微元法及其应用
微元法在高中物理中的运用及技巧简说
微元法在高中物理中的运用及技巧简说微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。
比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。
微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。
微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。
用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。
所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。
如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。
对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。
关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。
例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。
我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。
例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t’长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为■=■，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。
微元法在高中物理中应用
微元法在高中物理中应用微元法是一种以计算机模拟和分析实际现象的方法，在若干学科中，如力学、热力学、流体力学、电磁学、材料力学等有广泛的应用。
物理学也是其中的重要应用领域，微元法在高中物理教学中的应用是一种新兴的教学方法，它可以使物理实验更加直观、实用和深入，也可以有效提高学生的学习效率。
一、微元法的基本原理微元法是一种基于数值模拟的方法，它将物理实验中的复杂现象分解为若干基本现象，然后逐一计算，从而获得结果。
它的基本思想是：将实际情况分解为多个简单的微元，将每个微元的物理量用数值代替，经过一系列的计算，可以得出实验结果。
二、微元法在高中物理教学中的应用1、模拟物理实验微元法可以用来模拟各种物理实验，提供学生更直观的实验体验，更加直观地理解物理现象。
比如，在学习曲线运动时，可以用微元法模拟出曲线运动的过程，使学生能够更加直观地理解曲线运动的物理原理。
同时，微元法还可以用来模拟物理实验，可以替代传统的实验方式，节省采购实验器材的时间和成本。
2、开展深入的物理探究微元法可以模拟出物理实验的过程，让学生可以更深入地探究物理现象。
比如，在学习静电场时，可以用微元法模拟出电荷在静电场中的运动，更深入地理解静电场的物理原理。
3、提高学生的学习效率微元法可以用来计算物理实验的结果，可以极大地提高学生的学习效率，节省实验时间。
比如，在学习电磁学时，可以用微元法模拟出电磁波的传播，而不需要耗费大量的时间来实验，更有效地掌握电磁学的知识。
三、微元法的不足微元法虽然在高中物理教学中有着广泛的应用，但也存在一些不足。
首先，微元法要求计算机具备较高的计算能力，而不是所有的学校都能满足这一要求；其次，微元法要求有一定的编程能力，因此，学习微元法需要耗费较多的学习时间；最后，微元法模拟的物理实验结果可能会有误差，因此，学生应该在理解物理原理的基础上，更加细致地检查模拟的结果。
总之，微元法是一种新兴的教学方法，它可以使物理实验更加直观、实用和深入，也可以有效提高学生的学习效率，但也有一定的不足，所以，在开展微元法的应用时，应该注意避免其缺陷，以取得最佳的教学效果。
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
微元法物理意义
微元法物理意义摘要：1.微元法的概念及应用领域2.微元法的物理意义3.微元法在物理学中的重要作用4.微元法在实际工程中的应用案例5.总结与展望正文：微元法是一种数学方法，主要用于解决连续系统的问题。
在物理学领域，它具有重要的意义。
本文将介绍微元法的物理意义，应用领域以及在实际工程中的应用案例。
一、微元法的概念及应用领域微元法是将一个复杂的连续系统分解为无数个微小的部分，通过对这些微小部分的分析，来研究整个系统的性质。
这种方法适用于各种连续介质，如固体、液体和气体等。
其应用领域广泛，包括力学、热力学、电磁学、量子力学等。
二、微元法的物理意义微元法的物理意义在于，通过对系统进行微小分割，可以更好地研究系统在宏观和微观尺度上的性质。
在物理学中，许多现象和规律都可以通过微元法来阐述。
例如，在力学中，我们可以通过微元法研究物体的受力情况和运动状态；在热力学中，我们可以通过微元法分析热量的传递和转换过程；在电磁学中，我们可以通过微元法研究电场和磁场的分布规律。
三、微元法在物理学中的重要作用微元法在物理学中具有重要作用。
首先，它为研究者提供了一种处理复杂系统的方法，使得许多难以求解的问题变得易于处理。
其次，微元法揭示了许多自然界中的规律和定律，如牛顿三定律、热力学第一和第二定律等。
此外，微元法还为工程技术领域提供了理论依据，如结构力学、流体力学等。
四、微元法在实际工程中的应用案例在实际工程中，微元法有着广泛的应用。
例如，在建筑结构设计中，通过对结构进行微元分析，可以评估结构的稳定性和安全性；在航空航天领域，微元法可以帮助设计师优化飞行器的设计，提高飞行性能；在材料科学中，微元法可以用于研究材料的力学性能和疲劳寿命等。
五、总结与展望总之，微元法作为一种数学方法，在物理学领域具有重要的地位。
它为研究者提供了一种处理复杂系统的方法，揭示了自然界中的许多规律，并为实际工程应用提供了理论支持。
微元法在高中物理中的应用
微元法在高中物理中的应用
微元法是一种分析、解决物理问题的常用方法，其基本思想是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从而将复杂的物理问题转化为简单的、易于解决的子问题，以便更好地进行分析和求解。
在高中物理中，微元法可以应用于以下几个方面：
1.计算物体的面积和体积：通过微元法，可以将物体的面积和体
积分别分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物体的面积和体积。
2.计算物理过程中的变化量：通过微元法，可以将物理过程分成
无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到整个物理过程中的变化量。
3.计算物理量在时间或空间上的变化率：通过微元法，可以将时
间或空间分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物理量在时间或空间上的变化
率。
总之，微元法在高中物理中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地解决一些复杂的物理问题。
微元法及其在物理中的应用(大 整理好)
三、举例例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光 滑球面放在水平桌面上，球面上放臵一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不 能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足：θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθcos cos Lg G T ∆=∆=∆由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和， 即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθcos cos L g Lg T T观察 θcos L ∆的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ， 所以∑=∆R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L g T ρθρcos例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量 为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈 的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上， 使弹性绳圈水平停留在平衡位臵上，如图3—5所示，若 平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k.