2021-2022学年北京四中高一(上)适应性数学试卷(10月份)
北京四中高一数学上学期期中考试试卷
北京四中高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x 5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。
北京四中新高一分班考试数学试卷及答案
4
18．（本小题满分 7 分）
先阅读再解答：
若二次函数 f (x) 1 x2 5x 3 ，
2
2
则 f (2) 1 (2)2 5 (2) 3 9 1 ， f (3) 1 32 5 3 3 18 ，
2
22
2
2
已知：二次函数
f
(x)
数学试卷(1)
（试卷满分 120 分，考试时间 90 分钟）
姓名
班级
成绩____________
一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）
1．已知 x、y 满足 x2 y 2 5 2x y ，则代数式 xy 的值为（
）
4
x y
2
A．
3
3B．21C．3D．无法确定
2．若 2x 32 ，我们记 x log2 32 5 ，那么以下说法错误的是（ ）
8
参考答案：
CDCC BC
x3
5
11
7
7. x=0 或 4；
8.
；
9. 2 3 ；
10. ；
11. ；
12.
x
3
16
18
3 67
； 2 2 1；
5
13. 90；
5 11 4
5
14. 8； , ； m .
62 3
3
三、解答
1 15. （1） 5 x 2 ； （2） x 或 x>1.
3 16. 15(x y)(2x 3y)(3x 2 y) .
17. （舍掉 x=2），x=22.
18. a=-1，-2.
19. MSR NTR . 1
20. a , N (2 3 1,1) 3
2022-2023学年北京四中高一(上)月考数学试卷(10月份)(含答案解析)
2022-2023学年北京四中高一（上）月考数学试卷（10月份）1. 全集U ={0,1,2,3}，若∁U A ={2}，则集合A 是( ) A. {2} B. {0,1}C. {0,1,2}D. {0,1,3}2. 下列命题中的真命题是( )A. 2≤3B. 集合N 中最小的数是1C. x 2+1=2x 的解集可表示为{1,1}D. x 2+|y|=0 3. 已知集合A ={−1,0,1}，集合B ={x ∈Z|x 2−2x ≤0}，那么A ∪B 等于( ) A. {−1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}4. 命题“∃x ∈R ，使得x 2+2x <0”的否定是( ) A. ∃x ∈R ，使得x 2+2x ≥0 B. ∀x ∈R ，使得x 2+2x ≥0 C. ∃x ∈R ，使得x 2+2x >0 D. ∀x ∈R ，使得x 2+2x <05. 下列四个集合中，是空集的是( ) A. {x|x +3=3} B. {(x,y)|y 2=−x 2,x,y ∈R} C. {x|x 2≤0} D. {x|x 2−x +1=0,x ∈R}6. 设a ，b 是实数，则“a +b >0”是“ab >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知集合M ={(x,y)|x +y =0}，N ={(x,y)|x 2+y 2=2,x ∈R,y ∈R}，那么M ∩N =( )A. {(−1,1),(1,−1}B. {(1,1),(−1,−1)}C. {(−2,2),(2,−2)}D. {(−2,−2),(2,2)}8. 不等式1−x x≥2的解集为( )A. (−∞,13)B. (0,13]C. [0,13]D. (−∞,0)∪(13,+∞)9. 对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a+b2<−√ab ； ④若c >a >b >0，则ac−a >bc−b . 则其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知集合A={x|y=√4−x2}，B={x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为( )A. [−3,2]B. (−∞,−3)∪(2,+∞)C. [−2,1]D. (−∞,−3]∪[2,+∞)11. 已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( )A. 13B. 18C. 21D. 2612. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A.B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车数(假设：单位时间内，在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )A. x2>x3>x1B. x1>x3>x2C. x1>x2>x3D. x3>x2>x113. 不等式x2−5x−6<0的解集为______ .14. 已知集合A={1,2}，B={a,a+3}，若A∩B={1}，则满足条件的实数a的集合为______.15. 命题“∀x∈R，ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是______.16. 设a，b∈R，写出一个使a<b和1a <1b同时成立的充分条件，可以是______.17. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A={−1,12,1}，B={x|x2=a}，若集合A与集合B构成“全食”时，a的取值集合为______；若集合A与集合B构成“偏食”，则a的取值集合为______.18. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为(1) .②该小组人数的最小值为(2) .19. 已知全集U=R，A={x|x2−x−6<0}，B={x|x2+2x−8>0}. (Ⅰ)求A∩B；(Ⅰ)若集合C={x|x2−4ax+3a2<0}且A∩B⊆C，求实数a的取值范围．20. 关于x的方程x2−2(m+2)x+m2−1=0，设x1，x2为方程的两根．(Ⅰ)若m=2，求1x1+1x2的值；(Ⅰ)若x1，x2，满足x12+x22=18，试求m的值；(Ⅰ)若x1，x2均大于0，求m的取值范围．21. 已知集合A={a1,a2,a3,a4}中a1<a2<a3<a4，且A∩N∗=A.(Ⅰ)若集合B={y|y=x2,x∈A}，满足A∩B={a1,a4}，a1+a4=10，试求a1，a4的值；(Ⅰ)若集合C={z|z=uv,u∈A,v∈A}，问是否存在一组a1，a2，a3，a4值，使得C= {3,4,9,12,36,51}，若存在试找出，若不存在，试说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵全集U={0,1,2,3}，若∁U A={2}，∴A={0,1,3}，故选：D.利用补集的运算求解即可．本题主要考查了补集的运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：对于A：2≤3为真命题，故A正确；对于B：集合N中最小的数为0，故B错误；对于C：x2+1=2x的解为x=1，故解集可表示为{1}，故C错误；对于D：x2+|y|=0不是命题，故D错误．故选：A.直接利用集合的表示方法，常见的集合，方程的解法，来判断命题真假．本题考查的知识要点：集合的表示方法，常见的集合，方程的解法，命题真假的判断，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．先分别求出集合B，再由并集定义能求出A∪B.【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2−2x≤0}={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2}，又集合A={−1,0,1}，∴A∪B={−1,0,1,2}.