13、长波近似解析
原子物理学杨福家1-6章_课后习题答案
原子物理学课后前六章答案（第四版）杨福家著(高等教育出版社)第一章：原子的位形：卢瑟福模型 第二章：原子的量子态：波尔模型 第三章：量子力学导论第四章：原子的精细结构：电子的自旋 第五章：多电子原子：泡利原理 第六章：X 射线第一章 习题1、2解1.1 速度为v 的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4rad.要点分析: 碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动).注意这里电子要动.证明：设α粒子的质量为M α，碰撞前速度为V ，沿X 方向入射；碰撞后，速度为V'，沿θ方向散射。
电子质量用me 表示，碰撞前静止在坐标原点O 处，碰撞后以速度v 沿φ方向反冲。
α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：（1）ϕθααcos cos v m V M V M e +'= （2）ϕθαsin sin 0v m V M e -'= （3）作运算：（2）×sin θ±(3)×cos θ,（4）（5）再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v，化简上式，得（６）θϕμϕθμ222s i n s i n )(s i n +=+ （７）视θ为φ的函数θ（φ），对（7）式求θ的极值，有令sin2(θ+φ)-sin2φ=0 即 2cos(θ+2φ)sin θ=0 若 sin θ=0, 则 θ=0（极小） （8）（2）若cos(θ+2φ)=0 ,则 θ=90º-2φ （9）将（9）式代入（7）式，有θϕμϕμ222)(90si nsi nsi n+=-θ≈10-4弧度（极大）此题得证。
1.2（1）动能为5.00MeV的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？（2）如果金箔厚1.0 μm，则入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？要点分析:第二问是90°～180°范围的积分.关键要知道n, 注意推导出n值.其他值从书中参考列表中找.解：（1）依金的原子序数Z2=79答：散射角为90º所对所对应的瞄准距离为22.8fm.(2)解: 第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.(问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出)从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197, ρAu=1.888×104kg/m3依θa2 sin即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。
固体物理 第二章(6)晶格振动
u u0 e it u u0 e
i t
u0 和u0为振幅
(26) (27)
代入运动方程求解，消去相同项并整理后有：
2 M u 2 u 2 u 2 M u
2 0 2 0
0
e* E0 e* E0
LO 0 TO 0
NaCl的色散关系
金刚石的振动谱
2、长光学波的宏观运动方程
仍以双原子链为例，讨论一 维离子晶体的振动。考虑到 正负离子受到极化场的作用， 其运动方程写作：
a
a
M M
2n 2 2n 1
*
2n
2n 1 2n 2
(1) (2)
设位移u2n和u2n+1分别为
u2 n Ae
2n i q a t 2
Ae
i qna t
(3) (4)
u2 n 1 B e
2n i q a qb t 2
(31)
3、LST（Lyddane-Sachs-Teller）关系
从电磁学知道，电位移为，
D E 0 E P
0：真空介电常数
P ：宏观极化强度；
(32)
离子晶体的极化有两部分贡献构成，一部分是正负离子的相 对位移产生的偶极矩，这种极化称为离子位移极化，极化强 度记为 P i ；另一部分是离子本身的电子云在有效电场作用下， 其中心不再与原子核重合，而是逆电场方向发生一定的位移， 即在有效电场作用下，离子本身也成了电偶极子，称这部分 的极化为电子位移极化，记作 ，（32）式表示为， Pe
Be
