研究生数值分析(20)函数的最佳平方逼近
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最佳平方逼近
( f p*, f p*) 2( f p*, p * p) ( p * p, p * p)
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
n
因为 f p*, p * p cj c j f p*, j 0 及
j0
( p * p, p * p) 0, 故 ( f p, f p) ( f p*, f p*).
2 则 f (x) 1 1 t g(t), 1 x 1
2 先求g(t)在区间 [-1,1] 旳一次最佳平方逼近多项式.
由
c0 *
1 2
(g,
L0 )
1 2
1 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
(g,
L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 2 . 5
可知
2
2
22
q1(t) 3 L0 (x) 5 L1(x) 3 5 t,
例6 定义内积 ( f , g)
1
f (x)g(x)dx
0
试在H1=Span{1,x}中谋求对于f(x)= x 旳最佳平方逼近
元素p(x).
解 法方程为
1 12
1 2
13
c0
c1
2 2
3 5
解得
c0
4, 15
c1
4 5
所求的最佳平方逼近元素为 p(x) 4 4 x. 0 x 1 15 5
(n
,n
)
cn*
( f ,n )
因为 0x,1x, , nx 线性无关, 能够推得上系数阵是
非奇异旳. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近旳误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
数值分析最佳平方逼近
9 9
第三章 函数逼近与计算
定义3.8 设 0(x), 1(x), … , n-1(x)在[a,b]上连续如果 a00(x)+a11(x)+… +ann(x)=0 对任意 x[a, b]成立
当且仅当 a0= a1=… =an=0，则称 0(x), 1(x), … , n-1(x) 在[a,b]上是线性无关的。
I 0 a k
(k 0,1,, n),
(k 0,1,, n),
(k 0,1,, n).
( ( x), ( x))a
j 0 k j
© 2009, Henan Polytechnic University §3 最佳平方逼近
n
j
( f ( x ), k ( x ))
b
则称{ k ( x)} 是 [a, b] 上带权 ( x )的正交函数族. 若 Ak 1，则称之为标准正交函数族. 三角函数族 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , 区间 [ , ]上的正交函数族.
© 2009, Henan Polytechnic University §3 最佳平方逼近
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1111
第三章 函数逼近与计算
3.3.2 函数的最佳平方逼近 对f ( x ) C[a, b]及C[a, b]中的一个子集 span{ 0 ( x ),1 ( x ),, n ( x )}
b b
b
b
I 2a0 0 ( x ), k ( x ) 2a1 1 ( x ), k ( x ) 即 ak 2an n ( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
最佳平方逼近
(f q ,q p ) (f p ,q p ) 0 , 故 ( p q ,p q ) ( p f f q ,p q )
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
9
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
7
() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
9
三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
7
() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
最佳平方逼近
a0 a 1 an
( f , 0 ) ( f ,1 ) = , ( f , n )
此方程组称为
法方程 .
n j=0 * a j j， k
可见，
( f (x)
) = 0 , k = 0 ,1 , L , n .