故本题选D.4.【答案】B【解析】解：命题“∃x∈R，使得x2+2x<0”的否定是“∀x∈R，使得x2+2x≥0”．故选：B.直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可．本题考查了命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后否定结论．5.【答案】D【解析】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x =0； 对于选项B ，(0,0)是集合中的元素； 对于选项C ，由于x =0成立； 对于选项D ，方程无解． 故选：D.根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了集合的概念，是一道基础题．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基本知识的考查． 利用特例结合充分、必要、充要条件的判断方法，判断正确选项即可． 【解答】解：a ，b 是实数，如果a =−1，b =2，则“a +b >0”，但是“ab >0”不成立． 如果a =−1，b =−2，则”ab >0“，但是”a +b >0“不成立，所以设a ，b 是实数，则“a +b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件． 故选：D.7.【答案】A【解析】解：解{x +y =0x 2+y 2=2得，{x =−1y =1或{x =1y =−1，∴M ∩N ={(−1,1),(1,−1)}.故选：A.可解方程组{x +y =0x 2+y 2=2即可得出M ∩N.本题考查了交集的定义及运算，集合的描述法和列举法的定义，考查了计算能力，属于容易题．8.【答案】B【解析】解：由1−xx ≥2得1−xx −2=1−3x x≥0，可转化为(3x −1)x ≤0且x ≠0，解得0<x≤13.故选：B.利用移项，通分，转化为二次不等式求解即可．本题考查分式不等式的解法，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：①若a>b，当c=0时，ac=bc，故错误，②若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故正确，③若a<b<0，则a+b2−(−√ab)=a+b+2√ab2=−(√−a+√−b)22<0，即a+b2<−√ab，故正确，④ac−a −bc−b=c(a−b)(c−a)(c−b)，因为c>a>b>0，则c(a−b)>0，c−a>0，c−b>0，所以ac−a −bc−b>0，即ac−a>bc−b，故正确，故正确的命题个数为3个，故选：C.利用不等式的性质以及作差比较大小的方法对各个问题逐个化简即可判断求解．本题考查了不等式的性质以及命题的真假，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：A={x|4−x2≥0}={x|−2≤x≤2}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=⌀，∴a>2或a+1<−2，∴a<−3或a>2，∴a的取值范围为(−∞,−3)∪(2,+∞).故选：B.可求出A={x|−2≤x≤2}，然后根据A∩B=⌀可得出a的范围．本题考查了一元二次不等式的解法，交集和子集的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设f(x)=x2−6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则{f(2)≤0f(1)>0，即{22−6×2+a ≤012−6×1+a >0， 解得5<a ≤8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8. 则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21. 故选：C.设f(x)=x 2−6x +a ，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x 的一元二次不等式x 2−6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则{f(2)≤0f(1)>0，从而解出所有符合条件的a 的值之和．本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12.【答案】A【解析】解：由图可知：{x 1=x 3−55+50x 2=x 1−20+30x 3=x 2−35+30，即{x 1=x 3−5x 2=x 3+5， 所以x 2>x 3>x 1， 故选：A.先对图表数据进行分析处理得：{x 1=x 3−55+50x 2=x 1−20+30x 3=x 2−35+30，再结合数据进行简单的合情推理得：{x 1=x 3−5x 2=x 3+5，所以x 2>x 3>x 1，得解 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题13.【答案】(−1,6)【解析】解：不等式变形得：(x −6)(x +1)<0， 可化为{x −6>0x +1<0或{x −6<0x +1>0，解得：−1<x <6， 则不等式的解集为(−1,6). 故答案为：(−1,6)不等式左边分解因式后，利用两数相乘积为负，得到两因式异号转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．14.【答案】{−2,1}【解析】解：∵A ∩B ={1}， ∴1∈B ，2∉B ， ∴a =1或a +3=1， ∴a =1或a =−2， ∴实数a 的集合为{−2,1}. 故答案为：{−2,1}.根据条件得出1∈B ，从而得出a =1或a +3=1，然后解出a 的值即可．本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于容易题．15.【答案】0≤a <3【解析】解：若命题“∀x ∈R ，ax 2−2ax +3>0恒成立”是真命题， 则a =0，或{a >0△=4a 2−12a <0，解得：0≤a <3， 故答案为：0≤a <3.若命题“∀x ∈R ，ax 2−2ax +3>0恒成立”是真命题，则a =0，或{a >0△=4a 2−12a <0，解得实数a 的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题，二次函数的图象和性质，难度中档．16.【答案】a =−1，b =1，(不唯一)【解析】解：∵1a<1b， ∴1a −1b =b−aab <0，∴ab <0， ∵a <b ，∴a <0<b ，∴使a <b 和1a <1b 同时成立的充分条件可以是a =−1，b =1， 故答案为：a =−1，b =1，(不唯一).先利用不等式的性质得到a <0<b ，再利用充要条件的定义判定即可．本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】{a|a <0或a =1}{14}【解析】解：根据题中定义，当集合A ={−1,12,1}，B ={x|x 2=a}时，若集合A 与集合B 构成“全食”时，B ⊆A ，则a <0，即B =⌀，符合题意，或a =1，即B ={−1,1}，符合题意，故a 的取值组成的集合为{a|a <0或a =1}； 若集合A 与集合B 构成“偏食”时， 当a =1时，B ={−1,1}，不符合题意， 当a =14时，B ={−12,12}，符合题意， 故a 的取值组成的集合为{14}， 故答案为：{a|a <0或a =1}；{14}.根据题中新定义结合子集与交集的概念可解．本题考查集合的运算，以及对新定义的理解，属于基础题．18.