固体物理学中的近似方法
目录1、晶格振动和晶体热熔理论中的近似方法1.1格波的讨论1.2简正振动1.3长波近似2、能带理论中的近似方法2.1能带理论的基本假设2.2近自由电子近似2.3紧束缚近似2.4能带计算的近似方法1.1格波的讨论原子链的振动----一维布拉菲格子的情形（简谐近似）晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，而是为绕其平衡位置作振动。
晶体中各原子的振动是相互联系的。
用格波表述原子的各种振动模式，当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似为相互独立的简谐振动，这里的格波为平面简谐波，讨论的是简谐近似。
具体如下：考虑由一系列质量为m 的原子构成的一维原子链。
设平衡时原子间距为a 。
（如图一）由于热运动，原子离开各自的平衡位置，由此由于受到原子间相互作用所产生的恢复力，各原子具有返回平衡位置的趋势。
下面讨论在原子间相互作用下，原子所受恢复力与相对位移的关系。
设在平衡位置r=na 时，两个原子间的相互作用势能为U(na),产生相对位移后，相互作用势能变为U(na δ+)。
将U(na δ+)在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得()2221()2nana d d U U na U na dr dr δδδ⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （1）当振动很微弱时，δ很小，势能展式中只保留到2δ项，则第n+1个原子的恢复力近似为21,12()()n nna n n dU d Uf x x d drδβδβδ++=-=-=-=-- （2）图片1 一维原子链的振动式中 22()na d Udrβ= β称为恢复力常数，相当于弹性系数。
除受到第n+1个原子的作用力外，原子n 还受到第n-1个原子的作用力，其表达式为(),11n n n n f x x β--=- （3）公式编号右对齐如果仅考虑相邻原子的相互作用，则第n 个原子所受到的总作用力为()1,,1112n n n n n n n f f f x x x β+-+-=-=-+-第n 个原子的运动方程可以写为()21122nn n n d x m x x x dtβ+-=--- ()1,2,n N = （4） 对于每一个原子，都有一个类似式（4）的运动方程，方程的数目和原子数相同。
地面气象观测规范气压
地面气象观测规范气压篇一：地面气象观测规范说明：以黑色字体为主第一篇《地面气象观测规范》一、填空题1、时制规定，人工器测日照采用真太阳时，辐射和自动观测日照采用地方平均太阳时，其余观测项目均采用北京时。
人工器测日照以日落为日界，辐射和自动观测日照以地方平均太阳时24时为日界，其余观测项目均以北京时20时为日界。
2、湿度观测时掌握好溶冰时间是很重要的一步，当风速、湿度中常时，在观测前30分钟左右进行；湿度很小、风速很大时，在观测前20分钟以内进行；湿度很大、，风速很小时，要在观测前50分钟左右进行。
3、能见度测定的目标物大小要适度，视角以0.5-5.0°之间为宜，近的目标物可适当小些，远的目标物可适当大些。
4、霰为白色不透明的园锥形或球形的颗粒固态降水，直径约为2-5mm，下降时常呈阵性，着硬地常反跳，松脆易碎。
5、观测场内仪器都有其基准部位，下列仪器的基准部位是：小型蒸发器口缘，冻土器内管零线，定槽式水银气压表水银槽盒中线，干湿球湿度表感应部分中心，日照计底座南北线。
6、若无20Cm口径专用量杯，仅知某次降水量重为376.8克，则该次降水量为 12.0 mm。
7、《地面气象观测规范》是从事地面气象观测工作的业务规则和技术规定，观测工作中必须严格遵守。
8、出现灾害性天气，台站应迅速进行调查，并及时记载。
9、由于近地面层的气象要素存在着空间分布的不均匀性和随时间变化的脉动性，因此地面气象观测记录必须具有代表性、准确性、比较性。
10、观测场仪器之间，南北间距不小于3 m，东西间距不小于4 m。
11、云状的判定，主要根据天空中云的外形特征、结构、色泽、排列、高度以及伴见的天象现象，参照“云图”，经过认真细致的分析对比判定是那种云。
判定云状要特别注意云的连续演变过程。
云状记录按“云状分类表”中二十九类云的简写字母记载。
12、荚状层积云（Sc lent）中间厚、边缘薄，形似豆荚、梭子状的云条。
