动中求静 静中求动
初中数学教学中思维模式的培养——动中求静
求出点 Ｐ到 Ｂ Ｃ的距离 ， 间接法 为 ：
１ 可 利 用 点 ０ 到 Ｐ 的距 离 ． Ｍ
式上是不同的 ，它们 的各 自形式也 不 同． 这就需要 “ 中求静 ” 动 ，在形 变 的过 程 中寻找质 的不变 ． 比如 比
较 ｎ与 一 。的 大 小 时 ，首 先 让 学 生
减去点 ０到 Ｂ Ｃ的距离 ： ２ 可将 四边形 Ｐ Ｏ ． Ｂ Ｃ分割成面 积可求 的特殊图形 ， 然后根据 ｓ 脚＝
智 育
广
角
初 中数 学教 学 中思 维模 式 的培 养— — 动 中 求静
文／ 东莞市沙田广 荣中学 单如义
初 中数学教学的 目的．就是通 过形形色色 、纷繁复杂的数学题 目 解题 过程培 养学生 动脑动 手能 力． 但在实际教学过程 中．如果不能培 养学生对类型题建立起相对固定 的
点在运动 的过程 中， Ｐ点到 Ｂ 当 Ｃ的 距离 最大时 ，ｓ 最 大． 根据 两平 行线 间距离处处相 等 ．即在 ｙ ａｚ ＝ｘ＋ ｂ＋ ｘ ｃ上寻找一 点 Ｐ Ｙ 过 点 Ｐ作 （ ．）
在数轴上找 出它们相等 的点 。然后
再进行分 区间讨论． １ 在有理数范围内比较 。与 ．
与一 的大／ ？ 口 ｂ
解 ：当 ｘ ｌ一 时 ，： ， ＝ ， １ 因为
在 中 ≠０ ，所 以 ｘ ０是 空 点 ； ＝
２ ＋ ，直线 Ｂ ｘ３ Ｃ为 ｙ ３ 过程略 ） ＋ （ ，
在教科 书中的答案是 ：
因为 Ｐ Ｍ∥Ｂ ， 以直线 Ｐ 与 Ｂ Ｃ所 Ｍ Ｃ 的斜率相等 于 ｃ ｏ ３ ， 物线 上 有 一 动 点 （ ，）抛
ｙ ２３ 运 到 （ ， ） ＝ 一＋ 动 Ｐ 手 孚 一 ｘ上 一
课堂教学中的动和静
课堂教学中的动与静动态教学和静态教学是课堂教学活动的两种基本形态。
课堂上的“静”是学生知识的自我构建、能力的自我形成、思想的自我碰撞，是“动”的准备、“动”的铺垫；课堂上的“动”是思维的交融、智慧的搏击、心灵的沟通，是“静”的张扬、“静”的升华。
教学中的动静之道，就像花儿与绿叶，静是绿叶能量的积蓄，动是花儿精彩的绽放。
因此，理想的教学课堂既应该有“动”也应该有“静”，一张一弛，动静结合，教师教学要合理处理好课堂教学“动”与“静”的关系，该动就动，该静就静，注重实效，收放自如。
这种“动”“静”结合的教学场景正是经营高效课堂所要追求的效果图。
本期，我们就一起来探讨一下课堂教学中的“动”“静”之道。
一、教学中“动”与“静”的误区一直以来，不管是上课还是听课，主要的一个评价标准就是看课堂是否精彩，精彩的一个主要标准就是看课堂是否出彩，而出彩又大多指向课堂的“动态性”活动。
动是绝对的，静是相对的。
口动有声、心动无痕，安静的书桌下面可能藏着涌动的心灵。
以“生”为本不是以“声”为本，太看重表面难免浮华，那不是课改的正确方向。
以下就是课堂教学中最常见的两点活动误区：1.重“动”轻“静”在活动设计上，多为“动态性”的活动，如：齐声朗读，相互对话，全班齐问齐答，小组讨论、探究、交流活动等，主要是体现在口动和手动（鼓掌）而忽视了“静态活动”（阅读与理解，练习与思考、理解与表达、动脑与动笔）。
2.以“动”代“静”一节课下来，都在忙于搞各种“动态”活动，没过几分钟就有一项活动，“动态”活动的时间占了三分之二，而真正安静下来进入练习与思考，阅读与表达的时间却很少，时间都跑到“动态活动”中去了。
课堂教学是个动态的过程，就真实的课堂而言，应该是有动有静，动静交错。
无论是动态的活动还是静态的活动，均属于课堂活动的范畴。
相对而言，动态的活动是外显的，而静态的活动则是隐性的。
教学中“静”和“动”是相对的，该动还是该静，先“静”后“动”，还是先“动”后“静”，“静”多“动”少，还是“静”少“动”多，这都不是一成不变的，而是要根据具体的学习任务需求和当时的课堂状态相机而定。
“动”中求“静”,“动”“静”互化——中考动态几何问题解题思路初探