【答案】612【解析】 【分析】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x ，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则{x >yy >z 2z >x ，进而可得答案；【解答】解：①设男学生女学生人数分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x >y y >42×4>x ，即4<y <x <8， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6.②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则{x >yy >z 2z >x ，即z <y <x <2z 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12.19.【答案】解：因为A ={x|x 2−x −6<0}={x|−2<x <3}，B ={x|x 2+2x −8>0}={x|x <−4或x >2}.(Ⅰ)A ∩B ={2<x <3}，(Ⅰ)因为集合C ={x|x 2−4ax +3a 2<0}={x|(x −a)(x −3a)<0}，且A ∩B ⊆C ， 当a =0时，C 为空集，不合题意，当a <0时，C =(3a,a)，则3a ≤2且a ≥3，无解，不合题意， 当a >0时，C =(a,3a)，则a ≤2且3a ≥3，则1≤a ≤2， 则实数a 的取值范围为[1,2]. 【解析】(Ⅰ)根据交集的定义可解． (Ⅰ)根据集合的包含关系可解．本题考查交集的定义以及集合间的包含关系，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)当m =2时，x 2−8x +3=0，由韦达定理有，x 1+x 2=8，x 1x 2=3， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=83；(Ⅰ)由Δ=4(m +2)2−4(m 2−1)≥0，解得m ≥−54， 由韦达定理有，x 1+x 2=2(m +2),x 1x 2=m 2−1，又x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=4(m +2)2−2(m 2−1)=18，即m 2+8m =0，解得m =0或m =−8(舍)， 故m 的值为0；(Ⅰ)由(Ⅰ)可知，m ≥−54，又x 1，x 2均大于0，则{2(m +2)>0m 2−1>0，解得{m >−2m >1或m <−1，综上，实数m 的取值范围为[−54,−1)∪(1,+∞).【解析】(Ⅰ)将m =2代入，可得x 1+x 2=8，x 1x 2=3，进而得解；(Ⅰ)由韦达定理可得，x 1+x 2=2(m +2),x 1x 2=m 2−1，结合题意可得m 2+8m =0，由此得解； (Ⅰ)根据题意建立关于m 的不等式组，解出即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)已知集合A ={a 1,a 2,a 3,a 4}中a 1<a 2<a 3<a 4，且A ∩N ∗=A ，若集合B ={y|y =x 2,x ∈A}，则B ={a 12,a 22,a 32,a 42}， 因为a 1<a 2<a 3<a 4，所以a 12<a 22<a 32<a 42，由A∩N∗=A可知，1≤a1<a2<a3<a4，若a1>1，则a1<a12<a22<a32<a42，显然A∩B≠{a1,a4}，所以a1=1，又因为a1+a4=10，所以a4=9，因为9∈B，所以a22=9或a32=9，当a22=9，即a2=3时，a3可以取4，5，6，6，7，8，所以a42>a32>9，所以A∩B={1,9}，满足题意；当a32=9，即a3=3时，此时A={1,2,3,9}，B={1,4,9,81}，满足A∩B={1,9}，综上，a1=1，a4=9；(Ⅰ)若存在a1，a2，a3，a4值，使得C={3,4,9,12,36,51}，则由a1<a2<a3<a4可知a1a2=3，因为a1,a2∈N∗，所以a1=1，a2=3，则a1a3=4，可得a3=4，因为36∈C，所以a4=36或3a4=36或4a4=36或a42=36，即a4=36或a4=12或a4=9或a4= 6，所以A={1,3,4,6}或A={1,3,4,9}或A={1,3,4,12}或A={1,3,4,36}，易知上述四种情况均不存在u∈A，v∈A，使得uv=51.故不存在a1，a2，a3，a4值，使得C={3,4,9,12,36,51}.【解析】(Ⅰ)先求出集合B，然后根据元素之间的大小关系，结合交集结果可求出a1，然后可解；(Ⅰ)根据元素间的大小关系可先求a1，然后依次确定其他元素，最后验证可知．本题考查了集合的综合应用，属于中档题．第11页，共11页。
2022北京四中高一10月月考数学(含答案)
2022北京四中高一10月月考数 学一､单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 全集{}0,1,2,3U =，若{}2UA =，则集合A 是（ ）A. {}2B. {}0,1C. {}0,1,2D. {}0,1,32. 下列命题中的真命题是（ ） A. 23≤B. 集合N 中最小的数是1C. 212x x +=的解集可表示为{}1,1D. 20x y +=3. 已知集合{}1,0,1A =−，集合2{|20}B x Z x x =∈−≤，那么A B 等于（ ）A. {}1−B. {}01，C. {}0,1,2D.1,0,1,24. 命题“R x ∃∈，使得220x x +<”的否定是（ ） A. R x ∃∈，使得2+20x x ≥ B. R x ∃∈，使得220x x +> C. x ∀∈R ，使得2+20x x ≥D. x ∀∈R ，使得220x x +<5. 下列四个集合中，是空集的是（ ） A. {}|33x x += B. {}22(,)|,,x y y x x y R =−∈C. {}2|0x x ≤D. {}2|10,x xx x R −+=∈6. 设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知集合(){}(){}22,0,,2,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ∣∣，那么M N ⋂=（ ）A. ()(){}1,1,1,1−−B. ()(){}1,1,1,1−− C.()(){}2,2,2,2−−D.()(){}2,2,2,2−−8. 不等式12xx−≥的解集为（ ） A. 1,3∞⎛⎫− ⎪⎝⎭B. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ()1,0,3∞∞⎛⎫−⋃+ ⎪⎝⎭9. 对于实数,,a b c 有下列命题： ①若a b >，则ac bc <②若22ac bc >，则a b >；③若0a b <<，则2a b+< ④若0c a b >>>，则a bc a c b>−−. 则其中真命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知集合{{},1A xy B x a x a ===∈≤≤+R ∣∣，若A B =∅，则实数a 的取值范围为（ ） A. []3,2− B. ()(),32,∞−−⋃+∞ C. []2,1−D. ][(),32,∞−−⋃+∞11. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a −+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A. 13B. 18C. 21D. 2612. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A. 123x x x >>B. 132x x x >>C. 231x x x >>D. 321x x x >>二､填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 不等式2560x x −−<的解集为___________.14. 