2020-2021学年北京市丰台区高一(下)期中数学试卷(A卷)
2020-2021学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −23 B. 23 C. −32 D. 322.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √53.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 149.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 12.（填空题，4分）已知cosα4sinα−2cosα=16，则tanα=___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f 1（t ）=sin200πt ，乙声波的数学模型为f 2（t ）=sin （200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f （t ）=f 1（t ）+f 2（t ）．要使f （t ）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H （t ），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分别记为f （t ）和g （t ），满足H （t ）=f （t ）+g （t ）．已知S 1，S 2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y =sin π2t ； ② y=sin2πt ； ③ y=sin3πt ； ④ y=2sin3πt ． 则S 1，S 2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）16.（问答题，9分）已知函数 f (x )=1−cos 2xsinx． （Ⅰ）求f （x ）的定义域； （Ⅱ）若 f (θ)=2√55，且 θ∈(π2，π) ，求tan （π-θ）的值．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ3 5π6 11π6 7π3 x −π3π 3π2 2π f （x ）2（ⅰ）若函数g （x ）的最小正周期为 2π3 ，求g （x ）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g （x ）在 [0，π3] 上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −23 B. 23 C. −32 D. 32【正确答案】：C【解析】：利用任意角的三角函数的定义求解．【解答】：解：∵角α的终边经过点P （-2，3）， ∴tanα= 3−2 =- 32 ， 故选：C ．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题． 2.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √5【正确答案】：D【解析】：根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |= √12+22 = √5 ， 即| a ⃗ |= √5 ， 故选：D ．【点评】：本题考查向量模的计算，关键是理解向量的坐标以及向量模的定义．3.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【正确答案】：A【解析】：根据向量的减法的运算法则进行求解即可．【解答】：解：因为： MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．【点评】：本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 【正确答案】：B【解析】：根据三角形内角和定理与三角函数值的符号法则，判断即可．【解答】：解：△ABC 中，A 为钝角，所以B 为锐角， 所以cosA ＜0，tanB ＞0，所以点P （cosA ，tanB ）在第二象限内． 故选：B ．【点评】：本题考查了三角形内角和定理与三角函数值符号的判断问题，是基础题． 5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x 【正确答案】：A【解析】：利用三角函数的周期性和单调性即可求解．【解答】：解：对于A，y=cos2x的周期为π，在区间（π2，π）单调递增函数，所以正确；对于B，y=sin2x的周期为π，在区间（π2，π）不是单调函数，所以不正确；对于C，y=cos 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；对于D，y=sin 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；故选：A．【点评】：本题考查三角函数的周期性以及单调性的判断，是基础题．6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④【正确答案】：C【解析】：根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到y=sin(3x+π4)即可．【解答】：解：① y=sinx→ y=sin(x+π4)→ y=sin(3x+π4)；② y=sinx→ y=sin(x+π12)→ y=sin(3x+π12)；③ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π4)；④ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π12)=sin(3x+π4)．故选：C．【点评】：本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗【正确答案】：D【解析】：利用平面向量的基本定理，推出结果即可．【解答】：解：如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ = a⃗+b⃗⃗ +（2 a⃗−2b⃗⃗）-（-3 a⃗）=6 a⃗ - b⃗⃗．故选：D．【点评】：本题考查向量的基本定理的应用，向量的加减运算，是基础题．8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 14【正确答案】：C【解析】：由点（0，√2）在函数的图象上可求sinφ= √22，结合范围|φ|＜π2，可得φ= π4，又点（2π，- √2）在函数的图象上，有sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，从而解得ω的值．【解答】：解：∵点（0，√2）在函数的图象上，即有2sinφ= √2，∴sinφ= √22，∵|φ|＜π2，∴可得：φ= π4，又∵点（2π，- √2）在函数的图象上，即有2sin（2πω+ π4）=- √2，∴sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，∴解得ω=k- 14，或ω=k- 12，k∈Z，则当k=1时，ω的值为12．故选：C．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于基础题．9.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：sinα=cosβ⇒cos（π2 -α）=cosβ，可得β=2kπ±（π2-α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】：解：sinα=cosβ⇒cos（π2-α）=cosβ，∴β=2kπ±（π2-α），k∈Z．化为：α+β= π2+2kπ，k∈Z，或β-α=- π2+2kπ，k∈Z，∴“sinα=cosβ“是“α+β= π2+2kπ，k∈Z“的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个 【正确答案】：A【解析】：先由已知可得Q 为M ，N 的中点，然后根据函数f （x ）的对称性即可做出判断．【解答】：解：因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为MN 的中点， 因为函数f （x ）=（x-1）3关于点（1，0）成中心对称，所以当Q 的坐标为（1，0）时，取关于点Q 对称的点M ，N 符合题意， M ，N 在（1，0）两侧时，中点也要在函数f （x ）上，只能是（1，0），M ，N 在（1，0）同侧时，相当于M ，Q ，N 所在的直线与f （x ）在一侧有3个交点，不可能成立，故满足条件的Q 只有一个， 故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到函数的对称性，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题．11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]（7，0）【解析】：根据向量的坐标运算求出 a ⃗ +2 b ⃗⃗ 的坐标即可．【解答】：解：∵ a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1）， ∴ a ⃗ +2 b⃗⃗ =（1，-2）+2（3，1）=（7，0）， 故答案为：（7，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查对应思想，是基础题． 12.（填空题，4分）已知 cosα4sinα−2cosα=16 ，则tanα=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：对已知等式分子分母同时除以cosα，即可求出tanα的值．【解答】：解：∵ cosα4sinα−2cosα=16 ， ∴ 14tanα−2=16 ， ∴4tanα-2=6， ∴tanα=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 【正确答案】：[1]- 35【解析】：利用已知条件画出图形，利用平面向量的基本定理，求解x ，y 即可．【解答】：解：在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图，可知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x= 15 ，y= 45 ， 则x-y=- 35 ． 故答案为：- 35 ．【点评】：本题考查平面向量的基本定理的应用，是基础题． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ． 【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出ω，再根据五点法作图，可得φ的值．【解答】：解：∵函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，∴ 1 2• 2πω= 4π3- π3，∴ω=1．且π3是f（x）的最大值点，4π3是函数f（x）的最小值点，由五点法作图可得1× π3+φ= π2，∴φ= π6，故答案为：π6．【点评】：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f1（t）=sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）=sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）=f1（t）+f2（t）．