解法探究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀动 中求 静 , 动 静 互化中考动态几何问题解题思路初探◉江苏省苏州市高新区实验初级中学㊀袁㊀媛㊀㊀摘要:在初中平面几何的学习中,要运用运动变化的思路研究图形,让静止的几何图形 动 起来,化抽象为具体,让变化的图形形象直观地揭示出恒定不变的几何规律,把相关的知识点串联起来,这样有助于提高分析问题和解决问题的能力．本文中结合中考试题,对常见的动态几何类题型的解题思路与方法进行了初步探索．关键词: 动 静 转化;动 点 类问题;动 线 类问题;动 图 类问题㊀㊀马克思主义哲学告诉我们,运动是绝对的,静止是相对的．在几何的学习过程中,我们发现 静 只是 动 的瞬间,是运动的一种特殊形式, 动 与 静 是可以相互转化的．如果能让静止的几何图形 动 起来,就可以帮助学生加深对图形概念的准确理解,探索图形的性质．教师可以用动态图形创设富有启发性的教学情境,引发学生对问题的讨论与思考;还可以通过动态图形让学生体验数学实验成功的乐趣．更重要的是,动态的几何图形能够把与几何㊁代数相关的知识联系起来,其中蕴含着动静结合㊁数形结合的思想方法,能够在运动变化中发展学生的空间想象能力,不断提高学生综合分析㊁解决问题的能力．在初中几何教学中,与动态图形有关的问题主要有以下几类．１动点 类问题动点问题是中考数学中最常见的题型,涉及面非常广泛．解决动点类问题的思路是化动为静,以相对静止的瞬间去寻求量与量之间的关系．图１例１㊀(２０２２年江苏省苏州市中考第１６题)如图１,在矩形A B C D中,A B B C ＝２３．动点M 从点A 出发,沿边A D 向点D 匀速运动,动点N从点B 出发,沿边B C 向点C 匀速运动,连接MN ．动点M ,N 同时出发,点M 运动的速度为v １,点N 运动的速度为v ２,且v １＜v ２．当点N 到达点C 时,M ,N 两点同时停止运动．在运动过程中,将四边形M A B N 沿MN 翻折,得到四边形M A ᶄB ᶄN ．若在某一时刻,点B 的对应点B ᶄ恰好与C D 的中点重合,则v １v ２的值为．图２解析:如图２所示,在矩形A B C D中,设A B ＝２a ,B C ＝３a ,运动时间为t ,则C D ＝A B ＝２a ,A D ＝B C ＝３a ,B N ＝v ２t ,AM ＝v １t ．在运动过程中,将四边形M A B N 沿MN 翻折,得到四边形M A ᶄB ᶄN ,所以B ᶄN ＝B N ＝v ２t ,A ᶄM ＝AM ＝v １t ．若在某一时刻,点B 的对应点B ᶄ恰好在C D 的中点重合,则D B ᶄ＝B ᶄC ＝a ．在R t әB ᶄC N 中,øC ＝９０ʎ,B ᶄC ＝a ,B ᶄN ＝v ２t ,C N ＝３a －v ２t ,则v ２t ＝５３a ＝B N ．因为øA ᶄB ᶄN ＝øB ＝９０ʎ,所以øA ᶄB ᶄD ＋øC B ᶄN ＝９０ʎ．又øC N B ᶄ＋øC B ᶄN ＝９０ʎ,所以øA ᶄB ᶄD ＝øC N B ᶄ,故әE D B ᶄʐәB ᶄC N ．因此,D E D B ᶄ＝B ᶄC C N ＝B ᶄCB C －B N＝a ３a －５３a＝３４,可得D E ＝３４D B ᶄ＝３４a ,则B ᶄE ＝D B ᶄ２＋D E ２＝５４a ,于是A ᶄE ＝A ᶄB ᶄ－B ᶄE ＝３４a ,即D E ＝３４a ＝A ᶄE ．在әA ᶄE M 和әD E B ᶄ中,øA ᶄ＝øD ＝９０ʎ,A ᶄE ＝D E ,øA ᶄE M ＝øD E B ᶄ,ìîíïïï所以әA ᶄE M ɸәD E B ᶄ(A S A ),则A ᶄM ＝B ᶄD ＝a ,即A M ＝v １t ＝a ．所以v １v ２＝v １t v ２t ＝A M B N ＝a ５３a ＝３５．思路与方法:本题考查矩形背景下的动点问题,通过动态图形,将矩形的性质㊁对称性质㊁中点性质㊁三角形相似㊁全等的判定与性质㊁勾股定理及翻折的２７２０２４年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀运动形式等知识点联系起来．熟练掌握相关性质及三角形全等的判定定理,利用翻折及中点性质,根据三角形全等的性质求出相应线段的长是解题的重要方法．２动线 类问题动线类问题的特点很明显,动线在运动过程中可能会出现多种情况,尽管情况不同,但解题的思路是一致的,那就是 以静制动 ,通过特殊的静止状态去寻找量之间的关系．图３例２㊀(２０２２年江苏省盐城市中考第１４题)如图３,在矩形A B C D 中,A B ＝２B C ＝２,将线段A B 绕点A 按逆时针方向旋转,使得点B 落在边C D 上的点B ᶄ处,线段A B 扫过的面积为．解析:由A B ＝２B C ＝２,得B C ＝１,所以A D ＝B C ＝１．因为将线段A B 绕点A 按逆时针方向旋转,所以A B ᶄ＝A B ＝２．因为c o s øD A B ᶄ＝A D A B ᶄ＝１２,所以øD A B ᶄ＝６０ʎ,则øB A B ᶄ＝３０ʎ．