已知集合{}{}1,2,,3A B a a ==+，若{}1A B ⋂=，则满足条件的实数a 的集合为___________. 15. 若命题“x ∀∈R ，关于x 的不等式22+3>0ax ax −恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是___________.16. 设,a b ∈R ，写出一个使a b <和11a b<同时成立的充分条件，可以是___________.17. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合{}211,,1,2A B x x a ⎧⎫=−==⎨⎬⎩⎭∣，若集合A 与集合B 构成“全食”时，a 的取值集合为___________；若集合A 与集合B 构成“偏食”，则a 的取值集合为___________.18. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________．三､解答题（本大题共3小题，共36分）19. 已知全集{}{}22,60,280U A xx x B x x x ==−−<=+−>R ∣∣. （1）求A B ⋂；（2）若集合{}22430C xx ax a =−+<∣且()A B C ⊆，求实数a 的取值范围.20. 关于x 的方程()222210x m x m −++−=，设12,x x 为方程的两根. （1）若=2m ，求1211x x +的值； （2）若12,x x 满足221218x x +=，试求m 的值； （3）若12,x x 均大于0，求m 的取值范围.21. 已知集合{}1234,,,A a a a a =中1234a a a a <<<，且*A A ⋂=N .（1）若集合{}2,B yy x x A ==∈∣，满足{}1414,,10A B a a a a ⋂=+=，试求1a ，4a 的值； （2）若集合{},,C z z uv u A v A ==∈∈∣，问是否存在一组1234,,,a a a a 值，使得{}3,4,9,12,36,51C =，若存在试找出，若不存在，试说明理由.参考答案一､单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 【答案】D 【解析】【分析】由补集定义可解. 【详解】因为{}0,1,2,3U =，{}2UA =，所以{0,1,3}A =.故选：D 2. 【答案】A 【解析】【分析】根据命题结论是否正确判断即可. 【详解】23≤显然成立，故A 正确； 集合N 中最小的数是0，故B 错误； 根据集合元素的互异性可知C 错误；当0x ≠或0y ≠时，20x y +=显然不成立，故D 错误. 故选：A 3. 【答案】D 【解析】【分析】先解不等式化简集合B .【详解】∵集合{}1,0,1A =−，集合{}{}{}220020,1,2B x Z x x x Z x =∈−≤=∈≤≤=，∴{}1,0,1,2A B ⋃=− 故选：D. 4. 【答案】C 【解析】【分析】根据特称量词命题否定的法则即可.【详解】对于R x ∃∈ 的否定为R x ∀∈ ，对于2+20x x ＜ 的否定为2+20x x ≥ ； 故选：C. 5. 【答案】D 【解析】【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出. 【详解】选项A ，{}{}|330x x +==； 选项B ，{}{}22(,)|,,(0,0)x y y x x y R =−∈=；选项C ，{}{}2|0=0x x ≤；选项D ，210,1430x x −+=∆=−=−<，方程无解，∴{}2|10,x x x x R −+=∈=∅.选:D. 6. 【答案】D 【解析】【详解】本题采用特殊值法：当3,1a b ==−时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =−=−时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的既不充分也不必要条件.故选D.考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 7. 【答案】A 【解析】【分析】直接联立方程组即可求出MN .【详解】由22+=0+=2x y x y ⎧⎨⎩解得：=1=1x y −⎧⎨⎩或=1=1x y −⎧⎨⎩. 所以M N ⋂=()(){}1,1,1,1−−.故选：A 8. 【答案】B 【解析】(31)0x x x −≤≠⎧⎩求解集即可.【详解】由题设11320x x x x −−−=≥，等价于(31)00x x x −≤≠⎧⎨⎩，解得103x <≤. 故选：B 9. 【答案】C 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式、作差法判断各项的真假，即可得答案. 【详解】①若a b >，0c =时，=ac bc ，故为假命题； ②若22ac bc >，则20c >，有a b >，故为真命题；③若0a b <<，则()()22a b a b +−+−=−≤==a b 时等号成立，所以2a b+< ④若0c a b >>>，则()()()a b c a b c a c b c a c b −−=−−−−，且0,0,0a b c a c b −>−>−>，所以0a bc a c b−>−−，则a b c a c b >−−，为真命题. 故真命题有②③④，共3个. 故选：C 10. 【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，然后根据交集结果列不等式求解可得.【详解】={||22}A x y x x −≤≤=,A B ⋂∅+1>a a∴+1<2a −或>2a ，即<3a −或>2a .故选：B 11. 【答案】C 【解析】【分析】设2()6f x x x a =−+，根据二次函数的性质，结合题意可得，(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，代入计算，即可得答案.【详解】设2()6f x x x a =−+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线， 根据题意可得，3640a ∆=−>，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a −+≤⎧⎨−+>⎩， 解得58a <≤，又,a Z ∈所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21. 故选：C12. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小． 【详解】依题意，有13350555x x x =+−=−，所以13x x <， 同理，211302010x x x =+−=+，所以12x x <， 同理，32230355x x x =+−=−，所以32x x <， 所以132x x x <<． 故选：C ．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．二､填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 【答案】{}|16x x −<< 【解析】【分析】因式分解后即可解得.【详解】不等式2560x x −−<可化为()()610x x −+<，解得：16x −<<， 所以原不等式的解集为{}|16x x −<<. 故答案为：{}|16x x −<<. 14. 【答案】{1,2}− 【解析】【分析】依题意1B ∈，然后可得.【详解】因为{1}A B ⋂=，所以1B ∈，则有=1a 或31a +=，即=1a 或2a =−， 当=1a 时，{1,4}B =，满足{}1A B ⋂=， 当2a =−时，{2,1}B =−，满足{}1A B ⋂=. 综上，满足条件的实数a 的集合为{1,2}−. 故答案为：{1,2}− 15. 【答案】03a ≤< 【解析】【分析】依题意问题转化为含参数的一次或二次不等式的恒成立的问题进行求解.