要使f（t）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）=f（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y=sinπ2t；② y=sin2πt；③ y=sin3πt；④ y=2sin3πt．则S1，S2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）【正确答案】：[1] ② ③【解析】：（1）由函数f（t）的解析式以及正弦型函数的性质，即可解出；（2）由函数图象分析可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④ 是必选，再利用函数图象及其周期性可作出判断．【解答】：解：（1）由题意可知sin200πt=-sin（200πt+φ），又∵sin（π+α）=-sinα，∴φmin=π，（2）当t=1时，y=sinπ2=1，y=sin2π=0，y=sin3π=0，y=2sin3π=0，由图象可知H（1）=0，∴排出① ，由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（t），g（t）的周期不同，而③ ④ 的周期相同，∴一定包含② y=sin2πt，若② ④ 组合，当t= 16时，H（16）=sin（2π× 16）+2sin（3π× 16）= √32+2＞3，与图象不符，∴排除④ ，∴只能是② ③ ．故答案为：π，② ③ ．【点评】：本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题．16.（问答题，9分）已知函数f(x)=1−cos2xsinx．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f(θ)=2√55，且θ∈(π2，π)，求tan（π-θ）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由sinx≠0即可求出f（x）的定义域．（Ⅱ）先化简函数f（x）的解析式，再代入f(θ)=2√55，得到sinθ= 2√55，在根据同角三角函数间的基本关系和角θ的范围求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可知sinx≠0，∴x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．（Ⅱ）f(x)=1−cos 2xsinx = sin2xsinx=sinx，∵ f(θ)=2√55，∴sinθ= 2√55，又∵ θ∈(π2，π)，∴cosθ=- √1−sin2θ =- √55，∴tan（π-θ）=-tanθ=- sinθcosθ=2．【点评】：本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据向量的运算性质计算即可；（Ⅱ）根据向量的线性运算计算即可．【解答】：解：（Ⅰ）∵A （5，-2），B （-1，4），M 是线段AB 的中点， ∴M （5−12 ， −2+42）=（2，1）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，4）-（5，-2）=（-6，6）；（Ⅱ）设D （x ，0），则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，-4）， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-2）， ∵ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴（x+1）•（-2）-（-4）•（-1）=0，解得：x=-3， ∴点D 的坐标是（-3，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题． 18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ35π611π6 7π3x−π3π3π22πf（x） 2（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为2π3，求g（x）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g（x）在[0，π3]上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦函数的性质及五点作图法即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由已知可求g（x）=2sin（ωx- π3），利用正弦函数的周期公式可求ω=3，利用正弦函数的单调性即可求解；（ⅱ）利用正弦函数的性质即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）表格如下：x π35π611π67π3x−π3π2π3π22πf（x） 2 -2 图像如下：（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）∵ f (x )=2sin (x −π3) ，g （x ）=f （ωx ）（ω＞0）． ∴g （x ）=2sin （ωx - π3 ），∵函数g （x ）的最小正周期为 2π3 = 2πω ，解得ω=3， ∴g （x ）=2sin （3x- π3），令2kπ- π2 ≤3x - π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z ，解得- π18 + 2kπ3 ≤x≤ 5π18 + 2kπ3，k∈Z ， 可得g （x ）的单调递增区间为[- π18 + 2kπ3 ， 5π18 + 2kπ3]，k∈Z ； （ⅱ）ω的取值范围为（0，1）．【点评】：本题主要考查了五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题． 19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用定义分别判断即可求解得结论；（Ⅱ）由 ② 计算可得f （x+2n ）=f （x ）+n ，即f （x+2n ）-f （x ）=n ，令n=2021即可求得a 的值；（Ⅲ）根据已知可得任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ，由f （t ）≠0，可得t∉[-2，2），分t=2，|t|＞2两种情况分别求出g （t ）的值域即可得解．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=2x 为增函数，满足性质 ① ， 对于 ② ，由∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1有2（x+T ）=2x+1， 所以2T=1，T= 12，所以函数f （x ）=2x 满足性质P （ 12 ）．函数g （x ）=sinx 显然不满足 ① ，所以不满足性质P （T ）． （Ⅱ）存在，理由如下： 由∀x∈R ，f （x+2）=f （x ）+1．可得f （x+2n ）=f （x+2n-2）+1=f （x+2n-4）+2=f （x+2n-6）+3=…=f （x ）+n （n∈N*）， 即f （x+2n ）-f （x ）=n ， 令n=2021，得a=2n=4042．（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），所以f （0）=0， 因为函数f （x ）满足性质P （4），由 ① 可得，在区间[-2，0]上有f （-2）≤f （x ）≤f （0），又因为f （-2）=0，所以0≤f （x ）≤0，可得任意x ∈[-2，0]，f （x ）=0， 又因为对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ）， 所以任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ， 函数g （t ）=tf (t )(f(4t)+1)，因为f （t ）≠0，所以t∉[-2，2），由 ② 及f （-2）=0，可得f （2）=1， 所以当t=2时，g （2）= 21×(1+1) =1， 当|t|＞2时， 4t ∈（-2，2），所以f （ 4t ）=0， 即|t|＞2时，g （t ）= tf (t ) ，所以当t∈[4k -2，4k+2）（k∈Z ，k≠0，t≠2）时，g （t ）= tk ， 当k≥1时，g （t ）∈[4k−2k ， 4k+2k ）=[4- 2k ，4+ 2k）（当k=1时，g （t ）≠2，需要排除），此时 2k 随k 的增大而减小，所以[4- 2k+1 ，4+ 2k+1 ）⫋[4- 2k ，4+ 2k ）， 所以求值域，只需取k=1，得g （t ）∈[4- 21 ，4+ 21 ）=[2，6）， 当k ＜0时，g （t ）∈（4k+2k ， 4k−2k ]=（4+ 2k ，4- 2k]， 此时 2k 随k 的增大而减小，所以（4+ 2k−1 ，4- 2k−1 ]⫋（4+ 2k ，4- 2k ]， 只需取k=-1，得g （t ）∈（4+ 2−1 ，4- 2−1 ]=（2，6]．综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2，6]．【点评】：本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。
北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期中考试 数学(A卷)含解析
丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（A 卷）（答案在最后）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知集合{}Z 3A x x =∈<，则（）A.2A ∈B.3A ∈C.0A∉ D.A∅∈2.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B .“22,4x x ∀≥<”C.“22,4x x ∃<<”D .“224x x ∃≥<,”3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.下列说法正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则12a b -<-C.若22a b c c>，则a b > D.若a b >，则22a b >5.已知幂函数()y f x =的图象经过点，则(4)f 等于（）A.2B.2- C. D.46.设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个8.若指数函数()x f x a =的图像与射线350x y -+=（1x - ）相交，则（）A.10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B.1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C.1,1(1,)2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.10,(1,)2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦9.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.2|4y x x =-B.24y x =-C.22||y x x =-+D.22y x x=-+10.