高一解三角形综合复习(含详细答案)
高一数学解三角形单元测试及答案
高一数学解三角形单元测试及答案解三角形本章测试本次测试共有12道选择题，每题5分，总分60分。
在每道题中，只有一个选项是正确的，请将正确选项填涂在答题卡上。
1.在三角形ABC中，已知a=2，b=2，B=π/6，则A=（）A。
3π/4 B。
π/3 C。
4π/3 D。
π/42.在三角形ABC中，已知a²=b²+c²+bc，则角A为（）A。
30° B。
45° C。
120° D。
150°3.已知三角形ABC中，A:B:C=11:4，则a:b:c的比值为（）A。
1:1:3 B。
2:2:3 C。
1:1:2 D。
1:1:44.在三角形ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，若a=2，b=1，B=29°，则此三角形的解为（）A。
无解 B。
有一解 C。
有两解 D。
有无数解5.在三角形ABC中，∠C=90°，0<A<45°，则下列各式中，正确的是（）A。
sinA>XXX>XXX<XXX<sinB6.一艘船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为（）A。
176/22海里/时 B。
346海里/时 C。
22海里/时 D。
342/22海里/时7.已知三角形ABC的面积为S，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若4S=a²-(b-c)²，bc=4，则S=（）A。
2 B。
4 C。
3 D。
15/28.已知三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cosC=1/4，4bcosA+acosB=3，则三角形ABC外接圆的半径为（）A。
2/3 B。
2√2 C。
4 D。
69.在三角形ABC中，已知asinA/bsinB=(a²+c²-b²)/(b²+c²-a²)，则三角形ABC的形状为（）A。
高考数学解三角形专题复习100题（含答案详解）
⾼考数学解三⾓形专题复习100题（含答案详解）2018年⾼考数学解三⾓形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上⼀点，且AD AC,求△ABD的⾯积．4.在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的⾯积．5.的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上⼀点，且，求的⾯积．6.在△ABC中， =60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的⾯积.7.△ABC的三个内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直⾓；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求⾓A的值；(2)若的⾯积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿⽔平⽅向在A,B两点进⾏测量，A,B,C,D在同⼀个铅垂平⾯内. 海底探测仪测得同时测得海⾥。
（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，⾓A,B,C对边分别为a,b,c，⾓，且.（1）证明：；（2）若⾯积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求⾓C；（Ⅱ）若c=，△ABC的⾯积为，求△ABC的周长．15.在中，⾓，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若⾓为锐⾓，求的值及的⾯积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平⾏.(I)求A；(II)若,求△ABC的⾯积.18.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的⾯积为．（1）求；（2）若，，求的周长．20.在△ABC中，⾓的对边分别为a，b，c, ，c=，⼜△ABC的⾯积为，求：(1)⾓的⼤⼩；(2)的值．21.在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB?sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC⾯积的最⼤值．22.在△ABC中，已知⾓A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求⾓C的⼤⼩；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=?﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐⾓△ABC中，内⾓A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满⾜条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内⾓A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的⼤⼩；（2）在锐⾓△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的⼤⼩（II）求的最⼤值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最⼩正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是⾓A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的⾯积为，求的值.28.△ABC中，⾓A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的⼤⼩；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最⼤值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内⾓，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求⾓A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=（Ⅱ）若△ABC 的⾯积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内⾓A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的⼤⼩；（Ⅱ）求的最⼤值.32.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=，△ABC 的⾯积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。
高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)
高中数学经典题型解三角形【编著】黄勇权【第1题】在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ， 且sinC bsinBasinA = 3a32 sinB + c求：角C 的大小【第1题】答案：已知：sinCbsinB asinA += 3a 32 sinB + c等号左边：因为分子、分母每一项含有sin ，故用正弦定理，将sin 替换成边即：cb *b a *a += 3a 32 sinB +c 特别提示： 等号右边的sinB 不能换成边b ， 这是因为sinB=R 2b ,这样就会多出R 21，等号两边同时乘以ca 2+b 2 = 3ac 32 sinB +c 2将c 2移到等号左边，a 2+b 2- c 2 = 3ac 32 sinB由于等号左边是a 2+b 2-c 2，只能构建cosC ，故等号两边同时除以2ab ，这一步非常重要。
2a b c b a 222-+ = b 3c 3 sinBc osC = b 3c 3 sinB等号右边，左边分子含c ，分母含b ，故用正弦定理把c 、b 换成sinC ，sinB 这一步非常重要，很多同学想不到，因此就解不出来。
