北京四中高一数学上学期期末试题
北京古城第四中学高一数学理上学期期末试卷含解析
北京古城第四中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不论，为何实数，的值A．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数参考答案：A2. 已知数列满足，且，则=（）A. B. C. D.参考答案：A略3. 已知，，，若，则x＝（）A. －9B. 9C. －11D. 11参考答案：B【分析】利用题中所给的条件，求得然后利用，根据向量数量积公式求得x所满足的等量关系式，求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，即，解得，故选B.【点睛】该题考查的是有关向量垂直的条件，涉及到的知识点有向量的加法运算法则，向量垂直的条件，向量数量积的坐标公式，正确使用公式是解题的关键. 4. 定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f （x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B．C．﹣D．1参考答案：A【考点】抽象函数及其应用．【分析】由于f（﹣x）=﹣f（x）推出函数是奇函数，f（x﹣2）=f（x+2），得到函数f（x）为周期为4的函数，求出log220的范围，再由已知表达式，和对数恒等式，即可得到答案．【解答】解：由于定义在R上的函数f（x），满足f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数，f（x﹣2）=f（x+2），所以函数f（x）为周期为4的函数，log220∈（4，5），x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220）===﹣1，故选：A．5. 已知向量a=(l，n)，b=(-l，n)，若2a-b与b垂直，则等于 ( )A.1 B． C．2 D．4参考答案：C6. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程的一个根位于下列哪个区间内（）A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)参考答案：C7. 设集合≤x≤0},B={x|-1≤x≤3},则A∩B=（）A．［-1,0］ B．［-3,3］ C．［0,3］ D．［-3,-1］参考答案：A略8. 函数与的图像如图，则函数的图像可能是（）．A．B．C．D．参考答案：A解：由的图像可知：在时，函数值为负，时，函数值为正，结合的图像可知：时，函数值先为正数，后为，再为负数，时，函数值先为负数，后为，再为正数，时，先为负数，后为，再为正数，且的图像不过原点．故选．9. 若函数为偶函数，则（）A．－2 B．－1 C．1 D．2参考答案：C10. （5分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A．πB．2πC．4πD．8π参考答案：B考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设出圆柱的高，通过侧面积，求出圆柱的高与底面直径，然后求出圆柱的体积．解答：解：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为：h，因为圆柱的侧面积是4π，所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱的底面半径为：1，圆柱的体积：π×12×2=2π．故选B．点评：本题考查圆柱的侧面积与体积的计算，考查计算能力，基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数，则满足方程的实数的值为．参考答案：或∵函数，当或，时;当即时, 由得，解得；当即时,由得,解得 （舍去）；综上：或. 12. 已知定点,,以为直径的端点作圆，与轴有交点，则交点的 坐标_________.参考答案：(1,0),(2,0)13. 已知函数，则.参考答案：-114. 已知实数x 、y 满足，则目标函数的最小值是 .．参考答案： - 915. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是___________．参考答案：略16. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。
人教A版数学必修四第一学期期末测试高一年级
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）北京四中2009～2010学年度第一学期期末测试高一年级数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，满分共计150分；考试时间：120分钟卷(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．的值是( )A．B． C． D．2．等于( )A. B. C. D.3．在中，是边上一点，则等于( )A. B. C. D.4．函数最小值是( )A. 1 B．C．-1 D．5．若是周期为的奇函数，则可以是( )A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D.7．已知，向量与垂直，则实数的值为( )A. B. C. D.8．函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称9．设非零向量满足则( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°10．设，对于函数，下列结论正确的是( )A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11．若，则____________.12．已知向量夹角为，且，，则____________.13．已知是锐角，，且，则=___________.14．若，则___________.15．已知函数的图像如图所示，则_____________.16．已知函数，如果存在实数使得对任意实数，都有，则的最小值是_________.三、解答题(本大题共3小题，共26分)17．(本题满分8分)已知.求：(1)的值；(2)的值.18．(本题满分8分)已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(m，0)．(1)若，求m的值；(2)若m=5，求的值．19．(本题满分10分)已知向量，函数.(1)求函数的解析式；(2)求函数的最小正周期、单调增区间；(3)求函数在时的最大值及相应的的值.卷(II)一、选择题：(本大题共3小题，每小题4分，共12分)1. 函数是偶函数，则值的集合是( )A．B．C．D．2．已知，点在内，且，设，则( )A．B．C． D．3. 设,是锐角三角形的两内角，则( )A．cos>sin, cos>sin B. cos>sin, cos<sinC. cos<sin, cos<sinD. cos<sin, cos>sin二、填空题：(本大题共2小题，每小题4分，共8分)4．函数的最小正周期为_______________，单调减区间为______________________________.5．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|}.③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数⑤函数其中真命题的序号是_______________(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)6．(本题满分10分) 已知,,,.(1) 求的值；(2) 求的值.7．(本题满分10分)记．若函数.(1)用分段函数形式写出函数的解析式；(2)求的解集.8．(本题满分10分)设函数，其中为正整数.(1)判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；(2)证明：；(3)对于任意给定的正奇数，求函数的最大值和最小值.参考答案卷(I)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D B C A A B B二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11 1213 1415 0 16三、解答题(本大题共3小题，共26分)17. 解：法一：(1)由得：，(2)法二：由得.；若，则；若，则.综上有.18．解析：(1),由可得解得.(2)当时,可得,所以.因为A为三角形的内角，所以.19.解：(1)(2)由(1)知，所以最小正周期为；令，解得，所以函数的单调递增区间为.(3)当时，，所以，当，即时，取最大值，即. 卷(Ⅱ)1. B2.B3.C4.，5.①④6. 解：(1)因为,.又,所以(2)根据(1)，得而,且,所以故=.7．解：(1)=解得．又函数在内递减，在内递增，所以当时，；当时，．所以．(2)等价于：①或②．解得：，即的解集为．8．解：(1)在上均为单调递增的函数.对于函数，设，则，，函数在上单调递增.(2)原式左边.又原式右边..(3)当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.下面讨论正奇数的情形：对任意且，以及，，从而.在上为单调递增，则的最大值为，最小值为.综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.。
2020-2021年北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题(含解析)
