2017-2018学年北京四中下学期高一年级期中考试数学试题(解析版)

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北京四中20172018学年高一下学期期中数学试卷

2017-2018 学年北京四中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分）最新试卷多少汗水曾洒下，多少期望曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中挂念，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

1．不等式x2+x﹣ 2＞0 的解集为（）A． {x|x ＜﹣ 2 或 x＞ 1}B． {x| ﹣2＜ x＜ 1}C．{x|x ＜﹣ 1 或 x＞ 2}D． {x| ﹣ 1＜ x ＜ 2}2．在△ ABC中， a2=b2+c 2﹣ bc 则 A 等于（）A．45° B ．120°C．60° D ．30°3． S n是等差数列 {a n } 的前 n 项和，假如S10 =120，那么 a1+a10的值是（）A． 12B． 36C． 24D． 484．关于任意实数a、 b、 c、 d，以下命题中，真命题为（）①若 a＞b， c≠ 0，则 ac＞bc；②若 a＞b，则 ac2＞bc2；③若 ac2＞bc2，则 a＞ b；④若 a＞b，则＜．A．①B．②C．③D．④5．在△ ABC中，若 a=2， b=2，A=30°，则 B 为（）A．60° B ．60°或 120°C．30° D ．30°或 150°6．已知等差数列 {a n} 的公差为2，若 a1， a3和 a4成等比数列，则a1可以等于（）A．﹣ 4B．﹣ 6C．﹣ 8D．﹣ 107．已知实数x、y 满足拘束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A． 24B． 20 C． 16D． 128．在以下函数中，最小值是 2 的是（）A． y=+B．y=（ x＞ 0）C． y=sinx+， x∈（ 0，） D． y=7x+7﹣x9．以以下图，C、 D、 A 三点在同一水平线上，AB 是塔的中轴线，在C、D 两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，假如 C、 D间的距离是a，测角仪高为b，则塔高为（）A． B ．C．+b D．10．设 {a n} 是等差数列，以下结论中正确的选项是（）A．若C．若a1 +a2＞ 0，则0＜ a1＜ a2，则a2+a3＞ 0a2B．若 a1+a3＜ 0，则 a1+a2＜ 0D．若 a1＜0，则（ a2﹣ a1）（ a2﹣ a3）＞ 0二、填空题：（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11．在△ ABC中， a=3， b= ，∠ A=，则∠ B=．12．数列 {a n} 的前 n 项和 S n=2a n﹣ 3（ n∈N*），则 a5=．13．假如 c＜ b＜a，且 ac＜ 0，那么以下不等式中：①ab＞ ac；② c（ b﹣ a）＞ 0；③ cb2＜ab2；④ ac（a﹣ c）＜ 0，不必定成立的是（填序号）．14．设 x， y∈ R+，且满足 4x+y=40 ，则 lgx+lgy 的最大值是．15．在△ ABC中， a=4， b=5， c=6，则=．16．两等差数列{a n} 和 {b n} ，前n 项和分别为S n，T n，且，则=．三、解答题（本大题共 3 小题，共17．△ ABC中， BC=7， AB=3，且26 分）=．（ 1）求AC的长；（ 2）求∠ A 的大小．18．若不等式ax2+5x 2＞0 的解集是，（1）求数 a 的；（2）求不等式 ax2 5x+a2 1＞ 0 的解集．19． {a n} 是一个公差d（d≠ 0）的等差数列，它的前10 和 S10 =110 且 a1， a2， a4成等比数列．（1）明 a1=d；（2）求公差 d 的和数列 {a n} 的通公式．一、卷（ II ）填：（本大共 6 小，每小 5 分，共 30分）20．在 R 上定运算⊙： a⊙ b=ab+2a+b，足 x⊙（ x 2）＜ 0 的数 x 的取范．21．等比数列 {a n} 的前 n 和 S n．若 a1=1， S6=4S3， a4=．22．若角△ ABC的面，且 AB=5， AC=8， BC等于．23．在△ ABC中，内角 A，B，C 所的分是 a，b，c．已知 8b=5c ，C=2B， cosC=（）A．B．C．D．24．已知 O直角坐系原点，P，Q的坐足不等式，cos∠ POQ的最小（）A．B．C．D．025．已知数列A： a1，a2，⋯， a n（0≤ a1＜ a2＜⋯＜ a n，n≥ 3）拥有性P：任意 i ，j （ 1≤ i≤j ≤ n）， a j +a i与 a j a i两数中最少有一个是数列中的一、出以下四个命：①数列 0， 1，3 拥有性 P；②数列 0， 2， 4，6 拥有性 P；③若数列 A 拥有性P， a1=0；④若数列a1， a2， a3（0≤ a1＜ a2＜ a3）拥有性P， a1+a3=2a2，此中真命有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个二、解答：（本大共 2 小，共20 分）26．已知数列{a n} 满足a1=1， a n+1=，设b n=， n∈N*．（ 1）证明{b n} 是等比数列（指出首项和公比）；（ 2）求数列{log 2 b n }的前n 项和T n．27．已知向量=（ sinA ，）与=（ 3， sinA+）共线，此中 A 是△ ABC 的内角．（1）求角 A 的大小；（2）若 BC=2，求△ ABC面积 S 的最大值，并判断 S 获得最大值时△ ABC的形状．2017-2018 学年北京四中高一（下）期中数学试卷参照答案与试题分析一、选择题：（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分）1．不等式x2+x﹣ 2＞0 的解集为（）A． {x|x ＜﹣ 2 或 x＞ 1}B． {x| ﹣2＜ x＜ 1}C．{x|x ＜﹣ 1 或 x＞ 2}D． {x| ﹣ 1＜ x ＜ 2}【考点】 74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2+x﹣ 2＞ 0 化为（ x﹣ 1）（ x+2）＞ 0，求出解集即可．【解答】解：∵不等式 x2+x﹣ 2＞ 0 化为（ x﹣ 1）（ x+2）＞ 0，解得 x＜﹣ 2 或 x＞ 1；2∴不等式x +x ﹣ 2＞ 0 的解集是 {x|x ＜﹣ 2 或 x＞ 1} ．2．在△ ABC中， a2=b2+c 2﹣ bc 则 A 等于（）A．45° B ．120°C．60° D ．30°【考点】 HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵a2 =b2+c2﹣ bc，∴ bc=b2+c2﹣ a2，∴ cosA===．A∈（ 0°， 180°），∴A=60°．应选： C．3． S n是等差数列 {a n } 的前 n 项和，假如S10 =120，那么 a1+a10的值是（）A． 12B． 36C． 24D． 48【考点】 85：等差数列的前n 项和．【分析】等差数列{a n} 中，由 S10=120，知（a1+a10）=120，由此能求出a1+a10．【解答】解：等差数列{a n} 中，∵S10=120，∴（ a1+a10） =120，∴a1+a10=24．应选 C．4．关于任意实数a、 b、 c、 d，以下命题中，真命题为（①若 a＞b， c≠ 0，则 ac＞bc；）②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2，则a＞ b；④若a＞b，则＜．A．①B．②C．③D．④【考点】 R3：不等式的基天性质．【分析】经过举反例可以得出①、②、④不正确，从而消除，由不等式的性质可得只有③正确．【解答】解：当c＜ 0 时，①不成立；当c=0时，②不成立；由不等式的性质知③成立，当 b=0 时，④不成立．综上，只有③成立，应选 C．5．在△A．60°ABC中，若B ．60°或a=2， b=2120°C．30°，A=30°，则D ．30°或B 为（150°）【考点】 HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得【解答】解：由正弦定理可知=B．