx gx N ==+=ρρρ 例8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化， 由此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子 的距离为x 时，左边绳长为)(21x l -，速度 gx v 2=， 右边绳长为).(21x l + 又经过一段很短的时间△t 以后， 左边绳子又有长度t V ∆21的一小段转移到右边去了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力T 和它本身的重力l m g t v /(21=∆λλ为绳子的线密度），根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21(v t v t g t v T ⋅∆--=∆∆-λλ 由于△t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略， 所以有 λλgx v T ==221 因此钉子对右边绳端的作用力为 )31(21)(21lx mg T g x l F +=++=λ例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长 但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑 接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位 长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳， 其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同， 故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求 解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的 圆心角为△θ，如图3—9—甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ， 绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为 零，则由平衡条件得：2sin 22sin 2sinθθθ∆=∆+∆=∆T T T N当△θ很小时，22sin θθ∆≈∆ ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ则绳所受法向支持力线密度为 RTR T L N n =∆∆=∆∆=θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ②T －mg=m a ③ 由②、③解得： mM MmgT +=2将④式代入①式得：Rm M Mm gn )(2+=例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和r 的两圆环相切.若在切点放一质点m ，恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环即可求解.如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P 、Q 两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元αα∆⋅=∆∆⋅=∆2221r L R L其对应的质量分别为 αρρ∆⋅=∆=∆21111R l mαρρ∆⋅=∆=∆22222r l m 由于△α很小，故△m 1、△m 2与m 的距离可以认为分别是 ααcos 2cos 221r r R r ==所以△m 1、△m 2与m 的万有引力分别为222222212111)cos 2(2,)cos 2(2ααρααρr mR G r m Gm F R m R G r m Gm F ∆⋅=∆=∆∆⋅=∆=∆ 由于α具有任意性，若△F 1与△F 2的合力为零， 则两圆环对m 的引力的合力也为零， 即2221)cos 2(2)cos 2(2ααρααρr mr G R m R G ∆⋅=∆⋅ 解得大小圆环的线密度之比为：rR=21ρρ 例11：一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在△t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有 F △t=△m ·v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg 即 Mg ·△t=△m ·v △t=△m ·v/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为： 221mv W ∆=所以发动机的功率 MgV Mg mV mv t W P 21)/(212=∆∆=∆=例12：如图3—11所示，小环O 和O ′分别套在不动的竖 直杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子穿过环O ′，绳的 两端分别系在A ′点和O 环上，设环O ′以恒定速度v 向下运 动，求当∠AOO ′=α时，环O 的速度.解析：O 、O ′之间的速度关系与O 、O ′的位臵有关，即 与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系. 设经历一段极短时间△t ，O ′环移到C ′，O 环移到C ，自C ′ 与C 分别作为O ′O 的垂线C ′D ′和CD ，从图中看出.ααcos ,cos D O C O OD OC ''=''=因此OC+O ′C ′=αcos D O OD ''+ ①因△α极小，所以EC ′≈ED ′，EC ≈ED ， 从而OD+O ′D ′≈OO ′－CC ′ ②由于绳子总长度不变，故 OO ′－CC ′=O ′C ′ ③由以上三式可得：OC+O ′C ′=αcos C O '' 即)1cos 1(-''=αC O OC 等式两边同除以△t 得环O 的速度为 )1cos 1(0-=αv v 例13： 在水平位臵的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出），过圆饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算.已知水银密度33/106.13m kg ⨯=ρ，水银的表面张力系数./49.0m N =σ当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大约为多少？ （取1位有效数字即可）解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h 的简单函数，而且支持力N 和重力mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解.在圆饼的侧面取一个宽度为△x ，高为h 的体积元，，如图 3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用在面 积△x ·h 上的压力F ，x gh xh hg S P F ∆⋅=∆⋅==22121ρρ，还有上表面分界线上的张力F 1=ς△x 和下表面分界线上的 张力F 2=ς△x .作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出.由力的平衡条件有：0cos 21=--F F F θ 即0cos 212=∆-∆-∆x x x gh σθσρ 解得：θρθσcos 1107.2)cos 1(23+⨯=+=-gh由于 ,2cos 11,20<+<<<θπθ所以 故2.7×10－3m<h<3.8×10－3m题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h 的估算值为3×10－3m 或4×10－3m. 例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径 为R ，质量为m.令此环均匀带正电，总电量为Q.现将此环平放在 绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁 场方向竖直向下.当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示 方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不 考虑环上电荷之间的作用）解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则 环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时，环上电 荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存 在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关. 由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同， 因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的 大小.在圆环上取△L=R △θ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示.因转动角速度ω而形成的电流 πω2Q I =，电流元I △L 所受的安培力θπω∆=∆=∆QB R LB I F 2 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，R m F T 22sin2ωθ∆=∆-∆ 当△θ很小时，R m QBR T 2222sin ωθπωθθθ∆=∆-∆∆≈∆ θπωθπωθθπ∆=∆-∆∴∆=∆2222Rm QB R T mm解得圆环中张力为 )(2ωπωm QB R T +=例17：如图3—16所示，一水平放臵的光滑平行导轨上放一质量 为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R 的电阻，其 他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一 个水平向右的初速度v 0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨 上向右移动的最大距离是多少？