13、日照计每月应检查仪器安装情况，仪器的水平、方位、纬度等是否正确，发现问题，及时纠正。
潮波运动潮流
1 p g y y
1 p g x x
一、运动方程
u u u u v 2v sin g t x y x x
v v v u v 2 u sin g t x y y y
潮差的变化:河口潮差的沿程变化主要取决于三个因素： (1)河口断面向陆方向收缩； (2)浅滩、及边界反射； (3)底部摩阻。
河道截面积的向陆沿程减小会引起能量的汇聚，使潮差增大， 称之为“喇叭”效应，如
潮波在河口浅滩和边界的反射，可形成驻波，使潮差增大。 摩阻作用使潮波能量损失，潮差按指数规律沿程减小，
第六节 海岸带潮波运动数值模拟
对于天然复杂港湾和海域，无法求得潮波运动方程的解析解。 研究实际海域潮波运动的方法 现场测量 模型试验 数值模拟 有限元法 有限差分法 边界单元法
求解潮波运动数值解的方法
有限差分法把潮波运动控制方程离散化为代数方程组(差分方 程)，从而寻求流场中离散点上的流速和水面高程的近似数值解
Hc u sin t sin kx h
当kx=π/2 时，即x=L/4 时，η=0，这时振幅为零，水平 流速最大，为波节点。因此第一个波节点位于距闭端L/4 的地 方。振幅最大、水平流速为零处是波腹点。由于港池闭端墙面 质点水平流速为零，因而闭端必然在波腹位置上，离闭端 L/2 距离处也为波腹点。
二、变截面渠道中的潮波
在截面变化缓慢的河道中，反射可以忽略，不考虑底部摩 阻，沿程没有能量损失，这时可以用格林定律来计算宽度和 深度变化对潮波的影响。
潮波传播进入收缩型渠道(河口、港湾)，在不考虑反射 和底摩阻时，潮差呈沿程增大趋势。 在一般的变截面渠道中，会发生潮波反射现象，格林定 律不能应用。这时需根据潮波动力学基本方程来求解。
3.5长波近似[]
![3.5长波近似[]](https://img.taocdn.com/s3/m/ad94c639a32d7375a41780c1.png)
3.5长波近似3.5长波近似研究长波近似具有重要意义，它能揭示固体宏观性质的微观本质．有些晶体在某一温度时会产生自发极化，这是长光学横波振动模式消失的结果。
3.5.1 长声学波以一维双原了链为例，可知当q很小时其中，是恢复力常数。
从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离坐标可视为连续坐标x，，所以有宏观弹性波的波动方程其中是用微观参数表示的弹性波的波速．由以上分析可以看出，对于长声学波，微观原子的运动与宏观弹性波的波动是必然的统一，也就是说，长声学波就是弹性波．3.5.2 长光学波征讨论一维双原子链时，我们看到，对于长光学波，原胞内的个同原子作相对振动．为简单起见，仍考虑由正负离子构成的一维晶格．对于立方晶格，洛伦兹提出求解有效场的一个方法，由理沦分析得到离子晶体的宏观极化，其中P是宏观极化强度．离子位移极化强度P a与电子位移极化强度记作P e．先论离子位移极化．典型的离子晶体(如NaCl)的正负离子是交替等距分布的．如下图所示，此原胞内有两个电偶极矩图3．10 一维离子晶格的离子位移，q＊是离子的有效电荷量．一个原胞内的离于位移偶极矩为．相当大的范围内，同种原子的位移相同，我们记u+和u—分别为正负离子的位移，则上式化成．离子位移极化强度再讨论电子位移极化一个原胞内正负离子受到有效电场的作用，产生的电子位移偶极矩为其中a+和a_．分别为正负离子的电子位移极化率．于是，电子位移极化强度其中a=a++a_总的极化强度为在以上几式中、Ω为原胞体积．可推得其中u＝u+-u_在考虑离子的运动方程，由于离子等间距分布，所以相邻两离子间的恢复力系数都相等。
设恢复力系数为β，只考虑近邻离子的作用，对于序号为2n的离子，其运动方程为对于2n+1的离子，有有上两式，得其中μ折合质量在引入位移变量则化成其中)两式称为黄昆方程，是黄昆在1951年求得的．它具有普遍意义．从方程可以看出，格波与宏观极化电场相互藕合在一起．这种藕合波到底具有哪些特性呢?下边我们对这—问题进行讨论我们把格波的纵向位移和横向位移分开，即令W＝W L十W T．弹性理论可知，横波频率．纵波振动频率可推得·是非常著名的LST关系可得两个重要结论：1)因为εs＞ε∞，所以有ωLO＞ωTO．这一点也容易理解，由图3.9可知，离子的位移引起极化电场，电场的方向是阻滞离子位移的2)有些晶体在某一温度下，其介电常数εs突然变得很大，即εs→∞，即产生所谓的自发极化．人们称ωTO→0的振动模式为铁电软模，因为这一现象是在研究铁电材料时发现的．不忽略掉电磁场、可知长光学横波与电磁场相韧合，即长光学横波具有电磁性质．称长光学横波声子为电磁声子，相应地，称长光学纵波声子为极化声子．。