【详解】依题意得，22+3>0ax ax −对于x ∀∈R 成立，当=0a ，3>0显然恒成立，当0a ≠，记2()=2+3f x ax ax −，()>0f x 恒成立，此时二次函数开口向上，于是2>0Δ=(2)4?3?<0a a a −−⎧⎨⎩，解得0<<3a ，综上0<3a ≤.故答案为：0<3a ≤16. 【答案】0a b <<（答案不唯一） 【解析】【分析】分析a b <和11a b<同时成立的条件即可. 【详解】因为当0ab >时，11ab ab b a a b⨯<⨯⇔<， 所以要使a b <和11a b<同时成立，a ，b 一定异号， 所以使a b <和11a b<同时成立的充分条件可以为0a b <<. 故答案为：0a b <<17. 【答案】 ①. {|0a a <或1}a = ②. 14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分情况解集合B ,再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可. 【详解】{}2==B x x a ，0a ∴<时，B =∅，B A ⊆；=0a 时，{0}B =，A B =∅；0a >时，{B =，又11,,12A ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食”，则B A ⊆，当0a <时，满足题意；当=0a 时，不满足题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =−1=，1a ，综上，A 与B 构成“全食”时，a 的取值集合为{|0a a <或1}a =； 若A 与B 构成“偏食”，显然0a ≤时，不满足定义；当0a >时，因为A B ⋂≠∅，所以11,22B ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭12=，解得1=4a ，a ∴的取值集合为14⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：{|0a a <或1}a =，14⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 18. 【答案】 ①. 6 ②. 12 【解析】【详解】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、，则*2,,,c a b c a b c >>>∈N . ①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.三､解答题（本大题共3小题，共36分）19. 【答案】（1）{|23}A B x x =<<（2）[1,2] 【解析】【分析】先求出集合A 、B ，分类讨论求出集合C ，结合集合的基本运算，从而求得a 的取值范围． 【小问1详解】解不等式可得{}=|2<<3A x x −，={|<4B x x −或2}x >， 所以={|2<<3}A B x x ⋂【小问2详解】因为()(){}=|3<0C x x a x a −−， 当0a >时，{}|3C x a x a =<<，因为()A B C ⋂⊆，所以233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤．当=0a 时，=C ∅，不成立．当a<0时，{}|3C x a x a =<<，显然不满足题意． 综上知实数a 的取值范围是[1,2]． 20. 【答案】（1）83； （2）0； （3）()1,+∞. 【解析】【分析】（1）（2）直接利用根与系数的关系即可求解； （3）由根的分布列不等式组即可求解. 【小问1详解】当=2m 时，方程为2830x x −+=，其中2843520∆=−⨯=>. 由根与系数的关系可得：12128,3x x x x +==，所以1212121183x x x x x x ++==； 【小问2详解】由()()2242410m m ∆=+−−≥解得：54m ≥−. 由根与系数的关系可得：()2121222,1x x m x x m +=+=−，所以221218x x +=即为()()()22212122422118x x x x m m +−=+−−=，解得：0m =或8m =−（舍）. 即0m =； 【小问3详解】要使12,x x 均大于0，只需满足：()()()2212212Δ=4+2410+=2+2>0=1>0m m x x m x x m ⎧−−≥⎪⎪⎨⎪−⎪⎩，解得：1m >. 所以m 的取值范围为()1,+∞. 21. 【答案】（1）1=1a ，49a = （2）不存在，理由见详解 【解析】【分析】（1）先求出集合B ，然后根据元素之间的大小关系，结合交集结果可求出1a ，然后可解； （2）根据元素间的大小关系可先求1a ，然后依次确定其他元素，最后验证可知. 【小问1详解】由题知，{}22221234,,,B a a a a =因为1234a a a a <<<，所以22221234a a a a <<<由*A A ⋂=N 可知，12341a a a a ≤<<<，若11a >，则222214123a a a a a <<<<，显然{}14,A B a a ⋂≠，所以1=1a ，又因为1410a a +=，所以49a = 因为9B ∈，所以229a =或239a =当229a =，即23a =时，3a 可以取4,5,6,7,8，所以22439a a >>，所以{}1,9A B ⋂=，满足题意； 当239a =，即33a =时，此时{1,2,3,9},{1,4,9,81}A B ==，满足{}1,9A B ⋂=综上，1=1a ，49a =第11页/共11页 【小问2详解】若存在1234,,,a a a a 值，使得{}3,4,9,12,36,51C =则由1234a a a a <<<可知123a a =，因为*12,a a ∈N ，所以121,3a a ==则134,a a =可得3=4a ，因为36C ∈，所以436a =或4336a =或4436a =或2436a =，即436a =或412a =或49a =或46a =，所以{1,3,4,6}A =或{1,3,4,9}A =或{1,3,4,12}A =或{1,3,4,36}A = 易知上述四种情况均不存在,u A v A ∈∈，使得51uv =. 故不存在1234,,,a a a a 值，使得{}3,4,9,12,36,51C =.。
2020-2021北京市北京四中高一数学上期末模拟试题(带答案)
t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，结合图象可知，方程 f t 3 有三个实根，
进而可得答案. 【详解】
由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，
设 t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，
如图所示，结合图象可知，方程
4．设 a log4 3 ， b log8 6 ， c 20.1 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
C． c a b
D． c b a
5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL
血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到 20～79mg 的驾驶员即为
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得
a
log4
3
log2 log2
3 4
1 2
log2
3
log2
3，
b
log8
6
log2 log2
6 8
1 3
log
2
6
log2
3
6
，
又由 3 3 6 2 ，所以 log2 3 log2 3 6 log2 2 1，即 a b 1，
由指数函数的性质，可得 c 20.1 20 1 ， 所以 c b a .