0， 1， ， n 在 [ a , b ]上 L
由定理，正交多项式系
定理：设 0 , L , n C [ a , b ], 记 Gram 矩阵为
G = G ( 0 , L , n ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) = ( n , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( n , 1 ) L L L L ( 0 , n ) ( 1 , n ) ( n , n )
r 1, ( f , g ) = a f ( x ) g ( x ) d x(1 ) (2) (3) (4)
( f , g) = (g, f ) ( cf , g ) = c ( f , g ) ( f1 f 2 , g ) = ( f1 , g ) ( f 2 , g ) ( f , f ) 0 , 当且仅当 f = 0 时 ( f , f ) = 0
满足內积定义的函数空 因此，连续函数空间 n 维欧氏空间 其內积定义为
n
间称为內积空间， C [ a , b ]上定义了內积就形成一 个內积空间。
T T
R 中两个向量內积定义：
n
设 f = ( f 1 , f 2 ,L , f n ) , g = ( g 1 , g 2 ,L , g n ) f = ( fk ) 2
b b 2
研究生数值分析 最佳平方逼近
数值分析
15
解方程组，得 c j =
(ϕ j , f ) (ϕ j , ϕ j )
, j = 0,1, ..., n
因此得最佳平方逼近多项式 n n (ϕ , f ) j s( x ) = ∑ c j ϕ j ( x ) = ∑ ϕ j ( x) j=0 j = 0 (ϕ j , ϕ j ) 平方误差为
p∈H n
则称 p ∗ ( x) 为子空间 H n 中对与 f(x)的最佳平方逼近元素。
特 别 的 ， 如 果 ϕ j = x j , j = 0,1, ⋅⋅⋅, n 则 称 满 足 条 件 的 p∗ ( x) ∈ H ，为函数 f（x）在区间[a，b]上带权 ρ ( x ) 的 n
n
次最佳平方逼近多项式。
•勒让德多项式(Legendre)
[-1,1] , ρ(x)=1 三项递推关系:
Pn +1 ( x) = 2nn++11 xPn ( x) − nn P ( x), n = 1,2,3... +1 n −1
1 dn 2 2 Pn ( x ) = n ⋅ ( x − 1 ) 2 ! dx n
数值分析
17
数值分析
5
π π ⎧ π 2 2 2 2 + = a x dx b x dx x sin xdx ⎪ ∫ ∫ ∫ ⎪ 0 0 0 ⎨ π π π ⎪ a 2 x dx + b 2 dx = 2 sin xdx ∫0 ∫0 ⎪ ⎩ ∫0
⎧π 3 π2 a+ b=1 ⎪ ⎪ 24 8 ⎨ 2 ⎪ π a+π b=1 ⎪ 2 ⎩ 8 解 得 a ≈ 0.6644389, b ≈ 0.1147707
数值分析
19
15
解方程组，得 c j =
(ϕ j , f ) (ϕ j , ϕ j )
, j = 0,1, ..., n
因此得最佳平方逼近多项式 n n (ϕ , f ) j s( x ) = ∑ c j ϕ j ( x ) = ∑ ϕ j ( x) j=0 j = 0 (ϕ j , ϕ j ) 平方误差为
p∈H n
则称 p ∗ ( x) 为子空间 H n 中对与 f(x)的最佳平方逼近元素。
特 别 的 ， 如 果 ϕ j = x j , j = 0,1, ⋅⋅⋅, n 则 称 满 足 条 件 的 p∗ ( x) ∈ H ，为函数 f（x）在区间[a，b]上带权 ρ ( x ) 的 n
n
次最佳平方逼近多项式。
•勒让德多项式(Legendre)
[-1,1] , ρ(x)=1 三项递推关系:
Pn +1 ( x) = 2nn++11 xPn ( x) − nn P ( x), n = 1,2,3... +1 n −1
1 dn 2 2 Pn ( x ) = n ⋅ ( x − 1 ) 2 ! dx n
数值分析
17
数值分析
5
π π ⎧ π 2 2 2 2 + = a x dx b x dx x sin xdx ⎪ ∫ ∫ ∫ ⎪ 0 0 0 ⎨ π π π ⎪ a 2 x dx + b 2 dx = 2 sin xdx ∫0 ∫0 ⎪ ⎩ ∫0
⎧π 3 π2 a+ b=1 ⎪ ⎪ 24 8 ⎨ 2 ⎪ π a+π b=1 ⎪ 2 ⎩ 8 解 得 a ≈ 0.6644389, b ≈ 0.1147707
数值分析
19
数值计算方法_最佳平方逼近
