勾股定理的应用(2)
《勾股定理的应用》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (2)
8．D ①当△ABC 为锐角三角形，∵AD 为高，
∴BD＝ AB2－AD2＝ 152－122＝9， CD＝ AC2－AD2＝ 132－122＝5， ∴BC＝BD＋DC＝9＋5＝14.
②当△ABC 为钝角三角形时，
A．150 cm B．180 cm C．170 cm D．200 cm
3．如图，一圆柱高 4 cm，底面半径为 1 cm，一只蚂蚁想 从点 A 处沿圆柱表面爬行到点 B 处吃食，这只蚂蚁要爬行的最 短路程约是________(π 取 3)．
4．如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，高为 5 cm， 若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂 蚁爬行的最短路径长为________cm.
8
1 xm 8
xm
1 xm
xm
8
（1） 第一幅画的画面面积是多少平方米？ 第二幅呢？你是怎样做的？
（2） 若把图中的x改为mx,其他不变，则 两幅画的面积又该怎样表示呢？
探索规律：
1、 3a2b ·2ab3 和 (xyz) ·y2z又等于什么？ 你是怎样计算的？
2、如何进行单项式乘单项式的运算？
10．如图所示，有一根高为 2 m 的圆木柱，它的底面周长 为 0.3 m．国庆前夕，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一 根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕 7 圈，一直缠到起点的正上方 为止，问：小明至少需要准备一根多长的彩带？
课前热身 1．展开 平面图形 连接两点之间的线段 勾股 2．长方形 扇形
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
课
随
前
勾股定理的应用2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知 几个条件? A
（2）求AB的长
2 3
3
13
D 2 C
B 1
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
D E A G B C
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8， 先把它对折，折痕为EF，展开后再沿 BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二
次折痕BG的长。 提示：先证明正三角形AA B
1
C A1 E
B
F
D
G
A
构造直角三角形
例1、在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm， 求BC的长.
变式2、已知：如图，△ABC中,AC=4,∠A=45°， ∠B=60°，求AB. C
y
B
C
A B
A
O
x
添辅助线
勾股定理的使用
E
变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26， BC=25，AC=17，求△ABC的面积.
A
B
D
C
方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
例2、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°， AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.
A
A E
D
A
F
D C
B
C
18.1勾股定理
——综合应用
复习：
（1）勾股定理的内容：
（2）勾股定理的应用： ①已知两边求第三边； ②已知一边和一锐角（30°、60°、45°的 特殊角），求其余边长； ③已知一边和另外两边的角形中未知的边
勾股定理的应用
∵0.8×11=8.8(cm),8.82=77.44>74,
∴蚂蚁能在11 s内吃到食物.
作业：
《全品》第8,9页.
上底面的点B处,它爬行的最短路线是(注:P是SR的中点)
( C ).
A.A→R→B
B.A→Q→B
C.A→P→B
D.A→S→B
当堂检测
2.如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5
cm,若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达
点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为 13 cm.
当堂检测
3.如图是一个长方体,它的长、宽、高分别为5 cm,3
B
1
AB32=26
B2
2
2
A
AB12=18
1
3
2
B3
1
变式练习
2.一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别
是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬
到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线
吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
B
B
8
12
12
A
A
8
8
8
巩固提高：
1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，
它怎么走最近？并求出最近距离。
20
B
3
2
A
AB 15 20 625 25
2
2
2
2
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1、根据题意正确画出图形.
2、弄清题中直角三角形及线段关系.
3、根据勾股定理求未知量,或恰当设
未知量，建立方程来求解.
当堂检测
1、如图,一只蚂蚁从正方体的底面点A处沿着表面爬行到
17.1勾股定理(第2课时 勾股定理在实际生活中的应用)(课件)-八年级数学下册(人教版)
归纳小结
D
C
从实际问题中构建出直角三角形
用勾股定理求边长解决实际问题
A
B
典例分析
例2 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为
2.4 m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗?
A
B
O
典例分析
例2 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为
不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m.
B
O
D
？
归纳小结
生活中默认垂直的物体包括：柱子、电线杆、楼体、旗杆、
墙壁、地板、门窗玻璃、书架、桌子等。这些物体在设计和
建造时，通常都会确保其部分或整体与地面或另一物体保持
垂直关系，以满足结构稳定性和功能需求。因此，当这些物
体出现在题目中时，默认为已知直角。
答：小鸟至少飞行 10 米.
C
A
典例分析
二、列勾股定理方程解应用题
例3 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，
葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？译：有
一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它
高出水面一尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池
OB2 = AB2 - OA2 =2.62 - 2.42 =1，∴OB = 1.