设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ，L ，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且12362n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A .10B.11C.12D.13第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()31f x x x =+-的定义域为__________.12.求值：()1130227438π-⎛⎫---= ⎪⎝⎭________．13.当3x >时，则43y x x =+-的最小值为______，当y 取得最小值时x 的值为______．14.写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）15.函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，给出下列四个结论：①(0)1f =或1-；②()f x 一定不是偶函数；③若()0f x >，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；④若()f x 有最大值，则()f x 一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知集合{}{}14,123A x x B x m x m =-≤≤=-<<-.（1）若4m =，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.17.已知函数1,0()2,0xx x f x x -+≤⎧=⎨>⎩.（1）求1((2f f -的值；（2）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（3）若()8f x ≤，求x 的取值范围.18.已知函数1()4f x x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数()f x 在区间1[,)2+∞上的单调性，并用单调性定义证明；（3）已知函数(),0,()5,0,(),0,f x xg x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）19.已知函数2()(31)3f x ax a x =-++，R a ∈．（1）若()0f x <的解集是{}|1x x k <<，求函数()f x 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集．20.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.21.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．（1）设函数()34=+f x x ，求集合A 和B ；（2）求证：A B ⊆；（3）设函数()()20f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（A 卷）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知集合{}Z 3A x x =∈<，则（）A.2A ∈B.3A ∈C.0A ∉D.A∅∈【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可求解.【详解】因为{}Z 3A x x =∈<，所以3,0A A ∉∈，而∅是集合，与A 的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系.故选:A2.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“22,4x x ∀≥<”C.“22,4x x ∃<<”D.“224x x ∃≥<,”【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答.【详解】命题“22,4x x ∀≥≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“22,4x x ∀≥≥”的否定是：224x x ∃≥<,.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x =C.3y x =D.1y x=-【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.下列说法正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则12a b -<-C.若22a b c c>，则a b > D.若a b >，则22a b >【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A ，B ，C ；举反例可判断D.【详解】对于A ，当0c =时，则a b >时，22ac bc =，A 错误；对于B ，若a b >，则112a b b ->->-，B 错误；对于C ，若22a bc c>，则0c ≠，即20c >，故a b >，C 正确；对于D ，若a b >，不妨取若12a b =->=-，则22a b <，D 错误，故选：C5.已知幂函数()y f x =的图象经过点，则(4)f 等于（）A.2B.2- C.D.4【答案】A 【解析】【分析】由幂函数所过的点求得()f x =，进而求(4)f .【详解】令()a f x x =，则1(2)22af a ===，则()f x =所以(4)2f ==.故选：A6.设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由20x -≥，解得2x ≤，由11x +≤，即111x -≤+≤，解得20x -≤≤，又[]2,0-(],2-∞，由20x -≥推不出11x +≤，故充分不成立，由11x +≤推得出20x -≥，即必要性成立，所以“20x -≥”是“11x +≤”的必要不充分条件.故选：B7.设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可．【详解】对于①，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性，故①错误；对于②，同时满足任意性与唯一性，故②正确；对于③，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性，故③错误；对于④，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查函数的概念以及函数的定义域以及值域的应用，是基础题．8.若指数函数()x f x a =的图像与射线350x y -+=（1x - ）相交，则（）A.10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B.1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C.1,1(1,)2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.10,(1,)2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】分1a >和01a <<两种情况结合指数函数的图象，射线的端点进行分析求解即可【详解】当=1x -时，代入射线得2y =，若01a <<，指数函数()x f x a =的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当=1x -时，12y a -=≥，所以102a <≤，若1a >，则可知两图象在第一象限一定有交点，综上，102a <≤或1a >，故选：D9.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.|y x =B.y =C.y =D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，而y =，y =满足；||y x =的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，2222x y +=≤=，当且仅当x =，即x =y =的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，1y ==≤，当1x =时，函数取得最大值1，符合要求；故选：C10.设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ，L ，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且12362n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.10 B.11C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】根据题意保证各集合中n A X M m =-尽量小，结合已知和集合的性质有n 最大时()12312n A A A A n n X X X X -+++⋅⋅⋅+=，进而分析n 的取值即可.【详解】由题意1A ，2A ，3A ，L ，n A 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，要使n 最大，则各集合中n A X M m =-尽量小，所以集合1A ，2A ，3A ，L ，n A 中的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以，不妨设10A X =，21A X =，32A X =，L ，1n A X n =-，则有()12312nA A A A n n X X X X -+++⋅⋅⋅+=，当11n =时，1235562n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=<，当12n =时，1236662n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=>，所以只需在11n =时，在上述特征值取最小的情况下，使其中一个集合的特征值增加7即可，故n 的最大值为11.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()1f x x =-的定义域为__________.【答案】[3,1)(1,)-⋃+∞【解析】【分析】由函数解析式，结合根式、分式的性质求定义域.【详解】由题设30310x x x +≥⎧⇒≥-⎨-≠⎩且1x ≠，所以函数定义域为[3,1)(1,)-⋃+∞.故答案为：[3,1)(1,)-⋃+∞12.求值：()1130227438π-⎛⎫---= ⎪⎝⎭________．【答案】2-【解析】【分析】结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.【详解】()1130227438π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭()1313223212-⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13212-=--13122=--2=-，故答案为：2-.13.当3x >时，则43y x x =+-的最小值为______，当y 取得最小值时x 的值为______．【答案】①.7②.5【解析】【分析】通过函数解析式的配凑，即可利用基本不等式可求解【详解】因为44=3343733y x x x x =+-++≥+=--，当43=3x x --时等号成立，此时5x =故y 最小值为7,当y 取得最小值时x 的值为5，故答案为：7,5.14.