解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角 是△θ，则每一小段的质量 M m πθ2∆=∆ △m 在该平面上受 拉力F 的作用，合力为2sin2)2cos(2θθπ∆=∆-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ∆=∆=F FT 22 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，二力的合力与T 平衡.即 θtan ⋅∆=mg T现在弹性绳圈的半径为 R R r 2222==ππ 所以 ︒===4522sin θθR r 1tan =θ因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπθ∆=∆F Mg 2， 解得弹性绳圈的张力为： π2MgF =设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=所以绳圈的劲度系数为：RMgR Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-==例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图3—6所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的 张力为T ，则同上例分析可得 22sin 2ωθmr T ∆=∆ 因为△θ很小，所以22sin θθ∆≈∆，即 2222ωπθθMr T ∆=∆⋅解得最大角速度 MrTπω2= 例7：一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间△t ，在△t 内又有△M=ρ△x 落到地面上静止.地面对△M 作用的冲量为I t Mg F ∆=∆∆-)( 因为 0≈∆⋅∆t Mg所以 x v v M t F ∆=-⋅∆=∆ρ0 解得冲力：t x vF ∆∆=ρ，其中tx ∆∆就是t 时刻链条的速度v ， 故 2v F ρ= 链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的即时速度，即v 2=2g x ，代入F 的表达式中，得 gx F ρ2=此即t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力. 所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332LMgxgx gx gx N ==+=ρρρ 例8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化， 由此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子 的距离为x 时，左边绳长为)(21x l -，速度 gx v 2=， 右边绳长为).(21x l + 又经过一段很短的时间△t 以后， 左边绳子又有长度t V ∆21的一小段转移到右边去了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力T 和它本身的重力l m g t v /(21=∆λλ为绳子的线密度），根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21(v t v t g t v T ⋅∆--=∆∆-λλ 由于△t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略， 所以有 λλgx v T ==221 因此钉子对右边绳端的作用力为 )31(21)(21lx mg T g x l F +=++=λ例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长 但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑 接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位 长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳， 其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同， 故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求 解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的 圆心角为△θ，如图3—9—甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ， 绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为 零，则由平衡条件得：2sin 22sin 2sinθθθ∆=∆+∆=∆T T T N当△θ很小时，22sin θθ∆≈∆ ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ则绳所受法向支持力线密度为 RTR T L N n =∆∆=∆∆=θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ②T －mg=m a ③ 由②、③解得： mM MmgT +=2将④式代入①式得：Rm M Mm gn )(2+=例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和r 的两圆环相切.若在切点放一质点m ，恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环即可求解.如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P 、Q 两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元αα∆⋅=∆∆⋅=∆2221r L R L其对应的质量分别为 αρρ∆⋅=∆=∆21111R l mαρρ∆⋅=∆=∆22222r l m 由于△α很小，故△m 1、△m 2与m 的距离可以认为分别是 ααcos 2cos 221r r R r ==所以△m 1、△m 2与m 的万有引力分别为222222212111)cos 2(2,)cos 2(2ααρααρr mR G r m Gm F R m R G r m Gm F ∆⋅=∆=∆∆⋅=∆=∆ 由于α具有任意性，若△F 1与△F 2的合力为零， 则两圆环对m 的引力的合力也为零， 即2221)cos 2(2)cos 2(2ααρααρr mr G R m R G ∆⋅=∆⋅ 解得大小圆环的线密度之比为：rR=21ρρ 例11：一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在△t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有 F △t=△m ·v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg 即 Mg ·△t=△m ·v △t=△m ·v/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为： 221mv W ∆=所以发动机的功率 MgV Mg mV mv t W P 21)/(212=∆∆=∆=例12：如图3—11所示，小环O 和O ′分别套在不动的竖 直杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子穿过环O ′，绳的 两端分别系在A ′点和O 环上，设环O ′以恒定速度v 向下运 动，求当∠AOO ′=α时，环O 的速度.解析：O 、O ′之间的速度关系与O 、O ′的位臵有关，即 与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系. 设经历一段极短时间△t ，O ′环移到C ′，O 环移到C ，自C ′ 与C 分别作为O ′O 的垂线C ′D ′和CD ，从图中看出.