初中中考数学复习专题：面积最值问题归类解析

初中中考数学复习专题：面积最值问题归类解析面积最值（动点）模型一例1：正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积； 分析：（1）定方向：梯形（规则图形）面积问题；（2）定目标：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN （待求条件）（3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，加之前一个问题证明了相似。

所以本题是利用相似三角形对应边的比建立方程来表示CN 的长。

（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。

解：（1）三直角结构；（略）（2）Rt Rt ABM MCN △∽△， 44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形（0<x<4） 当2x =时，y 取最大值，最大值为10．练习：如图：等腰梯形ABCD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，MN∥AB ，ME⊥AB ，NF⊥AB 。

求当AE 等于多少时，四边形MEFN 面积的最大值．1．定方向：面积最值问题的分析思路不规则图形面积分解为规则图形再表示2．定目标：确定待求条件3．定解法：解决待求条件题目中有角度或者三角函数值。

（解直角三角形）题目中只有长度。

（相似）4．定最值：根据函数解析式和范围求最值。

规则图形面积直接利用面积公式答案 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形． 当x ＝47时，面积的最大值为649．模型二例2：如图，Rt ABC △，906024BAC C BC ∠=∠==°，°，，点P 是BC 边上的动点（点P 与点B C 、不重合），过动点P 作PD BA ∥交AC 于点D ．试问：当PC 等于多少时，APD △的面积最大？最大面积是多少？ 分析：（1）定方向：直角三角形（规则图形）面积问题；（2）定目标：△ADP 的底PD ，高AD 都不知道（待求条件）（3）定解法：本题有明显的角度或三角函数值。

所以本题是利用解直角三角形求PD 和AD 的长。

（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。

解： 设PC x =，∵PD BA ∥，90BAC ∠=°，∴90PDC ∠=°，又∵60C ∠=°，∴24cos6012AC ==°，1cos602CD x x ==°， ∴1122AD x =-，而3sin 60PD x x ==°， ∴1131122222APD S PD AD x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭△ （0<x<24） 2233(24)12)18388x x x =--=--+． ∴PC 等于12时，APD △的面积最大，最大面积是183练习：2．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），设△BPQ 的面积为S （cm 2），当t 等于多少时， S 最大？答案：2113(6)333222BPQ S BP QE t t t t ∴=⨯⨯=-=-+△． （30≤≤t ）；当t=3,329=∆BPQ SEF面积最值（坐标系）模型三例1：如图：已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标． 分析：（1）定方向：不规则图形四边形的面积问题，先分解为△BEF 和梯形CEFO ；（分解方法不唯一） （2）定目标：需要利用E 点坐标表示BF,EF,OF 的长以及求出OC 的长（待求条件）（3）定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限。

（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。

解: (1) 322+=x －－x y (2)解法1：过点E 作EF ⊥x 轴于点F , 设E )32,(2+--a a a ∴EF =322+--a a ，BF =a ＋3，OF =－a∴S 四边形BOCE =EFOC BEF S S 四边形+∆=21BF ·EF + 21(OC +EF )·OF =21( a ＋3 )·(－2a －2a ＋3) + 21(－2a －2a ＋6)·（－a ） =2929232+--a a (－3< a < 0 )∴ 当a =－23时，S 四边形BOCE 最大, 最大值为 863．此时，点E 坐标为 (－23，415)解法2：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ， 设E ( a , b )则S 四边形BOCE = 21(3 + b )·(－a ) + 21(3 + a )·b= 23( b －a )= 23(332+--a a )= －232)23(+a + 863 ( －3< a < 0 )∴ 当a =－23时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 863．此时，点E 坐标为 (－23，415)点睛：（1）本质：求E 点坐标本质就是求EF 和OF 的长。

（2）设法：两种设点E 的方法本质是相同的，都是用横坐标表示纵坐标。

只是表示的时机不同而已。

（3）易错：长度和坐标之间的转化要考虑象限； 练习1：如图，抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由； 答案：S=875)23(232+--m ． ∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875．模型四例2：如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点。

（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 分析：（1）定方向：斜△PBC （不规则图形）面积问题，分解四边形PCOB 减去△BOC ； （2）定目标：利用P 点坐标表示BE,PE,OE ，及求OC 的长（待求条件）（3）定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限。

（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。

解：(1) 223y x x =--+ （2）答：存在。

解法1：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 11()22BE PE OE PE OC =⋅++29- =2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++29- ＝827)23(232++-x当32x =-，BPC S ∆最大＝827∴点P 坐标为315( )24-，解法2：OB PF S BPC ⋅=∆21解法3：过P 作PF ∥X 轴，过B 作BG ∥Y 轴.PFC BGP BCO FGBO BPC S S S S S ∆∆∆∆---=矩形点睛：（1）本质：三法都是将不规则图形转化为规则图形。

法1和法2体现面积的“割”；而法3是面积的“补”。

（2）技巧：法二的分割方法为铅垂高分割法；简洁方便，值得记忆。

练习2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标． 答案：（1）215222y x x =-+-． （2）22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△模型五例1：如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 分析：（1）定方向：先画出分类图,得到三角形和梯形两种情况，都是规则图形面积问题； （2）定目标：三角形缺表示高A ’D ，梯形缺上底EF 和梯形的高DG ；（3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，所以本题是利用相似比表示A ’D ，EF ，DG 的长。

（4）定最值：分解求最值，在比较大小确定最终结果。

1．解：（1）MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34x h ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤）②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，法1：高D A 1=h=x 43；DG=AG-AD=6-x 43, 11EF MNA EF A MN∴∥△∽△则D A G A MN EF11=;82-=x EF)436)(82(212)(x x x DG MN EF y -+-=+==2412892++-x x所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大当163x =时，y 最大，8y =最大 法2：设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴∥△∽△2)43623(11x x S S MNA EF A -=△△24122383)43623(2221+-=⋅-=x x x x x S EFA △1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 当163x =时，y 最大，8y =最大 点睛：（1）法2有一定的高度，能从面积整体向面积整体转化，属于高级数学思维，值得学习。