，∴ sinB==∵B∈（ 0，180°）∴∠ B=60°或 120°应选 B．6．已知等差数列{a n} 的公差为2，若 a1， a3和 a4成等比数列，则a1可以等于（）A．﹣ 4 B．﹣ 6 C．﹣ 8D．﹣ 10【考点】 8F：等差数列的性质．【分析】依题意，（ a1+2d）2=a1?（ a1+3d），可求得a1．【解答】解：∵等差数列{a n} 的公差 d=2， a1， a3和 a4成等比数列，∴（ a1+2d）2=a1?（ a1+3d），∴a1d+4d2=0，∴ a1=﹣8，应选： C．7．已知实数x、y 满足拘束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A． 24B． 20 C． 16 D． 12【考点】7C：简单线性规划．【分析】①画可行域② z 为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0， 2）时 z 有最大值【解答】解：画可行域如图， z 为目标函数 z=2x+4y ，可看作是直线 z=2x+4y 的纵截距四倍，画直线0=2x+4y ，平移直线过 A（ 2，4）点时 z 有最大值 20 应选 B．8．在以下函数中，最小值是 2 的是（）A． y=+B． y=（x＞ 0）C． y=sinx+， x∈（ 0，） D． y=7x+7﹣x 【考点】 7F：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项考据可得．【解答】解：选项A， x 正负不定，不可以满足最小值是2，故错误；选项 B，y===+≥ 2，当且仅当=，即 x=0 时取等号，但x＞ 0，故错误；选项 C，∵ x∈（ 0，），∴ sinx ∈（ 0， 1），∴ y=sinx+≥2，当且仅当 sinx=，即 sinx=1 时取等号，但 sinx ∈（ 0， 1），取不到1，故错误；选项 D，y=7x+7﹣x=7x +≥2，当且仅当 7x=即 x=0 时取等号，故正确．应选： D9．以以下图，C、 D、 A 三点在同一水平线上，AB 是塔的中轴线，在C、D 两处测得塔顶部B 处的仰角分别是α和β，假如 C、 D间的距离是a，测角仪高为b，则塔高为（）A．B．C．+bD．【考点】 HP：正弦定理； HR：余弦定理．【分析】分别在△BCD、△ ABD这两个三角形中运用正弦定理，即可求解．【解答】解：在△BCD中，∴=即 BD=在△ ABD中，∴即 AB=BD?sinβ =则塔高为﹣b应选： A10．设 {a n} 是等差数列，以下结论中正确的选项是（）A．若 a1 +a2＞ 0，则 a2+a3＞ 0B．若 a1+a3＜ 0，则 a1+a2＜ 0C．若 0＜ a1＜ a2，则 a2D．若 a1＜ 0，则（ a2﹣ a1）（ a2﹣ a3）＞ 0【考点】 8F：等差数列的性质．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞ 0，则 2a1+d＞ 0， a2+a3=2a1+3d＞ 2d，d＞ 0 时，结论成立，即 A 不正确；若 a +a ＜ 0，则 a +a =2a +d＜ 0， a +a =2a +3d＜ 2d，d＜ 0 时，结论成立，即 B 不正确；13121231{a } 是等差数列， 0＜ a ＜a ，2a2=a +a ＞ 2，∴ a ＞，即 C 正确；n12132若 a1＜ 0，则（ a2﹣ a1）（ a2﹣ a3） =﹣ d2≤ 0，即 D 不正确．应选： C．二、填空题：（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11．在△ ABC中， a=3， b=，∠ A=，则∠ B=．【考点】 HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinB ，再由三角形的边角关系，即可获得角B．【解答】解：由正弦定理可得，=，即有 sinB===，由 b＜ a，则可得 B=B＜A，．故答案为：．12．数列 {a n} 的前 n 项和 S n=2a n﹣ 3（ n∈N*），则 a5= 48．【考点】 8E：数列的乞降； 8H：数列递推式．【分析】把a n=s n﹣ s n﹣1代入 s n=2a n﹣ 3 化简整理得2（ s n﹣1 +3） =s n+3 从而可知数列 {s n+3} 是等比数列，求得s1+3，依据等比数列的通项公式求得数列{s n +3} 的通项公式，从而依据5求得答案．a =【解答】解：∵a n =s n﹣ s n﹣1，∴s n=2a n﹣ 3=2（ s n﹣ s n﹣1）﹣ 3整理得 2（ s n﹣1+3） =s n+3∵s1=2s1﹣ 3，∴s1=3∴数列 {s n+3} 是以 6 为首项， 2 为公比的等比数列∴s n+3=6?2n﹣1，∴s n=6?2n﹣1﹣ 3，∴s5=6?24﹣3∴ a5==48故答案为4813．假如 c＜ b＜a，且 ac＜ 0，那么以下不等式中：①ab＞ ac；② c（ b﹣ a）＞ 0；③ cb2＜ab2；④ac（a﹣ c）＜ 0，不必定成立的是③ （填序号）．【考点】 71：不等关系与不等式．【分析】由题意可得 a＞ 0， c＜ 0，应用不等式的基天性质判断即可．【解答】解：由 c＜ b＜ a，且 ac＜ 0，可得 a＞ 0， c＜ 0，故①、②、④必定成立，但③不必定成立，如当 b=0 时，不等式不成立，故答案为：③．14．设 x， y∈ R+，且满足 4x+y=40 ，则 lgx+lgy的最大值是2．【考点】 7F：基本不等式．【分析】利用对数的运算法规转变为真数为乘积形式，而后利用基本不等式求最值即可．【解答】解： 4x?y≤（）2=400当且仅当4x=y=20 时取“ =”∴ xy ≤100，∴ lgx+lgy=lgxy≤ lg100=2．故答案为： 215．在△ ABC中， a=4， b=5， c=6，则= 1 ．【考点】 HR：余弦定理； GS：二倍角的正弦；HP：正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC， cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中， a=4， b=5，c=6，∴ cosC==，cosA==∴ sinC=， sinA=，∴==1．故答案为： 1．16 ．两等差数列 {a n} 和 {b n} ，前n 项和分别为S n， T n，且，则=．【考点】 8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】在 {a n} 为等差数列中，当m+n=p+q（ m，n，p，q∈ N+）时， a m+a n=a p+a q．所以联合此性质可得：，再依据题意获得答案．【解答】解：在{a n} 为等差数列中，当m+n=p+q（ m， n， p， q∈ N+）时，a m+a n=a p+a q．所以，又因为，所以．故答案为：．三、解答题（本大题共 3 小题，共26 分）17．△ ABC中， BC=7， AB=3，且=．（ 1）求AC的长；（ 2）求∠ A 的大小．【考点】 HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（ 1）由已知利用正弦定理即可得解AC的值．（2）由已知利用余弦定理可求 cosA 的值，联合 A 的范围，依据特别角的三角函数值即可得解．【解答】解：（ 1）由正弦定理，可得：=，可得： AC==5．（ 2）由余弦定理可得：cosA===﹣，因为 A∈（ 0°， 180°），可得： A=120°．18．若不等式ax2+5x﹣ 2＞0 的解集是，（1）务实数 a 的值；（2）求不等式 ax2﹣5x+a2﹣ 1＞ 0 的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程；【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出求出 a 的值．74：一元二次不等式的解法．，2 是相应方程的两个根，利用韦达定理（ 2）由（1）我们易得 a 的值，代入不等式ax2﹣ 5x+a 2﹣ 1＞ 0 易解出其解集．【解答】解：（ 1）∵ ax2+5x﹣ 2＞ 0 的解集是，∴ a＜ 0，，2是ax2+5x﹣2=0 的两根解得 a= ﹣ 2；（2）则不等式 ax2﹣5x+a2﹣ 1＞ 0 可化为﹣ 2x2﹣ 5x+3＞ 0解得故不等式ax2﹣ 5x+a2﹣ 1＞ 0 的解集．