写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）【答案】1-【解析】【分析】根据题意，假设命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当0a =和0a ≠时两种情况，从而得出实数a 的取值范围，再根据补集得出命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题时a 的取值范围，即可得出满足题意的a 的值.【详解】解：若命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，则当0a =时成立，当0a ≠时有2Δ4120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：0<<3a ，所以当03a ≤<时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，所以当(,0)[3,)a ∈-∞+∞ 时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题，故答案为：1-.（答案不唯一，只需(,0)[3,)a ∈-∞+∞ ）15.函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，给出下列四个结论：①(0)1f =或1-；②()f x 一定不是偶函数；③若()0f x >，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；④若()f x 有最大值，则()f x 一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．【答案】①③【解析】【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③，取特殊函数判断④.【详解】因为x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，所以1(0)(0)f f =，即(0)1f =或1-，故①正确；不妨取()1f x =，则1()1()f x f x -==，即()()f x f x -=恒成立，所以()f x 是偶函数，故②错误；设12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则210x x -<-<，所以21()()f x f x -<-，即21110()()f x f x <<，所以12()()f x f x <，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，故③正确；不妨取,0()1,01,0x x f x x x x⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪->⎩，则满足1()()f x f x -=，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误.故答案为：①③三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知集合{}{}14,123A x x B x m x m =-≤≤=-<<-.（1）若4m =，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()R ,14,A ∞∞=--+ ð，(]3,4A B = ，[)1,5A B =- （2）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）若4m =，代入集合B ，由补集交集并集的定义，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种类型，求实数m 的取值范围.【小问1详解】4m =时，{}35B x x =<<，又{}14A x x =-≤≤，()()R ,14,A ∞∞=--+ ð，(]3,4A B = ，[)1,5A B =- .【小问2详解】当B A ⊆时，当B =∅时，则123m m -≥-，得2m ≤满足题意当B ≠∅时，则12323411m m m m -<-⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，解得722<≤m 综上：实数m 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦17.已知函数1,0()2,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩.（1）求1((2f f -的值；（2）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x的单调区间；（3）若()8f x ≤，求x 的取值范围.【答案】（1）322（2）作图见解析，减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+（3）[]7,3-【解析】【分析】（1）根据分段函数代入求值；（2）直接作出函数的大致图象并写出单调区间；（3）对x 分段讨论，代入相应的解析式求解不等式.【小问1详解】由1,0()2,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩得3211313(1,(())()222222f f f f -=+=-==.【小问2详解】()1,02,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，所以()f x的图象如下图所示，由图可知,()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.【小问3详解】由()8f x ≤可得018x x ≤⎧⎨-+≤⎩或028x x >⎧⎨≤⎩，解得70x -≤≤或03x <≤，所以x 的取值范围是[]7,3-.18.已知函数1()4f x x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数()f x 在区间1[,)2+∞上的单调性，并用单调性定义证明；（3）已知函数(),0,()5,0,(),0,f x xg x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析（3）1[0,4【解析】【分析】（1）利用奇函数定义证明；（2）根据单调性定义证明；（3）作出()g x 的图象，观察图象得答案.【小问1详解】函数1()4f x x x=+为奇函数.证明：定义域{}|0x x ≠，因为{}|0x x x ∀∈≠，都有{}|0x x x -∈≠，且11()4()(4)()()f x x x f x x x -=-+=-+=--，所以函数1()4f x x x=+为奇函数.【小问2详解】函数()f x 在区间1[,)2+∞上单调递增.任取121,[,)2x x ∈+∞，1212x x ≤<，则()()21212111(4(4)f x f x x x x x -=+-+()2121124x x x x x x -=--()12211241x x x x x x -=-⋅因为210x x ->,120x x >，12410x x ->，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在区间1[,)2+∞上单调递增.【小问3详解】t 的范围10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，理由如下：14,0,()5,0,14,0,x x x g x x x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩先证明函数()f x 在区间1(0,2上单调递减.任取121,(0,]2x x ∈，12102x x ≤<<，则()()()1221211241x x f x f x x x x x --=-⋅，因为210x x ->，120x x >，12410x x -<，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在区间1(0,2上单调递减.根据()f x 的单调性与奇偶性可以作出()g x的图象如下：计算可知：11()()544g g =-=，由图可知，当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，t 的取值范围为1[0,]4.19.已知函数2()(31)3f x ax a x =-++，R a ∈．（1）若()0f x <的解集是{}|1x x k <<，求函数()f x 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集．【答案】19.1和3；20.答案见解析.【解析】【分析】（1）根据题意确定1是2(31)3=0ax a x -++的一个根，从而求出1a =，进而求解()0f x =即可；（2）先讨论当0a =时求解不等式，在0a ≠时求得方程(1)(3)0ax x --=的两根为1,3a，再比较两根大小，分类讨论求解不等式即可.【小问1详解】因为()0f x <的解集是{}|1x x k <<，所以1是2(31)30ax a x -++=的一个根，所以(31)30a a -++=，解得1a =，所以2()43f x x x =-+.令2()430f x x x =-+=，解得1213x x ==，，所以()f x 的零点为1和3.【小问2详解】因为()0f x >，即2(31)30ax a x -++>，所以(1)(3)0ax x -->，当0a =时，30x -+>，解得3x <；当0a ≠时，方程(1)(3)0ax x --=的两根为121,3x x a==，当a<0时，()y f x =开口向下，且13a<，解得13x a <<；当103a <<时，()y f x =开口向上，且13a>，解得3x <或1x a >；当13a =时，()y f x =开口向上，且13a=，解得3x ≠；当13a >时，()y f x =开口向上，且13a <，解得1x a<或3x >；综上所述，当0a =时，解集为{}|3x x <；当a<0时，解集为1|3x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当103a <<时，解集为1|3x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当13a =时，解集为{}|3x x ≠；当13a >时，解集为1|3x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或.20.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.【答案】（1）25()50902f n n n =-+-，3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用n 年的销售收入减去成本，求得()f n 的表达式，由()0f n >，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利.（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.