c osC = B sin 3sinC 3 sinBc osC =33 sinCtanC= 3 即C=60°经典技巧：对于正弦定理，很多同学都不知道什么时候能用，什么时候不能用，其实，在运用正弦定理将sin与对应边换时，一定要遵循能够消除2R为原则。
例如1：acosB+bcosA=2c 【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=2*2RsinC因为每一项都有2R，故能消除2R,化简：sinA*cosB+sinB*cosA=2sinC所以能用正弦定理。
例如2：bcosA+sinB=3c 【不能用】由正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，得：2RsinB*cosA+sinB=2RsinC*3因为第二项不含2R，无法消除2R, 所以不能用正弦定理例如3：sin2A+sin2B=2sinBsinC 【能用】a b c（R 2a ）2 + （R 2b ）2 = 2 *R 2b *R 2c因为每一项都有（R 21）2，故能消除2R ，化简得：a 2 +b 2=2bc 所以能用正弦定理 例如4：acosB+bcosA=4bc 【能用】由正弦定理：a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC 代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC因为要消除2R ，所以只能代入一项，要么是b 或c 而等号右边化简后sinA*cosB+sinB*cosA=sin （A+B ）=sinC所以我们只把c 换为sinC ，而b 不动。
(完整word)高一数学必修5解三角形-知识点和练习题(含答案)-推荐文档
1.ΔABC中,a=1,b= , ∠A=30°,则∠B等于（）A. 60°B. 60°或120° C. 30°或150° D. 120°1、的值等于（）2.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A. a=1,b=2 ,c=3B. a=1,b= ,∠A=30°C. a=1,b=2,∠A=100° C. b=c=1, ∠B=45°3.在锐角三角形ABC中, 有（）A. cosA>sinB且cosB>sinAB. cosA<sinB且cosB<sinAC. cosA>sinB且cosB<sinAD. cosA<sinB且cosB>sinA4.若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形5.设A.B.C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根, 那么角B（）A. B>60°B. B≥60°C. B<60°D. B ≤60°6.满足A=45°,c= ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为（）A. 4B. 2C. 1D. 不定7、如图: D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<β),则A点离地面的高度AB等于（）A. B.C. D.9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.参考答案（正弦、余弦定理与解三角形）一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10） （11） （12） 三、（13）分析: 化简已知条件, 找到边角之间的关系, 就可判断三角形的形状.①由余弦定理 ,.由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由∴A=B 或A+B=90°, ∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③ , 由正弦定理: 再由余弦定理:. ④由条件变形为︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A BA B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △.。
高一数学解三角形试题答案及解析
高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。
【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.3.在中，满足下列条件的三角形有两个的是（）.A．B．C．D．【解析】选项A:,;又，三角形有一解；同理选项B有一解；选项C:，,所以三角形有一解；选项D:，,所以三角形有两解.【考点】解三角形.4.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.5.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.6.的三内角成等差数列，且，则= .【解析】因为的三内角成等差数列，所以又，所以=.【考点】三内角成等差数列7.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.8. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】两角和差的公式．9.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】1小时【解析】解实际问题，关键在于正确理解题意.本题关键在于正确理解方位角的概念.解三角形问题，需正确选用正余弦定理，本题三角形ADB中可得两角一边，即，因此可利用正弦定理得，解出=，再在中，由余弦定理得=从而得到需要的时间（小时）.试题解析：由题意知海里，3分在中，由正弦定理得 4分=（海里）， 6分又海里 7分在中，由余弦定理得=9分30（海里），10分则需要的时间（小时）。
2020年高考数学押题：三角函数与解三角形综合经典题30道(含详解答案)
2020年高考数学押题：三角函数与解三角形综合经典30道。
1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =，332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 2cos a B b A =，3cos 3A =． （1）求角B 的值； （2）若6a =，求ABC ∆的面积．3．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为23，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 3sin A cos B b a =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C 3A =，求a ，c ．5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，（1）求证：B C =； （2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长． 6．在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．7．如图，在ABC 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=，22sin BAC 3∠=，AB 32=，AD 3=．()1求BD 长； ()2求cosC8．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a cC a b--=+. （1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC 的面积. 9．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若5sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为22b 的值.11．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．