解析：水平地从a 向b 看，杆在运动过程中的受力分析如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位 移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要 采用的方法得当仍然可以求解.设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间△t ， 发生了一段极小的位移△x ，在△t 时间内，磁通量的变化为 △φ △φ=BL △x tRxBL tR RI ∆∆=∆∆Φ==ε金属杆受到安培力为tRxL B ILB F ∆∆==22安由于时间极短，可以认为F 安为恒力，选向右为正方向，在△t 时间内，安培力F 安的冲量为：RxL B t F I ∆-=∆⋅-=∆22安对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为x RL B R x L B I 2222)(-=∆-=∑ ① 其中x 为杆运动的最大距离，对金属杆用动量定理可得 I=0－mV 0 ② 由①、②两式得：220L B Rm V x =例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器 的电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同 一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计， 两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方 向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为m 1和 m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良 好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在 导轨上.现将开关S 先合向1，然后合向2.求： （1）两根小棒最终速度的大小；（2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计）解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大.（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L 1、L 2为研究对象得：1111v m v m t F i i -'=∆ ∑=∆v m t F i i 111 ① 同理得：∑=∆v m t Fi i 222②由①、②得：v m m t Ft F i i i i )(212211+=∆+∆∑∑又因为 11Bli F i = 21i i t t ∆=∆ 22Bli F i = i i i =+21所以∑∑∑∑∆=∆+=∆+∆i i i i t i BL t i i BL tBLi t BLi )(212211v m m q Q BL )()(21+=-=而 Q CE =, q CU CBLv ='=,所以解得小棒的最终速度 2221)(LCB m m BLCEv ++=（2）因为总能量守恒，所以热Q v m m C q CE +++=22122)(212121 即产生的热量 22122)(212121v m m C q CE Q +--=热 )(2)()()]([2121)(21)(12121222122122212122222122C L B m m CE m m L CB m m BLCEm m L CB CE v m m CBLv C CE +++=+++--=+--=5．质量为M 的平板小车在光滑的水平面上以v 0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m ，碰撞弹力N>>g ，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是（ ）A ．gh 2B ．0C ．gh 22μD ．v 06．半径为R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa ，a =R/2，绳圈的弹性系数为k （绳伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）.将绳圈从球的正 上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位臵.考 虑重力，忽略摩擦.（1）设平衡时弹性绳圈长2πb ，b=a 2，求弹性系数k ；（用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度） （2）设k=Mg/2π2R ，求绳圈的最后平衡位臵及长度.7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内， 在环内的环底A 处有一质量为m 、直径比管径略小的小球， 小球上连有一根穿过环顶B 处管口的轻绳，在外力F 作用 下小球以恒定速度v 沿管壁做半径为R 的匀速圆周运动， 如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧 部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑 的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小球从A 点运动到B 点过程中F 做的功W F .14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向 下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一个边长 为a （a <L ），质量为m 的正方形闭合线框以初速v 0垂直 磁场边界滑过磁场后，速度变为v （v <v 0），求： （1）线框在这过程中产生的热量Q ； （2）线框完全进入磁场后的速度v ′.15．如图3—31所示，在离水平地面h 高的平台上有一相 距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ， 充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应 强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金 属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2， 求棒落在离平台多远的位臵.16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小 为B ，一光滑导轨竖直放臵，导轨上接有一电容为C 的电 容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m ，释放后，求 金属棒的加速度a .参考答案：1．321v S ρ 2．θ=60°)223(2hsg h + 3．)cos 1/(x v + 4．2cos /θv 5．CD 6．（1）RMg 22)12(π+ （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．22v m mgR πμ+ 8．6.25×1015,2:1 9．2322)(x R Qqx K+ 10．32R l Q Kρ∆ 11．R k λ2 12．rk λ2 13．σπR 2 14．2),(210220v v v v v m +='- 15．gh m u u CBL 2)(21- 16．22L CB m mg a +=。
第五章 定积分的几何应用
) ( r r
d
例 5
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 部分面积
A 4A1
y x
2 a 2 cos 2
A 40
4
1 2 a cos 2d a 2 . 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的 面积 (a 0).
小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积. 求旋转体的体积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
思考题
1. 设 曲 线 y f ( x ) 过 原 点 及 点( 2,3) ， 且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线 上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平 行线与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一 条平行线与 y 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积的 两倍，求曲线方程.
练习题答案 32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 4、y ； 5、 e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 a ； 2 6 5 3 2 2 4、3a ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
其上相应的窄条左、右曲边分别为 1 2 x y ,x y4 2 4 1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化
上述问题的一般情况是
d
y
x ( y)
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所以 0
1
ln x dx 的瑕点是 x 0. x 1
注意：把反常积分中的 非瑕点当作瑕点(如本题的x 1) 来算(即用极限计算)也是正确的， 变上限函数连续。 当不能确定是否是瑕点 时可以就当瑕点来算。
三、小结
无穷限的反常积分
a
f ( x )dx ,
f ( x )dx, f ( x )dx a f ( x )dx
b 0
f ( x )dx 1dx b.