【详解】（1）由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-由()0f n >得25509002n n -+->即220360n n -+<，解得218n <<由N n +∈，设备企业从第3年开始盈利（2）方案一总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时，max ()160f n =故方案一共总利润16010170+=，此时10n =方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯=≤，当且仅当6n =时等号成立故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.21.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．（1）设函数()34=+f x x ，求集合A 和B ；（2）求证：A B ⊆；（3）设函数()()20f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A B ==-（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当()34=+f x x 时，直接解方程()f x x =、()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，可得出集合A 、B ；（2）分A =∅、A ≠∅两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取0x A ∈，由“稳定点”和“不动点”的定义证得0x B ∈，即可得出结论；（3）分0a >、a<0两种情况讨论，在第一种情况下，推导出()f x x >，结合不等式的基本性质可得出()f f x x >⎡⎤⎣⎦，从而得出B =∅；在第二种情况下，推导出()f x x <，结合不等式的基本性质可得出()f f x x <⎡⎤⎣⎦，从而得出B =∅.综合可证得结论成立.【小问1详解】解：由()34f x x x =+=，可得2x =-，即{}2A =-，由()()3344916f f x x x x =++=+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =-，即{}2B =-.故当()34=+f x x 时，{}2A B ==-.【小问2详解】证明：当A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，对任意的0x A ∈，()00f x x =，则()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，所以，0x B ∈，因此，A B ⊆.综上所述，A B ⊆.【小问3详解】证明：因为A =∅，则关于x 的方程()20ax bx c x a ++=≠无实解，即方程()210ax b x c +-+=无实解，则()2140b ac ∆=--<，构造函数()()21g x ax b x c =+-+，①当0a >时，函数()g x 的图象恒在x 轴上方，即对任意的x ∈R ，则()f x x >恒成立，则()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，即()0f f x x ->⎡⎤⎣⎦恒成立，即B =∅；②当a<0时，函数()g x 的图象恒在x 轴下方，即对任意的x ∈R ，则()f x x <恒成立，则()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦，即()0f f x x -<⎡⎤⎣⎦恒成立，即B =∅.综上所述，当A =∅时，B =∅.【点睛】关键点点睛：在证明第三问时，要注意分0a >、a<0两种情况分析，确定()f x 与x 之间的大小关系，进而可得出()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的大小，从而证出结论成立.。
北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期中考试语文(A卷)(含答案)
丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一语文（A）练习时间：150分钟2023.11本练习共13页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的两则材料，完成1－5题。
材料一从基层上看去，中国社会是乡土性的。
那些被称为土头土脑的乡下人，他们才是中国社会的基层。
我们说乡下人土气，虽则似乎带着几分藐视的意味，但这个土字却用得很好。
土字的基本意义是指泥土。
乡下人离不了泥土，因为在乡下住，种地是最普通的谋生办法。
以现在的情形来说，这片大陆上最大多数的人是拖泥带水下田讨生活的了。
我们不妨缩小一些范围来看，三条大河的流域已经全是农业区。
而且，据说凡是从这个农业老家里迁移到四围边地上去的子弟，也老是很忠实地守着这直接向土里去讨生活的传统。
最近我遇着一位到内蒙旅行回来的美国朋友，他很奇怪的问我：你们中原的乡下人去了，到了这最适宜于放牧的草原，依旧锄地播种，一家家划着小小的一方地，种植起来，真像是向土里一钻，看不到其他利用这片地的方法了。
我记得我的老师史禄国先生也告诉过我，远在西伯利亚，中国的乡下人住下了，不管天气如何，还是要下些种子，试试看能不能种地。
直接靠农业来谋生的人是粘着在土地上的。
我遇见过一位在张北一带研究语言的朋友。
我问他说在这一带的语言中有没有受蒙古语的影响。
他摇了摇头，不但语言上看不出什么影响，其他方面也很少。
他接着说：“村子里几百年来老是这几个姓，我从墓碑上去重构每家的家谱，清清楚楚的，一直到现在还是那些人。
乡村里的人口似乎是附着在土上的，一代一代的下去，不太有变动。
”——这结论自然应当加以条件的，但是大体上说，这是乡土社会的特性之一。
我们很可以相信，以农为生的人，世代定居是常态，迁移是变态。
大旱大水，连年兵乱，可以使一部分农民抛井离乡；即使像抗战这样大事件所引起基层人口的流动，我相信还是微乎其微的。
不流动是从人和空间的关系上说的，从人和人在空间的排列关系上说就是孤立和隔膜。
北京市丰台区2021-2022学年高一下学期期中联考政治试题(A)(解析版)
④：该选项的说法太绝对，④错误。
故本题选B。
10.中国共产党之所以能够走在时代前列，保特党的先进性和纯洁性，就在于它（ ）
A. 以先进的革命和建设理论为指导
B. 根据时代变化和实践发展深化认识
C. 以中国特色社会主义理论体系为指导
①可以发挥党员干部在脱贫攻坚中的骨干、带头和桥梁作用
②有助于因时、因势、因户、因人精准施策、消除收入差距
③更好发挥国家机关在脱贫攻坚中的监督作用，提升服务水平
④强化基层党组织在脱贫攻坚中的作用，增强党的群众组织力
A.①③B.①④C.②③D.②④
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【详解】①④：决战决胜脱贫攻坚，派驻第一书记和驻村干部可以发挥党员干部在脱贫攻坚中的骨干、带头和桥梁作用，也能强化基层党组织在脱贫攻坚中的作用，增强党的群众组织力，①④符合题意。
①解放和发展了社会生产力，激发了广大人民群众的创造性
②使人民生活显著改善，综合国力显著增强，国际地位显著提高
③为当代中国的一切发展进步奠定了根本政治前提和制度基础
④推动了社会主义制度的自我完善，我国发展站在新的历史方位上
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】①②：改革开放是决定当代中国命运的关键抉择，其历史意义是解放和发展了社会生产力，激发了广大人民群众的创造性，使人民生活显著改善，综合国力显著增强，国际地位显著提高，①②正确。
①回顾中国半殖民地半封建社会的发展历程
②让孩子们缅怀红色历史，追忆峥嵘岁月
③教育孩子们懂得中国共产党的领导是历史和人民的选择
北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试化学试卷(A卷)(word版,含答案)
北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试化学（A 卷）考试时间：90分钟可能用到的相对原子质量：H -1 C -12 N-14 Cl -35.5 Mg-24 Al -27第I 卷（选择题 共42分）本部分共21小题，每小题2分，共42分。
每小题只有一个选项正确，请把正确的选项填涂在答题卡上。
1．下列描述中涉及将化学能转化为电能的是2．2021年我国科学家首次合成新核素21492U ，下列说法不正确．．．的是 A. 21492U 原子核内质子数为92 B. 21492U 原子核内中子数为122C.21492U 原子核外电子数为92 D. 21592U 转化成21492U 属于化学变化3．下列元素的原子半径最小的是4．下列物质中，既含有离子键又含有共价键的是5．下列化学用语或图示表达不．正确．．的是 6．某元素气态氢化物的化学式为XH 3，该元素的最高价氧化物对应水化物的化学式是7．下列性质的比较，不能．．用元素周期律解释的是 8．下列关于卤族元素的叙述中，正确的是A ．从氯到碘，卤素单质的熔点、沸点逐渐降低A ．水力发电B ．汽车的燃料电池C ．甲烷燃烧D. 电解水制氢气A ．ClB ．NaC ．SD ．AlA ．KOHB ．H 2SO 4C ．MgCl 2D ．Na 2OA ．Cl 的最高价氧化物化学式：Cl 2O 7B ． 硫元素的原子结构示意图:C ．水分子的空间结构示意图：D ．CO 2的电子式：A ．H 2XO 3B ．HXO 3C ．H 2XO 4D ．HXO 4A ．还原性：S 2－ > Cl －B ．酸性：H 2SO 4 < HClO 4C ．热稳定性：Na 2CO 3 > NaHCO 3D ．氢化物的稳定性：H 2S < H 2O2 8 6 +16B ．从氯到碘，卤素单质与氢气反应越来越容易C ．还原性：F －> Cl －> Br －> I－D ．溴单质和碘单质在四氯化碳中分别呈现橙色和紫色9．一定温度下，在2L 的密闭容器中，X 、Y 、Z 三种气体的物质的量随时间变化的曲线如图所示，下列描述不．正确．．的是 A ．该反应中，X 和Z 是反应物，Y 是生成物 B ．该反应为可逆反应 C ．6 min 时反应达到平衡状态D ．10 min 内，用Z 表示的反应速率为0.03 mol·L -1·min -1 10．下列说法中，正确的是A ．非金属元素不可能形成离子化合物B ．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应C ．化学反应过程中，化学键断裂吸收能量，化学键形成释放能量D ．反应物的总能量高于生成物的总能量发生反应时需要吸收能量 11．下列物质属于共价化合物的是① HCl ① NH 4Cl ① N 2 ① NaOH ① CaCl 2 ① H 2O 2 ① NaF ① CO 2 12．一定温度下，在恒容密闭容器中发生反应2HI (g)I 2 (g ）+H 2 (g ），当HI 、I 2、H 2 的浓度不再变化时，下列说法正确的是 13．一种适合外出旅游时使用的“即食即热快餐”，其外层分别包装了两种化学物质，使用时两种物质接触并反应，对食物进行加热。
北京市丰台区2023-2024学年高一下学期4月期中考试 语文(A卷)含答案
丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习高一语文（A）练习时间：150分钟（答案在最后）2024.4 本练习共13页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的两则材料，完成1-5题。
材料一墨作为书写工具，同时也是重要的文化传承载体，已有几千年的历史。
殷商时代的甲骨文就以石墨、朱砂填色。
汉代纸料发明后，出现了一种以漆烟和松煤制成的丸状墨，这是日后用墨的滥觞。
唐代是文化交流最广泛的朝代之一。
唐末奚超避乱至歙州，见此地多松且质优，新安江水质极佳，因此留在此地制墨。
因墨的主产区为歙州，故得名“歙墨”。