2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题一．解答题（共17小题）1．（2020秋•房山区期末）已知函数1122()log (2)log (2)f x x x =++-．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）求解关于x 的不等式12()log (3)f x x ．2．（2020秋•海淀区期末）已知函数1()f x x x=-． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅰ）解不等式1(2)(4)x x f f +>．3．（2020秋•西城区校级期末）已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何1x ，2f x D ∈（其中fD 为函数()f x 的定义域），均有1212|()()|||f x f x x x --成立．（Ⅰ）已知函数211()1,[,]22f x x x =+∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（Ⅰ）是否存在实数a ，使得()2ap x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅰ）对于实数a ，()b a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[a ，]b 的函数的集合，定义：已知()h x 是定义在[p ，]q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[p ，]q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋯<<=，和式11|()()|nii i h x h xT -=-∑恒成立，则称()h x 为[p ，]q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”， T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121ni n i t t t t ==++⋯+∑．求证：集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”． 4．（2020秋•大兴区期末）已知函数2()()21xf x a a R =-∈+． （Ⅰ）判断()f x 在(0,)+∞内的单调性，并证明你的结论；（Ⅰ）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 5．（2020秋•顺义区期末）已知函数2()4x mf x x +=-是定义在(2,2)-上的奇函数． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间(2,2)-上是减函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<．6．（2020秋•石景山区期末）已知函数2()log ||f x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及(f 的值； （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅰ）判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并给予证明． 7．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数||()1(22)2x xf x x -=+-<． （1）求函数()f x 的值域：（2）若函数()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象有交点，请直接写出实数a 的取值范围． 8．（2020秋•丰台区期末）已知函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅰ）若x R ∀∈，()f x m >，请写出m 的最大值； （Ⅰ）判断并证明函数1()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性． 9．（2020秋•西城区校级期末）已知函数2()21x x af x -=+为奇函数．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()0.5f x <，求x 的范围； （3）求函数()f x 的值域．10．（2020秋•昌平区期末）已知函数1()log (0||2af x a x =>+且1)a ≠． （Ⅰ）试判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的值域；（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，求实数a 的取值范围． 11．（2020秋•西城区期末）设函数4()3f x x x=++． （Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标； （Ⅰ）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值；（Ⅰ）用单调性定义证明：函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．12．（2020秋•西城区期末）设函数21()21x x f x +=-．（Ⅰ）若f （a ）2=，求实数a 的值；（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅰ）若()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，求实数m 的最小值．13．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数1133()5x xf x --=，1133()5x x g x -+=．（1）①直接写出函数()f x 的奇偶性；②写出函数()f x 的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：111()5()()422f fg -= ；f （4）5f -（2）g （2）= ；f （9）5f -（3）g （3）= ；（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明． 14．（2020秋•东城区期末）已知函数1()21xf x a =-+是奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）判断()f x 的单调性；（只需写出结论）（Ⅰ）若不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立，求m 的取值范围．15．（2020秋•房山区期末）设函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数a ，使得对于任意x D ∈，有x a D +∈，且()()f x a f x +>，则称()f x 是D 上的“a 距增函数”．（Ⅰ）判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”？说明理由；（Ⅰ）写出一个a 的值，使得2,0()0x x f x x +<⎧⎪=是区间(,)-∞+∞上的“a 距增函数”；（Ⅰ）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||f x x a a =--．若()f x 为R 上的“2021距增函数”，求a 的取值范围．16．（2020秋•丰台区期末）设函数()f x 的定义域为I ，如果存在区间[m ，]n I ⊆，使得()f x 在区间[m ，]n 上是单调函数且值域为[m ，]n ，那么称()f x 在区间[m ，]n 上具有性质P ．（Ⅰ）分别判断函数()cos f x x =和3()g x x =在区间[1-，1]上是否具有性质P ；（不需要解答过程）（Ⅰ）若函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅰ）求n m -的最大值．17．（2020秋•朝阳区期末）“函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()(2)2x m x n ϕϕ+-=”．若函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，且当[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++． （Ⅰ）求(0)f f +（2）的值； （Ⅰ）设函数4()2xg x x=-． （Ⅰ）证明函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称；（Ⅰ）若对任意1[0x ∈，2]，总存在22[,1]3x ∈-，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题参考答案一．解答题（共17小题）1．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得函数的定义域，由奇偶性的定义可得结论，（Ⅰ）根据题意，原不等式变形可得21122log (4)log (3)x x -，则有2043x x <-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数1122()log (2)log (2)f x x x =++-，则有2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得2x >，则函数()f x 的定义域为(2,)+∞，所以函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． （Ⅰ）由2111222()log (2)log (2)log (4)f x x x x =++-=-，得21122log (4)log (3)x x -，因为12log y x =在(0,)+∞是减函数，所以有2043x x <-，解得24x <，因此不等式12()log (3)f x x 的解集为{|24}x x <．