所以 g(2) 2 ， g 2 2，
所以 f (2) g(2) 3 2 3 1，故选 D.
【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先化简集合 A,B,再求 B A 得解.
【详解】
由题得 A x | 2x1 20 {x | x 1} ， B y | y 0 .
北京四中2020—2021学年度第一学期高一年级期中考试数学学科 试卷
数学试卷（试卷满分 140分 考试时间 120分钟）Ⅰ 卷 （满分90分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知全集为U ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,2}B =-，则图中阴影部分表示的集合为 (A) {3} (B) {3,2}- (C) {2} (D) {2,3}-2.不等式201x x -≤+的解集是 (A) (1)(12]-∞--，，(B) [12]-， (C) (1)[2)-∞-+∞，， (D) (12]-，3.下列函数中，在区间()0,+∞上为减函数的是 (A) 22y x x =- (B) y x = (C) 21y x =+(D) y x =-4.已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是 (A) ()2,1-- (B) ()1,0- (C) ()0,1(D) ()1,25.若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则 (A) ()()1(2)3f f f ->> (B) ()()()312f f f >-> (C) ()()()213f f f >->(D) ()()()321f f f >>-6.已知12,x x 是方程2710x x -+=的两根，则2212x x += (A) 2 (B) 3 (C) 4(D) 57.设,a b ∈R ，且a b >，则下列结论中正确的是 (A)1a b> (B)ba 11< (C) ||||ab >(D) 33a b >8. “2a =”是“函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件9.向某容器中匀速注水时容器水面高度h 随时间t 变化的函数()h f t =的图像如右图所示，则容器的形状可以是(A) (B) (C) (D)10.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为hOtt 1 t 2“同族函数”. 函数解析式为()21f x x =+，值域为{}1,3的同族函数有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个(D) 4个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.设全集U =R ，集合{|2},A x x =<集合{|1}B x x =<，则集合UA = ，集合()U A B = . 12.命题“11,1x x∀<>”的否定是 . 13.某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______． 14.函数1()1f x x x =+- (1)x >的最小值是_____，此时x =_____． 15.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>”是假命题．．．的一组整．数．,,a b c 的值依次为___________.三、解答题（本大题共3小题，共25分.） 16.（本小题8分）已知0a >，记关于x 的不等式()()10x a x -+<的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （Ⅰ）若3a =，求集合P ； （Ⅱ）若Q P ⊆，求a 的取值范围．17.（本小题9分）已知定义在R 上的奇函数21()x mf x x =++,m ∈R . （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）用定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上单调递减； （Ⅲ）若实数a 满足()22225f a a ++<，求a 的取值范围.18.（本小题8分）二次函数()f x 满足(0)1f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）在区间[]1,1-上，函数()f x 的图像总在一次函数2y x m =+图像的上方，试确定实数m 的取值范围． 条件① ： ()()12f x f x x +-=；条件② ： 不等式()4f x x <+的解集为()1,3-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．II 卷（满分50分）一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知非零实数,,a b c 满足：a b c >>，下列不等式中一定成立的有① ab bc >； ② 22ac bc ≥； ③a b a bc c +->. (A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个2.已知,a b ∈R ，则“0=+b a ”是“0223=++--+b a ab a b a a ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件3.已知{},;min ,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩ 设()f x {}2min 6,246x x x =-+-++，则函数()f x 的最大值是 (A) 8(B) 7(C) 6(D) 5二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）4.若函数2()||f x x x a =-+为偶函数，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间是 .5.某学校运动会上，6名选手参加100米决赛. 观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1、2、6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4、5、6道的选手都不可能得第一名. 比赛后发现并没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是.6.已知关于x的不等式32ax ax+≤在区间()0,+∞上有解，则实数a的取值范围是.三、解答题（本大题共2小题，共23分.）7.（本小题10分）区间[],αβ的长度定义为βα-.函数()22()1f x a x ax =+-，其中0a >，区间{}|()0I x f x =≤． （Ⅰ）求I 的长度； （Ⅱ）求I 的长度的最大值．8.（本小题13分）若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数. （Ⅰ）已知函数()g x x =，函数()2h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由； （Ⅱ）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数．．．n 的最小值；（Ⅲ）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按（ⅰ）得分计入总分）（ⅰ）如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；（ⅱ）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.草稿纸。
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()log a x xf x x =（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332 8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．()1,3 D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =；（2）函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥； （4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.15．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 18．设，则________19．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______. 20．已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x a x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题 21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.24．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A【解析】【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定.【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D又因为2x = 时()0f x >，排除B故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．B解析：B【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算6．C解析：C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．B解析：B【解析】【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为()a f x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．D解析：D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.9．D解析：D【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减， 因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D.本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 12．B解析：B【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数，∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确 解析：（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000,当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）()1364f x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 23．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题． 24．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 26．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9 【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．。
北京市第四中学2022-2022学年高一数学上学期期中试题(含解析)
C.∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D.∀x∈R，x3﹣x2+1＞0
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否认解答即可.
【详解】命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否认是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0.
应选：B
【点睛】此题主要考查全称命题的否认，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【点睛】此题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21.不等式 的解集为
【答案】
【解析】
略
22.x＞y＞z，x+y+z＝0，那么①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的选项是_____．〔只填写序号〕
【答案】①③
【解析】
【分析】
由题得 有三种可能〔1〕x＞0，y＞0，z＜0，〔2〕x＞0，y＜0，z＜0，〔3〕x+z＝0，y＝0．再判断得解.