故线段A B 扫过的面积为３０ˑπˑ２２３６０＝π３．思路与方法:首先由动线A B 旋转的性质可得A B ᶄ＝A B ＝２,再由锐角三角函数可求出øD A B ᶄ＝６０ʎ,进而求出øB A B ᶄ,最后根据扇形面积公式即可获解．本题考查了旋转的性质㊁矩形的性质㊁扇形的面积公式㊁锐角三角函数等相关知识点．会观察和分析动态图形,灵活运用相关性质是解题的关键．３动图 类问题动图类问题常常结合图形的平移㊁旋转㊁翻折等变换,提出相关问题．解题的思路主要是从寻找图形运动的特殊情况中打开,进而灵活运用相关几何知识(如平行四边形的性质㊁切线的性质㊁圆的有关知识㊁锐角三角函数㊁直角三角形等)解决问题．例３㊀(２０２２年江苏省苏州市中考全真模拟试题第１８题)在әA B C 中,A B ＝B C ＝６,øA B C ＝９０ʎ,点D 在A C 上,且A D ＝２２,E 是射线A B 上一动点,连接E D 并将E D 绕着点E 旋转６０ʎ得线段E F ,当点F 恰好落在直线A C 上时,可求得A E 的长等于．解析:第一种情况．当E D 顺时针旋转６０ʎ得到E F 时,如图４,过点E 作E M ʅA C 于点M．因为图４A B ＝B C ＝６,øA B C ＝９０ʎ,所以әA B C 是等腰直角三角形,于是øA ＝４５ʎ．根据旋转的性质,可得øD E F ＝６０ʎ,E F ＝E D ,所以әD E F 是等边三角形,故øD E M ＝３０ʎ．设DM ＝x ,则D E ＝２x ,AM ＝２２＋x ．因为øA ＝４５ʎ,E M ʅA C ,所以әA E M 是等腰直角三角形,故M E ＝AM ＝２２＋x ．在R tәD E M 中,根据勾股定理,可得x ２＋(２２＋x )２＝(２x )２,解得x ＝２＋６,或x ＝２－６(舍)．所以M E ＝AM ＝２２＋x ＝３２＋６．在әA M E 中,根据勾股定理,可得A E ＝２A M ＝６＋２３．图５第二种情况:当E D 逆时针旋转６０ʎ得到E F 时,如图５,作E M ʅA C 交A C 于点M ．根据第一种情况,同理可设DM ＝x ,则有D E ＝２x ,AM ＝２２－x ．在әD E M 中,由勾股定理可得M E ＝３x ,所以３x ＝２２－x ,解得x ＝６－２．故M E ＝A M ＝３２－６．在әAM E 中,根据勾股定理,可得A E ＝２AM ＝６－２３．综合上述两种情况,A E 的长为６ʃ２３．思路与方法:首先要考虑到图形顺㊁逆两种旋转情况,根据旋转的性质可知әD E F 是等边三角形,过点E 作E M ʅA C ,又可证得әA E M 是等腰直角三角形,再设DM ＝x ,利用勾股定理便可求出x 的值,最后利用勾股定理即可求出A E 的长度．本题考查了图形旋转的性质㊁等边三角形的判定与性质㊁勾股定理等知识点．能够根据题意,按照E D 顺时针旋转与逆时针旋转两种情况,分别画出动态图形进行分类解析是解题的关键．综上所述,解决动态几何问题的基本思路是:把握运动规律,寻求运动中的特殊位置,在 动 中求 静 ,在 静 中探求 动 的普遍规律．在具体解题过程中,要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,找出其中的等量关系和变量关系,并要特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系．在解答动态几何类题型时,经常要用到数形结合思想㊁分类思想㊁转化思想和方程思想等重要的思想方法．Z３７。
“静”是太极拳的本源
极 韵 味 。 此 时 ，要 求 心 静 、 用 意 。 在 动 之 中 求 形 的
静 ， 求 意 的 境 ；在 静 之 中 求 形 的 变 化 ， 求 意 的 引
导 。演 练 中 以慢 为主 ，以静 寓 本 ，以松 柔 为基 础 ， 以 静 欲 动 ，达 形 的 安 舒 与 松 正 ，达 转 换 承 接 之 轻 灵
的 中 间环 节 。 太 极 推 手 特 别 强 调 “ 动 中 求 静 ， 以 静
制 动 ， 以 柔 克 刚 ，借 力 打 力 ” 的 原 则 。 所 以 只 有 思
想 安 静 、精 神 集 中 ， 才能 气 沉 丹 田 ，身体 松 柔 轻
灵 、反 应 灵敏 ，才 能知 道 对 方 的 动 静 虚 实 。 不 乱 动 、 不 妄 动 ， 以静 制 动 ，动 以相 随 ，随 以 先 至 ， 至 以 克敌 。在 太 极 推 手 中只 有 全 神 贯注 ，轻 灵 绵柔 ，