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题． 2．【分析】（Ⅰ）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，由作差法证明可得结论，（Ⅰ）根据题意，由指数的运算性质可得120x +>，40x >，结合()f x 的单调性可得124x x +>，变形可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则1212121212111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+， 1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， ∴121210,10x x x x -<+>， 12()()0f x f x ∴-<．即12()()f x f x <，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； （Ⅰ）根据题意，对于1(2)(4)x x f f +>，有120x +>，40x >，而函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 则有124x x +>，即121x -<， 解可得1x <．不等式的解集为(,1)-∞．【点评】本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 3．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，通过任取1x ，21[2x ∈-，1]2，证明1212|()()|||f x f x x x --成立，说明()f x 属于集合M ．（Ⅰ）若()p x M ∈，则有1212||||22a ax x x x --++，然后可求出当[1a ∈-，1]时，()p x M ∈．（Ⅰ）直接利用新定义加以证明，并求出()h x 的“绝对差上确界T ”的值． 【解答】解：（Ⅰ）设1x ，21[2x ∈-，1]2，则2212121212|()()|||||||f x f x x x x x x x -=-=-+， 因为11122x -，21122x -， 所以1211x x -+，所以221212121212|()()|||||||||f x f x x x x x x x x x -=-=+--，所以函数()f x 属于集合M ． （Ⅰ）若函数()2aP x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ， 则当1x ，2[1x ∈-，)+∞时，1212|()()|||P x P x x x --恒成立，即1212||||22a ax x x x --++，对1x ，2[1x ∈-，)+∞恒成立，所以12|||(2)(2)|a x x ++，对1x ，2[1x ∈-，)+∞恒成立，因为1x ，2[1x ∈-，)+∞， 所以12|(2)(2)|1x x ++， 所以||1a ，即11a -， 所以a 的取值范围为[1-，1]．（Ⅰ）取1010p =-，1010q =， 则对区间[1010-，1010]的任意划分，和式1102111|()()||()()||()()||()()|ni i n n i h x h x h x h x h x h x h x h x --=-=-+-+⋯+-∑10211102110||||||()()()1010(1010)2020n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ---+-+⋯+-=-+-+⋯+-=-=--=，所以集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，且()h x 的“绝对差上确界” 2020T =． 【点评】本题考查函数的新定义，解题中需要一定的阅读理解能力，属于中档题． 4．【分析】()I 先设120x x <<，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断，()II 若()f x 为奇函数，则(0)0f =，代入可求a ，然后结合奇函数定义进行检验即可判断．【解答】解：()()I f x 在(0,)+∞内的单调递增，证明如下： 设120x x <<，则12211212222(22)()()01212(12)(12)x x x x x x f x f x --=-=<++++， 所以12()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， ()II 存在1a =使得()f x 为奇函数，若()f x 为奇函数，则(0)10f a =-=，故1a =，此时221()11221x x x f x -=-=++，2112()()2112x xx xf x f x -----===-++，故()f x 为奇函数，此时1a =．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，定义法的应用是求解问题的关键． 5．【分析】（1）由奇函数的性质得，(0)0f =，代入可求m ，进而可求函数解析式； （2）先设1222x x -<<<，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断； （3）结合()f x 在区间(2,2)-上是减函数且为奇函数即可直接求解． 【解答】解：（1）由奇函数的性质得，(0)04mf =-=， 故0m =，2()4xf x x =-， 证明：（2）设1222x x -<<<， 则1212211222221212(4)()()()044(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=>----， 所以12()()f x f x >，故()f x 在区间(2,2)-上是减函数；（3）因为()f x 在区间(2,2)-上是减函数且为奇函数， 由(1)()0f t f t -+<得(1)()()f t f t f t -<-=-， 所以212t t >->->-， 解得，122t <<， 故不等式的解集1(2，2)．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义及性质的应用，还考查了利用函数的性质求解不等式，属于中档题．6．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得||0x >，然后求出x 的取值范围，再求出(f 的值； （Ⅰ）先求出函数的定义域，根据()f x ，可得()()f x f x -=，从而判断()f x 为偶函数； （Ⅰ）先判断()f x 的单调性，然后设120x x <<，利用定义法证明()f x 的单调性即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数2()log ||f x x =，则有||0x >， 解得0x ≠，即函数的定义域为{|0}x x ≠，221(log |log (2f ===； （Ⅰ）2()log ||f x x =，其定义域为{|0}x x ≠，则22()log ||log ||()f x x x f x -=-==，则()f x 为偶函数； （Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上为减函数， 证明：当(,0)x ∈-∞时，2()log ()f x x =-，设120x x <<，则112212222()()log ()log ()log x f x f x x x x --=---=-， 又由120x x <<，则120x x ->->，所以121x x ->-， 所以11222()()log 0x f x f x x --=>-， 故()f x 在(,0)-∞上为减函数．【点评】本题考查了函数的奇偶性和利用定义法证明函数的单调性，考查了转化思想，属于中档题． 7．【分析】（1）分段去掉绝对值，即可求解值域；（2）对a 进行讨论，根据图象有交点，可得实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）函数||()1(22)2x xf x x -=+-<．则1,02()1,20x f x x x ⎧=⎨--<<⎩，因为1y x =-在(2,0)-单调递减， 可得()f x 值域为[1，3)．（2）当01a <<，当02x <时，()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象恒有交点， 当1a <时，当02x <时，()log a g x x =是单调递增函数，则log 21a ，可得2a ． 则12a <．故得实数a 的取值范围是01a <<或12a <．【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题． 8．【分析】（Ⅰ）利用函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=，列出方程组，求解即可；（Ⅰ）利用()21x f x =-是单调递增函数，求出()f x 的范围，利用恒成立的解法，可得到m 的取值范围，进而得到答案；（Ⅰ）利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=， 所以021a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．（Ⅰ）因为1a =，1b =-，所以()21x f x =-是单调递增函数，对x R ∀∈，()1f x >-，所以1m -，故m 的最大值为1-．