25数值分析—最佳逼近━基于ＭＡＴＬＡＢ的实现与分析§１ 引 言所谓函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个与给定的函数（定点）距离最短的函数（点）。
由于在函数空间中可以定义不同的距离，不同意义下的距离度量定义了不同的逼近准则。
令P 表示指定的一类简单的函数集合 １、函数最佳一致逼近： 基于的距离度量如下()[]()()d f P f x P x x a b ，，=-∈max （１）逼近准则：()[]()()x P x f P f d b a x P P -=∈P ∈P∈，max min ,min （２）２、函数最均方逼近：基于的距离度量如下()()()[][]d f P f x P x dx ab，=-⎰212（３）逼近准则()=P∈P f d P ,min minP ∈P()()[][]f x P x dx ab-⎰212（４）如果给定的是函数在若干点处的函数值：()()x f x i i ，，i =0，1，， n ，那么还有称为：３、最小二乘逼近： 基于的距离度量如下()()()[]d f P f x P x i i i n ，=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=∑012（５）逼近准则26()=P ∈P f d P ,min min P ∈P ()()[]f x P x i i i n-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=∑012（６）４、插值逼近，其逼近准则为：()()i i x f x P =， ()n i x P ，，，， 10=P ∈ （７）对于函数最佳逼近问题而言，用于逼近的简单的函数集合一般选取次数不超过n 次的多项式函数全体()()()(){}P n k k x P x P x k n ==≤deg （８）即用多项式函数逼近给定的函数，其原因在于只需对自变量做加法、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的。
最佳平方逼近
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
函数的最佳平方逼近
主讲 孟纯军
最佳平方逼近
最佳平方逼近多项式 正交多项式； 正交多项式在最佳平方逼近中的应用。
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 g ( f , 1 )1 ..... ( f , n )n
正交多项式
在求最佳平方逼近多项式中，若选取基 1,x,…,xn,得到的法方程组往往病态， 我们考虑取多项式空间的正交基。
设多项式序列g0 , g1 , gn， 其中gi ..., 是i次多项式, w( x)为给定的权函数，若
( f , i ) ai , i 1,n (i , i )
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 ( f , n ) ( f , 1 ) g 1 ..... n (1 , 1 ) (n , n )
若1 ( x),....m ( x)是标准正交基时，则 ai ( f , i )，i 1,n
a0=1.8846 , a1=7.4880x, a2=7.4880
所以，最佳平方逼近二次多项式为 p(x)=1.8846 -7.4880x+7.4880x2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
函数的最佳平方逼近
主讲 孟纯军
最佳平方逼近
最佳平方逼近多项式 正交多项式； 正交多项式在最佳平方逼近中的应用。
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 g ( f , 1 )1 ..... ( f , n )n
正交多项式
在求最佳平方逼近多项式中，若选取基 1,x,…,xn,得到的法方程组往往病态， 我们考虑取多项式空间的正交基。
设多项式序列g0 , g1 , gn， 其中gi ..., 是i次多项式, w( x)为给定的权函数，若
( f , i ) ai , i 1,n (i , i )
f 在子空间S中的最佳平方逼近元为 ( f , n ) ( f , 1 ) g 1 ..... n (1 , 1 ) (n , n )
若1 ( x),....m ( x)是标准正交基时，则 ai ( f , i )，i 1,n
a0=1.8846 , a1=7.4880x, a2=7.4880
所以，最佳平方逼近二次多项式为 p(x)=1.8846 -7.4880x+7.4880x2
最佳平方逼近
同时，还需要给出连续函数
空间上的一个度量标准，下面通过内积给出平方范数。
二、连续函数的平方范数