“ 静 ” 始 终 贯 穿 着 太 极 层 次 提 升 的 每 一 个 阶 段 ， 随
着 功 夫 层 次 的 上 升 ，修 炼 者 对 “ 静 ” 的 重 要 性 的 认 知 与体 会 也 不 同 。 能 静 才 能 松 、 能 松 才 能 柔 、 能 柔
健 身 效 果 。 虽 然 基 本 功 练 习枯 燥 无 味 ， 了无 生 趣 ，但 俗语 云 ： “ 基 数 不 牢 ，武 艺 不 高 。 ”此时应静 下心来 ，
在 太 极 推 手 中 要 牢 记 ：推 手 也 称 打 手 或 揉 手 ， 它 既 是 太 极 拳 技 击 的 一 种 练 习 方 法 ， 同 时 也 是 检 验
套 路 练 习 的 试 金 石 ， 是 提 高 太 极 散 手 实 战 必 不 可 少
李谨伯老先生的道家秘传
阳生炁发的根源。通过坐功入静增长元炁，亏损的元炁得到补充。静极而动，脑中的先天炁走大脑、小脑、延髓、脊髓，到大推下第七脊骨节夹脊关；夹脊往内通心，心正中有一门，道家称之为戊门，气到门开，直达外阳。外阳得到真气，立刻勃然兴起。这时如果不管不问，也可自消自灭，但是，通过静功得来的养生至宝，就会付之东流。这即是只知修性，不知修命。凡讲性命双修者，无不百倍地珍惜它。故吕洞宾祖师对此写过这样一首诗：“一阳炁发用功夫，日月精华照玉壶，到此关头休妄动，恐防堕落洞庭湖。”性命双修的修性，实际命在其中。当静极而动一阳炁发即是命功。心动收心是修性，炁动收炁、精动收精是修命。
筑基炼己全赖此，静极而动一阳现。
功法详解
收心求静，是道家的修身养性、打坐参禅，也是性命双修基本功。入坐前，先将衣服上的钮扣解开，宽衣解带，全身内外放松，心里预先要有一种愉快感，用舒畅愉快、乐在其中的情绪来帮助入静。
取坐势，在床上、沙发上、椅凳上皆可。身上披的衣服应根据自己的身体以及气候变化增减，慎勿着凉感冒。
三花聚顶秋月圆：三花即精花、炁花、神花。只有精炁神修足，才有三花聚顶秋月圆的现象。秋月即玄关。玄关与祖窍同样都是过去道家三口不说、六耳不传之秘。玄关与祖窍往往连在一起，实际玄关是玄关，祖窍是祖窍。可以说：祖窍是玄关出人的门户。玄关不在身上，祖窍不在身外。玄关者乃玄妙之机关也，不在身上，离身难寻。《节要篇》云：“一窍玄关要路头，非心非肾最深幽。膀胱谷道空劳力，脾肾泥丸实可羞。神气根基常恍惚，虚无窟穴细搜求。原来只是灵明处，养就还丹跨鹤游。”又道：玄关不在心肾，不在口鼻，不在肝肺，不在肚轮，不在尾闾，不在谷道，不在两肾中间一穴，不在腰间脐后，不在明堂泥丸，不在关元气海，不在脐下一寸三分。又道：“道发三千六百门，门门各执一苗根，惟有些子玄关窍，不在三千六百门”。又说，此玄关一窍乃人生死之穴，无极之根，太极之母，是父母未生前先天真一之炁。过去把玄关说得神乎其神，玄之又玄，好像谁能知道玄关所在之处，就能立地升仙似的。玄关到底是何物，又在何处呢？根据余祖师千峰老人及父亲继承道教龙门派传统的说法，通过收心求静，静极而动，炁发则收炁，精动则下手炼精化炁，补脑养神，精炁神足，坐静时，眼前出现一圆光，这即是玄关，又叫慧光、神光、灵光。历代修持者都把玄关看成超凡入圣的阶梯，故不轻易传人。虽然从经书上偶有透露，也只是一些不易看懂的隐语，况且其说不同，使人无所适从。
高中物理：动态平衡问题的几种解法
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。
这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。
解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。
下面就介绍几种动态平衡问题的解题方法。
方法一：三角形法则。
原理：当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。
例1. 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。
今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？图1解析：取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。
因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形。
挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形。
由图可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。
图2说明：三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可以是其它力），另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程进行定性的分析。
方法二：解析法。
原理：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变量的变化确定应变量的变化。
例2. 如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（）图3A. 绳子的拉力F不断增大B. 绳子的拉力F不变C. 船所受的浮力不断减小D. 船所受的浮力不断增大解析：小船共受四个力作用：重力G、浮力、水的阻力、绳子拉力F。
动中求静,静中求解——初中数学动点问题探究
162动中求静，静中求解——初中数学动点问题探究★ 宋璐欣动点问题是初中数学的重要内容，动点问题的解决涉及的数学知识繁多，对于中学生而言具备一定难度。
本文就此展开了具体论述，从数学思想方法运用的角度为动点问题的解决提出了一些建议，以期改善学生数学学习效率。
近年来，初中数学动点问题成为中考热点，也同样是教师的教学难点之一。
动点问题不仅包含了“点”的知识，更需要涉猎“线”和“面”的知识点，往更深处研究，实际上就是在谈几何的问题。
长远来看，掌握动点问题的解决不仅是学生的重要学习任务，更是数学教师必须要解决的问题。
一、当前初中数学教学中动点问题解决所面临的困境（一）学生对数学概念认知模糊就教学实践来看，多数学生在遇到动点问题时，最大的问题出在审题不清上。
相比于一般的数学问题而言，动点问题中包含的数学概念既有常量又有变量，且它们之间的关系通常是隐性的，需要学生深入发掘。
部分学生在读题时不仅难以完整把握题目所给出的变量和常量，更不能发现其中隐含的数学关系，导致解题无能。
（二）缺乏空间思维的培养动点问题所描绘的数学情境是抽象的、不断变化的，思考和解题时都需要学生展开丰富的联想，但有的学生空间想象力有限，对于动点问题中的运动情境难以达到透彻的理解。
数学教师在平常的教学工作中也缺乏对学生空间思维的培养，学生学习状态趋于被动，更依赖于教师的帮助，而不愿意主动思考和探究，思维闭塞，这也是制约学生解答动点问题的主要原因之一。
（三）缺乏快速有效的解题思路不管面临任何类型的数学题目，学生首要找到解题思路，才能逐步找到解题出口，快速有效的答题。
就学生难以解答动点问题的根源看来，是他们对不同类型的数学题目及其解题方向没有真正地把握，所以在解题时没有方向，这也反映出学生的数学知识基础还不够扎实，数学素养有待提升。
二、解决动点问题的策略探究整合上述学生在解决动点问题时所面临的困境及原因后，初中数学教师就要对自身教学工作作出相应的调整，指导学生从以下方面探究解决对策：（一）以静制动，理清数量关系动点问题的关键虽然在于“动”，但学生也要避免思维上的局限，将视野完全集中于“动”的研究之上，这样就容易让学生无法感知一些静态的数学数量。
中考压轴题十大类型之动点问题
念书破万卷下笔如有神第一讲中考压轴题十大种类之动点问题一、解题策略和解法精讲解决动点问题的要点是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解题过程中浸透空间见解和合情推理。
在动点的运动过程中察看图形的变化情况，理解图形在不同样地址的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”研究题的基本思路 ,这也是动向几何数学问题中最中心的数学本质。