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，()21x f x =-， 所以11()21xy f x ==-， 所以1()y f x =在区间(0,)+∞上是单调递减函数，证明如下： 令1()21x g x =-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则21211212121211(21)(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x g x g x -----=-==------， 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，所以121222,21,21x x x x <>>，所以2112220(21)(21)x x x x ->--，即12()()g x g x >， 所以1()21x g x =-在区间(0,)+∞上是单调递减函数， 即1()y f x =在区间(0,)+∞上是单调递减函数． 【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，涉及了指数函数单调性的应用、不等式恒成立的求解，证明函数单调性的关键是掌握函数单调性的定义以及证明的一般步骤．9．【分析】（1）可看出()f x 的定义域为R ，即()f x 在原点有定义，并且()f x 是奇函数，从而得出1(0)02af -==，从而得出1a =；（2）由()0.5f x <即可得出23x <，从而求出x 的范围； （3）分离常数得出2()121x f x =-+，根据20x>即可求出2121x -+的范围，即得出()f x 的值域． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为R ； ()f x ∴在原点有定义，且()f x 是奇函数； ∴1(0)02af -==； 1a ∴=；∴21()21x x f x -=+；（2）由211212x x -<+得：23x <；2log 3x ∴<；（3）212()12121x x xf x -==-++； 20x >；211x ∴+>，10121x <<+； ∴211121x -<-<+； ()f x ∴的值域为(1,1)-．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，指数函数的单调性，指数与对数的互化，指数函数的值域，分离常数法的运用． 10．【分析】（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义即可求解；（Ⅰ）由对数函数的性质即可求解值域；（Ⅰ）对a 分类讨论，由对数函数的性质即可求解a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数1()log (0||2a f x a x =>+且1)a ≠的定义域为R ， 且11()log log ()||2||2aa f x f x x x -===-++，所以()f x 为偶函数． （Ⅰ）当2a =时，21()log ||2f x x =+， 因为110||22x <+，所以2211log log 1||22x =-+， 所以函数()f x 的值域为(-∞，1]-．（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，即1log log ||2a a a x +恒成立，当1a >时，则有1||2a x +恒成立，因为110||22x <+，所以0a <，不符合题意； 当01a <<时，则有1||2a x +恒成立，因为110||22x <+，所以112a <， 综上，实数a 的取值范围是1[2，1)．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，函数值域的求法，对数函数的性质，以及不等式恒成立问题，属于中档题．11．【分析】（Ⅰ）联立方程组，解出即可；（Ⅰ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可； （Ⅰ）根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】（Ⅰ）解：令()y f x =，则由题意得：432y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=⎩， 解得：12x y =-⎧⎨=-⎩或48x y =⎧⎨=⎩，故函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标是(1,2)--，(4,8)；（Ⅰ）解：44()32337f x x x x x =++⋅+==，当且仅当4x x=即2x =时“=”成立， 故()f x 在(0,)+∞上的最小值是7； （Ⅰ）证明：不妨设212x x >>，则1212212121212112124()444()()33()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=++---=-+=-⋅， 212x x >>，210x x ∴->，121240x x x x ->， 故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查图象交点问题，是基础题．12．【分析】（Ⅰ）将x a =代入解析式，解指数方程即可求出a 得值；（Ⅰ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()f x 、()f x -得数量关系，结合定义可得结论；（Ⅰ）先求出()f x 在[1，)+∞上得最大值，再根据要使()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，即()max m f x ，求出m 得最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f （a ）2=，所以21221a a +=-，所以21222a a +=⋅-且21a ≠，所以23a =，所以2log 3a =； （Ⅰ）()f x 为奇函数，证明如下：因为210x -≠，所以定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，又因为211221()()211221x x x x x x f x f x --+++-===-=----，所以()f x 为奇函数；（Ⅰ）因为212122()1212121x x x x x f x +-+===+---， 又因为21x y =-在[1，)+∞上单调递增，所以221x y =-在[1，)+∞上单调递减，所以()max f x f =（1）3=，又因为()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立， 所以()3max m f x =，即3m ． 所以m 得最小值为3．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题．13．【分析】（1）①由幂函数的奇偶性及奇偶性的性质可直接判断；②利用增函数的定义即可证明； （2）代入计算即可得结论；（3）由（2）归纳出等式2()5()()0(0)f x f x g x x -=≠，代入即可证明．【解答】解：（1）①函数()f x 为奇函数． ②()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(0,)+∞， 证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则1111113333112233121211331211()()()(1)555x x x x f x f x x x x x -----=-=-+ 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 所以113312x x <，所以1133120x x -<，所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，由奇函数的性质可得()f x 在(,0)-∞上单调递增， 故()x 的单调递增区间为(,0)-∞，(0,)+∞．（2）经过代入计算可得111()5()()0422f fg -=，f （4）5f -（2）g （2）0=，f （9）5f -（3）g （3）0=．（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式为2()5()()0(0)f x f x g x x -=≠，证明：221111222233333333332()5()()05055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---==-⋅⋅=-=．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．14．【分析】()I 由奇函数的性质可得(0)0f =，即可求得a 值，并验证其成立即可； （Ⅰ）由复合函数的单调即可判断；（Ⅰ）由函数的奇偶性与单调性将不等式转化为2x x x m ->+恒成立，由△0<即可求得m 的取值范围． 【解答】解：()I 因为()f x 为奇函数，定义域为R ， 所以(0)0f =，即102a -=，解得12a =． 则1121()2212(21)x x x f x -=-=++，验证1112()()2212(21)xxx f x f x ---=-==-++，满足题意． （Ⅰ）11()221xf x =-+为增函数． （Ⅰ）由奇函数()f x 在定义域R 上单调递增，不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立， 得2()()f x x f x m ->+恒成立， 即2x x x m ->+恒成立．由220x x m -->恒成立，有△440m =+<，得1m <-． 所以，m 的取值范围是(,1)-∞-．【点评】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，考查不等式恒成立问题，属于中档题．15．【分析】()I 要判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”，只要任意(0,)x ∈+∞，检验(1)()f x f x +>是否成立即可判断；（Ⅰ）结合已知函数及()()f x a f x +>，即可求解；（Ⅰ）由已知结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对x 进行分类讨论及绝对值不等式性质进行转化可求． 