19．设 {a n} 是一个公差为d（d≠ 0）的等差数列，它的前10 项和 S10 =110 且 a1， a2， a4成等比数列．（1）证明 a1=d；（2）求公差 d 的值和数列 {a n} 的通项公式．【考点】 8M：等差数列与等比数列的综合；85：等差数列的前n 项和．【分析】（ 1）由已知可得 a22=a1?a4，代入等差数列的通项可转变为（a1+d）2=a1?（ a1+3d），整理可得（ 2）联合（ 1）且有，联立方程可求a1，d 及 a n【解答】（ 1）证明：因a1， a2， a4成等比数列，故2a2=a1a4而 {a } 是等差数列，有 a =a +d，a =a +3d n2141于是（ a1+d）2=a1（ a1+3d）即 a12+2a1d+d2=a12+3a1d化简得 a1=d（ 2）解：由条件S10 =110 和，获得10a1+45d=110由（ 1）， a1=d，代入上式得55d=110故 d=2，a n=a1+（ n﹣ 1） d=2n所以，数列 {a n} 的通项公式为a n=2n一、卷（ II ）选填题：（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）20．在 R 上定义运算⊙： a⊙ b=ab+2a+b，则满足 x⊙（ x﹣ 2）＜ 0 的实数x 的取值范围为（﹣2， 1）．【考点】 74：一元二次不等式的解法．【分析】依据题中已知得新定义，列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可获得x 的取值范围．【解答】解：由a⊙ b=ab+2a+b，获得 x⊙（ x﹣ 2） =x（ x﹣ 2） +2x+x﹣ 2＜ 0，即 x2+x﹣ 2＜ 0分解因式得（x+2）（ x﹣ 1 ）＜ 0，可化为或，解得﹣2＜x＜ 1所以实数x 的取值范围为（﹣2， 1）．故答案为：（﹣ 2， 1）21．设等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n．若 a1=1， S6=4S3，则 a4= 3．【考点】 89：等比数列的前n 项和； 8G：等比数列的性质．【分析】依据S6=4S3可求得 q3，从而依据等比数列的通项公式，获得答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由 S6=4S3知 q≠ 1，∴S6==．∴q3=3．∴ a1q3=3．故答案为： 322．若锐角△ ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．【考点】 HS：余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以 sinA=，所以 A=60°，所以 cosA=，所以 BC==7．故答案为： 7．23．在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c．已知 8b=5c ，C=2B，则 cosC=（）A．B．C．D．【考点】 HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，而后利用平方关系式求出cosC 的值即可．【解答】解：因为在△ABC中，内角A， B， C所对的边分别是a，b， c．已知 8b=5c ，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（ 0 ，）．C．所以 sinB==．所以 sinC=sin2B=2 ×=，cosC==．应选： A．24．已知 O为直角坐标系原点，P， Q的坐标满足不等式组，cos ∠POQ的最小（）A．B．C．D． 0【考点】7C：性划．【分析】先画出不等式，的平面地域，利用余弦函数在上是减函数，再找到∠POQ最大的点的坐，即可求出cos ∠ POQ的最小．【解答】解：足不等式，的平面地域以下示：因余弦函数在上是减函数，所以角最大的余弦最小，由得，当P 与 A（ 1， 7）重合， Q与 B（ 4，3）重合，∠POQ最大．此 k OB=，k0A=7．由tan∠ POQ==1? ∠POQ=? cos ∠ POQ=．故： A．25．已知数列A： a1，a2，⋯， a n（0≤ a1＜ a2＜⋯＜ a n，n≥ 3）拥有性P：任意 i ，j （ 1≤ i≤j ≤ n）， a j +a i与 a j a i两数中最少有一个是数列中的一、出以下四个命：①数列 0， 1，3 拥有性 P；②数列 0， 2， 4，6 拥有性 P；③若数列 A 拥有性 P， a1=0；④若数列 a1， a2， a3（0≤ a1＜ a2＜ a3）拥有性 P， a1+a3=2a2，此中真命有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【考点】 8B：数列的用．【分析】依据数列A： a1， a2，⋯，a n（ 0≤ a1＜ a2＜⋯＜a n， n≥ 3）拥有性P：任意i ，j （ 1≤ i ≤ j≤ n），a j +a i与a j a i两数中最少有一个是数列中的一，逐个，可知① ，其他都正确．【解答】解：∵ 任意i ，j （ 1≤ i ≤ j ≤ n），a j +a i与 a j a i两数中最少有一个是数列中的，①数列 0， 1， 3 中， a2+a3=1+3=4 和 a3a2=3 1=2 都不是数列中的数，故①不正确；②数列0， 2， 4， 6， a j +a i与 a j a i（ 1≤ i ≤j ≤ 3）两数中都是数列中的，而且a4a3=2是数列中的，故②正确；③若数列 A 拥有性P， a n+a n=2a n与 a n a n=0 两数中最少有一个是数列中的一，∵ 0≤ a1＜a2＜⋯＜ a n，n≥ 3，而 2a n不是数列中的，∴ 0 是数列中的，∴ a1=0；故③正确；④∵数列a1， a2， a3拥有性P，0≤ a1＜ a2＜ a3∴ a1+a3与 a3 a1最少有一个是数列中的一，且a1=0，1°若 a1 +a3是数列中的一，a1+a3=a3，∴a1=0，易知 a2+a3不是数列的∴a3 a2=a2，∴ a1+a3=2a22°若 a3a1是数列中的一，a3a1=a1或 a2或 a3①若 a3a1=a3同 1°，②若 a3a1=a2， a3=a2，与 a2＜ a3矛盾，③a3 a1=a1， a3=2a1上 a1+a3=2a2，故 B．二、解答：（本大共 2 小，共20 分）26．已知数列 {a n} 足 a1=1， a n+1=，b n =， n∈N*．（ 1）明 {b n} 是等比数列（指出首和公比）；（ 2）求数列 {log 2 b n } 的前 n 和 T n ．【考点】 8E ：数列的乞降； 8H ：数列推式．【分析】（ 1）由 a n+1=，得 =2? ．可得 =2，即可明．（ 2）由（ 1）可知 b n =1?2n ﹣1=2n ﹣1，可得 log 2b n =log 2 2n ﹣1=n 1．利用等差数列的乞降公式即可得出．【解答】解：（ 1）明：由 a n+1=，得 =2? ．所以 b n+1=2b n ，即=2．又因 b 1=，所以数列 {b n } 是以 1 首，公比2 的等比数列．（ 2）由（ 1）可知 b n =1?2n ﹣1=2n ﹣1，所以 log 2b n =log 2 2 n ﹣1=n 1．数列 {log2 b } 的前 n 和 T =1+2+3+⋯ +（ n 1）=．nn27．已知向量 =（ sinA ，）与 =（ 3， sinA+ ）共，此中 A 是△ ABC的内角．（ 1）求角 A 的大小；（ 2）若 BC=2，求△ ABC 面 S 的最大，并判断 S 获得最大 △ ABC 的形状．【考点】 9C ：向量的共定理； 7F ：基本不等式； G Q ：两角和与差的正弦函数；HP ：正弦定理．【分析】（ 1）依据向量平行得出角2A 的等式，而后依据两角和差的正弦公式和A 三角形内角个条件获得A ．（ 2）依据余弦定理代入三角形的面公式，判断等号成立的条件．【解答】解：（ 1 ）因∥ ，所以；所以，即，即．因为A∈（ 0，π），所以．故，；（ 2）由余弦定理，得4=b2+c2﹣ bc．又，而 b2+c2≥ 2bc? bc+4≥ 2bc? bc≤4，（当且仅当 b=c 时等号成立）所以；当△ ABC的面积取最大值时，b=c．又；故此时△ABC为等边三角形．2017年 6月 14 日。

