多元课件第三章(1)
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第三章 多元线性回归模型
即
Y Xb U
X 称为数据矩阵或设计矩阵。
6
二、古典假定
假定1：零均值假定 E(ui ) 0 (i 1,2,...,n)
1 E ( 1 ) E ( ) 2 2 E (μ) E 0 n E ( n )
写成矩阵形式：
Y1 1 X 21 Y 1 X 22 2 Yn 1 X 2 n X 31 X k 1 b 1 u1 X 32 X k 2 b 2 u 2 X 3 n X kn b k un
或
ei 1 X 21 X e 1 X 22 2i i X ki ei 1 X 2 n X 31 X k 1 e1 X 32 X k 2 e2 X e 0 X 3 n X kn en
9
当总体观测值难于得到时，回归系数向 量 b 是未知的，这时可以由样本观测值进行 估计，可表示为
ˆ ˆ Xb Y
但实际观测值与计算值有偏差，记为：
ˆ e Y Y
于是
ˆ e Y Xb
称为多元样本回归函数。
10
ˆ b 1 ˆ b2 ˆ b ˆ b k
同理
ˆ x x b ˆ x 2 x3 i yi b 2 2i 3i 3 3i
x2 i yi x x3 i yi x2 i x3 i ˆ b2 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
2 3i
x3 i yi x x2 i yi x2 i x3 i ˆ b3 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
计量经济学 多元线性回归模型及参数估计ppt课件
解 该 （ k+ 1） 个 方 程 组 成 的 线 性 代 数 方 程 组 ， 即 可 得 到 (k+ 1)个 待 估 参 数 的 估 计 值 j,j0,1 ,2, ,k。
问题：我们无法象一元回归那样，用小代数 公式来表达多元线性回归模型的参数估计量！
精选课件
16
上述估计过程的矩阵表示 对于模型Y X ，如果模型的参数估计值 Bˆ
i1
i1
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根 据 最 小 二 乘 原 理 ， 参 数 估 计 值 应 该 是 下 列 方 程 组 的 解 ：
(YX )(YX )0
求解过程如下： （教材P66）
ˆ
(Y
ˆ
X
)(
Y
Xˆ )
0
注意：一个函数关于列 向量求导，是指这个函 数关于列向量中的每个 元素求导，其结果仍应 写成列向量的形式。
ˆ
( Y Y
ˆ XY
Y
Xˆ
ˆ XXˆ )
0
ˆ
( Y Y
2 Y X ˆ
ˆ XXˆ )
0
XY XXˆ 0
要点：若A、X均为列向 量，则 A’X 关于列向 量X的导数为A。
精选课件
18
于是，得到正规方程组：
XYXX
该式等价于P66 的（3.2.3）式
由于假定解释变量之间不存在多重共线性， X’X为 (k+1)阶满秩矩阵，可得参数的最小二乘估计值为：
（3）各个解释变量Xj在所抽取的样本中具有变异性， 而且随着样本容量的无限增加，各个解释变量Xj的样
本方差趋于一个非零的有限常数Qj。即当n→∞时，
1 ni n1(XijXj)2 精选Q 课j件, j1,2, ,k
第3章 多元线性回归模型 《计量经济学》PPT课件
于是：
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
0.0003 1.35E 07
15674 39648400
01.0737.71072
⃟ 正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组 XY XXβˆ
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或
ei 0
(**)
X jiei 0
i
(*) 或（ ** ）是多元线性回归模型正规方程 组的另一种写法。
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式
§ 3. 1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型 : 表现在线性回归模型 中的解释变量有多个。
的秩 =k+1 ，即 X 满秩。
假设 2. 随机误差项零均值，同方差。
0
0
0
E
(μ
μ
)
E
1
n
1
n
E
12
n 1
1 n
2 n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
0
2
i E(i )
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟ 随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏 估计量为：
ˆ 2