ααcos ,cos D O C O OD OC ''=''=因此OC+O ′C ′=αcos D O OD ''+ ①因△α极小，所以EC ′≈ED ′，EC ≈ED ， 从而OD+O ′D ′≈OO ′－CC ′ ②由于绳子总长度不变，故 OO ′－CC ′=O ′C ′ ③由以上三式可得：OC+O ′C ′=αcos C O '' 即)1cos 1(-''=αC O OC 等式两边同除以△t 得环O 的速度为 )1cos 1(0-=αv v 例13： 在水平位臵的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出），过圆饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算.已知水银密度33/106.13m kg ⨯=ρ，水银的表面张力系数./49.0m N =σ当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大约为多少？ （取1位有效数字即可）解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h 的简单函数，而且支持力N 和重力mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解.在圆饼的侧面取一个宽度为△x ，高为h 的体积元，，如图 3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用在面 积△x ·h 上的压力F ，x gh xh hg S P F ∆⋅=∆⋅==22121ρρ，还有上表面分界线上的张力F 1=ς△x 和下表面分界线上的 张力F 2=ς△x .作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出.由力的平衡条件有：0cos 21=--F F F θ 即0cos 212=∆-∆-∆x x x gh σθσρ 解得：θρθσcos 1107.2)cos 1(23+⨯=+=-gh由于 ,2cos 11,20<+<<<θπθ所以 故2.7×10－3m<h<3.8×10－3m题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h 的估算值为3×10－3m 或4×10－3m. 例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径 为R ，质量为m.令此环均匀带正电，总电量为Q.现将此环平放在 绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁 场方向竖直向下.当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示 方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不 考虑环上电荷之间的作用）解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则 环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时，环上电 荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存 在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关. 由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同， 因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的 大小.在圆环上取△L=R △θ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示.因转动角速度ω而形成的电流 πω2Q I =，电流元I △L 所受的安培力θπω∆=∆=∆QB R LB I F 2 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，R m F T 22sin2ωθ∆=∆-∆ 当△θ很小时，R m QBR T 2222sin ωθπωθθθ∆=∆-∆∆≈∆ θπωθπωθθπ∆=∆-∆∴∆=∆2222Rm QB R T mm解得圆环中张力为 )(2ωπωm QB R T +=例17：如图3—16所示，一水平放臵的光滑平行导轨上放一质量 为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R 的电阻，其 他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一 个水平向右的初速度v 0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨 上向右移动的最大距离是多少？解析：水平地从a 向b 看，杆在运动过程中的受力分析如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位 移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要 采用的方法得当仍然可以求解.设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间△t ， 发生了一段极小的位移△x ，在△t 时间内，磁通量的变化为 △φ △φ=BL △x tRxBL tR RI ∆∆=∆∆Φ==ε金属杆受到安培力为tRxL B ILB F ∆∆==22安由于时间极短，可以认为F 安为恒力，选向右为正方向，在△t 时间内，安培力F 安的冲量为：RxL B t F I ∆-=∆⋅-=∆22安对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为x RL B R x L B I 2222)(-=∆-=∑ ① 其中x 为杆运动的最大距离，对金属杆用动量定理可得 I=0－mV 0 ② 由①、②两式得：220L B Rm V x =例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器 的电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同 一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计， 两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方 向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为m 1和 m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良 好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在 导轨上.现将开关S 先合向1，然后合向2.求： （1）两根小棒最终速度的大小；（2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计）解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大.（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L 1、L 2为研究对象得：1111v m v m t F i i -'=∆ ∑=∆v m t F i i 111 ① 同理得：∑=∆v m t Fi i 222②由①、②得：v m m t Ft F i i i i )(212211+=∆+∆∑∑又因为 11Bli F i = 21i i t t ∆=∆ 22Bli F i = i i i =+21所以∑∑∑∑∆=∆+=∆+∆i i i i t i BL t i i BL tBLi t BLi )(212211v m m q Q BL )()(21+=-=而 Q CE =, q CU CBLv ='=,所以解得小棒的最终速度 2221)(LCB m m BLCEv ++=（2）因为总能量守恒，所以热Q v m m C q CE +++=22122)(212121 即产生的热量 22122)(212121v m m C q CE Q +--=热 )(2)()()]([2121)(21)(12121222122122212122222122C L B m m CE m m L CB m m BLCEm m L CB CE v m m CBLv C CE +++=+++--=+--=5．