一级倒立摆的建模与控制分析

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研究生《现代控制理论及其应用》课程小论文

一级倒立摆的建模与控制分析 学院： 机械工程学院 班级： 机研131 姓名： 尹润丰 学号： 201321202016

2014年6月2日 .

. 目录 1. 问题描述及状态空间表达式建立 ..............................................................- 1 - 1.1问题描述 .......................................................................................................................................- 1 - 1.2状态空间表达式的建立 ...............................................................................................................- 1 - 1.2.1直线一级倒立摆的数学模型 ..........................................................................................- 1 - 1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程 .................................................................................- 5 -

2.应用MATLAB分析系统性能 .....................................................................- 6 - 2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析 ......................................................................................- 6 - 2.2 系统可控性分析 .........................................................................................................................- 7 - 2.3 系统可观测性分析 .....................................................................................................................- 8 -

3. 应用matlab进行综合设计 .........................................................................- 8 - 3.1状态反馈原理 ...............................................................................................................................- 8 - 3.2全维状态反馈观测器和simulink仿真 .......................................................................................- 9 -

4.应用Matlab进行系统最优控制设计 ........................................................ - 11 -

5.总结 ............................................................................................................. - 13 - .

. 1.问题描述及状态空间表达式建立 1.1问题描述 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。 下对于倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，它就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面采用其中的牛顿—欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。

1.2状态空间表达式的建立

1.2.1直线一级倒立摆的数学模型 .

. 图1.1 直线一级倒立摆系统 本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。

图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 .

. 图1.2 系统中小车的受力分析图 图1.3是系统中摆杆的受力分析图。Fs是摆杆受到的水平方向的干扰力, Fh是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力Fg。

图1.3 摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

11 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS、垂直干扰力Fh产生的力矩。

21

对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： sin22lxdtdmFNS 31

NxfFxMsingSFF

cosghFF.

. 即： sinsincos2fFmlmlxmN 41 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

cos22lldtdmFmgPh 51 即 cossincos2mlmlFmgPg 61

力矩平衡方程如下： 0cossinsincoscossinINlPllFlFgg 71 代入P和N，得到方程： 0cos2sinsin2cossincos2cossin2222xmlmlmglmlIlFlFgg

 

81

设，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理：

2sin,12cos,0,sin,1cos

2

dtd

由于：231mlI 方程化为： xmmgmlFg34cossin2 91

令：cossingfFF，则91可化为： xmmgmlFf342 101 101即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。带入实际数据后，微分方程为：

mFxf234.29 111 当忽略了Ff时，系统的微分方程如式（1-12）所示 x34.29 121 忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，. . 直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的4个状态量分别是小车的位移x、小车的速度x、摆杆的角度θ、摆杆的角速度。系统输出的观测量为小车

的位移x、摆杆的角度θ。其控制量为小车的加速度 将微分方程（1-12）化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：

4.2932ssRs 131

1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程 实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度x作为系统的控制输入，所以根据式（1-12）建立系统的状态方程为：

xllgxxxx4343



整理后得到系统状态方程： 

xxxxyxlgxxlgxx















00010000014301004300

1000

00000010



将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为：