ei2 n k 1
ee n k 1
高中化学 人教版选修4 课件：第三章 第一节 第2课时 弱电解质的电离(36张PPT)
栏 目 链 接
五、设计实验验证时注意等物质的量浓度和等pH的两种 酸的性质差异。
实验设计思路：以证明某酸(HA) 是弱酸为例
栏 目 链 接
尝试
应用 2．常温下，下列有关酸HA的叙述中，不能说明HA是弱 酸的是( ) ②测0.01 mol/L
栏 目 链 接
①取0.1 mol/L HA溶液，其溶液pH为2 NaA溶液，其溶液pH大于7 泡发光很暗 HA酸加水量多
第三章
水溶液中的离子平衡第一节
第一节 弱电解质的电离
第2课时 弱电解质的电离
栏 目 链 接
1.掌握弱电解质的电离平衡。
2.了解影响电离平衡的因素。
3.了解电离常数的意义。
栏 目 链 接
栏 目 链 接
要点一
1．概念
弱电解质的电离平衡
在一定条件(如温度、浓度一定)下，弱电解质在溶液中 电离成离子 __________的速率和 离子结合成分子 __________ 的速率相等，电离过程 就达到了平衡状态。 2．电离平衡的建立过程(用vt图象描述)
栏 目 链 接
多元弱酸各步电离常数大小的比较为K1≫K2≫K3，因此
多元弱酸的酸性主要由第一步电离所决定 (八字诀：分步进 行，一步定性)。
栏 目 链 接
四、一元强酸与一元弱酸的比较
♨ 特别提示：判断一种酸是强酸还是弱酸时，实质是 看它在水溶液中的电离程度，完全电离即为强酸，不完全电 离即为弱酸。
mol/L的NaA溶液，其溶液的pH大于7，说明NaA是强碱弱
酸盐，所以能说明HA是弱酸，故不选；③用HA溶液做导电 性实验，灯泡发光很暗，只能说明溶液中氢离子浓度较小，
栏 目 不能说明该酸的电离程度，所以不能说明该酸是弱酸，故选； 链 ④等体积pH＝4的盐酸和HA稀释到pH＝5，HA加水量多， 接
五、设计实验验证时注意等物质的量浓度和等pH的两种 酸的性质差异。
实验设计思路：以证明某酸(HA) 是弱酸为例
栏 目 链 接
尝试
应用 2．常温下，下列有关酸HA的叙述中，不能说明HA是弱 酸的是( ) ②测0.01 mol/L
栏 目 链 接
①取0.1 mol/L HA溶液，其溶液pH为2 NaA溶液，其溶液pH大于7 泡发光很暗 HA酸加水量多
第三章
水溶液中的离子平衡第一节
第一节 弱电解质的电离
第2课时 弱电解质的电离
栏 目 链 接
1.掌握弱电解质的电离平衡。
2.了解影响电离平衡的因素。
3.了解电离常数的意义。
栏 目 链 接
栏 目 链 接
要点一
1．概念
弱电解质的电离平衡
在一定条件(如温度、浓度一定)下，弱电解质在溶液中 电离成离子 __________的速率和 离子结合成分子 __________ 的速率相等，电离过程 就达到了平衡状态。 2．电离平衡的建立过程(用vt图象描述)
栏 目 链 接
多元弱酸各步电离常数大小的比较为K1≫K2≫K3，因此
多元弱酸的酸性主要由第一步电离所决定 (八字诀：分步进 行，一步定性)。
栏 目 链 接
四、一元强酸与一元弱酸的比较
♨ 特别提示：判断一种酸是强酸还是弱酸时，实质是 看它在水溶液中的电离程度，完全电离即为强酸，不完全电 离即为弱酸。
mol/L的NaA溶液，其溶液的pH大于7，说明NaA是强碱弱
酸盐，所以能说明HA是弱酸，故不选；③用HA溶液做导电 性实验，灯泡发光很暗，只能说明溶液中氢离子浓度较小，
栏 目 不能说明该酸的电离程度，所以不能说明该酸是弱酸，故选； 链 ④等体积pH＝4的盐酸和HA稀释到pH＝5，HA加水量多， 接
多元课件第三章
H H D D ' ' ' 11 1 2 rO rO AB B O H H O O O O 21 2 2
22
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
结论2 当μi≠0(i=1,„,n),σ2 =1时,X′X的 分布常称为非中心χ2分布. 定义3.1.1 设n维随机向量X～Nn(μ,In)
(μ≠0),则称随机变量ξ＝X'X为服从 n n个自由度,非中心参数 i2 i 1` 2 的χ 分布，记为
2 2 n
X X ~ ( n , ), X X ~ ( )
第三章 多元正态总体参数的假设检验
一元统计中,参数μ ,σ 2的检验 涉及到一个总体、二个总体,乃至 多个总体的检验问题; 推广到p元统计分析中，类似地 对参数向量μ 和参数矩阵Σ 涉及 到的检验也有一个总体、二个总体 ,乃至多个总体的检验问题。
3
第三章 多元正态总体参数的假设检验
在一元统计中，用于检验μ, σ2的抽 样分布有χ2分布,t 分布,F分布等,它们都 是由来自总体N(μ, σ2)的样本导出的检验 统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于 以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计 量,讨论这些统计量的分布是多元统计分 析所涉及的假设检验问题的基础.