已知所有连续函数构成的集合C[a,b]是一个线性
空间，对于C[a,b]中的任意函数
、 ，定义
实数
可以证明此实数满足性质：
这时，称
为与
的内积。
并称 为函数
（3.1） 的平方范数， 且满足以下性质：
（1）
，当且仅当
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 zi 2.72 3.02 3.31 3.60 3.89 4.18 4.48 4.77
对
作线性拟合曲线，取
得正则方程组
解得 于是有 拟合曲线为：
练习 三
3-1 利用Legendre多项式
求函数
在
上的最佳均方逼近，并估计误差。
3-2 求 上权函数为
的正交多项
式前四项 3-3 求 ，使
由 得到法方程组第 j 行的元素为：
于是法方程组的系数矩阵为： 令右端第二个矩阵为：
则系数矩阵可以表示为： 再看法方程组的右端项：
由 得到
最后可以将法方程组表示为： 其中
这样会更快的写出法方程组来。
如果所求得最小二乘拟合函数为n次多项式，则： 这时：
误差：
三、数值例子
例3.3 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差 x1 2 3 4 6 7 8
使得对于一切
都有：
不等式
说明，所求的 满足等式：
(3.2)
而
是由系数
唯一确定的，因此，只要我
们求出了满足(3.2)的
，就可以求出
f(x)最佳平方逼近。
令
(3.3)
则
这时等式
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L1 )
3 2
1 1
t 2
1 tdt 6 15
可知
q1(t)
2 3
L0 (x)
6 15
L1 ( x)
2 3
6 15
t,
1 t 1
把 t =2x-1代人 q1(t) 得 x 在区间[0，1]上的一次最佳平方 逼近多项式
p1(t)
2 3
6 15
(2x
1)
4 15
12 15
m
m
[ * ( xi )
i 1
yi ]2
min ( x )
[ ( xi )
i 1
yi ]2
其中 (x) 为函数类Φ 中任意函数。
因此，用最小二乘法解决实际问题包含 如下2个基本环节：
（1）确定函数类Φ ，即确定 (x) 的形式。 这不是一个单纯的数学问题，还与其
12 15
所求的最佳平方逼近元素为
p(x) 4 12 x, 15 15
0 x 1
二、正交函数系在最佳平方逼近中的应用 对于一般的基底 0 (x),1(x),,n (x)
当 n 较大时，计算法方程中的 (k , j ) 以及求解法方程的计算量都是很大的。 1, x, x2 ,, xn 作基底，当ρ(x)≡1时， 虽然 (k , j ) (xk , x j ) 容易计算，但由此形成 的法方程系数矩阵G在 n稍大时是病态矩阵， 在计算机上求解法方程，其结果不太可靠。
§6 函数的最佳平方逼近 一、最佳平方逼近的概念与解法
用简单函数 p (x)去近似一个给定区间[a， b]上的连续函数 f (x)，是函数逼近要研究的 问题。度量逼近误差标准有许多种，这里 介绍一种称为平方逼近的函数逼近。
设函数组 0 (x),1(x),,n (x) 都是[a，b] 上连续的函数，并且在 [a，b] 上线性无关。
定义 对于给定的函数 f (x)∈ C [a，b] ，
若 p(x) Hn 满足
( f p, f p) min( f p(x), f p(x))
(I)
pH n
则称 p(x) 为子空间Hn中对于 f (x) 的最佳
平方逼近元素。
特别地，如果 j (x) x j , j 0,1,, n 则满足条件(I)的 p(x) Hn 可称为函数 f (x)
所求最佳平方逼近多项式为
p3(x) 1.1752L0 (x) 1.1036L1(x) 0.3578L2 (x) 0.07046L3(x)
0.9963 0.9979x 0.5367x2 0.1761x3 1 x 1
例3 设 f (x) x 在区间[0，1]上的一次最佳 平方逼近多项式。
以此为基底，生成空间 C[a，b] 的一个子空间
H n Span{0 ,1,,n}
则 Hn中的任一个元素为
n
p(x) c j j (x) j 0
对空间C[a , b] 中的任意两个函数 f 和 g， 定义内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx
其中ρ(x)是（a，b）上的一个权函数。
就是求它所含的系数 ck, k 0,1,, n
n
因
( f p, j ) ( f , j ) ck (k , j )
k 0
故由条件（II），可表达为
n
ck (k , j ) ( f , j ),
k 0
j 0,1,, n
这是一个以 c0, c1,, cn 为未知数的 n+1