海面漫反射率近似表示式的解析推导
海面漫反射率近似表示式的解析推导课题：海面漫反射率近似表示式的解析推导(1)先引入波长公式，然后根据反射系数和波长的关系，得到光程=入射角波长=反射角入射角，即设入射角为入射角=cos^2(arctan^2_t/dx)，在这里需要注意一点：入射角是表示发射光源与接收光源相对位置的，而反射角是表示光源与观察者相对位置的。
(2)为了使所得近似表达式具有较高的精度，我们选用波长作为其表达式的近似值，利用二次多项式法求近似值，再通过计算校正，最后求得最终近似值。
(3)因为所以由得(4)利用波长公式得所以或因此，我们可以得出海面反射率近似表达式为入射角=波长sin^2(arctan^2_t/dx)如果把方向的光传播称之为平行光，那么垂直于入射面的光传播称之为法线方向，则反射率定义式为1。
所以或所以，得2。
同理，则或所以，即3。
因为所以或所以，即得出最终结果：(1)海面反射率近似表达式(角入射)(2)从第二个公式中可以看出，光程=入射角波长=反射角入射角=反射光波的波长=sin^2(arctan^2_t/dx)=sin^2(dx/2)=tan^2_t/dx(3)由(2)可知所以或所以，即或所以，即5。
利用(2)中所得到的值，我们可以算出近似值，取比值1。
(相当于波长的千分之一)6。
通过校正就可以求得最终近似值。
由公式(4)可知近似值为。
7。
最终近似值≈。
8。
此结论可用于解决大多数类似的问题。
如可应用于人造海水的制备，其实际效果与此类似。
9。
建议：对于本题应该也可以列出一个反射系数计算式，这样能够更简便。
总结：本题中主要运用了波长公式、反射系数与波长的关系等进行解答，但本题并不难，只要注意单位换算等即可，且题目具有一定开放性，即题目答案不唯一。
最终近似表达式也可用于解决类似的问题。
对于一些有限制条件的题目，可利用多项式法求近似值，并且校正。
最终的表达式中不要遗漏必要的数据。
学习计划：复习旧知识，预习新知识。
第四节长波近似-文档资料
q 0,
A
2 aq , m M
2 vp a m M
2.对于连续介质
考虑介质中x与(x+dx)间长度为dx的一段，设一维介质的 线密度为，则这段介质的运动方程为：
2 d u x d u ( x , t) d u ( x d x , t) d x 2 F ( x ) F ( x d x ) c , d d t d x x
1 1 P eu E Ω 1 3 0 Ω
引进位移参量
W
Ω
u
则有
W b W b E 11 12 P b W b E 21 22
( 1 ) ( 2 )
---黄昆方程
W b W b E 11 12 P b W b E 21 22
令 u u u
' M u 2 u e E ' m u 2 u e E
a ) m ( b ) M 由上式 ( 得:
( a ) ( b )
mM m M
* u 2 u e E
1 1 P eu E Ω 1 3 0 Ω
再看离子运动方程，我们对一维复式格子的方程
2 d x 2n M 2 x x 2n 1 x 2n 1 2 2n d t 2 d x n 1 m 2 x x 2n 2 x 2n 2 2n 1 2 d t
其中 b 11 2
( 1 ) ( 2 )
1 30 Ω
e
3 0 Ω
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将（4）式代入（3），可得
第3页
§3.5 长波近似
即
m 2 A e iqa e iqa B 2 A ( 6) 2 iqa iqa M B e e A 2 B
B 2 m 2 (7) iqa qa A (e e )
是用微观参数表示的弹性波的波速。
第7页
2、一维连续介质波动方程
因此连续介质因位移而引起的形变（应变）为：
§3.5 长波近似
设有一维连续介质，x点的位移为u(x)，(x+dx)点的位移为u(x+dx)，
u( x dx ) u( x ) dx
u( x )
u( x dx)
设介质的弹性模量为c，则在x点因形变而产生的恢复力
因此当l为有限整数时，不论l为奇数或偶数，都有 上式说明：