其后奚超之子改进捣烟、和胶的方法，制成了“拈来轻、嗅来馨、磨来清”“丰肌腻理、光泽如漆”的佳墨。
制墨工艺的改进，让书写更加流利，也加快了文化的传播速度。
宋室南渡后，宋墨的制作技艺臻于成熟。
宣和三年（1121），歙州改成徽州，“徽墨”之名正式诞生。
明代徽墨进入了发展的黄金时期。
先进的桐油烟与漆油的制墨方法被广泛应用。
徽墨普遍加入麝香、冰片、熊胆等十几种贵重原料，使墨的质地达到新的水平。
竞争使徽墨在工艺进步的同时也提升了造型设计能力和墨模的雕刻技术。
徽墨呈现出艺术品的潜质，也带动了从事艺术的文化人士投身工艺品创作的潮流。
清代徽墨的发展虽不及明代的规模，但陆续出现了曹素功、胡开文等制墨名家。
这一时期徽墨出现了集锦种类的墨，墨雕题材也更加丰富。
墨雕题材多取自山川、建筑、风光、典籍、典故、儒家、道家、佛家等，少则几锭为一套，多则几十锭为一套，徽墨成为多种文化元素的载体。
作为传统工艺制品，徽墨因其装饰图案文化内容丰富，兼具实用与欣赏功能。
徽学中的新安理学以“经世致用”“知行合一”的实践理性精神成为徽州文化的思想基础，儒家的社会伦理纲常、个人忠孝节义则是徽州人处世安身的精神支柱。
徽墨与徽州其他艺术一样具有象征性和教育性，即通过某一特定的具体形象以表现与之相似或相近的概念、思想和感情，对后世有一定的教育意义。
2022-2023学年北京市丰台区高一下学期4月期中生物试卷
丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习高一生物学（A卷）考试时间：90分钟第I卷（选择题共50分）本部分共35小题，1～20 题每小题1分， 21～35题每小题2分，共50 分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．在豌豆杂交实验中，为防止自花授粉，应A．将花粉涂在雌蕊柱头上 B．除去未成熟花的雄蕊C．采集另一植株的花粉 D．人工传粉后套上纸袋2．某生物的基因型为AaBb，这两对基因的遗传符合自由组合定律。
该生物测交后代中，与其两个亲代基因型都不同的个体所占的百分比是A．25% B．50% C．75% D．100%3．某动物的基因型为AaBb，这两对基因的遗传符合自由组合定律。
若它的一个精原细胞经减数分裂（不考虑染色体互换）后产生的四个精细胞中，有一个精细胞的基因型为AB，那么另外三个的基因型分别是A．Ab、aB、ab B．AB、ab、abC．ab、AB、AB D．AB、AB、AB4．进行有性生殖的生物，对维持其前后代体细胞染色体数目恒定起重要作用的是A．有丝分裂与受精作用 B．细胞增殖与细胞分化C．减数分裂与受精作用 D．减数分裂与有丝分裂5．如图为水稻花粉母细胞减数分裂某一时期的显微图像，关于此细胞的叙述正确的是A．含有24条染色体B．处于减数第二次分裂C．没有同源染色体D．姐妹染色单体正在分离6. 鸡羽毛的颜色受两对等位基因控制，芦花羽基因B对全色羽基因b为显性，位于Z 染色体上，且W染色体上无相应的等位基因；常染色体上基因T存在时B或b控制的性状才可表现，tt为白色羽。
一只芦花羽雄鸡与一只白色羽雌鸡交配，子代表现型及其比例为芦花羽：全色羽=1:1，则两个亲本的基因型为A.TtZ B Z b×ttZ b WB.TTZ B Z b×ttZ b WC.TtZ B Z B×ttZ B WD.TTZ B Z b×ttZ B W7.鳟鱼的眼色和体色分别由两对等位基因控制。
北京市丰台区2020-2021学年高二下学期期中联考物理试题(A卷Word版)
丰台区2020-2021学年度第二学期期中考试联考高二物理（A卷）考试时间：90分钟第I卷（选择题共42分）一、单项选择题（每小题3分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
）1.关于简谐运动，下列说法正确的是（）A. 简谐运动中位移方向总与回复力方向相反B. 简谐运动中位移方向总与速度方向相反C. 物体所受的回复力始终指向平衡位置，方向不变D. 单摆在任何情况下的运动都是简谐运动2．如图所示，一恒力F与水平方向的夹角为θ，作用在置于光滑水平面上、质量为m的物体上，使物体由静止开始运动，经时间t物体的速度大小为v，重力加速度大小为g，则恒力F在时间t内的冲量大小为（）A．mv B．FtC．Ft cosθD．（mg-F sinθ）t3. 如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。
以平衡位置O为坐标原点，建立Ox轴，规定向右为正方向，其简谐运动的周期T=0.8 s，OM=ON=10 cm。
当t=0时刻，将小球由N点静止释放。
关于小球的运动，下列说法正确的是（）A. 简谐运动的表达式为x=0.1sin（2.5πt）mB. 每次通过同一位置时，速度一定相同C. 从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能先增加再减小D.从N到O的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能4. 如图所示是一质点做简谐运动的图像，则该质点（）A. 在0～0.01 s内，速度与回复力方向相反B. 在0.01 s～0.02 s内，速度与加速度方向相同C. 在0.025 s时，速度方向为正D. 在0.04 s时，速度最大，回复力为零5．如图为一单摆的共振曲线，下列说法正确的是（）A．该单摆的固有周期为2sB．该单摆的摆长约为2 mC．将该单摆从地球搬到月球上，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将增大D．若摆长增大，共振曲线振幅最大值所对应的横坐标将增大6. 关于波的描述，下列说法正确的是（）A. 当两列波发生干涉时，如果两列波的波峰在某点相遇，则该处质点的位移始终最大B. 声波容易绕过障碍物传播是因为声波波长较长，容易发生衍射C. 当机械波发生反射时，其频率不变，波长、波速均发生变化D. 当接收者远离波源时，波源发出的频率变低7. 如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6 s时的波形图，波的周期T＞0.6 s，则（）A．波的周期为0.8 sB．t＝0.6 s时，P点的速度最大C．在t＝1.2 s时，P点沿y轴正方向运动D．在t＝1.2 s时，Q点到达波峰位置8. 水平放置的弹性长绳上有一系列均匀分布的质点1、2、3、……．使质点1沿竖直方向做简谐运动，振动将沿绳向右传播，从质点1经过平衡位置向上运动时开始计时，当振动传播到质点13时，质点1恰好完成一次全振动．则此时关于质点10的运动，下列说法正确的是（）A．位移为零B．加速度为最大值C．正向下运动D．加速度为零9. 一个质量为2 kg的物块在合力F的作用下从静止开始沿直线运动，F随t变化的图线如图所示，则（）A. 前3 s内合力F的冲量大小为0B.t=1 s时，物块的速率为2 m/sC. t=2 s时，物块的动量的大小为2 kg·m/sD. 前4 s 内动量的变化量大小为2 kg·m/s10. 如图所示，用铁锤打击弹性金属片后，小球A做平抛运动，小球B从同一高度同时做自由落体运动。
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2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A 卷）试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）设i 是虚数单位，则复数z=1+3i 的共轭复数是（ ）A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i2.（单选题，4分）函数f （x ）=cos2x 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）A.2πB.πC. π2D. π4 3.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，4分）函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）的解析式为（ ）A.g （x ）=sin2xB. g (x )=sin (2x +π4)C. g (x )=sin (2x −π4)D. g (x )=sin (2x +3π4) 5.（单选题，4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6.（单选题，4分）下列各数a=sin25°cos27°+cos25°sin27°，b=2sin27°cos27°，c=2cos 222°-1， d =2tan22.5°1−tan 222.5° 中，最大的是（ ）A.aB.bC.cD.d7.（单选题，4分）已知向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ），则∠ABC=（ ） A.30°B.60°C.90°D.120°8.（单选题，4分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2 ）的部分图象如图所示，则f （π）=（ ）A.- √3B.- √32C. √32D. √39.（单选题，4分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，则 AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.0B. 14C. 18D. 5810.（单选题，4分）已知平面上的两个单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 a ⃗ ⋅ b ⃗⃗ = 45 ，若m∈R ，则| a ⃗ +m b ⃗⃗ |的最小值为（ ）A. 52B. 25C. 53D. 3511.（填空题，4分）已知i 为虚数单位，若（1+i ）z=2i ，则|z|=___ ．12.（填空题，4分）已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ |=2| a ⃗ |，且（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，a= √2 b ，b= √3c ，则最大角的余弦值为___ ．14.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是单位向量， a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为120°，则（ a ⃗ + b⃗⃗ ）⋅ b ⃗⃗ =___ ，| a ⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ． 15.（填空题，4分）一艘货船以20km/h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为___ km ．16.（填空题，4分）梯形ABCD 中，AB || CD ，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ； （2） PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 17.（问答题，9分）已知A （-1，2），B （3，3），C （t ，1）．（Ⅰ）当A ，B ，C 三点共线时，求实数t 的值；（Ⅱ）若∠ABC=90°，求实数t 的值；（Ⅲ）当t=6时，点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标．18.（问答题，9分）已知函数f （x ）=sin 2x ．（Ⅰ）求 f (π3) 的值；（Ⅱ）若 f (α)=23 ，求cos2α的值；（Ⅲ）设函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx ，求函数g （x ）的单调递增区间．