2017-2018学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2017-2018学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.sin18°cos12°+cos18°sin12°=（）A. B. C. D.2.在△ABC中，已知a=3，b=4，，则sin A=（）A. B. C. D. 13.函数f（x）=sin x cosx的最大值为（）A. 1B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的体积为（）A. 3B. 6C.D. 125.如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（）A. 5千米B. 千米C. 4千米D. 千米6.如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（）A. 存在某一位置，使得平面ABFEB. 存在某一位置，使得平面ABFEC. 在翻折的过程中，平面ADE恒成立D. 在翻折的过程中，平面CDEF恒成立7.在△ABC中，A＜B＜C，则下列结论中不正确的是（）A. B. C. D.8.在△ABC中，若AC=2，∠B=60°，∠A=45°，点D为AB边上的动点，则下列结论中不正确的是（）A. 存在点D使得△为等边三角形B. 存在点D使得C. 存在点D使得：：D. 存在点D使得二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.计算：cos215°-sin215°=______．10.已知，则tanα的值为______．11.已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为______．12.在△ABC中，已知A=60°，，b=3，则c=______．13.若α，β均为锐角，且满足，，则sinβ的值是______．14.如图，棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1绕其体对角线BD1逆时针旋转θ（θ＞0），若旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，则θ的最小值是______；三棱锥D1-DC1A1在此旋转过程中所成几何体的体积为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知函数f（x）=2sin x（cos x-sin x）+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间，上的最大值．16.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，∠ACD=45°，∠BCD=90°．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求BC的长．17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，AC CB，侧面B1BCC1底面ABCD，E，F分别是AB，C1D的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：EF AC；（Ⅲ）在线段EF上是否存在点G，使得AC平面C1D1G？并说明理由．18.正四棱锥S-ABCD的展开图如图所示，侧棱SA长为1，记∠ASB=α，其表面积记为f（α），体积记为g（α）．（Ⅰ）求f（α）的解析式，并直接写出α的取值范围；（Ⅱ）求，并将其化简为的形式，其中a，b，c为常数；（Ⅲ）试判断是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查两角和的正弦函数，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．根据题意和两角和的正弦函数化简，由特殊角的三角函数值求值．【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°=sin（18°+12°）=sin30°=，故选D．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，a=3，b=4，，由正弦定理得，=，则sinA==．故选：C．利用正弦定理，即可求得sinA的值．本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由于函数y=sinxcosx=sin2x，而sin2x的最大值等于1，故函数y的最大值等于，故选：B．由二倍角公式可得函数y=sinxcosx=sin2x≤．本题考查二倍角公式，正弦函数的值域，是一道基础题．4.【答案】B【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的直四棱柱，正四棱柱的底面正方形的对角线长为2，高是3；所以，底面正方形的边长为：，该长方体的体积为：=6．故选：B．由几何体的三视图得出原几何体一个底面为正方形的正四棱柱，结合图中数据求出它的体积．本题考查了由几何体的三视图求表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意知，在△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∠ACB=75°-30°=45°，由正弦定理得=，解得BC==5．∴B处与地面目标C的距离为5千米．故选：B．由题意，利用正弦定理即可求得BC的值．本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在A中，∵四边形DEFC是梯形，DE∥CF，∴CD与EF相交，∴CD与平面ABFE相交，故A错误；在B中，∵四边形DEFC是梯形，DE CD，∴DE与EF不垂直，∴不存在某一位置，使得DE平面ABFE，故B错误；在C中，∵四边形AEFB梯形，BF∥AE，BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正确；在D中，∵四边形ABFE是梯形，AB BF，∴BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF平面CDEF不成立，故D错误．故选：C．在A中，CD与EF相交，从而CD与平面ABFE相交；在B中，DE与EF不垂直，从而不存在某一位置，使得DE平面ABFE；在C中，BF∥AE，从而在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立；在D中，BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF平面CDEF不成立．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.【答案】D【解析】解：∵△ABC中，A＜B＜C，利用大角对大边，可得a＜c．不妨C为钝角，则B是锐角，cosB＞0，cosC＜0，所以cosB＜cosC不成立．故选：D．利用三角形中大角对大边可得a＜c，再利用特殊值判断可得结论．本题主要考查三角形中大角对大边，特殊值判断法的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：若△BCD为边长为x的等边三角形，可得=解得x=＜2，满足AC＞CD，则A成立；cos∠CDA=＜=cos60°，且0°＜∠CDA＜180°，可得∠CDA＞B，AB上存在点D，则B成立；，可得==，可得sin∠BCD=，即有∠BCD=45°＜∠BCA=75°，则C成立；若CD=1，在△ACD中可得=，可得sin∠ADC==＞1，∠ADC不存在，则D不成立．故选：D．运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一一判断，即可得到结论．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】【解析】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°-sin215°=cos30°=．故答案为：．由二倍角的余弦公式可得cos215°-sin215°=cos30°，从而得到结果．