22.1比例线段 第2课时比例的性质和黄金分割
沪科版数学九年级上册22.1比例线段(第2课时)教学ppt
新课讲解
比例基本性质
如果 a c ,那么 a b c d .
bd
b
dLeabharlann 如果 a bc d
m n
(b
d
n
0),那么 a b
c m d n
a. b
灿若寒星
例题分析
例1
已知：如图，在△ABC中，若 AD AE . DB EC
求证：(1) AB AC ; (2) AD AE .
AB
AC
∴
灿若寒星
例题分析
例2 在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图 上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1:5000的图纸 上，量得一个△ABC的三边：AC=3cm，BC=4cm， AB=5cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多 少？
分析：由等比性质可知实际三角形的周长 是图上三角形周长的5000倍.
DB EC
AB AC
A
D
E
B
C
灿若寒星
例题分析
AD
解：（1）∵DB
AE EC
AD DB AE EC
DB
EC
∴
AB AC
DB EC
灿若寒星
例题分析
AD
解：（2）∵DB
AE EC
DB EC AD AE
∴
AD DB AE EC
AD
AE
∴
AB AC AD AE
AD AE
比例线段（2）
新课引入
1.相似多边形概念： 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边 形。 2.成比例线段定义
沪科初中数学九上《22.1 比例线段》word教案 (2)
比例线段
、过程与方法：通过比例的应用，培养学生的判断分析推理能力。
②合比性质：
例1.己知 ad=bc (a ，b ，c ，d 不为零)，下列各式中正确的是
应用一：比例在几何中的应用
d c b a =c
d c b b a ±=±⇒d -c d c b -a b a +=+⇒.C d d b c c a .B c d c b b a .A +=++=+
例3、一辆汽车2小时行驶140千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶
乙两地之间的公路长多少千米？
小结：用比例的知识解应用题的方法：
1.审题找出一定（不变）量，判断另外两个量成什么比例。
2.若成正比例，解:设出未知数X,列出比例式：
a:x = b:c
3.若成反比例，解:设出未知数X,列出方程：
ax = bc
应用三：比例在物理中的应用
已知两车路程之比为所
=
中比例基本性质的证明。
22.1 比例线段第2课时比例性质和黄金分割 沪科版数学九年级上册教学课件
如0）果，ad那=么bc（aa,b,cc,d.都不等于 bd
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1
2
随堂练习
5.已知四个数a，b，c，d成比例.
（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；
9 d ，d =-6. -3 2
（2）若a=-3，b= 3 ，c=2，求d.
3 d ，d =- 2 3 .
-3 2
3
课堂小结
比例的基本 性质
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
比例的基本 性质和黄金
分割
ac bd
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
课程讲授
1 比例的基本性质 如果ad=bc,那么等式 a c 还成立吗？ bd
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式 中，分母不能为0.
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 a c . bd
课程讲授
1 比例的基本性质
例1 根据下列条件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ；
a （2）7
b 8
.
解 （1）∵ 4a=5b，∴ a 5 ; b4
（2）∵
ab 78
，∴8a=7b，∴ a 7 b8
课程讲授
1 比例的基本性质
练一练：下面各项中的两个比，比值相等的是( C )
A.0.6∶0.2和14∶34 B.6∶10和8∶20 C.4∶3和8∶6 D.34∶35和4∶5
课程讲授
2 黄金分割
问题1：一个五角星如图所示，度量C到点A，B的距离, AC 与 BC 相等吗？ AB AC
22.1 第二课时 比例线段与比例的性质 课件2024-2025学年 沪科版数学九年级上册
答：雕像的下面部分应设计为 1.24 m ．
起航加油
随堂演练
课后达标
19
当堂检测
1.若长度分别为 6 cm ， 3 cm ， 8 cm ， a cm 的四条线段是比例线段，
则 a 的值为( B ) .
A.2
B.4
C.16
D.3
2.（山西中考）神奇的自然界处处蕴含着数学知
识．如图1，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈
据这些等式，再结合题干信息，可构造关于所求线段的方程.