19.（问答题，9分）在△ABC中，sinA+√3cosA=0，a=√19，b=2．（Ⅰ）求A的大小及边c的值；（Ⅱ）若D是BC边上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．20.（问答题，9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2=√3ab+ c2．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）求cosA+sinB的最大值．2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）设i是虚数单位，则复数z=1+3i的共轭复数是（）A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i【正确答案】：B【解析】：由已知直接利用共轭复数的概念得答案．【解答】：解：∵z=1+3i，∴ z=1−3i，故选：B．【点评】：本题考查复数的基本概念，是基础题．2.（单选题，4分）函数f（x）=cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（）A.2πB.πC. π2D. π4【正确答案】：C【解析】：由题意利用余弦函数的周期性，可得相邻两条对称轴之间的距离为T2，计算求得结果．【解答】：解：函数f（x）=cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离为T2 = πω= π2，故选：C．【点评】：本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．3.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先化简命题，再讨论充要性．【解答】：解：向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1）， a ⃗ || b⃗⃗ ，则4=x 2，解之得x=±2， 则“x=2”是“x=±2”的充分而不必要条件，即向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的充分而不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查命题充要性，以及向量平行，属于基础题．4.（单选题，4分）函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）的解析式为（ ）A.g （x ）=sin2xB. g (x )=sin (2x +π4)C. g (x )=sin (2x −π4)D. g (x )=sin (2x +3π4) 【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出结果．【解答】：解：函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）=sin （2x- π2+π4 ）=sin （2x- π4 ）的图象．故选：C ．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.（单选题，4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −13AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗【正确答案】：D【解析】：利用三角形法则即可求解．【解答】：解：在平行四边形中，由已知可得：DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．6.（单选题，4分）下列各数a=sin25°cos27°+cos25°sin27°，b=2sin27°cos27°，c=2cos 222°-1， d =2tan22.5°1−tan 222.5° 中，最大的是（ ）A.aB.bC.cD.d【正确答案】：D【解析】：先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可比较大小．【解答】：解：a=sin25°cos27°+cos25°sin27°=sin42°，b=2sin27°cos27°=sin54°，c=2cos 222°-1=cos44°=sin46°， d =2tan22.5°1−tan 222.5° =tan45°=1， 因为y=sinx 在（0， π2 ）上单调递增，所以sin42°＜sin46°＜sin54°＜1=tan45°，所以a ＜c ＜b ＜d ．即最大的为d ．故选：D ．【点评】：本题主要考查了二倍角公式及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．7.（单选题，4分）已知向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ），则∠ABC=（ ） A.30°B.60°C.90°D.120°【正确答案】：A【解析】：根据题意，由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标可得则| BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、| BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，由向量夹角公式可得cos∠ABC 的值，进而分析可得答案．【解答】：解：根据题意，向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ）， 则| BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，| BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 × √32 + 12 × √32 = √32， 则cos∠ABC= BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √32 ， 又由0°≤∠ABC≤180°，则∠ABC=30°，故选：A ．【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．8.（单选题，4分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2）的部分图象如图所示，则f （π）=（ ）A.- √3B.- √32C. √32D. √3【正确答案】：A【解析】：由已知函数图象求得T ，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f （π）．【解答】：解：由图可知， T 2 = 5π12 -（- π12 ）= π2 ，则T=π，∴ω=2．又2× 5π12 +φ= π2 ，∴φ=- π3 ．则f （x ）=2sin （2x- π3 ），∴f （π）=2sin （2π- π3 ）=2sin （- π3 ）=- √3 ．故选：A ．【点评】：本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式，属于中档题．9.（单选题，4分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，则 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.0B. 14C. 18D. 58【正确答案】：B【解析】：用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算数量积．【解答】：解：△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，如图，则 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 - 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12−12×1×1×12 = 14 ． 故选：B ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．10.（单选题，4分）已知平面上的两个单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 a ⃗ ⋅ b ⃗⃗ = 45，若m∈R ，则| a ⃗ +m b ⃗⃗ |的最小值为（ ）A. 52B. 25C. 53D. 35【正确答案】：D【解析】：根据条件及 |a ⃗+mb ⃗⃗|=√(a ⃗+mb ⃗⃗)2进行数量积的运算即可得出 |a ⃗+mb⃗⃗|=√m 2+85m +1 ，然后配方即可求出最小值．【解答】：解：∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1，a ⃗•b ⃗⃗=45， ∴ |a ⃗+mb ⃗⃗|=√(a ⃗+mb ⃗⃗)2 = √a ⃗2+2ma ⃗•b ⃗⃗+m 2b ⃗⃗2 = √m 2+85m +1 = √(m +45)2+925， ∴ m =−45 时， |a ⃗+mb ⃗⃗| 取最小值 35． 故选：D ．【点评】：本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．11.（填空题，4分）已知i 为虚数单位，若（1+i ）z=2i ，则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：先将z 表示出来，然后利用复数模的运算性质求解即可．【解答】：解：因为（1+i ）z=2i ，所以 z =2i 1+i ，故 |z |=|2i||1+i|=√2 = √2 ． 故答案为： √2 ．【点评】：本题考查了复数模的求解，主要考查了复数模的运算性质的运用，考查了运算能力，属于基础题．12.（填空题，4分）已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ |=2| a ⃗ |，且（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] 2π3【解析】：据题意，设 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ，| a ⃗ |=t ，则| b⃗⃗ |=2t ，由向量垂直的判断方法可得（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）• a ⃗ = a ⃗2+ a ⃗ • b⃗⃗ =t 2+2t 2cosθ=0，解可得cosθ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，设 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ，| a ⃗ |=t ，则| b⃗⃗ |=2t ， 若（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）• a ⃗ = a ⃗2+ a ⃗ • b ⃗⃗ =t 2+2t 2cosθ=0，变形可得：cosθ=- 12，又由0≤θ≤π，则θ= 2π3，故答案为：2π3．【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断以及向量夹角的计算，属于基础题．13.（填空题，4分）在△ABC中，a= √2 b，b= √3c，则最大角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] −√33【解析】：根据条件可得出a= √6c，从而得出A为最大角，然后根据余弦定理即可求出cosA的值．