高考试题的探究(一)安徽高考数学试题的压轴题的解答与反思-数学通讯

安徽高考数学试题的压轴题的解答与反思
2014年安徽省理科试题第21题的确让考生和教师费尽思考，第（I ）问为大家所熟悉的待证式即为伯努利不等式的特例，运用导数可简单证明，而（II ）的论证则要困难得多，绝大部分考生都会觉得束手无策！面对高考的参考答案大都感到“想不到”或“突兀”，自然“不知从何入手”．
本文结合本校理科高考学生的答题情况，对今后的高三复习教学提出一些思考，仅供同仁参考.
1.考题
设实数0c >，整数1p n N *>∈，.
（Ⅰ）证明；当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+；
（Ⅱ）数列{}n a 满足11111p p
n n n
p c a c a a a p p
-+->=+，.证明：1
1p n n a a c +>>. 2.审题
本题第（Ⅰ）问的待证式即为伯努利不等式的特例，其求解思路可以构造函数，进行常规处理；如果注意到“整数1p >”，即整数2p ≥，自然应该想到数学归纳法的灵活应用，只不过是条件给出的多变；如果注意到待证式左右两侧的结构特征，或许会联想到二项式定理的灵活应用.
第（Ⅱ）问是复杂的一阶递推数列的单调性与有界性的证明问题，有较大的难度与区分度，在考查基础知识、基本技能的同时考查分析问题、解决问题的能力，有利于高校选拔人才.
3.第（Ⅱ）问的处理思路
3.1 数列的单调性的研究的通法是比较法，其次是构造函数法
本问要证1n n a a +>，即数列{}n a 单调递减，只需证明
111,n p
n n a p c
a p pa +-=+< 即1p
n c pa p
<，只需证1
.p p n n a c a c >⇔>自然先证1
.p
n a c > 3.2数列不等式的证明的通法是归纳法 当1n =时，11p
a c
>成立；假设当n k =时，1p
k a c
>成立，则当1n k =+时，
111,p
k k k p c a a a p p
-+-=
+ 要证明1
111,p
p k k k
p c a a a c p p
-+-=+>
势必要证1
11,p p
k k p c a a c p p --+>即11,p
k k ca p a p p -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭
3.3 分步设问，层层递进，上问结果，用于下问
111
11,p p p
k k k ca ca ca p p p p p p
-----+=+-=+ 由第（Ⅰ）问可知：()1
(1)1,p
x px +>+
则：11
1111,p p p
p
k k
k k ca ca a a p c p p --⎛⎫⎛⎫--+>+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
4.根据思路 规范书写
4.1 数学归纳 绝招应用 先证1p
n a c
>.
当1n =时，11p
a c
>成立；
假设当n k =时，1p
k a c >成立，此时1
1p k ca p
-->-，
则当1n k =+时，
1111()p
p k
k k k k ca p c p a a a a p p p p
--+--=+=+
11
11(1)(1)p p p
p k k k k ca ca a a p c p p
----=+>+⋅=（利用Ⅰ式），
所以由归纳法原理可知1
p
n a c >；
再证1n n a a +>． 因为
1
1111p n n n a p c p c a c a p p p p
--+--=+<+=，所以1n n a a +>成立； 综上1
1.p
n n a a c +>> 4.2 构造函数 灵活处理
令()1
11,p p p c g x x x x c p p
--=+≥，
则,p
x c ≥ 且()()11110,p p p c p c g x p x p p p x ---⎛⎫
'=
+-=-> ⎪⎝⎭
所以()g x 在1,p c ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上单调递增，因而，当1
p x c ≥时，()11.p
p g x g c c ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭
①当1n =时，1110,,p p
a c a c >>>则
1211111
1111,p
p p c c a a a a a p p p a -⎡⎤⎛⎫-=+=+-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
且()121,p
a g a c =>故112p
a a c >>成立；
②假设当()1n k k =≥时，不等式11p
k k a a c +>>成立；
则当1n k =+时，()()11,p k k g a g a g c +⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭
即1
12.p k k a a c ++>>
所以1n k =+时，原不等式也成立．
综合①②可得，对于一切自然数，不等式1
1p
n n a a c +>>均成立.