0
b
b a时 b a时
b a b a
b a b a
ln x dx 的瑕点是哪几点？ 例 积分0 x 1 1 ln x dx 可能的瑕点是 x 0, x 1 积分 0 解 x 1 ln x 1 lim 1, 所以 x 1 不是瑕点, 因为 lim x 1 x x 1 x 1 ln x 又因为 lim x 0 x 1
公式2 设区域D如图 D的下端靠在 y a 上; D的上端靠在 y b 上; 且D的右线方程为 x x右 ( y); D的左线方程为 x x左 ( y) x右 ( y )
x x左 ( y )
ya
x
上端 下端
公式为： A [ x右 ( y ) x左 ( y )]dy
D
上线 : x y 0 y 上线 x ,
O O
2
1 9 x3 3 27 27 x 27 [3 ]0 3 6 2 3 2 2
A
右端
左端 2
[上线 下线]dx 0 [ x ( x 2 x )]dx
b
b
无界函数的反常积分(瑕积分)
注意
(1) 不要与常义积分混淆;
(2) 不能忽略内部的瑕点.
3
第六章
定积分的应用(P272)
The application of definite integral
定积分有着广泛的用途, 本章介绍它在 几何, 物理上的简单应用, 培养用数学知识来 分析和解决实际问题的能力. 先介绍建立定积分的一种适用的简便方 法--- 元素法(微元法).
a 第2个 ， 可加性；第3个 ， 求和不增加相对误差 .
x a a
O
b
x
步2中的“相对误差为 0”， dx越小, 相对误差越小.
6.2 定积分在几何学上的应用 (P274)
平面图形的面积
体 积 平面曲线的弧长 小结 思考题
第六章 定积分的应用
作业
1.直角坐标系中图形的面积 y y ( x) 例 设区域D如图(阴影部分) D的左端靠在 x a 上; y ( x) D的右端靠在 x b 上; 且D的上线方程为 y y上 ( x); y y ( x) y ( x) D的下线方程为 y y下 ( x); x x dx x xa xb 求D的面积A(的公式 b ). 右端 解 公式为：A a [ y上 ( x ) y下 ( x )]dx 左 端[上线 下线]dx 步1, 微分法是竖向分条. 步2, 条对应的区间 (条) x 步3, dx微(窄),可用矩形代条,背景知识, 矩形面积 长 宽 dA A[ x, x dx] 长 宽 [ y上 ( x ) y下 ( x )] dx ?
6.1
微元法的基本思想 (补充教材圈26页)
A按某种方式微分 微元法(圈26页) 步1 : 把不易计算的所求量 成一小块一小块的微量 . (如图, 可先把A看成是绿色曲边梯形 成一个个窄 的面积, 微分方法是用// y轴的直线把曲边梯形分 并创建一个区间函数A 的曲边梯形) 步2 : 建立坐标系， A[ x1 , x2 ], 使得步1的每一个小块对应一个 小区间的A值(如图 A[ x1 , x2 ] [ x1 , x2 ]上的曲边梯形的面积 ),且所求A A[a, b], 且A具有可加性: c (a, b), A[a, c] A[c, b] A[a, b]. [ x, x dx]上的微A值(即微元) 步3(法2) : 计算标准微分区间 dA A[ x, x dx](如图红色部分)， y 具体做法是: 找 f ( x), 使 f ( x )dx y f ( x) (如图红 兰)代替dA 的相对误差为 0, f ( x ) f ( x dx ) 故 dA A[ x, x dx] f ( x )dx. x b b 步4 : A A[a, b] dA f ( x )dx x x dx
上
y
上
下
下
步4, A A[a, b]
x b
x a
dA a [ y上 ( x ) y下 ( x )]dx
b
步 1, 把所求微分成一小块一 小块的微量 . 步 3, 算微元 dA A x, x 1 dx],用f ( x )dx代dA相对误差 步 2 , 造区间函数 ,[ 使步 的每个小块对应一个区 间. 0
例 设
1 f ( x) x 1
x0 x0
求
b 0
f ( x )dx
解：注意虽然0 是下限 b 是上限，但并不表示0 b .
故 b 0 时,
b 0
1 f ( x )dx dx [ln x ]b (发散); 0 0 x
b
b 0 时, 注意
[右线 左线]dy
. 例 求由x y 0, y x 2 x所围成的图形面积
2
下线 : y x 2 x 下线，
2
解 用公式, 先画D图, 坐标轴, 围D线, x y 0 y x 2 2 x D x坐标, 恰为两线交点 用公式1, 左端O, 右端A, 需算左右两端的 y 交点 (0,0), ( 3,3). x y0 x y 0 A 左端 x 0 , 右端 x 3 , 2 y x 2x