在 Rt△COD 中，根据勾股定理得
OD2 =CD2 - OC2 =
2.62-(2.4-0.5)2=3.15，
A
0.5m
C
∴OD = 3.15 ≈ 1.77
勾股定理应用(含解答)
勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．（图1）（2）（3）如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是,,, cm 2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）．例2：,如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为(, )A ．a 3,,B ．a )21(+,,C ．3a,,D ．a5解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵．由图知AC=2a,BC=a ．根据勾股定理得.a 5a 5a )a 2(AB 222==+=故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示∙ ∙AB C图3⑵∙ ∙AB 图3⑴出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，线段即可．下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（,,）（A ）13, （B ）19,, （C ）25,,,（D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13,①.由题意，得,, (b-a)2=1,②.由②，得,,a 2+b 2-2ab =1 ③.把①代入③，得, 13-2ab=1∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB13．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1，、1的直角三角形的斜边长就是去就可得到“勾股树”，请你试试看．（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC∆中，∠E，求证：222BEAEAC-=.解析：根据勾股定理，在ACDRt∆中，在ADERt∆中，222DEAEAD+=，在BRt∆222BEBDDE-=，∴222222BDAECDDEAEAC-+=-+=又∵CDBD=，∴222BEAEAC-=.点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析 （1）由点A 作AD⊥BC 于D ，则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时.（3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．。
14.2勾股定理的应用2
14.2章勾股定理的应用（2）
教学目标：
１.在特殊三角形中要会找出直角三角形或构建直角三角形。
２.当三角形的三边是整式时，要会判断大小，从而判断三角形的形状。
思维激活：
以△ABC 三边a,b,c 为边向外
作正方形，以三边为直径作半圆，
若S 1+S 2=S 3成立，则△ABC 是直角
三角形吗？
问题研讨：
问题1：已知：等边△ ABC 的边长是6cm
(1)求高AD 的长.
(2)求S △ ABC.
解：（1）∵ △ ABC 是等边三角形，AD 是高，
在Rt △ ABD 中，AB=6，BD=3，根据勾股定理，
∵ AD 2=AB 2-BD 2
∴
＝
练一练：
1．等腰△ABC 的腰长为10cm ，底边长为16cm ，则底边上的高为 ，面积为__________．
2．等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，那么它的斜边上的高为 ．
问题2：
32
1==∴BC BD
知识拓展：
问题3：等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积。
解：作∆ABC的高AD，设BD为X，则AB为（16-X），由勾股定理得：
∴ S∆ABC＝
试一试：
等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
AC=BC=1.
求：斜边的一半.
课堂小结：
和同学们交流一下这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本60页，习题第１、５题
课后反思：。
17.1勾股定理的应用2
∵ AB=A’B’，AC= A’C’; ∴BC= B’C’; ∴ Rt△ABC≅Rt△A’B’C’(SSS)
练习：
1.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长( ) A.4 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
2. 直角三角形两条直角边的差为3,积为12，则斜边为______. 3.如图，以Rt△ABC的三边为边作正方形，其面积分别为S1、 S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB长为_____. 4.等腰三角形的腰长为10,底长为12,底边上的高为____
直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边是多少？ 作法：(如图)在数轴上找出表示3的点A，则OA=3， 过点A作直线l垂直于OA， 在l上取点B，使AB=2，
1 l 1B 1 1
O
1
2
A C 3
作法：(如图)在数轴上找出表示4的点A，则OA=4， 过点A作直线l垂直于OA， 在l上取点B，使AB=1， l
1 1B 1 1
A C O 1 2 3
练习：如图，等边三角形的边长是6. 求： (1) 高AD的长； (2) 这个三角形的面积.
练习：如图，等边三角形的边长是6. 求： (1) 高AD的长； (2) 这个三角形的面积.
解：AB=AC=BC=6 根据等边三角线“三线合一” (1) 在Rt△ABD中， (2) 这个三角形的面积：
人教版八年级下册数学《勾股定理》教学说课(第2课时勾股定理的应用)
如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，
BC=10cm，求EC的长.
解：在R
BF2=AF2－AB2=102－82=36，
D
A
∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.
E
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在R
x2+ 42=(8－x)2，解得 x=3.
解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，
1
∴ = 2 = 5
在R
在R
=
2 − 2 =
= 2 − 2 =
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
102 − 52 = 5 3.
142 − （5 3）2 = 11.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
习
3. (中考·厦门)已知A，B，C三地位置如图所示，
∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地
5 km
正北
的距离是________；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的________方向．
随堂练
习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
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勾股定理的应用(二) 班级 姓名 学号
教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.
2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。
发展学生的分析问题能力和表达能力。
3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。
重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用
教学过程
（一）创设情景，引入新课；
这些图形都有什么共同特征？
几组勾股数.
3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；
.图1中的x 等于多少?
图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正
在数轴上画出表示5的点
在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；
图1
x 11
z y 1
1x
图2
例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。
（五）尝试应用，反馈矫正2
如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，
求△ABC 的面积。
如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，
求△ABC 的周长和面积。
（六）实践探索，揭示新知3；
如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1
如图9，在△ABC 中， AB=15，
AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，
且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）
（八）归纳小结，巩固提高 （九）布置作业
D C
B
A
图6
图9
D C
B
A。