6
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
1 1 2 则Y Y X X ~ ( n , ), 其中 2 2
结论3 设X～Nn(0 ,σ2In), A为n阶对称方阵, rk(A)= r,则 二次型 X'AX/σ2～χ2(r) A2＝A(A为对称幂等阵). 2 2 2 特例:当A=In时, X I X / X X / ~ ( n ) n
3.1 多元线性回归模型及古典假定
第三章 多元线性回归模型
第一节 多元线性回归模型及古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示 二、多元线性回归模型的古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示
1、在计量经济学中，将含有两个以上解释变量的回归模 型称为多元回归模型。相应地，在此基础上进行的回归分析 就叫多元回归分析。如果总体回归函数描述了一个应变量与 多个解释变量之间的线性关系，由此而设定的回归模型就称 为多元线性回归模型。例如：在生产理论中，C—D生产函 数描述了产量与投入要素之间的关系，其形式为： Y=AKαLβ (Y为产量，K、L分别为资本和劳动投入，α,β 为参数). 利用对数变换，可将其转化为：㏑Y=㏑A+α㏑K+β㏑L 在进行回归分析时，可设定如下形式的回归模型： (㏑Y)i= α0+α(㏑K)i+β(㏑L)i+μi （3.1.1） 回归模型3.1.1就是一个二元线性回归模型。
这就是多元线性回归模型的一般形式。（Yi,X2i,X3i,…,XKi ）为 第 i 次观测样本，βj(j=1,2, …,k) 为模型参数，μi为随机误差项。
在多元线性回归模型中，所有解释变量会同时对应变量Y的 变动发挥作用，所以，我们考察其中某个解释变量对应变量Y的 影响，必须是其它解释变量保持不变来进行。模型中的回归系 数βj(j=2, …,k) 就表示在其它解释变量不变的条件下，第 j 个解 释变量的单位变动对应变量Y的影响。由式3.1.3，可得Y的条件 期望函数：E(Y|X2i,X3i,…,XKi )= β1i+β2X2i+β3X3i+…+βKXKi
1 X 2n
X 31 X 32 X 3n
X K1
XK2
第一节 多元线性回归模型及古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示 二、多元线性回归模型的古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示
1、在计量经济学中，将含有两个以上解释变量的回归模 型称为多元回归模型。相应地，在此基础上进行的回归分析 就叫多元回归分析。如果总体回归函数描述了一个应变量与 多个解释变量之间的线性关系，由此而设定的回归模型就称 为多元线性回归模型。例如：在生产理论中，C—D生产函 数描述了产量与投入要素之间的关系，其形式为： Y=AKαLβ (Y为产量，K、L分别为资本和劳动投入，α,β 为参数). 利用对数变换，可将其转化为：㏑Y=㏑A+α㏑K+β㏑L 在进行回归分析时，可设定如下形式的回归模型： (㏑Y)i= α0+α(㏑K)i+β(㏑L)i+μi （3.1.1） 回归模型3.1.1就是一个二元线性回归模型。
这就是多元线性回归模型的一般形式。（Yi,X2i,X3i,…,XKi ）为 第 i 次观测样本，βj(j=1,2, …,k) 为模型参数，μi为随机误差项。
在多元线性回归模型中，所有解释变量会同时对应变量Y的 变动发挥作用，所以，我们考察其中某个解释变量对应变量Y的 影响，必须是其它解释变量保持不变来进行。模型中的回归系 数βj(j=2, …,k) 就表示在其它解释变量不变的条件下，第 j 个解 释变量的单位变动对应变量Y的影响。由式3.1.3，可得Y的条件 期望函数：E(Y|X2i,X3i,…,XKi )= β1i+β2X2i+β3X3i+…+βKXKi
1 X 2n
X 31 X 32 X 3n
X K1
XK2
第三章(1) 多元线性回归模型课件
分离差的大小
解释的那部分离差的大小。也
称剩余平方和。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-3 多元线性回归模型的统计检验 一、 拟合优度检验 检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解 基础上确定的可决系数R2 (调整的可决系数 ) 度量。 1、总离差平方和的分解
总离差平方和TSS 回归平方和ESS
3、随机误差项在不同 样本点之间是独立的，
Cov( i,
不存在序列相关
因为 i与 j相互独立，有：
j)=0 i≠j
无自相关假定表明：产生 误差(干扰)的因素是完 全随机的，此次干扰与彼 次干扰互不相关，互相独 立。由此应变量Yi的序列 值之间也互不相关。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-1 多元线性回归模型及其基本假定
3、有效性(最小方差性)：
指在所有线性、无偏估计量中， OLS参数估计量的 方差最小。
4、 服从正态分布，即：
其中，
， G2是随机误差项的方差，
Cjj是矩阵(X’X)-1 中第j行第j列位置上的元素。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-2 多元线性回归模型的参数估计
一、 参数的最小二乘估计
二、 OLS估计量的统计性质及其分布
三、随机误差项方差Q2的估 计
参数估计的另一项任务是： 求随机误差项 i 的分布参数
称作回归标准差 (standard error of regression)， 常作为对所估计回归线的拟
合优度的简单度量。
i~N(0, Q2)
随机误差项 i 的 方差的估计量为：
可以