欧拉公式
u2 n l 1(10) lim q 0 u2 n 1
在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程实际可视为一
个方程，它们的一般表达式：
d 2 u2n l 2 2 2 q a u2n l (11) 2 dt m M
邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相集体运动。
第6页
§3.5 长波近似 从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离坐标可视
为连续坐标，所以有
u2n l Ae
i ( qr t )
u
于是，原子的运动方程可写为
2 2u 2 2 2 2 2 u q a u2 n l a 2 2 t m M m M r 2 2u u 2 2 v t 2 (12) 1 t r 2 2 上式为标准的宏观弹性波的波动方程，其中 vt a m M
d 2 u2 n1 m u2 n 2 u2 n 2u2 n1 2 dt (3) 2 d u2 n 2 M u u 2 u 2 n 3 2 n 1 2 n 2 2 dt
u2 n1 Ae i q 2 n1a t ( 4) i q 2 n 2 a t u2 n 2 Be
12
Β ：恢复力常数，
d 2U dr 2 a
2a：晶格常数。
长声学波的波速为一常数，这些特性与晶体中的弹性波完成一致。
第2页
1、长声学波波动方程
§3.5 长波近似
对于长声学波，邻近的若干原子以相同的振幅、相同的位相集体运动，
对于一维复式格子，运动方程由下式表示
其解为
x
x dx
u( x dx ) u( x ) du( x ) F ( x) c c dx dx
同时，在(x-dx)点，因形变将有恢复力
du( x dx ) F ( x dx ) c dx
第8页
§3.5 长波近似
考虑介质中x与(x-dx)间长度为dx的一段：
设一维介质的线密度为ρ ，则长度为dx的一段介质质量为ρ dx； 而作用在长度为dx的介质上有两个方向相反的恢复力F(x)及F(x-dx)， 因此这段介质的运动方程为
d 2 u2 n 2 A iqa iqa M (e e ) 2 u2 n 2 2 dt B (5) 2 d u2 n1 B iqa iqa m ( e e ) 2 u A 2 n1 dt 2
d 2 u( x , t ) dx F ( x ) F ( x dx ) 2 dt 2 d u( x, t ) du( x, t ) du( x dx , t ) dx c 2 dt dx dx
d u( x , t ) d u( x , t ) dx c 2 dt dx 2
可得两种不同原子的振幅比
A 2 M 2 , iqa qa B (e e )
将A/B、B/A和ω 先后代入（5）式得到
第4页
§3.5 长波近似 将A/B、B/A和ω 先后代入 （5）式得到
d 2 u2 n 2 2 2 2 q a u2 n 2 2 dt mM (8) 2 d u2 n1 2 2 2 q a u 2 n 1 dt 2 m M
第1页
一、长声学波
§3.5 长波近似
在§3.1 中，以一维双原子链为例，当q很小时，即对于长波极 限，得到声学波色散关系为
2 m M
12
qa (1)
长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为
vp
q
2 a ( 2) m M
§3.5 长波近似
在第二章中,晶体被看作连续介质,从经典力学的角度推出了晶格振动 的弹性波方程。 在§3.1 中,我们从晶体中每个原子在其平衡位置附近做微振动的观 点（不再是连续介质）,推出晶格振动的声学波和光学波。 晶格中的声学波 相邻原子都沿同一方向振动
光学波
原胞中不同的原子相对地作振动
本节讨论 q → 0、λ →∞，即长声学波和长光学波的情况，并和连续 介质结果作比较。波长λ >> a —— 原胞的线度
l为奇数时； l为偶数时；
对于l为有限整数的情况，由试解（4）式，可得
u2 n l e iq( l 1)a , u2 n1
u2 n l A iq( l 1)a e , u2 n1 B
由色散关系，可知当q→0时， ω →0，由振幅比（7）式，可得：
第5页
§3.5 长波近似
2 M 2 A lim 1 ( 9) lim iqa qa q0 B q0 ( e e )