【解答】解：（Ⅰ）函数()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”， 任意(0,)x ∈+∞，有1(0,)x +∈+∞，且21x >， 所以1(1)()2(1)(2)210x x x f x f x x x ++-=-+--=->， 因此()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”． （Ⅰ）10a =（答案不唯一，不小于4即可） （Ⅰ）||,0()0,0||,0x a a x f x x x a a x -->⎧⎪==⎨⎪-++⎩因为()f x 为R 上的“2021距增函数”，()i 当0x >时，由定义|2021|||x a a x a a +-->--恒成立即|2021|||x a x a +->-恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a +-<，20212a < ()ii 当0x <时，分两种情况：当2021x <-时，由定义|2021|||x a a x a a -+++>-++恒成立即|2021|||x a x a ++<+恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a --->，20212a <- 当20210x -<时，由定义|||2021|x a a x a a -++<+--恒成立 即|2021||||20212|2x a x a a a +-++->恒成立当0a 时，显然成立当0a >时，可得202104a <<综上，a 的取值范围为2021(,)4-∞． 【点评】本题以新定义为载体，综合考查函数性质的综合应用，属于中档试题． 16．【分析】（Ⅰ）直接根据题中给出的信息判断即可；（Ⅰ）()i 根据题意，()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m (0)t t ，转化为20t t a --=在[0，)+∞有两个不相等的实数根， 方法1：利用二次方程根的分布列出不等关系，求解即可； 方法2：利用换元法，转化为求解函数的值域问题，求解即可． ()ii 利用n m -的表达式结合a 的范围，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）函数()cos f x x =在区间[1-，1]上不具有性质P ，3()g x x =在区间[1-，1]上具有性质P ．（Ⅰ）()i 方法1：因为函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， 则()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m ，a x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根．(0)t t ，即20t t a --=在[0，)+∞有两个不相等的实数根． 所以00a >⎧⎨-⎩，即1400a a +>⎧⎨-⎩．解得104a -<所以，实数a 的取值范围1(,0]4-．方法2：因为函数()h x a =在[0，)+∞单调递增，函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ，则()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m ，a x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根．(0)t t ，即2a t t =-在[0，)+∞有两个不相等的实数根． 所以，实数a 的取值范围1(,0]4-．()ii 因为n m -= 又104a -<，所以当0a =时，n m -取最大值1．【点评】本题考查了函数性质的综合应用问题，涉及了函数单调性的性质与判断、方程根的分布问题，对学生知识的综合应用能力有较高的要求．17．【分析】（Ⅰ）由函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件，计算可得所求和；（Ⅰ）（Ⅰ）计算()(2)g x g x +-，由函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件即可得证；（Ⅰ）求得()g x 的值域，记函数()y f x =，[0x ∈，2]的值域为A ．再由二次函数的最值求法和恒成立思想，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，可得()(2)4f x f x +-=， 则(0)f f +（2）4=； （Ⅰ）（Ⅰ）证明：4()2xg x x=-，(x ∈-∞，2)(2⋃，)+∞， 4(4)164(4)2(4)2x xg x x x --∴-==---， 4164816()(4)8222x x x g x g x x x x--∴+-=+==----． 即对任意的(x ∈-∞，2)(2⋃，)+∞，都有()(4)8g x g x +-=-成立． ∴函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称．（Ⅰ）48()422x g x x x ==----， 易知()g x 在2(3-，1)上单调递增，()g x ∴在2[3x ∈-，1]时的值域为[1-，4]．记函数()y f x =，[0x ∈，2]的值域为A ．若对任意的1[0x ∈，2]，总存在22[3x ∈-，1]，使得12()()f x g x =成立，则[1A ⊆-，4]．[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++，f ∴（1）2=，即函数()f x 的图象过对称中心(1,2)．（1）当02a，即0a 时，函数()f x 在(0,1)上单调递增．由对称性知，()f x 在(1,2)上单调递增． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递增．易知(0)1f a =+．又(0)f f +（2）4=，f ∴（2）3a =-，则[1A a =+，3]a -． 由[1A ⊆-，4]，得11340a a a +-⎧⎪-⎨⎪⎩，解得10a -．（2）当012a <<，即02a <<时，函数()f x 在(0,)2a 上单调递减，在(2a，1)上单调递增．由对称性，知()f x 在(1,2)2a -上单调递增，在(22a-，2)上单调递减．∴函数()f x 在(0,)2a 上单调递减，在(2a ，2)2a -上单调递增，在(22a-，2)上单调递减．∴结合对称性，知[A f =（2），(0)]f 或[()2a A f =，(2)]2af -．02a <<，(0)1(1f a ∴=+∈，3)．又(0)f f +（2）4=，f ∴（2）3(1,3)a =-∈．易知2()1(1,2)24a a f a =-++∈．又()(2)422a af f +-=，(2)(22af ∴-∈，3)．∴当02a <<时，[1A ⊆-，4]成立．（3）当12a，即2a 时，函数()f x 在(0,1)上单调递减． 由对称性，知()f x 在(1,2)上单调递减． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递减．易知(0)1f a =+．又(0)f f +（2）4=， f ∴（2）3a =-，则[3A a =-，1]a +． 由[1A ⊆-，4]，得31142a a a --⎧⎪+⎨⎪⎩．解得23a ．综上可知，实数a 的取值范围为[1-，3]．【点评】本题考查函数的对称性的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力、推理能力，属于难题．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
最新北京四中—度第一学期高一数学期末考试试卷
北京四中2015 —2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，则BD =u u u r_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，ABCD则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=o.（Ⅰ）求AB BC ⋅u u u r u u u r的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ABCPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =I ð_____． 2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2,1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系ekx by +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2xxf >的实数x 的取值范围．7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2016.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7.A ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2-； 12. 1()2-b a ； 13. 43-； 14.3π； 15. 85π； 16. 32. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2απ∈π(,)，且3sin 5α=，所以4cos 5α==-. ………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. ………………5分 所以tan 1tan()741tan αααπ--==-+. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，24sin 22sin cos 25ααα==-， ………………9分2321cos 22cos 25αα+==. ………………11分所以244sin2cos 1255321cos 2825ααα-+-==-+. ………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意()2sin(2)3f x x π=+，因为02x π≤≤，所以02x ≤≤π.所以42333x πππ≤+≤. ………………3分所以sin(2)123x π-≤+≤. ………………6分 所以2)(3≤≤-x f ，函数)(x f的值域为[. ………………8分 （Ⅱ）由已知(,)12B A π，13(,)12C A π，(,0)3D π, ………………11分 所以(,)4DB A π=-u u u r ，3(,)4DC A π=u u u r .因为CD BD ⊥，所以DC DB ⊥，223016DB DC A -π⋅=+=u u u r u u u r，解得4A =±.又0A >，所以4A =. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r………………2分213122AB AC AB =⋅-=--=-u u u r u u u r u u u r . ………………4分（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B，1(,22C -. ………………5分 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈， ………………6分 由AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，得1(cos ,sin )(1,0)(,22x y θθ=+-.所以cos ,sin 22y x y θθ=-=.所以cos x θθ=+，y θ=， ………………8分2211cos sin 2cos 2333xy θθθθθ+=+-2112cos 2)3223θθ=-+ ………………10分 21sin(2)363θπ=-+. ………………11分 因为2[0,]3θπ∈，2[,]666θππ7π-∈-.所以，当262θππ-=，即3θπ=时，xy 的最大值为1. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01}x x <≤；2. 1,62； 3. 1-； 4. {2}a a <； 5. 0.4. 注：2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）因为26()1x f x x =+，所以26()1xf x x --=+ ()f x =-. ………………4分所以()f x 为奇函数. ………………6分（Ⅱ）由不等式(2)2xxf >，得262221xx x⋅>+. ………………8分 整理得225x<， ………………9分所以22log 5x <，即21log 52x <. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当1a =时，2()2f x x x =-. 二次函数图象的对称轴为1x =，开口向上.所以在区间[0,2]上，当1x =时，()f x 的最小值为1-. ………………1分 当0x =或2x =时，()f x 的最大值为0. ………………2分所以()f x 在区间[0,2]上的值域为[1,0]-. ………………3分 （Ⅱ）注意到2()2f x x ax =-的零点是0和2a ，且抛物线开口向上.当0a ≤时，在区间[0,2]上2()()2g x f x x ax ==-，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………4分当01a <<时，需比较(2)g 与()g a 的大小，22()(2)(44)44g a g a a a a -=--=+-，所以，当02a <<时，()(2)0g a g -<；当21a -≤<时，()(2)0g a g ->.所以，当02a <<时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………5分当21a ≤<时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………6分 当12a ≤≤时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………7分 当2a >时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………8分所以，()g x的最大值244,2,(),22,44, 2.a a t a a a a a ⎧-<⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩………………9分所以，当2a =时，()t a的最小值为12-………………10分 8.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知114x =，212x =. 所以 121212max{max{,},max{,1}}d x x x x x x =---1111111max{max{,},max{,}}max{,}4442422===. ………………4分（Ⅱ）取113x =，23x 2=，此时试验的预计误差为31. ………………5分以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计. 证明：分两种情形讨论1x 点的位置. ① 当311<x 时，如图所示， 如果 21233x ≤<，那么 2113d x ≥->； 如果2213x ≤≤，那么 2113d x x ≥->. ………………7分 011x 2x 31② 当311>x ，113d x ≥>.综上，当113x ≠时，13d >. ………………8分 (同理可得当223x ≠时，13d >) 即113x =，23x 2=时，试验的预计误差最小. （Ⅲ）当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值分别为14和15. ………………10分注：用通俗语言叙述证明过程也给分.。
人教A版数学必修四第一学期期末测试高一年级.doc
北京四中2009～2010学年度第一学期期末测试高一年级数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，满分共计150分；考试时间：120分钟卷(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．的值是( )A．B． C． D．2．等于( )A. B. C. D.3．在中，是边上一点，则等于( )A. B. C. D.4．函数最小值是( )A. 1 B．C．-1 D．5．若是周期为的奇函数，则可以是( )A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D.7．已知，向量与垂直，则实数的值为( )A. B. C. D.8．函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称9．设非零向量满足则( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°10．设，对于函数，下列结论正确的是( )A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11．若，则____________.12．已知向量夹角为，且，，则____________.13．已知是锐角，，且，则=___________.14．若，则___________.15．已知函数的图像如图所示，则_____________.16．已知函数，如果存在实数使得对任意实数，都有，则的最小值是_________.三、解答题(本大题共3小题，共26分)17．(本题满分8分)已知.求：(1)的值；(2)的值.18．(本题满分8分)已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(m，0)．(1)若，求m的值；(2)若m=5，求的值．19．(本题满分10分)已知向量，函数.(1)求函数的解析式；(2)求函数的最小正周期、单调增区间；(3)求函数在时的最大值及相应的的值.卷(II)一、选择题：(本大题共3小题，每小题4分，共12分)1. 函数是偶函数，则值的集合是( )A．B．C．D．2．已知，点在内，且，设，则( )A．B．C． D．3. 设,是锐角三角形的两内角，则( )A．cos>sin, cos>sin B. cos>sin, cos<sinC. cos<sin, cos<sinD. cos<sin, cos>sin二、填空题：(本大题共2小题，每小题4分，共8分)4．函数的最小正周期为_______________，单调减区间为______________________________.5．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|}.③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数⑤函数其中真命题的序号是_______________(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)6．(本题满分10分) 已知,,,.(1) 求的值；(2) 求的值.7．(本题满分10分)记．若函数.(1)用分段函数形式写出函数的解析式；(2)求的解集.8．(本题满分10分)设函数，其中为正整数.(1)判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；(2)证明：；(3)对于任意给定的正奇数，求函数的最大值和最小值.参考答案卷(I)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D B C A A B B二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11 1213 1415 0 16三、解答题(本大题共3小题，共26分)17. 解：法一：(1)由得：，(2)法二：由得.；若，则；若，则.综上有.18．解析：(1),由可得解得.(2)当时,可得,所以.因为A为三角形的内角，所以.19.解：(1)(2)由(1)知，所以最小正周期为；令，解得，所以函数的单调递增区间为.(3)当时，，所以，当，即时，取最大值，即. 卷(Ⅱ)1. B2.B3.C4.，5.①④6. 解：(1)因为,.又,所以(2)根据(1)，得而,且,所以故=.7．解：(1)=解得．又函数在内递减，在内递增，所以当时，；当时，．所以．(2)等价于：①或②．解得：，即的解集为．8．解：(1)在上均为单调递增的函数.对于函数，设，则，，函数在上单调递增.(2)原式左边.又原式右边..(3)当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.下面讨论正奇数的情形：对任意且，以及，，从而.在上为单调递增，则的最大值为，最小值为.综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.。