证明：
说明 是QS 的无偏估计量。
t-Statistic 6.411848 22.00035 4.187969
多元统计分析(何晓群 中国人民大学) 第三章
• 为此最常用的技巧是聚类分析，聚类分析将个体或对 象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他 类的对象的相似性更强。目的在于使类间对象的同质 性最大化和类与类间对象的异质性最大化。本章将介 绍聚类分析的性质和目的，并且引导研究者使用各种 聚类分析方法。
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§3.2 相似性度量
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§3.2 相似性度量
(2) 相关系数。这是大家最熟悉的统计量，它 是将数据标准化后的夹角余弦。
有时指标之间也可用距离来描述它们的接近程度。 实际上距离和相似系数之间可以互相转化，
• 与多元分析的其他方法相比，聚类分析的方法是 很粗糙的，理论上还不完善，但由于它能解决许 多实际问题，很受人们的重视，和回归分析、判 别分析一起被称为多元分析的三大方法。
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§3.1 聚类分析的思想
• 3.1.2 聚类的目的
（2）一种改进的距离就是在前面曾讨论过 的马氏距离，它对一切线性变换是不变 的，不受指标量纲的影响。它对指标的 相关性也作了考虑，我们仅用一个例子 来说明。
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§3.2 相似性度量
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§3.2 相似性度量
(2) 相关系数。这是大家最熟悉的统计量，它 是将数据标准化后的夹角余弦。
有时指标之间也可用距离来描述它们的接近程度。 实际上距离和相似系数之间可以互相转化，
• 与多元分析的其他方法相比，聚类分析的方法是 很粗糙的，理论上还不完善，但由于它能解决许 多实际问题，很受人们的重视，和回归分析、判 别分析一起被称为多元分析的三大方法。
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§3.1 聚类分析的思想
• 3.1.2 聚类的目的
（2）一种改进的距离就是在前面曾讨论过 的马氏距离，它对一切线性变换是不变 的，不受指标量纲的影响。它对指标的 相关性也作了考虑，我们仅用一个例子 来说明。
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§3.2 相似性度量
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量的二次型
结论4 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称阵,且 rk(A)=r, 则二次型
1
2
X AX ~ (r , ), 其中
2
1
A2＝A(A为对称幂等阵).
2
A.
作为σ 的估计，而且知道
n 1 2 2 s ( X X ) 一元统计中，用样本方差 (i ) n 1 i 1 2
1
2
(X
i 1
n
(i )
X ) ~ (n 1)
2 2
36
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
推广到p维正态总体时，随机矩阵W的分布是 什么? 定义3.1.4 设X(α) ～Np(0,Σ) (α＝1,…,n)相 n 互独立，则称随机矩阵 W X X X X ( ) ( )
1
的分布为Wishart分布(威沙特分布)，记 为W～Wp(n,Σ). n 2 2 2 W X ~ (n) , 即 显然p=1时 ( )
2
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
一元统计中,参数μ ,σ 2的检验 涉及到一个总体、二个总体,乃至 多个总体的检验问题; 推广到p元统计分析中，类似地 对参数向量μ 和参数矩阵Σ 涉及 到的检验也有一个总体、二个总体 ,
3
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
在一元统计中，用于检验μ, σ 2的抽 样分布有χ2分布,t 分布,F分布等,它们都 是由来自总体N(μ, σ 2)的样本导出的检 验统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于 以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计 量,讨论这些统计量的分布是多元统计分 析所涉及的假设检验问题的基础.
应用多元统计分析
第三章 多元正态总体
参数的假设检验(一)
1
第三章 多元正态总体参数的假设检验
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目 录( 一 )
§3.1 几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布 二、威沙特分布 三、霍特林T2分布 四、威尔克斯统计量
§3.2 单总体均值向量的检验及置信域 §3.3 多总体均值向量的检验
1
38
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
一般地,设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立, 记
则称W＝X'X服从非中心参数为Δ的非中心 Wishart分布,记为W～Wp(n,Σ,Δ).