【详解】x＞y＞z，x+y+z＝0，那么 有三种可能〔1〕x＞0，y＞0，z＜0，〔2〕x＞0，y＜0，z＜0，〔3〕x+z＝0，y＝0．
所以①xz＜yz正确．②xy＞yz不正确．③xy＞xz正确．④x|y|＞z|y|不正确．
故答案为：①③
【点睛】此题主要考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
卷(II)
二.填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分
20.集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，那么集合M∩N＝_____．
【答案】{0，2}
【解析】
【分析】
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2021-2022学年北京四中高一（上）适应性数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，则A∩B＝（）A．{1，3）B．{2，3}C．{3}D．{3，5}2．（3分）设全集U＝{1、2、3、4、5}，M＝{3，5}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1，2，4}B．{1，3，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4} 3．（3分）不等式2x2﹣3x+1＞0的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．R D．∅4．（3分）“a﹣c＞b﹣d”是“a＞b且c＜d”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．86．（3分）已知命题p：∃x＞0，x2+1＞1，则命题p的否定为（）A．∃x≤0，x2+1≤1B．∃x＞0，x2+1≤1C．∀x＞0，x2+1≤1D．∀x≤0，x2+1≤17．（3分）设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P与Q 的关系是（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．P∩Q＝∅8．（3分）已知全集U＝Z，集合A＝x{x|x＝2k+1，k∈Z}，k∈Z}．则下列各等式中正确的是（）A．U＝A∪B B．U＝B∪（∁U A）C．U＝A∪（∁U B）D．U＝（∁U A）∪（∁U B）9．（3分）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞﹣b D．10．（3分）设全集为R，A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}，B＝{x||x﹣5|＜a}（a为常数），11∈B，则（）A．（∁R A）∪B＝R B．A∪（∁R B）＝RC．（∁R A）∪（∁R B）＝R D．A∪B＝R二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）集合M＝{x|x2+2x﹣a＝0}，若∅⫋M，则实数a的范围是．12．（4分）某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人．13．（4分）给出如下四个命题：①若b＜a＜0，则；②若a＜b＜0，则a2＞b2；③不等式＞1的解集是{a|a＜1}；④若1＜a＜2，且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．14．（4分）设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，b，c的值依次为．15．（4分）若不等式对任意的a＞0，b＞0恒成立．16．（4分）设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）•（x﹣a）≥0}，若A∪B＝R，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共46分）17．（10分）已知全集R，集合A＝{x|x2+px+12＝0}，B＝{x|x2﹣5x+q＝0}，若（∁R A）∩B ＝{2}，求p+q的值．18．（10分）已知．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．19．（8分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，m∈R．（Ⅰ）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（Ⅱ）如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，试确定m的值．20．（10分）某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12m2的背面靠墙的小屋，小屋正面的造价为1200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5200元．如果小屋墙高为3m，且不计小屋背面和底面的费用，问：怎样设计小屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？21．（8分）已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n）a i a j与两数中至少有一个属于A．（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P？（不写过程）（Ⅱ）当n＝5时，若a2＝2，求集合A．2021-2022学年北京四中高一（上）适应性数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，则A∩B＝（）A．{1，3）B．{2，3}C．{3}D．{3，5}【解答】解：∵A＝{1，3，8，7}，3，4}，∴A∩B＝{3}，故选：C．2．（3分）设全集U＝{1、2、3、4、5}，M＝{3，5}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1，2，4}B．{1，3，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4}【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中，但不在集合M中．又M＝{3，5}、7、4}，则右图中阴影部分表示的集合是：{2，7}．故选：C．3．（3分）不等式2x2﹣3x+1＞0的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．R D．∅【解答】解：不等式2x2﹣2x+1＞0，即（x﹣2）（2x﹣1）＞3，解得：x＞1或x＜，不等式的解集为：（﹣∞，）∪（5．故选：B．4．（3分）“a﹣c＞b﹣d”是“a＞b且c＜d”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a＞b且c＜d”，能推出a﹣c＞b﹣d，由“a﹣c＞b﹣d”推不出“a＞b且c＜d”，比如a＝5，b＝6，不是充分条件，故选：B．5．（3分）集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．8【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣1＜x＜3}＝{2，1，2}，∴集合A的真子集个数是73﹣1＝5，故选：C．6．（3分）已知命题p：∃x＞0，x2+1＞1，则命题p的否定为（）A．∃x≤0，x2+1≤1B．∃x＞0，x2+1≤1C．∀x＞0，x2+1≤1D．∀x≤0，x2+1≤1【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞0，x2+4≤1，故选：C．7．（3分）设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P与Q 的关系是（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．