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．10.【答案】【解析】解：∵已知，则tanα===-，故答案为：-．由题意利用二倍角的正切公式，求得tanα的值．本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．11.【答案】6π【解析】【分析】通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径即可求出球的表面积．本题是基础题，考查球的内接体的特征与球的关系，考查计算能力、空间想象能力．【解答】解：正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正四棱柱的对角线的长，所以球的直径为：=，所以球的表面积为：4π（）2=6π．故答案为6π．12.【答案】1或2【解析】【分析】利用余弦定理列方程求得c的值，再验证c的值是否满足题意即可．本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．【解答】解：△ABC中，A=60°，，b=3，则a2=b2+c2-2bccosA，∴7=9+c2-3c，解得c=1或c=2；经验证，c=1或c=2都满足题意，∴c的值为1或2．故答案为：1或2．13.【答案】【解析】解：∵锐角α、β满足cosα=，cos（α+β）=，∴sinα==，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）==，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=×-=．故答案为：．由已知及角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β）的值，利用两角差的正弦函数公式即可化简求值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】；【解析】解：如图，连接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，可得正方体体对角线BD1平面AB1C，BD1平面A1DC1，若是旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，则等边三角形A1DC1旋转后与自身重合，即A1旋转到D，此时θ的最小值是；由正方体棱长为，可得，则D1到平面A1DC1的高为，等边三角形A1DC1的边长为2，则外接圆的半径为2，∴三棱锥D1-DC1A1在此旋转过程中所成几何体为圆锥，其体积为．故答案为：；．连接AC，AB1，B1C，A1D，DC1，A1C1，可得正方体体对角线BD1平面AB1C，BD1平面A1DC1，旋转后三棱锥D1-DC1A1与其自身重合，即等边三角形A1DC1旋转后与自身重合，也就是A1旋转到D，此时θ的最小值是；由正方体棱长求出体对角线长，再求出三角形A1DC1的外接圆的半径，由圆锥体积公式求解．本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin x（cos x-sin x）+1=2sin x cosx-2sin2x+1=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π；（Ⅱ）在区间，上，2x+∈[0，π]，故当2x+=时，f（x）取得最大值为．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，可得该函数的最小正周期；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最小正周期、定义域和值域，属于基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，∠ACD=45°，由正弦定理可得：=，可得：AC===AD•sin∠ADC，在△BCD中，∠BCD=90°．则BC=BD•sin∠BDC，由于：∠BDC+∠ADC=π，BD=2AD，所以：BC=BD•sin∠BDC=2AD•sin∠ADC=AC，即：BC=AC．（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠BCD=135°，BC=AC，由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC•BC cos∠ACB，…9分即：5=AC2+（AC）2-2AC×（-）=5AC2，因为AC＞0，所以：AC=1，BC=【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得AC=AD•sin∠ADC，在△BCD中，由∠BCD=90°．可得BC=BD•sin∠BDC，由∠BDC+∠ADC=π，BD=2AD，即可代入证明．（Ⅱ）在△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠BCD=135°，BC=AC，由余弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）解法一：取BC中点M，连结FM、BM，在△CC1D中，∵F，M分别为C1D、C1C中点，∴FM∥CD，FM=CD，在平行四边形ABCD中，∴CD∥AB，E为AB中点，∴FM∥EB，FM=，在平行四边形ABCD中，∵CD∥AB，E为AB中点，∴FM∥EB，FM=EB，∴四边形FMBE是平行四边形，∴EF∥BM，∵BM⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，∴EF∥平面B1BCC1．解法二：取CD中点M，连结FM、EM，在△CC1D中，∵F，M分别是C1D，CD中点，∴EM∥CB，又∵EM∩FM=M，EM，FE⊂平面EFM，CC1，CB⊂平面B1BCC1，∴平面EFM∥平面B1BCC1，又∵EF⊂平面EFM，∴EF∥平面B1BCC1．（Ⅱ）∵平面B1BCC1平面ABCD，面B1BCC1∩平面ABCD=BC，AC BC，AC⊂平面ABCD，∴AC平面B1BCC1，∵BM⊂平面B1BCC1，∴AC BM，又∵EF∥BM，∴EF AC．解：（Ⅲ）在线段EF上不存在点P，使得AC平面C1D1G．假设存在点P，使得AC平面C1D1G，∵C1D1⊂平面C1D1G，∴AC C1D1，与已知AC与C1D1不垂直矛盾，∴在线段EF上不存在点G，使得AC平面C1D1G．【解析】（Ⅰ）法一：取BC中点M，连结FM、BM推导出四边形FMBE是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面B1BCC1．法二：取CD中点M，连结FM、EM，推导出EM∥CB，从而平面EFM∥平面B1BCC1，由此能证明EF∥平面B1BCC1．（Ⅱ）推导出AC平面B1BCC1，从而AC BM，由此能证明EF AC．（Ⅲ）假设存在点P，使得AC平面C1D1G，假设AC C1D1，推导出AC C1D1，与已知矛盾，从而在线段EF上不存在点G，使得AC平面C1D1G．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（I）因为正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=1，∠ASB=α，所以f（α）=4S△SAB+S底ABCD=4×SA•SB sin∠ASB+AB2=2sinα+SA2+SB2-2SA•SB-cos∠ASB=2sinα+2-2cosα，其中α∈（0，），（Ⅱ）设正方形ABCD的中心为O，则OA2=AB2=（2-2cosα）=1-cosα，则在Rt△SOA中，SO2=SA2-OA2=cosα，则g（α）=S正方形ABCD•SO=（2-2cosα），则=•=，则（）2==•=，则=，（0＜α＜）（Ⅲ）有最大值，无最小值．【解析】（Ⅰ）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；（Ⅱ）求出的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可；（Ⅲ）根据的表达式，直接进行判断最值即可．本题主要考查三角函数的解析式的求解，以及三角函数的化简，利用三角函数的关系式进行转化是解决本题的关键．。