其中
39
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A Z Z
n 1
而Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n-1)相互独立,由定 义 3.1.4可知A～Wp(n-1,Σ).
41
1
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质
由于Wishart分布是χ2分布的推广,它具有χ2分 布的一些性质.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
rk(A)=r. 则(X-μ)′A(X-μ) ～χ2 (r) ΣAΣAΣ＝ΣAΣ . 证明 因Σ＞0,则rk(Σ)＝p.因Σ为对 称阵,故存在正交阵Γ,使得
结论2 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A为对称阵,
推广到p元正态总体,样本协差阵S＝A/(n-1) 及随机矩阵A(离差阵)的分布是什么? 设X(α) (α＝1,…,n)为来自Np(0,Σ)的随机样本, 考虑随机矩阵 X (1) n W X ( ) X ( ) X (1) , , X ( n ) X X pn n p 1 X (n) 的分布.当p=1时，
ΣAΣAΣ＝ΣAΣ .
30
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
结论3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶 注意:修改P55倒2行 对称阵,则 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)独立
ΣAΣBΣ＝Op×p.
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
当否定H0 第一类错误的概率＝P｛“以真当假”｝ ＝P｛|T|＞λ|μ＝μ0 ＝显著性水平α. 当H 0 第二类错误的概率＝P｛“以假当真”｝ ＝P｛|T|≤λ|μ=μ1 ≠μ0 ｝ 此时检验统计量T～t(n-1,δ),利用非中心 t分 布可以计算第二类错误β的值.
证明
结论1 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,则X'Σ-1 X～
因Σ＞0,由正定阵的分解可得 Σ＝C C′(C为非退化阵). 令Y＝C -1X (即X＝CY)，则 Y～Np(C -1μ,C -1 Σ(C -1)′), 因Σ＝CC′，所以Y～Np(C -1μ,Ip). 且 X′Σ-1X＝Y ' C'Σ-1 CY＝Y ' Y～χ2(p,δ)， 其中δ＝(C -1μ)′(C -1μ)=μ'Σ-1μ.
1 1
n
n
d
由定义3.1.4有:
Y Y ~ W
1 n m
(n, CC), 故CWC ~ Wm (n, CC).
31
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
由“1.结论6”知ξ与η相互独立
32
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心 t 分布和F分布
定义3.1.2
定义3.1.3
33
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
设Xi ～N1(μi ,σ2)(i =1,...…,n),且相互独立，记
结论1
一般情况(μi ＝0，σ2 ≠1时),
5
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
Dr O ' Dr O H11 H12 ' ' AB B O O O O O H 21 H 22
22北大数学学院来自第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
χ2(p,δ)，其中δ＝μ'Σ-1 μ.
第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
当X(α)～Np(μα ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立时，非 中心参数
这里 其中p为随机矩阵W的阶数,n为自由度,一元统计 中的σ2对应p元统计中的协差阵Σ.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
③且
又因为 X' BX=Y 'Γ'BΓ Y= Y 'HY, 其中H=Γ‘BΓ 。④如果由AB=O,能够证明 X′BX可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H 只是右下子块H22为非O的矩阵。 则X′AX 与X′BX相互独立。
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§3.1
证明 因 W Z Z ~ Wp (n, )
1
几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质 d n
其中 Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立. 令Yα=CZα,则Yα～Nm(0,CΣC′). 故
CZ Z C CWC Y Y
1/ 2
1/ 2
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§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
注意:修改P55
令
这里
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§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
由以上“1.结论3”的证明知
即
两边左右乘Σ1/2，即得
作业1:证明充分性(习题3-1 ）
(充分性的证明类似于结论3中充分性的证 明方法,必要性证明不要求)
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
结论5 二次型与线性函数的独立性: 设X～Nn(μ,σ2In), A为n阶对称阵， B为m×n阵,令ξ＝X'AX,Z=BX(Z为m维 随机向量),若BA=O,则BX和X'AX相互独 立. 证明 设rk(A)=r＞0 (当r=0时A＝0， 结论显然成立)，存在正交阵Γ使
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
结论6 两个二次型相互独立的条件: 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵则 AB ＝O X'AX与X'BX相互独立. 作业2:证明必要性(习题3-2） 证明必要性的思路：记rk(A)=r. ①因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得 Γ'AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) ②令Y＝Γ' X，则Y～Nn(Γ'μ,σ2In),