【解答】：解：∵ a=√2b，b=√3c，∴ a=√6c，∴a最大，A角最大，∴根据余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc =2222√3c2= −√33．故答案为：−√33．【点评】：本题考查了大角对大边定理，余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．14.（填空题，4分）已知向量a⃗，b⃗⃗是单位向量，a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，则（a⃗ + b⃗⃗）⋅b⃗⃗=___ ，| a⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] 12; [2] √3【解析】：利用向量的数量积以及向量的模的运算法则转化求解即可．【解答】：解：向量a⃗，b⃗⃗是单位向量，a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，则（a⃗ + b⃗⃗）⋅b⃗⃗ = a⃗•b⃗⃗ + b⃗⃗2 = 1×1×(−12)+1 = 12．| a⃗ +2 b⃗⃗ |= √a⃗2+4a⃗•b⃗⃗+4b⃗⃗2 = √1+4×1×1×(−12)+4 = √3．故答案为：12；√3．【点评】：本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则的应用，是基础题．15.（填空题，4分）一艘货船以20km/h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为___ km ．【正确答案】：[1]40 √2【解析】：直接利用三角形内角和定理，正弦定理的应用求出结果．【解答】：解：如图所示：根据题意知：在△ABP 中，由于∠PAB=30°，∠ABP=105°，AB=80km ，所以∠P=45°，利用正弦定理： BP sin∠PAB =AB sin∠P ，整理得 BP12=√22解得BP=40 √2 ．故答案为：40 √2 ．【点评】：本题考查的知识要点：三角形内角和定理，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.（填空题，4分）梯形ABCD 中，AB || CD ，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ； （2） PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 【正确答案】：[1]-1; [2] 12【解析】：（1）根据题意，建立坐标系，求出A 、B 、C 、D 的坐标，由中点坐标公式可得P的坐标，即可得向量 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案； （2）设P 的坐标为（m ，n ），分析m 、n 的关系，表示向量 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积的计算公式可得 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，如图，建立坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （1，1），点P 是线段BC 的中点，则P （ 32 ， 12 ），BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，1）， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 32 ， 12）， 则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1）× 32 +1× 12=-1； （2）B （2，0），C （1，1），直线BC 的方程为x+y=2，设P 的坐标为（m ，n ），则m+n=2，（0≤n≤1），PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-m ，-n ）， AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（m ，n ） 则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-m ）m-n 2=-2n 2+2n=-2（n- 12 ）2+ 12 ≤ 12 ，即 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 12． 故答案为：（1）-1；（2） 12 ．【点评】：本题考查向量数量积的计算和性质的应用，涉及，属于基础题．17.（问答题，9分）已知A （-1，2），B （3，3），C （t ，1）．（Ⅰ）当A ，B ，C 三点共线时，求实数t 的值；（Ⅱ）若∠ABC=90°，求实数t 的值；（Ⅲ）当t=6时，点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）分别求出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由A ，B ，C 三点共线，能求出t ． （Ⅱ）由∠ABC=90°，得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量垂直的性质能求出t ． （Ⅲ）当t=6时，C （6，1），平行四边形ABCD 中，设D （x ，y ），由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，能求出D 点坐标．【解答】：解：（Ⅰ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，1）， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（t-3，-2）， ∵A ，B ，C 三点共线，∴t -3+8=0，解得t=-5．（Ⅱ）∵∠ABC=90°，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4（t-3）+1×（-2）=0， 解得t= 72 ．（Ⅲ）当t=6时，C （6，1），平行四边形ABCD 中，设D （x ，y ），由 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得（-4，-1）=（x-6，y-1）， 解得x=2，y=0，∴D （2，0）．【点评】：本题考查实数值、点的坐标的求法，涉及到平面向量的坐标运算、向量共线、向量垂直、向量相等的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．18.（问答题，9分）已知函数f （x ）=sin 2x ．（Ⅰ）求 f (π3) 的值；（Ⅱ）若 f (α)=23 ，求cos2α的值；（Ⅲ）设函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx ，求函数g （x ）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意根据函数的解析式，直接求得f （ π3 ） 得值．（Ⅱ）由题意用二倍角的余弦公式，计算求得结果．（Ⅲ）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数g （x ）的单调递增区间．【解答】：解：（Ⅰ）（1）由于函数f （x ）=sin 2x ，故f （ π3 ）= sin 2(π3) = 34 ．（Ⅱ）若 f (α)=23 =sin 2α，∴cos2α=1-2sin 2α=- 13 ．（Ⅲ）∵函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx =sin 2x+ √32 sin2x=1−cos2x 2 + √32 sin2x=sin （2x- π6 ）+ 12 ， 令2kπ- π2 ≤2x - π6 ≤2kπ+ π2 ，求得kπ- π6 ≤x≤kπ+ π3 ，求得函数g （x ）的单调递增区间为[kπ- π6 ，kπ+ π3 ]，k∈Z ．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．19.（问答题，9分）在△ABC 中， sinA +√3cosA =0 ， a =√19 ，b=2．（Ⅰ）求A 的大小及边c 的值；（Ⅱ）若D 是BC 边上的一点，且AD⊥AC ，求△ABD 的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式求出A ，再根据余弦定理求出c 即可；（Ⅱ）根据余弦定理求出cosC ，从而求出CD ，再求出BD 的值，根据余弦定理求出cosB ，从而求出sinB ，再求出三角形的面积即可．【解答】：解：（Ⅰ）由 sinA +√3cosA =0 ，得 12 sinA+ √32 cosA=0，故sinAcos π3 +cosAsin π3 =0，故sin （A+ π3 ）=0，∵A 是△ABC 的内角，∴A= 2π3 ，cosA=- 12 ，在△ABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA ，得：19=4+c 2-4c•（- 12 ），解得：c=3或c=-5（舍），故A= 2π3 ，c=3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得：9=19+4-4 √19 cosC ，解得：cosC= 7√1938 ，则RT△ADC中，cosC= ACCD ，解得：CD= 4√197，∴BD=BC-CD= 3√197，在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得4=19+9-6 √19 cosB，解得：cosB= 4√1919，故sinB= √5719，∴S△ABD= 12•AB•BD•sinB= 12×3× 3√197• √5719= 9√314．【点评】：本题考查了余弦定理的应用以及求三角形的面积公式，考查转化思想，是中档题．20.（问答题，9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2=√3ab+ c2．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）求cosA+sinB的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据a2+b2=√3ab+c2及余弦定理即可得出cosC=√32，从而求出C=π6；（Ⅱ）可得出B= 5π6−A，从而可得出cosA+sinB=32cosA+√32sinA，然后根据两角和的正弦公式可得出cosA+sinB=√3sin(A+π3)，这样即可求出cosA+sinB的最大值．【解答】：解：（Ⅰ）∵ a2+b2=√3ab+c2，∴ a2+b2−c2=√3ab，根据余弦定理，a2+b2-c2=2abcosC，∴ 2abcosC=√3ab，∴ cosC=√32，且C∈（0，π），∴ C=π6；（Ⅱ）∵ C=π6，∴ A+B=5π6，∴ B=5π6−A，∴ cosA+sinB=cosA+sin(5π6−A)= cosA+12cosA+√32sinA= 32cosA+√32sinA= √3(√32cosA+12sinA)= √3sin(A+π3)，且0＜A＜5π6，∴ A+π3=π2，即A=π6时，cosA+sinB取最大值√3．【点评】：本题考查了余弦定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，考查了计算能力，属于中档题．。