北京市第四中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京四中2018－2019学年下学期高一年级期中测试数学试卷卷（I）一、选择题。

1.某校老年、中年和青年教师的人数如下表所示。

采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为（）A. 9B. 10C. 18D. 30【答案】C【解析】【分析】根据老年教师和青年教师人数的比例列方程，解方程求得老年教师抽样的人数.【详解】设老年教师抽取x人，则3290160x=，解得18x=人.故选C.【点睛】本小题主要考查分层抽样的概念及计算，考查阅读理解能力，属于基础题.2.总体由编号为01，02…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体。

选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）A. 02B. 14C. 18D. 29【答案】D【解析】【分析】根据随机数表法的步骤，将抽取的个体编号抽出，由此得出正确选项.【详解】依题意可知，抽取的编号为08,02,14,29，故选D.【点睛】本小题主要考查抽样方法中的随机数表法，属于基础题.3.10名工人生产某一零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17. 设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a【答案】D【解析】【分析】分别计算出平均数、中位数和众数，由此得出正确选项.【详解】依题意，1012141415151617171714.710a+++++++++==.中位数15b=，众数为=17c，故c b a>>，故选D.【点睛】本小题主要考查样本平均数、中位数和众数的计算，属于基础题.4.投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}。

北京四中高一数学期中测试卷(含答案)

数学试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分卷（I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．集合{1，2，3}的真子集的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．82．函数y = ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x U ≥ D ．{}|01x x ≤≤3．函数()22x x f x -=-，则1()2f =（）A ．2-B ．C ． 2D ．4．设全集{,,,,}I b c d e f =，若{,,}M b c f =，{,,}N b d e =，则()I M N =I ð（） A ．∅ B ．{}d C ．{,}d e D ．{,}b e5．下列函数中的值域是(0,)+∞的是（） A ．2()log f x x = B ．2()1f x x =- C ．1()12f x x =+D ．()2x f x =6．下列函数中，在区间()0,2上为增函数的是（）A ．1y x =-+B ．y =C ．245y x x =-+D ．2y x=7．函数3()f x x x =+的图象关于（） A ．y 轴对称B ．直线x y -=对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称8．4366312log 2log 9log 89+--=（）A ．12B ．12-C ．16-D ．4-9．函数111y x -=+-的图象是下列图象中的（）A ．B ．C ．D ．10．设2()f x x bx c =++且(0)(2)f f =，则（）A ．3(2)()2f c f -<<B ．3()(2)2f c f <<-C ．3()(2)2f f c <-<D ．3()(2)2c f f <<-二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．若 3.40.5a =、0.5log 4.3b =、0.5log 6.7c =，则,,a b c 的大小关系是____________。

2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高一年级期中考试数学试题(解析版)

2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高一年级期中考试数学试题一、单选题1．在△ABC中，D是边BC的中点，则＝A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的减法法则及共线向量的性质求解即可.详解：因为是的中点，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查共线向量的性质，平面向量的减法法则，属于简单题.2．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝150°，则△ABC的面积为A. 3B.C. 6D.【答案】A【解析】分析：过作交的延长线于点，则可求得的长，再利用三角形的面积公式可求得的面积.详解：如图，过作，交的延长线于点，，，且，，，故选A.点睛：本题主要考查含角的直角三角形的性质及三角形面积公式，掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键.3．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A. 60B. 55C. 45D. 50【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率，从而可得结果.详解：由频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率为，所以测试成绩落在中的人数为，，故选D.点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.4．已知点A（1，2），B（3，7），向量∥，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反【答案】D【解析】分析：求出向量，利用向量共线的性质列方程求出，然后判断两个向量的方向即可得结果.详解：因为，所以，，可得，解得，与方向相反，故选D.点睛：本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为.若，则角B的大小为A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】解：因为根据余弦定理可知故选C。