12．在平面四边形ABCD 中，已知26AB =3AD =，2ADB ABD ∠=∠，3BCD π∠=.（1）求BD ；（2）求BCD ∆周长的最大值.13．在平面四边形ABCD 中，ABD △中边BD 所对的角为A ，BCD 中边BD 所对的角为C ，已知2AB BC CD ===，23AD =.（13cos A C -是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记ABD △与BCD 的面积分别为1S 和2S ，求出2212S S +的最大值.14．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量3sin ,3m B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭与(,cos )n a A =垂直. （1）求角A ； （2）若2a =b c +的最大值.15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 16．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，3c =.（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围． 17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin 4sin 2B AC +=. （1）求tan B ；（2）若1b =，求a c +的取值范围.。
(完整word)高一必修五解三角形复习题及答案
解三角形广州市第四中学 文U 运科、选择题•本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.△ ABC 的内角 A B, C 的对边分别为a,b, c ，若c 、、2, b ..6，B 120o ，则a等于【】C .3C . .3 1A . 135oB . 90oC . 45°D . 30°4. 在三角形ABC 中，AB 5, AC 3, BC 7,贝U BAC 的大小为【 】253A .B .C .D .—3 64 3 5. △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b c ,若a b c 成等比数列，且c 2a ,则 cosB【】132A.4B .4C .4D . 36. △ ABC 中, 已知 tan A 1,tan B 1 则角C 等于【】32 'A.135oB . 120oC . 45oD . 30(一 uuu umr7.在 ABC 中，AB=3, AC=2 , BC= . 10，则 AB AC 【】3 2 2 3A . -B . —C .D .-2 3 3 28.若厶ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 a cosA bcosB ,则【A.疋疋锐角—角形B.可能是钝角三角形C.D.可能是直角三角形疋是寺腰三角形10.△ ABC 的面积为 S2a2A(b c)，则tan =【】1111 A .— B .—C .—D .-23 46A . △ ABC 为等腰三角形C . △ABC 为等腰直角三角形9.若 tanAtanB> 1，则△ ABC 【】2.在△ ABC 中，角 A 、B 、 C的对边分别为a 、b 、c ,已知A —, a 3b 1，则 c3. 已知△ ABC 中，a 2 , b 3 , B 60o ，那么角A 等于【B . △ ABC 为直角三角形D . △ABC 为等腰三角形或直角三角形 】二、填空题：本大题共4小题.11.在厶ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a 3,b 4,c 6,则bccosA cacosB abcosC 的值为 ________________ .112•在△ ABC 中，若tan A - , C 150o, BC 1，则AB .313. 在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,若,3b c cos A acosC ,贝H cosA _____________ 。
必修5第一单元《解三角形》单元复习(参考答案)
必修5第一单元《解三角形》单元复习例习题（参考答案）例1：解：在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝623×12＝32.又A ＝30°，且a ＜b ， ∴B ＝60°或B ＝120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形，故S △ABC ＝12ab ＝6 3. ②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23×6sin 30°＝3 3. 例2：解：(1)由cos C ＝255得sin C ＝55.sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2，BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B ＝ 1＋18－2×1×32×22＝13. 例3：解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B＝2c －a b 及正弦定理可得 cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B .则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ，即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π，则sin C ＝2sin A ，即sin C sin A＝2. 法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 可得 b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a＝2. 法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B＝2c －a b 可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ， 即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a＝2. (2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2， 则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154. 例4：[解] 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，若设AB ＝h ，则BC ＝h ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝ 3 h .在△BCD 中，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2·BC ·BD ·cos ∠CBD ，即2002＝h 2＋(3h )2－2·h ·3h ·32，所以h 2＝2002，解得h ＝200(h ＝－200舍去)即塔高AB ＝200米． 巩固作业： 1、解析：选C ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝2π3. 2．解析：选A ∵A ＝180°－45°－60°＝75°∴A ＞C ＞B ∴边b 最短．3．解析：选C b sin A ＝4×sin 60°＝4×32＝2 3.又a ＝6，且6＜23，故△ABC 无解． 4．解析：选D 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝49＋25－362×7×5＝1935 ∴AB ·BC ＝－AB BC cos B ＝－7×5×1935＝－19. 5．解析：选B 设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A ＜12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B ＜1＋a 2，∴22＜a ＜10.6．