二、精讲精练1.（2011 吉林）如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC，∠ BAD=90°， CE⊥ AD 于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时辰开始，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，运动速度均为 1cm/s，动点 P 沿 A-B-C-E 方向运动，到点 E 停止；动点 Q 沿 B-C-E- D 方向运动，到点 D 停止，设运动时间为x s，△ PAQ 2的面积为 y cm ，（这里规定：线段是面积为0 的三角形）解答以下问题：（1）当x=2s 时， y=_____ cm2；当x =9 s 时， y=_______ cm2．2（2）当5 ≤x ≤14时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出y4S 梯形ABCD时x 的值．15（4）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所．．有 x 的值．2.（2007 河北）如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点 P 从点 B 出发沿折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动；点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 向上作射线 QK⊥BC，交折线段 CD-DA-AB 于点 E．点 P、Q 同时开始运动，当点 P 与点 C 重合时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（ t＞0）．（1）当点 P 抵达终点 C 时，求 t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点 P 运动到 AD 上时， t 为何值能使 PQ∥DC ？（3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S，分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时， S 与 t 的关系式；（4）△PQE 可否成为直角三角形？若能，写出 t 的取值范围；若不能够，请说明原因．A DK A DP EBQ CBC备用图3.（2008 河北）如图，在Rt△ABC中，∠ C=90°， AB=50，AC=30，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点．点 P 从点D出发沿折线 DE-EF-FC-CD 以每秒7 个单位长的速度匀速运动；点Q从点 B 出发沿BA方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作射线 QK AB ，交折线BC-CA于点 G ．点 P，Q 同时出发，当点 P 绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P， Q 运动的时间是t秒（ t 0 ）．（1）D，F两点间的距离是；（2）射线QK可否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能够，说明原因；（3）当点 P 运动到折线EF FC 上，且点P又恰巧落在射线 QK 上时，求t的值；（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出 t 的值．．．C K CD F D FP GA EQB A E B备用图4（.2011 山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形．直线 l 经过O、C两点．点A的坐标为( 8，0)，点B的坐标为( 11，4)，动点P在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A出发以每秒 2 个单位的速度沿A→ B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O- C- B 订交于点 M．当 P、 Q 两点中有一点抵达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 ( t 0 ) ，△ MPQ 的面积为 S．（1）点 C 的坐标为 ________，直线l的剖析式为 __________．（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围．（3）试求题 ( 2) 中当 t 为何值时， S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 订交于点N．