北京市重点中学年高一下期中数学试题及答案

北京市2017～2018学年度第二学期期中考试高一数学试卷(考试时间：100分钟总分：100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 对于α∈R ，下列等式中恒成立的是（）A ．cos()cos αα-=- B.sin()sin αα-=-C.sin(180)sin αα︒+=D.cos(180)cos αα︒+=2.已知向量(4,2)a =，向量(,3)b x =，且//a b ，那么x 等于（）A.8B.7C.6D.53.下列函数中，在区间[0,]2π上为减函数的是（）A.cos y x =B.sin y x =C.tan y x =D.sin()3y x π=-4.已知02A π<<，且2cos 3A =，那么sin 2A 等于（）A.19B.79C.895.已知),1,5(),2,3(---N M 若,21=则P 点的坐标为（）A.(8,1)-B.(8,1)-C.3(1,)2-- D ．3(1,)26．如果函数3sin(2)y x φ=+的图像关于点(,0)3π中心对称，那么φ的一个值可以为（） A.3π B. 3π- C. 6π D. 6π-7．有下列四种变换方式:①向左平移4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8π;③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8π,再将横坐标变为原来的21;其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)42sin(π+=x y 的图像的是（）A.①和② B .①和③ C ．②和③ D．②和④8．函数)sin(ϕω+=x A y ,(0,0,0)A ωϕπ>><<在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为（）A ．)322sin(2π+=x y B ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y9．已知,A B 均为锐角，sin A =，sin B =，则A B +的值为（） A ．47π B.45π C ．43π D ．4π10．已知动点111(,cos )P x x ，222(,cos )P x x ，O 为坐标原点，则当1211x x -≤≤≤时，下列说法正确的是（） A.1OP 有最小值1 B ．1OP 有最小值，且最小值小于1 C ．120OP OP ?恒成立 D ．存在12,x x 使得122OP OP ?二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 已知cos α=，且[0,)απ∈，那么α的值等于____________. 12．已知tan 2α=，3tan()5αβ-=-，则tan β= ．13．函数x y 3tan =的图像的相邻两支截直线3π=y 所得的线段长为．14．函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为________,最小值为___________. 15．如图，若AB a =，AC b =，3BD DC =，则向量AD 可用a ，b 表示为___________.16．关于函数()221sin ()32xf x x =-+，有下面四个结论： ①()f x 是偶函数；②无论x 取何值时，()12f x ＜恒成立；③()f x 的最大值是32；④()f x 的最小值是12-. 其中正确的结论是__________________.三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题共9分）已知向量(1,2)a =，(2,)b x =-．（Ⅰ）当a b ⊥时，求x 的值；（Ⅱ）当1x =-时，求向量a 与b 的夹角的余弦值；（Ⅲ）当(4)a a b ⊥+时，求||b ．18. (本小题共9分) 已知55cos =θ(0,)2πθ∈．（I ）求sin θ的值；（Ⅱ）求cos 2θ的值；（III ）若sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．19. (本小题共9分)已知函数()sin 2f x x x =. （I ）求)(x f 的最小正周期；（II ）求)(x f 的单调递减区间；（III ）若函数()()g x f x k =-在[0,]6π上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．20．(本小题共9分)已知函数()2sin()3f x x πω=+，且0ω≠，R ω∈.（I ）若函数()f x 的图象经过点(,2)3π，且03ω<<，求ω的值；（II ）在（I ）的条件下，若函数()()()0g x mf x n m =+>，当[2,]3x ππ∈--时，函数()g x的值域为[2,1]-，求m ，n 的值；（III ）若函数()()3h x f x πω=-在[,]33ππ-上是减函数，求ω的取值范围.北京市2014~2015学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1------5BCADC 6------10AAADA 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.56π 12. 13- 13. 3π14. 2，1- 15. 1344AD a b =+ 16. ①④三、解答题：本大题共4小题，共36分.17．解：（Ⅰ）∵a ⊥b ，∴1(2)20x ⨯-+=，即1x =． ……………………2分（Ⅱ）∵1x =-，∴1(2)+2(1)=4a b ⋅=⨯-⨯--， (3)分且5a =，5b =． (4)分∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为4cos =5a ba bθ⋅=-． (5)分（Ⅲ）依题意 ()42,8a b x +=+． ……………………6分∵(4)a a b ⊥+，∴(4)0a a b ⋅+=． (7)分即21620x ++=，∴9x =-．∴(2,9)b =--． (8)分∴||481b =+= (9)分17．解：（Ⅰ）由55cos =θ(0,)2πθ∈．得sin θ==…………………2分（Ⅱ）213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=- …………………4分（Ⅲ）∵20πθ<<，20πϕ<<，∴22πϕθπ<-<- (5)分∵()1010sin =-ϕθ，∴()10103cos =-ϕθ …………………6分∴()[]ϕθθϕ--=cos cos()()ϕθθϕθθ-+-=sin sin cos cos …………………8分10105521010355⨯+⨯=22= …………………9分19. 解：（Ⅰ）由1()sin 222(sin 22)2sin(2)223f x x x x x x π==+=+ …………2分得)(x f 的最小正周期为π. …………………3分（Ⅱ）由3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 …………………4分 7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ …………………5分所以函数)(x f 的递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. …………………6分（Ⅲ）由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23x π+∈2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，而函数)(x f 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()f x ∈， …………………7分在2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()f x ∈， …………………8分所以若函数()()g x f x k =-在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则k ∈. …………………9分 20.解： (Ⅰ) 因为函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过点,23π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 233ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭ …………………1分所以2,332k k Z πππωπ+=+∈ ………………2分所以16,2k k Z ω=+∈因为03ω<<，所以1063,.2k k Z <+<∈所以0k =所以12ω= ……………… 3分(Ⅱ)因为21=ω，所以1()2sin .23g x m x n π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，:Z#因为23x ππ-≤≤-，所以213236x πππ-≤+≤. 所以111sin .232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭ ……………… 4分所以()2.m n g x m n -+≤≤+因为函数()g x 的值域为[]2,1-，所以22,1.m n m n -+=-⎧⎨+=⎩……………… 5分解得 1,0.m n == ……………… 6分（Ⅲ）因为()3h x f x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 2sin .33h x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ………… 7分因为函数()x h在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以函数()2sin .h x x ω=的图象过原点，且减区间是.0，2-，2<⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωωπωπ 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤<.32,32,0πωππωπω ……………… 8分解得 302ω-≤< 所以ω的取值范围是302ω-≤< ……………… 9分。

北京市第四中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学

北京四中2016-2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 不等式x2+x-2>0的解集为（）A. {x| x<-2或x>1}B. {x| -2<x<1}C. {x| x<-1或x>2}D. {x| -1<x<2} 【答案】A【解析】,解得，故选A.2. 在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，则A等于（）A. 120°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理可得：，所以,故选B.3. S n是等差数列{a n}的前n项和，如果S10=120，那么a1+a10的值是（）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】试题分析：根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120 +a10=24所以a故选B考点：等差数列的前n项和．4. 对于任意实数a、b、c、d，下列结论：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b，则<；正确的结论为（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】①若a>b,当时有，,故不正确；②若a>b，当时有，故不正确；...③若，显然，两边同除以，可得，正确；④若a>b，当a>0>b，时>，故不正确；故选C.5. 在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B等于（）A. 60°B. 60°或120°C. 30°D. 30°或150°【答案】B【解析】在△ABC中，由正弦定理可得，解得，故选B.6. 已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a1等于（）A. -4B. -6C. -8D. -10【答案】C【解析】等差数列{a n}的公差为2,所以,又a1，a3，a4成等比数列，所以有，即，解得,故选C.7. 已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A. 24B. 20C. 16D. 12【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如图所示，为目标函数，可看成是直线的纵截距四倍，画直线，平移直线过点时有最大值20，故选B。