解析：选D 设炮台顶部为A ，两条船分别为B 、C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中，求得DB ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理得 BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos 30°，解得BC ＝30. 故选D.7．解析：S △ABC ＝12·|AB |·|AC |·sin A ，即3＝12·|AB |·|AC |·32，所以|AB |·|AC |＝4， 于是AB ·AC ＝AB ·AC ·cos A ＝4×12＝2. 答案：2 8．解析：由已知得sin 2 A －sin 2 B ＝sin 2 C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角 9、[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.由b sin B ＝a sin A 得，b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．10、解：在△ABC 中，根据余弦定理，有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10，又AC ＝10，所以∠CAB ＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.11、解：(1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin (A ＋C )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，把 b ＋c ＝4代入得bc ＝3，故bc ＝3.。
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(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．
规范解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝7
9，
所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3， (2)在△ABC 中，
sin B ＝1－cos 2B ＝42
9，
由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝22
3.
因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1
3.
因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝102
27.
【例5】在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝22
3，则AB →·AC →的最大值为( )．
A.13
B.4
5
C ．1
D ．3 解析 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×13＝4，由基本不等式可得4≥4
3bc ，即bc ≤3，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝13bc ≤1. 答案 C
【例6】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知=
，=（cosA ，﹣2cosA ），
=﹣1．
（1）求∠A 的大小； （2）若
，c=2，求△ABC 的面积．
【例7】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若acosC=csinA ．
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若a=3，△ABC 的面积为，求
的值．
三、 课堂练习
【训练1】若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
【训练2】
(1)已知sin α＋cos α＝1
5，0＜α＜π，则tan α＝______. (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程
⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②
由①得cos α＝1
5－sin α，将其代入②， 整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. 又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝45，
cos α＝－3
5，
∴tan α＝－4
3.
法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫152，
即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－24
25，
又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝1
2sin C ＋sin B cos C ， 即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π
3.
(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π
3＝3，所以ac ＝4， 由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，
所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.
【训练8】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ． （1）求角A 的大小；（2）若•=
，求△ABC 的面积．
课后作业：
1、已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－1
3 解析 法一 ∵0＜θ＜π
4，∴cos θ＞sin θ， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝16
9， ∴2sin θcos θ＝7
9，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝2
9， ∴sin θ－cos θ＝－2
3.
法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π4.
解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ， 得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，
化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，
故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝1
3. (2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →
|· cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.①
又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②
联立①②⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6，c ＝2.
8、已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设=（a ﹣b ，c ），=（a ﹣c ，a+b ），且∥． （1）求∠B ； （2）若a=1，b=，求△ABC 的面积．
备注:
家长签字:____________
年 月 日星期 i。