P∩Q＝∅【解答】解：Q＝{m∈R|mx2+4mx﹣6＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m＝0时，﹣2＜0恒成立；②m＜0时，需△＝（6m）2﹣4×m×（﹣8）＜0，解得﹣1＜m＜7．综合①②知m≤0，所以Q＝{m∈R|﹣1＜m≤6}．因为P＝{m|﹣1＜m≤0}，所以P＝Q．故选：C．8．（3分）已知全集U＝Z，集合A＝x{x|x＝2k+1，k∈Z}，k∈Z}．则下列各等式中正确的是（）A．U＝A∪B B．U＝B∪（∁U A）C．U＝A∪（∁U B）D．U＝（∁U A）∪（∁U B）【解答】解：∵全集U＝Z，集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}是全体奇数构成的集合，B＝{x|x＝4k﹣1，k∈Z}＝{x|x＝4（k﹣7）+3}是除以4余7的奇数构成的集合，∴B⊂A，则U＝A∪B错误；U＝B∪（∁U A）错误；U＝A∪（∁U B）正确；U＝（∁U A）∪（∁U B）错误．故选：C．9．（3分）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞﹣b D．【解答】解：∵a＜b＜0，∴令a＝﹣2，b＝﹣3，A、﹣＞﹣7；B、﹣1＜﹣；C、2＞1；D、＞1；故选：B．10．（3分）设全集为R，A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}，B＝{x||x﹣5|＜a}（a为常数），11∈B，则（）A．（∁R A）∪B＝R B．A∪（∁R B）＝RC．（∁R A）∪（∁R B）＝R D．A∪B＝R【解答】解：由x2﹣5x﹣3＞0得出集合A＝（﹣∞，﹣1）∪（6；由11∈B可知a＞0，则B＝（﹣a+5，且a+5＞11，得出a＞6．并且﹣a+5＜﹣4，故有A∪B＝R．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）集合M＝{x|x2+2x﹣a＝0}，若∅⫋M，则实数a的范围是a≥﹣1．【解答】解：由∅⫋M可得M≠∅，∴x2+2x﹣a＝4有实根∴△＝4+4a≥2∴a≥﹣1故答案为：a≥﹣112．（4分）某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有26人．【解答】解：作Venn图如右图，x+y+z＝55﹣4＝51，x+y＝34，y+z＝43；故y＝（34+43）﹣51＝26．故答案为：26．13．（4分）给出如下四个命题：①若b＜a＜0，则；②若a＜b＜0，则a2＞b2；③不等式＞1的解集是{a|a＜1}；④若1＜a＜2，且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．其中正确命题的序号为①②④（写出所有正确命题的序号）．【解答】解：对于①若b＜a＜0，故，则；故①正确；对于②若a＜b＜0，则a2＞b6；故②正确对于③不等式＞1整理得：，故，故③错误；对于④若1＜a＜2，且8＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜6．故答案为：①②④．14．（4分）设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，b，c的值依次为1，0，﹣1．【解答】解：若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜3，则取a＝1，b＝0，则满足条件，但ab＜ac不成立，故答案为：6，0，﹣1．15．（4分）若不等式对任意的a＞0，b＞0恒成立9．【解答】解：∵a＞0，b＞0恒成立，∴m≤[（4a+b）（）]min，，∵（6a+b）（）＝5+＝9．∴m的最大值等于2．故答案为：9．16．（4分）设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）•（x﹣a）≥0}，若A∪B＝R，则a的取值范围为{a|a≤2}．【解答】解：当a≥1时，集合A中不等式解得：x≤1或x≥a，∵B＝{x|x≥a﹣7}，且A∪B＝R，∴a﹣1≤1，即5≤a≤2；当a＜1时，集合A中不等式解得：x≤a或x≥4，由B＝{x|x≥a﹣1}，且A∪B＝R，综上，a的范围为{a|a≤2}．故答案为：{a|a≤3}三、解答题（本大题共5小题，共46分）17．（10分）已知全集R，集合A＝{x|x2+px+12＝0}，B＝{x|x2﹣5x+q＝0}，若（∁R A）∩B ＝{2}，求p+q的值．【解答】解∵（∁R A）∩B＝{2}，∴2∈B，由B＝{x|x3﹣5x+q＝0}有8﹣10+q＝0，∴q＝6，此时B＝{x|x7﹣5x+6}＝{7，3}假设∁R A中有3，则（∁R A）∩B＝{3，3}与（∁R A）∩B＝{2}矛盾，∵8∈R又3∉（∁R A），∴3∈A，由A＝{x|x6+px+12＝0}有9+5p+12＝0，∴p＝﹣7．∴p+q＝﹣818．（10分）已知．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（I）当时，有不等式，∴，∴不等式的解为：（II）∵不等式当0＜a＜7时，有，∴不等式的解集为；当a＞5时，有，∴不等式的解集为；当a＝6时，不等式的解为x＝1．19．（8分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，m∈R．（Ⅰ）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（Ⅱ）如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，试确定m的值．【解答】解：（Ⅰ）令y＝0，则（m﹣1）x5+（m﹣2）x﹣1＝4，根据题意可得m≠1且△＞0，即（m﹣4）2+4（m﹣7）＞0，得m2＞6，所以m≠1且m≠0时，抛物线与x轴有两个交点．（Ⅱ）设A（x4，y1），B（x2，y3），由|x6﹣x2|•|y C|＝2，得•|，解得|m|＝2|m﹣1|，解得m＝或．20．（10分）某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12m2的背面靠墙的小屋，小屋正面的造价为1200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5200元．如果小屋墙高为3m，且不计小屋背面和底面的费用，问：怎样设计小屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？【解答】解：设房屋正面的长为x（m），侧面的长为y（m），根据题意，有xy＝12，故z＝3x•1200+2•6y•800+5200＝1200（3x+4y）+5200＝1200（4x+）+5200≥1200，当且仅当，等号成立，故当x＝4时，y＝5，所以将房屋设计成正面长为4m，侧面长为3m时，最低总造价是34000元．21．（8分）已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n）a i a j与两数中至少有一个属于A．（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P？（不写过程）（Ⅱ）当n＝5时，若a2＝2，求集合A．【解答】解：（Ⅰ）由于3×4与均不属于数集{1，5，∴该数集不具有性质P．由于1×2，8×3，2×4，，，，，，2，2，6}，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）A＝{a1，a6，…，a n}具有性质P，∴a n a n 与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a3＜…＜a n，∴a n a n＞a n，故a n a n∉A．从而1＝∈A，a1＝4．∵1＝a1＜a5＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k＝2，6，4，…，n），故a k a n∉A（k＝2，5，4，…，n）．由A具有性质P 可知∈A（k＝2，5，4，…．又∵＜＜…＜＜，∴＝1，2，…，＝a n﹣4，当n＝5时，有＝a2，＝a3，即a5＝a8•a4＝a36，∵1＝a1＜a7＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4＝a8，∴a3a4∉A，由A具有性质P 可知∈A．由a2•a3＝a32，得＝∈A，且1＜＝a2，∴＝＝a2，∴＝＝＝＝a7，即a1，a2，a8，a4，a5是首项为5，公比为a2等比数列，若a2＝8，则集合A＝{1，2，5，8．第11页（共11页）。