质量为M 的平板小车在光滑的水平面上以v 0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m ，碰撞弹力N>>g ，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是（ ）A ．gh 2B ．0C ．gh 22μD ．v 06．半径为R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa ，a =R/2，绳圈的弹性系数为k （绳伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）.将绳圈从球的正 上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位臵.考 虑重力，忽略摩擦.（1）设平衡时弹性绳圈长2πb ，b=a 2，求弹性系数k ；（用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度） （2）设k=Mg/2π2R ，求绳圈的最后平衡位臵及长度.7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内， 在环内的环底A 处有一质量为m 、直径比管径略小的小球， 小球上连有一根穿过环顶B 处管口的轻绳，在外力F 作用 下小球以恒定速度v 沿管壁做半径为R 的匀速圆周运动， 如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧 部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑 的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小球从A 点运动到B 点过程中F 做的功W F .14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向 下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一个边长 为a （a <L ），质量为m 的正方形闭合线框以初速v 0垂直 磁场边界滑过磁场后，速度变为v （v <v 0），求： （1）线框在这过程中产生的热量Q ； （2）线框完全进入磁场后的速度v ′.15．如图3—31所示，在离水平地面h 高的平台上有一相 距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ， 充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应 强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金 属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2， 求棒落在离平台多远的位臵.16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小 为B ，一光滑导轨竖直放臵，导轨上接有一电容为C 的电 容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m ，释放后，求 金属棒的加速度a .参考答案：1．321v S ρ 2．θ=60°)223(2hsg h + 3．)cos 1/(x v + 4．2cos /θv 5．CD 6．（1）RMg 22)12(π+ （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．22v m mgR πμ+ 8．6.25×1015,2:1 9．2322)(x R Qqx K+ 10．32R l Q Kρ∆ 11．R k λ2 12．rk λ2 13．σπR 2 14．2),(210220v v v v v m +='- 15．gh m u u CBL 2)(21- 16．22L CB m mg a +=。
微元法在电磁学中的应用
微元法在电磁学中的应用
微元法在电磁学中的应用非常广泛，可以用来解决电荷分布、电场、电势、电磁感应等问题。
1. 电荷分布：微元法可以用于计算不规则形状电荷分布的总电荷量。
将电荷分布划分为许多微小电荷元，然后对每个微小电荷元进行求和，就可以得到整个电荷分布的总电荷量。
2. 电场：微元法可以用于计算电荷在某点产生的电场。
通过将电荷分布划分为微小电荷元，然后计算每个微小电荷元对某一点的电场贡献，再将所有微小电荷元的贡献相加，就可以得到该点的总电场。
3. 电势：微元法可以用于计算电荷在某一点产生的电势。
通过将电荷分布划分为微小电荷元，然后计算每个微小电荷元对某一点的电势贡献，再将所有微小电荷元的贡献相加，就可以得到该点的总电势。
4. 电磁感应：在计算电磁感应时，可以使用微元法来计算由磁场引起的感应电动势。
将磁场分布划分为微小磁场元，然后计算每个微小磁场元对某一回路的感应电动势贡献，再将所有微小磁场元的贡献相加，就可以得到该回路的总感应电动势。
微元法在电磁学中可以帮助我们计算复杂的电荷分布、电场、电势和电磁感应问题，通过将问题划分为微小元素并进行求和，使得计算更加简化和准确。
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。
微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。
微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。
通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。
虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。
我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。
定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。
在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。
2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。
在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。
在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。
微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。
在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。
需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。
通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。
2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。
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摘要：
微元法是分析、解决物理及数学等问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。
用该方法可以使一些复杂的过程用我们熟悉的迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
关键词：
微元法积分思维
英文题目
Abstract:
Infinitesimal method is analysis, solving questions of physics and mathematics of the commonly used methods, but also from the part to the whole thinking method。
" Differential method" simple is the object of study is divided into an infinite infinitesimal portion removed, representative of a small part of analysis, from the local to the integrated consideration of scientific thinking method, in this method fully embodies the thought of integrated。