例1
定义内积
1
( f , g) 0 f (x)g(x)dx
试在 H1 Span{1, x} 中寻求对于
f (x) x 的最佳平方逼近元素 p (x)。
解: 0 (x) 1, 1(x) x,
1
(0 ,0 )
dx 1,
0
(1,0 )
1 xdx 1
把这7个点画在图上
r/
85 83 81 79 77
75
10 20 30 40 50
t /0 C
60
可以看出它近似地在一条直线上
设此直线方程为
r a bt （a，b待定）
从图上可知，(t j , rj ) 不是严格在一条直线上， 因此，不论怎样选择a，b总是不能使所有的 点都落在直线 r a bt 上，也就是误差
Rj a bt j rj ,
j 1,2,,7
一般不都全为零。我们希望选择a、b ，
使 R j的平方和尽可能地小。
即求 a*, b* ，使
7
7
R R(a, b) R j2 (a bt j rj )2
j 1
j 1
取最小值。
用这种方法求得 a*, b* 的原理，称为最小
上连续且线性无关。因而矩阵G非奇异，
故法方程的解 ck, k 0,1,, n
存在且唯一。
记 ( f p, f p) 称δ为最佳平方
逼近误差， 称为均方误差。
由于 ( f p, p) 0 ，所以有
n
( f p, f ) ( f , f ) ( p, f ) ( f , f ) ck (k , f ) k 0
1 2
2
( f , L3)
1 ( 5 x3 3 x)exdx 0.02013
1 2
2
由公式（III）得
c0
1 2
(
f
,
L0 )
1.1752,
c1
3 2
(
f
,
L1 )
1.1036,
c2
5 2
(
f
,
L2 )
0.3578,
c3
7 2
(
f
,
L3 )
0.07046
ak * k ( x)
②
k 0
为拟合函数或经验公式。
如果 k ( x) xk (k 0,1, , n) 则称②式为最小n次最小二乘拟合多项式。
由①式可以看出， S (a0 , a1, , an ) 为
a0, a1, , an 的 n+1 元二次多项式（二次
型），可以用多元函数求极值的方法求其最 小点和最小值。
0
2
(1,1)
1 x2dx 1 ,
0
3
1
(0 , f ) 0
xdx 2 3
1
(1, f )
x
0
xdx 2 5
法方程为
1 1
1
2
2
1
c0 c1
3
2
2 3
3
解得
c0
4, 15
c1
它领域的一些专门知识有关。在数学上，
通常的作法是将数据点 (xi , yi ) 描绘在坐 标纸上，然后根据这些点的分布情况来选择
(x) 的形式；
（2）求最小二乘解，即求满足条件的近似解 * ( x)
m
m
[ * (xi )
i 1
yi ]2
min ( x )
[ ( xi )
解 令 x 1 (t 1) 得 f (x) 1 1 t (t), 1 t 1
2
2
先求 (t) 在区间[-1，1]上的一次最佳平方 逼近多项式 q1(t) ，由
c0
1 2
( ,L0 )Leabharlann 1 21 1
1 2
1 tdt 2 , 3
c1
3 2
( ,
,
k 0,1,, n
Legendre多项式的应用
对给定的函数 f (x)∈ C [a，b] ，在区间 [a，b]上求f (x)的n次最佳平方逼近多项式 pn (x)这个问题，相当于在内积为
1
( f , g) f (x)g(x)dx 1
的情形下，在子空间 H n Span{1, x, x2 ,, xn}
在区间[a ,b] 上带权ρ(x)的n次最佳平方逼近
多项式。具体问题中ρ(x)是给定的, 如果不指明,则ρ(x)≡1，这时内积定义为
b
( f , g) a f (x)g(x)dx
定理1 设 f (x)∈ C [a，b] ，p(x) Hn 是子空间 H n中对于f (x) 的最佳平方逼近元
为避免这些弊端，应采用正交基底。
设 0 (x),1(x),,n (x) 是区间[a，b]上带权
ρ(x)的正交函数系，即
b
(k , j ) a (x)k (x) j (x)dx 0,
(k ,k ) 0
那么，法方程的解为
k j
ck
( f ,k ) (k ,k )
平方逼近多项式。
解 采用Legendre多项式 L0 (x), L1(x), L2 (x), L3(x) 作次数不高于3的多项式空间的基底。由
( f , L0 )
1exdx 2.3504
1
( f , L1)
1 xexdx 0.7358
1
( f , L2 )
1 ( 3 x2 1 )exdx 0.1431
二乘原理。求得的 r a* b*t 称为拟合函数 或者称为经验公式。
按最小二乘原理选择近似函数的方法 称为最小二乘法。
1、最小二乘法的提法
用最小二乘法求近似函数的问题可以归结为：