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2017-2018学年北京四中下学期高一年级期中考试数学试题一、单选题1．某影院有40排，每排46个座位，一次新片发布会坐满了记者，会后留下了每排20号的记者进行座谈，这样的抽样方法是A. 抽签法B. 随机数表法C. 系统抽样法D. 分层抽样法【答案】C【解析】分析：根据抽样形式确定抽样方法.详解：因为留下了每排20号的记者,等距抽样，所以抽样方法为系统抽样法，选C.点睛：抽签法根据签抽样，随机数表法根据数表抽样，系统抽样法是等距抽样，分层抽样法按比例抽样.2．下列命题中，正确命题的个数是①有三个公共点的两个平面重合②梯形的四个顶点在同一平面内③三条互相平行的直线必共面④四条线段顺次首尾相接，构成平面图形A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：根据平面确定的公理判断命题真假.详解：因为有三个不共线公共点的两个平面重合，所以①错；因为梯形有两条直线相互平行，所以梯形的四个顶点在同一平面内，②对；因为三条互相平行的直线不一定共面，如长方体三条平行的棱就不共面，所以③错，因为四条线段顺次首尾相接可构成空间四边形，所以④错；选B.点睛：公理3是确定平面的公理，注意其中条件：三个不共线的点，两条平行直线，两条相交直线，一直线以及直线外一点.3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.14 B. 8π C. 12 D. 4π 【答案】B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .4．△ABC 中，若B ＝45°，，则A ＝A. 15°B. 75°C. 75°或105°D. 15°或75° 【答案】D【解析】分析：先根据正弦定理求C ，再根据三角形内角关系求A.详解：因为，所以所以因此，选D.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．5．甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a ，乙掷出的点数记为b ，则｜a －b ｜≤1的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定总事件数，再确定｜a －b ｜≤1事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为甲、乙两人掷骰子所得（a,b ）总事件数为36，而满足｜a －b ｜≤1事件数有,共16，所以概率为，选A.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 6．若a ，b 是异面直线，则与a ，b 都平行的平面A. 不存在B. 有无穷多个C. 有且仅有一个D. 不一定存在【答案】B【解析】分析：先根据异面直线画法确定一平面，再根据线面平行判定定理得结论. 详解：在空间任取一点P （不在两异面直线上），过P 分别作直线与a ，b 平行，由于a ，b 是异面直线，所以为相交直线，确定一个平面，由线面平行判定定理得平面与a ，b 都平行，再由于P 点任意性，所以平面有无穷多个，选B.点睛：异面直线的画法是解决有关异面直线问题一个行之有效的方法. 7．△ABC 中，若∠ABC ＝4π， 2,3AB BC ==，则sin ∠BAC ＝ A.10B. 10C. 310D. 5【答案】C【解析】试题分析：由余弦定理得229223cos5,54b b π=+-⋅⋅⋅==.由正弦定理得35sin sin 4BAC π=∠，解得310sin 10BAC ∠=. 【考点】解三角形.8．有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定任取两个球的总事件数，再确定两个球序号相邻的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为从5个球任取两个球有10种方法，其中两个球序号相邻有4种，所以概率是选A.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9．为了了解高一年级学生的体锻情况，学校随机抽查了该年级20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是A. B.C. D.【答案】B【解析】从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间内各有个，答案A 被排除；在区间内有个；在区间内有个；在区间内有个；在区间内各有个，答案C 被排除；在区间内有个，答案D 被排除；依据这些数据信息可推知，应选答案B 。

点睛：解答本题的方法是根据题设中所提供的频率分布直方图提供的信息，先算出在不同区间内的个体的频数，再分别结合所给的茎叶图，对每个答案逐一进行分析推断，从而排除不合题设的答案，选出正确答案，使得问题获解。

10．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为 A. 0.5小时 B. 1小时 C. 1.5小时 D. 2小时【答案】B【解析】试题分析：以A 为坐标原点建立直角坐标系，可知B （40，0），台风中心移动的轨迹方程为()0y x x =≥，点B 到射线()0y x x =≥的距离202302d ==<，故()22230202201-=，故B 城市处于危险区内的时间为1小时；【考点】解三角形的实际应用；11．△ABC 中，给出以下条件，有唯一解的是A. ，A＝30°B. ，A＝60°C. ，B＝120°D. . ，A＝60°【答案】B【解析】分析：先根据条件解对应三角形，根据解的个数进行选择.详解：因为，A＝30°，所以,B有两解；因为，A＝60°，所以，B有一解；因为，B＝120°，所以，无解因为，A＝60°，所以，无解因此选B.点睛：在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．12．同时投掷两枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】分析：根据概率计算公式，只需确定向上的点数之和的次数最多的概率最大.详解：因为向上的点数之和为出现的次数分别为，所以7对应概率最大选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.13．某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项。

有下列两种完成所有科研项目的计划：A计划：第一年完成5项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成为止；B计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好5年完成所有项目。

那么，按照A计划和B计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量A. 按照A计划完成的方案数量多B. 按照B计划完成的方案数量多C. 按照两个计划完成的方案数量一样多D. 无法判断哪一种计划的方案数量多【答案】C【解析】分析：先分别按照计划确定完成的方案数量，再作比较.详解：因为按照A计划完成的方案数量为15个项目（去掉第一年5个项目）在5个列中排列数（要求左列数不小于右列数），按照B计划完成的方案数量为15个项目（去掉每一年至少一个项目）在5行中排列数（要求上行数不小于下行数），一样多，所以选C.A计划第一列第二列第三列第四列第五列第一年11111第二年第三年第四年…...第n年第n列B计划第一列第二列第三列第四列……第一年1第二年1第三年1第四年1第五年1点睛：两个计数原理在实际问题应用时，要注意不错不漏，分类科学易求.二、填空题14．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是___________.【答案】6.【解析】试题分析：因为采用分层抽样的方法抽取样本，所以粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别按比例进行抽取. 抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是【考点】分层抽样15．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则s1、s2、s3的大小关系是_________.甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数7 8 9 10环数7 8 9 10环数7 8 9 10频数5 5 5 5频数6 4 4 6频数4 6 6 4【答案】.【解析】分析：先求平均数，再求标准差，最后比较大小.详解：因为，所以因为，所以因为，所以因此，点睛：.16．△ABC中，若，则A＝__________。

【答案】.【解析】分析：先根据得,再根据正弦定理化得B,即得A.详解：因为得，因为，所以根据正弦定理得所以点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.17．集合，集合，若任意A∪B 中的元素a，则A∩B的概率是________。