起航加油
随堂演练
课后达标
10
例1 已知线段 a = 0.3 m ， b = 60 cm ， c = 12 dm . 思路点拨
（1）求线段 a 与线段 b 的比. 解：因为 a = 0.3 m = 30 cm ， b = 60 cm ， 所以 a: b = 30: 60 = 1: 2 .
解：设甲、乙两地的实际距离为
x
.根据题意，得
5 x
=
8
1 000
000
.
解得 x = 40 000 000 cm = 400 km . 答：实际上甲、乙两地相距 400 km .
起航加油
随堂演练
课后达标
25
能力提升
6.如图2，已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点， AP > BP .
记以 AP 为一边的正方形面积为 S1 ，以 BP ， AB 为邻边
起航加油
随堂演练
课后达标
11
（2）当线段 a ， b ， c ， d 成比例时，求线段 d 的长.
解：因为线段
a
，
b
，
c
，
d
是成比例线段，所以
九年级数学上册 22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割教案2 (新版)沪科版
22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:∵=(已知),两边同乘以得=.∴=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设==k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得===k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在△ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?解:根据题意,得===.即=.又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5 000=60 000(cm)=600(m).答:实际△A'B'C'的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP 的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是==≈0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则x∶y= .【答案】2.已知ab=cd,则= .【答案】3.若==,则= .【答案】4.已知x===,则x的值是.解析:∵x===,∴a2+ab=bc+c2. ①b2+bc=a2+ac. ②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2. ④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2. ⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc. ⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0.∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.∴x====-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为.解析:设AP=x,∴x2=(x+4)×4,x2-4x-16=0.∴x=2±2.又∵x>0,∴AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB【答案】C7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.又∵y∶z=4∶7,∴z=y.∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.。
22.1 比例线段
B
C
通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取 这些知识的？
１．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例”的基本事实． ２．通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基 本事实特殊化，得到一个推论． ３．掌握利用基本事实与推论求线段长度的方法．
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
(1)比例的基本性质 如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. 比例的内项乘积等于外项乘积. 如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
如果 a：b =b：c ，那么b2 =ac.
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变
第22章 相似形
22.1 比例线段
比例线段
四条线段 a、b、c、d 中， 如果 a：b=c：d， 那么这四条线段a、b、c、d 叫做 成比例的线段，
简称比例线段.
已知四条线段a、b、c、d ， a c 如果 = b d 或 a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，线段 a、d 叫做
A
4.C点就是AB的黄金分割点. 一条线段有几个黄金分割点？ 两个
C
B
黄金分割与人体学、生物学、摄影艺术、建筑学 等许多领域广泛存在，让我们来尽情地欣赏黄金 分割的美吧！
黄金螺线
蜗牛的外壳呈黄金螺线形。
在现在生活中，黄金比例也一直被使用着，例如国旗、
明信片、报纸、邮票等等，其长宽之比均接近黃金比，
2
A B
D
a
E
b
C
F
c
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
22.1(2)比例线段及比例的基本性质
比例内项
a:b=c:d
比例外项
比例线段是指四 条线段之间的一种 关系，它们有顺序 要求。
例：判断下列各组线段是否是成比例线段.
(1) (2) (3) 1.5cm, 25mm, 45mm, 6.5cm; 1cm, 2cm, 4cm, 2cm; 2cm, 4cm, 6cm, 0.3dm;
注意：欲判断四条线段是否是成比例线段. ①先统一单位. ②按大小排序.
小结：
① 长度单位统一； 两条线 段的比：②与单位无关，本身没有单位； ③两条线段有顺序要求； ①概念：项、比例内项、比例外项；
比例 线段
a c b d
比例 ②四条线段有顺序要求； 线段 ③特别地：比例中项；
比例的基本性质
a c b d
ad=bc
③验证前两条线段的比是否等于后两条线段 的比.