试试究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出 t 的值．ylC BM Qyl C QBMOP AxylC M Q BO P A x5.（ 2011四川重庆）如图，矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝2 3，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP＝ 3．一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿OA 匀速运动，抵达A 点后，立刻以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动．在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边△EFG，使△EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧，设运动的时间为 t 秒（t≥0）．（1）当等边△EFG 的边 FG 恰巧经过点 C 时，求运动时间 t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边△ EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S与 t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，可否存在这样的 t，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明原因．D C D CEO B F P A E O B F P备用图 1D CAE O BF P备用图 2三、测试提高1． （2011 山东烟台）如图，在直角坐标系中， 梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上， 底边 CD 的端点 D 在 y 轴上．直线 CB 的表达式为 y4 x16，点 A 、D3 3的坐标分别为（－ 4，0），（0，4）．动点 P 自 A 点出发，在 AB 上匀速运动．动点 Q 自点 B 出发，在折线 BCD 上匀速运动，速度均为每秒 1 个单位．当其中一个动点抵达终点时， 它们同时停止运动． 设点 P 运动 t （秒）时，△OPQ 的面积为 S （不能够组成△ OPQ 的动点除外）． （1）求出点 B 、C 的坐标； （2）求 S 随 t 变化的函数关系式；（3）当 t 为何值时 S 有最大值？并求出最大值．备用图。
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动 态几何 问题 ， 常以几何知识和 几何 图形为背景 ． 综合 函 分界点 ， 觅得运动 中的静 ， 再分运 动过程 为几 个阶段 ． 以估计全 数、 方程 、 分类讨论 、 数形结合等思想 ， 解题 时需用运动、 变化 的 程变化。如 小题 （ ４ ） 中所求的特定情况在 变化过程 中不止 一次
课程教育研 究
Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
２ ０ １ ６年 １ ０月 中旬刊
教学 ・ 信息
动 中求静
静 中求动
陈 贝贝
（ 温岭 市实验学校 浙江 温岭 ３ １ ７ ５ ０ ０ ）
【 摘要】 动态几何题是指随着图形某一元素的运动变化， 导致问题的结论或变或不变的几何题， 注重在图形的形状或位置变
问题 两 类 ，
面的铺 垫（ 如题 中的（ １ ） 为（ ２ ） 、 （ ４ ） 的铺垫） ， 或前后方 法通用等 ， 若应用到位 必能事半功倍。 其次 ． 重视基本 图形的研究。 再复杂 的综合题都可分解为一 系列的基础题 ． 从复杂的背景 图中分解 出一 系列的基本 图形 ， 将 问题 易化 。如动 态几何 问题常可化为 三 角形相似、 解直角三角形或等腰三角形等基本 问题 。 最后 ． 重 视数学思想的渗透。分类讨论、 数形结合 、 转化 、 方程函数 等思 想贯 穿初 中数学， 蕴含于各类题型 ， 其作 用不容 小觑 ， 因此重视
