第四章多目标规划

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
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由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目
标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而
极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不
难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
di+
=
fi
(
X
)-fi
0，
0
fi ( X ) > fi0， fi ( X ) ≤ fi0，i = 1，……，p
fi ( X )关于fi0的负偏差为
di−
=
0，
fi0
−
fi (X
)
fi ( X ) ≥ fi0， fi ( X ) < fi0，i = 1，……，p
则不难看出
di+ + di－＝ fi ( X )-fi0 ， di+ − di－＝fi ( X )-fi0， di+ • di－ = 0，
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第四章 多目标规划
第一节 多目标规划模型
线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={X|gi(X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En
上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以 一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方 案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用 一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往 往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结 出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。
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根据农户对目标重要性的排序，将前两个目标作为 第一优先层，将第三个目标作为第二优先层，再把其中 的求最大化转化为求其负数的最小，便得到下列具有两 个优先层次的分层多目标极小化模型：
L − min[P1(−120.27x1 −111.46x2 − 208.27 x3， −1056x1 −1008x2 − 336x3 )， P2 (50x1 + 48x2 + 40x3 )]
设xi
=
1 0
决定投资第i个项目 决定不投资第i个项目
问题的约束条件为
i=1，2，……，n
∑
n i=1
aixi
≤
A
xi (xxii=−01或) =1 0
i=1，2，……，n
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所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多 办事”，则变为两个目标的问题，即投资最少， 收益最大：
n
∑ f1(x1，……，xn ) = bi xi → max i =1 n
1008
—— 111.46 48
350
3
油菜－玉 米－蔬菜
336
130 208.27 40
390
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设该农户全年至多可以出工3410小时，至少 需要油料156公斤。今该农户希望优先考虑总利 润最大和粮食总产量最高，然后考虑使投入氮素 最少。问如何确定种植方案。
首先设立决策变量如下 方案1的种植亩数：x1， 方案2的种植亩数：x2， 方案3的种植亩数：x3， 根据农户的要求确定问题的三个目标函数为：
………………
minfp(x1，……，xn)
约束条件：
g1
(x1，……，xn ) ≥ ………………
0
gm (x1，……，xn ) ≥ 0
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若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)，
……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行
极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
1号机套511000160套
万元/套 万元/套 小时/套 (指令性计划)
2号机
台
1.6
0.2
400 320～500台
万元/套 万元/台 小时/台 (市场预测)
零部件和工 万小 50
8.1
业性作业 时 元/小时 元/小时
26万小时 (市场预测)
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今决策者希望在完成上级下达的指令性计划的前提 下，全年总产值达到2750万元左右，总利润不低于440万 元，并且要避免开工不足。然后，还希望工人的加班时间 不超过总工时的4％，以及依据市场预测的信息进行生 产。试问应如何安排工厂的年生产计划。
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多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于 某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再 用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又 有联系。
多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理 论。1896年，法国经济学家V·Pareto首先在经济理论的研究 中提出了多目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家 T·C·Koopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策 问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名 为“Pareto解”(即有效解)。同年，H·W·Kuhn和 A·W·Tucker从 数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关概念。进入20 世纪70年代，随着第一次国际多目标决策研讨会的召开及这 方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作迅速、蓬勃地 开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的研究成果。
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年总利润： f1(x1，x2，x3)=120.27x1+111.46x2+208.27x3 粮食总产量： f2(x1，x2，x3)=1056x1+1008x2+336x3 投入氮素量： f3(x1，x2，x3)=50x1+48x2+40x3 根据农户的全年出工能力，对油料需求量，所承包农 田数以及种植亩数应为非负等限制，应有约束条件： 总用工量：320x1+350x2+390x3≤3410 油料需求： 130x3≥156 农田数： x1+x2+x3＝10 种植亩数非负：x1≥0， x2≥0， x3≥0。
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例4：某水稻区一农民承包10亩农田从事农业种 植。已知有三类复种方式可供选择，其相应的经 济效益如表
方 复种方式 粮食产量 油料产量 利润 投入氮素 用工量
案
(公斤/亩) (公斤/亩) (元/亩) (公斤/亩) (小时/亩)
1
大麦－早 稻－晚梗
1056
—— 120.27 50
320
2
大麦－早 稻－玉米
π r2 = π (x1 / 2)2 + (x2 / 2)2 成正比。由此，为使木梁的成 本最低还应要求 π (x12 + x22 ) / 4 尽可能的小，或即：
(x12 + x22 ) → min
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 ≤ H
x1 x1
x2 −
≥ x2
W ≥
0
4x2 − x1 ≥ 0
i = 1，……，p
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于是目标规划模型(1－1)也可以表示为
p
∑ min (di+ + di－) i =1
X ∈R
s.t
f
i
(
di+
X) − • di－
di+ + =0
di－
=
fi0
di+ ≥ 0，di－ ≥ 0
i = 1，……，p (2)
(2)虽然去掉了绝对值运算，但却含有偏差变量相
乘的约束条件，这仍然使求解很不方便。考察去掉偏
p
)，则X是
(2)的最优解。因而可将(3)作为目标规划模型的
一般形式。在此一般形式基础上，还可以建立加权的
或分层的目标规划模型。
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例5：某机器制造厂生产两种型号的机器，同时也进行机器的 零部件和工业性作业生产。已知有关数据如下表，并且该 工厂全年能承担生产的总工时为58万小时。
生产项目 单位 产值 利润 工时 需要量
问应如何确定木梁尺寸，可使木
梁的重量最轻，并且成本最低。 x1 r
设所设计的木梁横截面的
x2
高为x1 ，宽为x2（图1）。
图1
为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求
其横截面面积x1x2为最小，即要求x1x2→min
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由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树
干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小
或极大化，而是希望在约束条件的限制下，每一目标都尽
可能的接近于事先给定的各目标值。
设p个目标函数的给定目标值分别为：
f10，……，f
0 p
则为使各目标函数尽量接近其目标值，可建立以追求总
绝对偏差极小化为目标的目标规划模型：
p
∑ min
X∈R i=1
fi (X ) − fi0
(1)
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若记fi ( X )关于fi0的正偏差为
320x1 + 350x2 + 390x3 ≤ 3410 s.t 1x31 0+xx32≥+1x536= 10
x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，x3 ≥ 0 对它进行求解便可得到农户满意的种植方案。
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三. 目标规划模型
本节介绍一类在实际中有着广泛应用的特殊多目标最
优化模型。这类模型并不是去考虑对各个目标进行极小化
4x1 + 2x2 ≤ 40
x1 x1
+ ≥
x2 5
≥
10
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
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在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的成员 们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各样的 目标来。 如果要求总花费最小，即要求：
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min
如果要求糖的总数量最大，即要求： f2 (x1, x2 ) = x1 + x2 → max