北京四中2017-2018学年高一上学期期末必修一、必修四滚动练习(七) PDF版缺答案
A．[0,
π ]
6
B．[ π , π] 3
C．[ π , 2π ] 33
D．[ π , π ] 6
8.已知角 终边经过点 sin 30,cos30，则 tan =______________．
9.如图,在边长为 2 正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边
CD 上,若 AB AF 2 ,则 AE BF 的值是______________． 10.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,0) 和点 B(3,4) ，若点 C 在 AOB 的平分
2
14.已知点
A( x1 ,
f
( x1 )),
B(x2 ,
f
(x2 ))
是函数
y
2 sin( x
)(
0,
(
2
, 0))
图象上的任意两点，且
角 φ 的终边经过点 P(1,
3) ，若
f
(x1)
f
(x2 )
4 时，
x1 x2
的最小值为
3
．（Ⅰ）求函数
f
(x) 的解
D．
（ ）6.如图，在△ABC 中，设 AB a ， AC b ，AP 的中点为 Q，BQ 的中点为 R，CR 的中点为 P，若
AP ma nb ，则 m+ n
1
A．
2
B．
6
C．
D． 1
2
3
7
C
P
Q
R
A
B
（ ）7.已知|a|=2|b|≠0，且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是
北京四中高一数学上学期期末试题
北京市四中上学期高一年级期末测验数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ︒210cos = A.21B.23 C. 21-D. 23-2. 设向量()⎪⎭⎫⎝⎛==21,21,0,1b a ，则下列结论中正确的是 A. ||||= B. 22=⋅b a C. b b a 与-垂直D. b a ∥3. 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，53cos =a ，则=αtanA.43B. 43-C.34 D. 34-4. 已知向量、满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=-|2|b a A. 0 B. 22C. 4D. 85. 若24πθπ<<，则下列各式中正确的是A. θθθtan cos sin <<B. θθθsin tan cos <<C. θθθcos sin tan <<D. θθθtan sin cos <<6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且BC BP BA 2=+，则 A. =++ B. =+ C. =+D. =+7. 函数14cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数D. 最小正周期为π2的偶函数8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=⋅，则=⋅ A. 0B. －4C.4D. 4或－49. 若函数()⎪⎭⎫⎝⎛<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1B. －1C. 2D. －210. 若()()m x x f ++=ϕωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=⎪⎭⎫⎝⎛+4π，且18-=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3±C. －3或1D. －1或3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。
北京市北京四中数学高一上期末测试卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．(0分)[ID ：12092]已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+7．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]8．(0分)[ID ：12077][]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B C ．14，2 D ．14，4 10．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -11．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.912．(0分)[ID ：12033]若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)214．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,215．(0分)[ID ：12088]函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）二、填空题16．(0分)[ID ：12216]已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________17．(0分)[ID ：12202]已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______. 18．(0分)[ID ：12201]已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.19．(0分)[ID ：12184]已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 20．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______． 21．(0分)[ID ：12166]0.11.1a =，12log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________.22．(0分)[ID ：12155]2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________23．(0分)[ID ：12146]已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a 的取值集合为______.24．(0分)[ID ：12141]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．25．(0分)[ID ：12130]已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题26．(0分)[ID ：12315]已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.27．(0分)[ID ：12307]已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.28．(0分)[ID ：12297]某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
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高中数学精品资料2020.8【人教版高一数学模拟试卷】北京市四中上学期高一年级期末测验数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ︒210cos = A.21B.23 C. 21-D. 23-2. 设向量()⎪⎭⎫⎝⎛==21,21,0,1，则下列结论中正确的是 A. ||||= B. 22=⋅ C. 与-垂直D. ∥3. 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，53cos =a ，则=αtanA.43B. 43-C.34 D. 34-4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===⋅，则=-|2| A. 0 B. 22C. 4D. 85. 若24πθπ<<，则下列各式中正确的是A. θθθtan cos sin <<B. θθθsin tan cos <<C. θθθcos sin tan <<D. θθθtan sin cos <<6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PBD. 0=+PB PA7. 函数14cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数D. 最小正周期为π2的偶函数8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=⋅AC d ，则=⋅BC d A. 0B. －4C.4D. 4或－49. 若函数()⎪⎭⎫⎝⎛<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1B. －1C. 2D. －210. 若()()m x x f ++=ϕωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=⎪⎭⎫⎝⎛+4π，且18-=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3±C. －3或1D. －1或3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。