（ ４ ） 是否存在 ０Ｐ与线段 Ｑｃ只有一个交点 ， 若存在 ， 写出 ｔ 的 范围： 若不存在 ， 说 明理 由。 这是 一道典型的动 圆问题 ． 由点动 带动线动形动 ． 集常 见 的点动 、 线动、 形动 于一体 ， 虽综合性 强， 但难度不大 ， 而学生往 往 看题就懵 ， 或有 解决部分后便无从下 手 。 或有 解题 过程不 完 整 通过 分析 ， 我们可将各 小题 归纳 为存在性 问题和 函数 关系
眼光去观察研 究问题 ， 关 注 蕴 含 的 不 变量 、 不 变 关 系或 特 殊 关 出现 ， 先 明确 两 个 分 界 位 置— — 点 Ｑ 与 点 Ｄ 重 合 （ ｔ ＝ ４ ０ ／ １ ３ ） ． 系， 动 中求静 ， 静 中求动。它分为点动、 线动 、 形动三类， 变化 中 ｃ Ｑ 与０Ｐ相切（ ｔ ＝ １ ６ ／ ７ ） ， 实现 动中取静 ， 分段考虑。 本小题研 究 展示 了数 学的 完美创造过程。因而成为 中考数 学的热点题 型 ． 与线段 Ｑｃ的位置关 系，只要 保证点 ｑ在运动过程 中在 圆外 而学生往往一动辄晕 ． 见题 生畏 。下面笔者以学生惧怕的 中考 或 圆内即可 ， 通过 画 图发现 ， 存在 ０Ｐ与线段 Ｑｃ只有一个 交 动 圆问题为例 ． 浅谈如何 应对 中考动 态几何题 ． 帮助 学生翻越 点 的过 程 。 且ｔ 的取 值 范 围为 （ ） ＜ ｔ ≤１ ６ ／ ７或 ４ ０ ／ １ ３ ＜ ｔ ≤５ 这 座 大 山 ２ ． 数 形结合 ， 点动化为线长。求运动过程 中存在 的特 定情 （ ２ ｏ ｌ ６ ・ 攀枝 花 改 编 ） 如 况时，我们 常常利用解直角三 角形或相似等几何 知识列方程 ． 图， ｏ 为 坐 标 原 点 ， 点 Ａ、 Ｂ 因此还 需将 点 的 运 动 转化 为 线段 长度 ， 即 点 运 动 的 路 程 如 题 的 坐标 分 别 为（ ８ ， ０ ） ， （ （ ） ， ６ ） 。动 中点 ห้องสมุดไป่ตู้、 点 Ｑ 的运动直接化为线段 Ａ Ｐ ＝ ｔ ， ＯＱ： ｔ ， 再运 用“ 静” 的 点 Ｑ、 Ｐ分 别 从 点 Ｏ、 Ａ 同 时 几何计算 实现用含 ｔ 的式子表示相关线段 出发 ，分 别 沿着 Ｏ Ａ、 Ａ Ｂ方 函 数 关 系问题 ， 即动 点 形 成 的 函数 问题 。 如 小题 （ ２ ） ， 关键 求 向 均 以 １个 单位 长 度／ 秒 的 出函数解析式。 解决这类 问题 同样 需要 ： 数形结合 ， 点动化为线 速 度 匀速 运 动 ． 运动 时间为 ｔ 长， 动 中取 静 。 分段讨论 ， 最 终 由特 殊 到 一 般 ． 估 计 全 过 程 的 变 （ 秒） （ ０ ＜ ｔ ≤５ ） 。以 Ｐ为 圆心 ， 化。小题（ ２ ） 中双动点 ｃ、 Ｑ 在移动过程 中带动 第三个顶点 Ｄ Ｐ Ａ 长 为 半 径 的 ０Ｐ与 Ａ Ｂ、 运 动， 我们仍需动 中觅静 ， 分析得一 临界状 态——点 Ｑ 和点 Ｄ ｏＡ 的 另一 个 交点 分 别为 Ｃ、 相遇 （ ｔ ＝ ４ Ｏ ／ １ ３ ） ， 此 时三角形缩减为一条线段 。由此 ， 该题 可分为 Ｄ， 连接 Ｃ Ｄ、 ＱＣ。 相遇前 （ 点 Ｏ 在点 Ｄ 左侧 ） ， 相遇后 （ 点 Ｑ在点 Ｄ 右侧 ） 两个阶 （ １ ） 求当 ｔ 为何值时 ． 点 Ｑ 与点 Ｄ重合？ 段， 再分 别抓取运动 中的某一瞬间， 画图形成两种不同的情况 。 （ ２ ） 设 ＡＱＣＤ 的 面 积 为 ｓ 。 求 ｓ的 最 大值 ； 笔者认 为， 教 师在平时的数学教 学中应注意 ： 首先。 重视学 （ ３ ） 若去掉题 中的“ （ ） ＜ ｔ ≤５ ” ， 当 Ｑ 为 圆心、 半径 为 ２的０Ｑ 生 审题 能力的培养 。如运动过 程比较复 杂， 教会学生借助画 图 经过点 Ａ 时， 求０Ｐ被 ｙ轴截得的弦长； 理解题意 ， 另外 ， 中考压轴题常常前后 小题相 关联 ， 或前面是后
化 中寻求函数 、 方程、 几何之 间的联 系， 追求动静结合 ， 有较 强的综合性 ， 对学生获取信息和处理信 息的能 力要 求较 高。
【 关键词】 动态几何 中考 动静 【 中图分类号】 Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 【 文献标识码】 Ａ
【 文章编号 】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ６ ） １ ０ － ０ １ ２ １ － ０ １