This method can make the complex process with our familiar quickly to try to solve, make the simple。
Key words:
Infinitesimal method Integral Thinking
1 引言:
微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
2 研究问题及成果
2·1:微元法的取元原则
（1）可加性原则
由于所取的“微元”最终必须参加叠加演算，所以，对“微元”及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征；
（2）有序性原则
为了保证所取的“微元”在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”；
（3）平权性原则
叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。
对于一般的“权函数” 来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数” 具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式
2·2:微元法的换元技巧
就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。
最常见的换“元”技巧有如下几种 ：
(1) “时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；
(2) “体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；
(3) “线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；
(4) “孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。
2·3:微元法在数学物理过程中的应用
例1： 求曲线22
,(2)y x y x ==-与x 轴围成的平面图形的面积。
解 为了求出曲线22,(2)y x y x ==-的交点, 解方程组22(2)
y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得交点(1,1。
而曲线22,(2)y x y x ==-与x 轴的交点为(0,0)(2
及。
所求面积要分成两个区间]1,0[及[1,2
来考虑。
取x 为积分变量，[0,1
x ∈，相应于]1,0[上任一小区间],[dx x x +的小曲边梯形的面积近似为2x d x ，从而得到面积微元为
21d A x d x
= 相应于[1,2上任一小区间],[dx x x +的小曲边梯形的面积近似为2(2)x d x -，于
是得到面积微元为
22(2)d A x d x =-
以2x d x 为被积表达式,在闭区间]1,0[上作定积分,再以2
(2)x d x -为被积表达式,在闭区间[1,2上作定积分,并相加,便得所求平面图形的面积为
31222
132********(2)[][(2)]33333x A x dx x dx x =+-=+-=+=⎰⎰ 例2：例3 求抛物线22y x =+与直线0x y -=所围图形的面积。
解 为求抛物线与直线的交点,解方程组
220
y x x y ⎧=+⎨-=⎩ 得交点为(1,1)(2,2)--与。
取y 为积分变量，[1,2]y ∈-，相应于[1,2]-上任一小区间[,]y y dy +的曲边梯形的面积近似为2[(2)]y y dy --，即面积微元为2[(2)]dA y y dy =--。
以2[(2)]y y dy --为被积表达式，在区间[1,2]-上作定积分，便得所求面积为
222221-1119A=[y (y 2)][2]232
dy y y y ---=-+=⎰ 说明： 本题若以x 为积分变量，计算会不方便，可见积分变量选取得当，会使计算简化。
例3：如图所示，长为L 的船静止在平静的水面上，
立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，
人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？
解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，
系统所受合外力为零，可知系统动量守恒。
设人在走动过
程中的△t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移。
设v 1、v 2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有 21Mv mv = ① 两边同时乘以一个极短的时间△t ， 有 t Mv t mv ∆=∆21 ② 由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，
所以人和船位移大小分别为t v s ∆=∆11，t v s ∆=∆22
由此将②式化为 21s M s m ∆=∆ ③
把所有的元位移分别相加有 ∑∑∆=∆21s M s m ④
即 ms 1=Ms 2 ⑤ 此式即为质心不变原理。
其中s 1、s 2分别为全过程中人和船对地位移的大小， 又因为 L=s 1+s 2 ⑥
由⑤、⑥两式得船的位移 L m
M m s +=2 例4：如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球
面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A
端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位
长度的质量为ρ。
试求铁链A 端受的拉力T 。
解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能
忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受
力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质
点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出
整条铁链的受力情况。
在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，
其受力分析如图所示。
由于该元处于静止状态，
所以受力平衡，在切线方向上应满足：
θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθcos cos Lg G T ∆=∆=∆
由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大
△T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，
即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθcos cos L g Lg T T
观察 θcos L ∆的意义，由于△θ很小，
所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ，
所以 ∑=∆R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L g T ρθρcos
3 结束语：
运用微元法在一定的条件下可以把变化的、运动的、规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程。
微元法从微元入手,以某个微元为研究对象或以某个微小变化为研究过程,找出所选微元或微小变化所遵循的规律。
微元法体现了化整为零，由局部到整体的思维模式，这种思维已经广泛渗透到数学与物理等各个领域。
参考文献 [1]华东师范大学数学系。
数学分析[M]。
北京：高等出版社，1987。
[2]刘书田，冯翠莲。
微积分[M]。
北京：高等教育出版社，2003。
分工情况
第一部分由王庆帅完成 第二部分由王鹏完成。