12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若()c b a ∥+，则=m ________。
13. ⎪⎭⎫⎝⎛+6tan πα21=，316tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ，则()=+βαtan _________。
14. 若函数()x x f 2sin =，则=⎪⎭⎫⎝⎛12πf _________，，单调增区间是_________。
15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3=，1||=AD ，则=⋅AD AC _________。
16. 定义运算b a *为：()()⎩⎨⎧>≤=b a b b a a b a *。
例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。
三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17. （本小题满分6分）已知：如图，两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为32π，点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点。
求：（1）⋅的值； （2）⋅的值。
18. （本小题满分10分）已知：函数()()023cos 3cos sin 2>++-⋅=a b a x a x x a x f （1）若R x ∈，求函数()x f 的最小正周期及图像的对称轴方程； （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()x f 的最小值是－2，最大值是3，求：实数b a ,的值。
19. （本小题满分10分）已知：向量()()()ββββααsin 4,cos ,cos 4,sin ,sin ,cos 4-=== （1）若16tan tan =βα，求证：∥； （2）若2-与垂直，求()βα+tan 的值； （3）求||c b +的最大值。
卷（II ）一、选择题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 要得到⎪⎭⎫⎝⎛+=32πx f y 的图象，只需把()x f y 2=的图象 A. 向右平移3π个单位 B. 向左平移3π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位 2. 设函数()x f 是以2为周期的奇函数，若()1,0∈x 时，()xx f 2=，则()x f 在区间（1，2）上是A. 增函数且()0>x fB. 减函数且()0<x fC. 增函数且()0<x fD. 减函数且()0>x f3. 设250cos 1,13tan 113tan 2,6sin 236cos 212︒-=︒+︒=︒-︒=c b a ，则有 A. c b a >> B. c b a <<C. b c a <<D. a c b <<4. 函数()23log 21-=x y 的定义域是_________5. 设πθ20<≤时，已知两个向量()()θθθθcos 2,sin 2,sin ,cos OP 21-+==OP ，而||21P P 的最大值为_________，此时=θ_________。
6. 已知函数()x f 是定义在]1,(-∞上的减函数，且对一切实数x ，不等式()()x k f x k f 22sin sin -≥-恒成立，则实数=k _________。
二、解答题（本大题共2小题，共20分） 7. （本小题满分10分）已知：向量()()m ,2,3,1-=-=，且()-⊥。
（1）求实数m 的值；（2）当b a k +与b a -平行时，求实数k 的值。
8. （本小题满分10分）对于在区间[]q p ,上有意义的两个函数()x f 和()x g ，如果对于任意的[]q p x ,∈，都有()()1||≤-x g x f ，则称()x f 与()x g 在区间[]q p ,上是“接近”的两个函数，否则称它们在[]q p ,上是“非接近”的两个函数。
现有两个函数()()()()1,01log ,3log ≠>-=-=a a ax x g a x x f aa 且，给定一个区间[]3,2++a a 。
（1）若()x f 与()x g 在区间[]3,2++a a 都有意义，求实数a 的取值范围； （2）讨论()x f 与()x g 在区间[]3,2++a a 上是否是“接近”的两个函数。
【试题答案】1-5 DCDBD6-10 BACAC11.103 12. －113.71 14.432-，()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,πππ 15.316. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1 17. 解：（1）∵向量和长度为1，夹角为32π∴||||=⋅2132cos-=π。
（2分） ∵点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点， ∴∠AOC=∠BOC=3π，∴⋅=⋅21=。
（3分） ∴⋅+--⋅-⋅=-⋅-=⋅)()(231212121=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=。
（6分） 18. 解：（1）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=23cos 3cos sin 2x x x a x f b + b x a b x x a +⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-=32sin 2322cos 132sin 21π（3分） 函数()x f 的最小正周期ππ==22T 。
（4分） 当132sin ±=⎪⎭⎫⎝⎛-πx 时，得到对称轴方程，即232πππ+=-k x ， ∴函数()x f 的图像的对称轴方程：()Z k k x ∈+=1252ππ；（6分） （2）()b x a x f +⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin π， ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，∴[]π,02∈x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,332πππx ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,2332sin πx 。
（7分）∵0>a ，∴函数()x f 的最小值是223-=+-b a ，最大值3=+b a 。
（9分） 解得-==3,2b a 2。
（10分）19. 解：（1）∵16tan tan =βα，∴βαβαcos cos 16sin sin = ∵()()ββααcos 4,sin ,sin ,cos 4==∴βαβαcos 4sin sin cos 4=，∴b a ∥。
（2分）（2）∵2-与垂直，∴()022=⋅-⋅=-⋅c a b a c b a ，即：()0sin sin 4cos cos 42cos sin 4sin cos 4=--+βαβαβαβα，（4分） ∴()()0cos 8sin 4=+-+βαβα，∴()2tan =+βα；（6分） （3）∵()ββββsin 4cos 4,cos sin -+=+c b∴||c b +()()222sin 4cos 4cos sin ββββ-++=βββ2sin 1517cos sin 3017-=-=（9分）∴当12sin -=β时，241517||max =+=+；（10分）卷（II ）1-3 DCC4. ]1,32(5.14，π6. －17. 解：（I ）()m --=-3,3，由()-⊥得()=-⋅0 即()0333=---m ，故4-=m ；（II ）由k +()43,2---=k k ，()1,3=-当k -+与平行时，()()04332=----k k ，从而1-=k 。
8. 解：（1）要使()x f 1与()x f 2有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且 要使()x f 1与()x f 2在[]3,2++a a 上有意义，等价于真数的最小值大于0即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且（2）()()()()[]a x a x x f x f a --=-3log |||21|， 令()()1||21≤-x f x f ，得()()[]13log 1≤--≤-a x a x a 。
（*）因为10<<a ，所以[]3,2++a a 在直线a x 2=的右侧。
所以()()()[]a x a x x g a --=3log 在[]3,2++a a 上为减函数。
所以()()()()()()a a g x g a a g x g a a 44log 2,69log 3max min -=+=-=+=。
于是()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥-≤-10169log 144log a a a a a ，∴125790-≤<a 。