◇ 练习：
1. 如果a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm, 则下列比例式成立的是（ C ）
a b A. d c
b c B. d a
a c C. b d
d a D. c b
特别地，
如果作为比例内项的两条线段是相等的，
即
(或 a:b=b:c)，
你还能写出不同的比例式吗？
4.如果2x=3y，则
◇ 练习：
5.已知a=4cm，b=16cm，c是a、b的 比例中项，c则等于（ C ）
A. 10 cm B. ± 8 cm C. 8 cm D. － 8 cm
变式训练：若a=4，b=16，c是a、b的 比例中项，c则等于（ B ）
A. 10 B. ± 8 C. 8 D. － 8
那么线段b叫线段a，c的比例中项。
如果四条线段a、b、c、成比例， 即 （或 a:b=c:d）
初三数学第2讲：比例线段与黄金分割
初三数学第2讲：比例线段与黄金分割教学内容一、知识要点：1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果a、b、c、d是比例线段，即（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。
3、比例线段有以下性质：（1）基本性质如果，那么（2）合比性质如果，那么，；（3）等比性质如果，那么。
等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。
例如：如果，那么小试牛刀：一、填空题1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作____________。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。
3、合（分）比性质：如果，那么=_____________。
4、等比性质：如果，且_____________，那么__________=5、若4x=5y，则x：y=____________6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______7、下列各组线段成比例的是（）A、1cm、3cm、2cm、4cmB、1m、20cm、5cm、25cmC、cm、cm、cm、4mD、4cm、8cm、6m、12cm8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB 的值为（）A、13B、19.5C、78D、1309、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）A、6.4厘米B、64分米C、0.4厘米D、4厘米二、典型例题：例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：（1）a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；（2）a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。
试判断它们是否成比例。
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C. a d cb∶3，则下列关于a与b之间的关系的叙述正
确的是（ B ）
A.a为b的 3 倍
5
B.a为b的 5 倍
3
C.a为b的 5 倍
8
D.a为b的 8 倍
5
随堂练习
3.已知 a b （a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ B ）
第22章 相似形
22.1 比例线段
第2课时 比例的性质和黄金分割
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.比例的基本性质 2.黄金分割
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列问题.
如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得 到的.
在照片(1)中任意取四个点P，Q，A ， B在照片(2)找出对 应的两个点P′，Q′，A ′, B ′量出线段PQ，P′Q′，AB， A′B′的 长度.计算它们的长度的比值.
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 a c . bd
课程讲授
1 比例的基本性质
例1 根据下列条件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ；
a （2） 7
b 8
.
解 （1）∵ 4a=5b，∴ a 5 ; b4
（2）∵
ab 78
，∴8a=7b，∴ a 7 b8
课程讲授
23 A. a 2
b3 B.2a=3b C. b 3
a2 D.3a=2b
随堂练习
4.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割， 已知AB=10 cm，则AC的长约为_6_._2__cm.（结果精确到0.1 cm）
随堂练习
5.已知四个数a，b，c，d成比例.
（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；
课程讲授
2 黄金分割
定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如
果 AC BC , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做
AB AC
线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
A
CB
随堂练习
1.若ad=bc(a，b，c，d都不等于0），则下列比例式中错
误的是( C )
A. a b cd
ac bd
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质： 如果 a c ，那么 ad=bc. bd
课程讲授
1 比例的基本性质 如果ad=bc,那么等式 a c 还成立吗？ bd
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式 中，分母不能为0.
由此可得到比例的基本性质：
9 d ，d =-6. -3 2
（2）若a=-3，b= ，3c=2，求d.
3 d ，d =- 2 3 .
-3 2
3
课堂小结
比例的基本 性质
如果 a ，c 那么 ad=bc. bd
比例的基本 性质和黄金
分割
黄金分割
如0）果，ad那=么bc（aa,b,cc,d.都不等于 bd
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1
2
1 比例的基本性质
练一练：下面各项中的两个比，比值相等的是( C )
A.0.6∶0.2和14∶34 B.6∶10和8∶20 C.4∶3和8∶6 D.34∶35和4∶5
课程讲授
2 黄金分割
问题1：一个五角星如图所示，度量C到点A、B的距离,
AC 与 BC 相等吗？ AB AC
A
CB
A
CB
AC BC AB AC
Q P
B A （1）
Q′ P′
B´ A´ （2）
课程讲授
1 比例的基本性质
问题1：如果四个数a , b, c, d成比例，即 a c 那么
bd
ad = bc吗？反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成 比例吗？
课程讲授
1 比例的基本性质
如果四个数a,b,c,d成比例，即 那么ad=bc吗？