5.反思
此题旨在考察学生的创造性、综合性和灵活性.此题的得分率很低，完全正确解答此题的考生非常少，是一道选拔性极强的试题.
今年的高三老师和考生都普遍感到：高三的数列复习不到位，特别与此压轴题相差甚远.此题综合了数列、函数和不等式等知识，学生必须对函数的单调性和数列单调性的联系和区别要特别清楚,对学生思维的灵活性和观察问题的能力要求高,对今后的高三复习教学有何指导意义呢？
5.1 夯实基础 理解概念的数学本质 理解概念的数学本质，不是机械地、僵化地理解，而是理解概念的强大的生命力，譬如：数学归纳法是研究关于自然数“n ”的有关命题，其中“n ”只是自然数的表述的一种形式，当然也可以自然数“p ”，“t ”，……； 二项式定理中“n ”，当然也可以自然数“p ”，“t ”，……；
夯实基础，理解概念的数学本质是我们高三第一轮复习的重中之重，不能有丝毫的懈怠. 高考题的百分之七十左右是中低档题；综合性的问题都能分解为基础题，最终是概念的理解；只有概念理解了概念的数学本质，解题的基础打牢了，随着能力的提升，综合性试题就能循序渐进地去解决.
5.2淡化技巧 强化解题的通性通法
技巧只是雕虫小技，通法才是阳光大道.我们的高三复习应该强调通性和通法，不能介绍太多的技巧.可以说，高三的解题教学中，客观题的解题训练中，在常规方法的基础上，可以强化利用一些特殊的方法：特殊值法、排除法等.解答题的解题教学务必以常规的通性通法为主.
在教学中经常会出现如下情况：解析几何的问题，用代数方法解决问题是通法，但我在督导中有的老师常用平面几何的方法玩技巧，快速解决，而不讲代数的方法.这就有悖于学生解析几何的本质.
本题是复杂的一阶递推数列的单调性与有界性的证明问题，数列的单调性的研究的通法
是比较法与构造函数法.如果运用比较法，只需证明
1
1n n
a a +<或10n n a a +-<；如果运用构造函数法，因为111,p n n n
p c a a a p p -+-=
+势必要研究()11p
p c g x x x p p
--=+的单调性； 函数与数列的综合性试题的一个特点是：分步设问，层层递进，上问结果，用于下问.
因此，运用数学归纳法证明的第二个环节的一“凑”归纳假设，二“凑”结论时要想方设法地应用第（Ⅰ）问的伯努利不等式的特例．
5.3 分层教学 摈弃机械的题海战术
学生的认知的基础和能力有差异，我们只能因材施教；一刀切的难题教学只会挫伤中、差学生的积极性，他们会感到学习是件非常痛苦的事.我们的高三复习教学中要分层教学，对不同层次的学生提出不同的要求.我们应该让不同认知结构和能力的学生得到不同的思维锻炼，给他们提出切合实际的要求.当然，具有高思维的学生，应该有高要求，也不能因为其它学生而降低他们的学习需求，给优等生的高要求也是分层教学的目的之一.
数学教学的本质是发展学生的智慧，而不是为了做题.我们的老师为了取得高考的好成绩，每种题型反反复复的练习，学生成为了解题的机器，学生的思维机械、僵化，并且是具有条件反射功能的机器.一旦如此，“见了试卷，首先把脑子抠出来，朝裤腰带上一别：我要做题了！”造成平时做成题、成卷时，成绩优异，真正高考时，却成绩平平．
5.4高屋建瓴 延伸适度的数学背景 因为高考试题的命制有两个有利于，第一个就是有利于高校选拔人才，而高考的命题专家大多是高校教授.作为大学的教师当然希望考生具有一定的高等数学的启蒙.从全国大部分高考试题中发现，许多考题具有一定的高等数学背景.当然，此类题的解答原则上是不需要高等数学的知识的.如果考生具有高等数学的简单知识，高观点下的初等解法就简单.
在学生能够接受的前提下，高三的复习可以适度的延伸.也符合“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.延伸的关键是适度，一定要按照学生的接受能力作介绍和补充.。