点估计法优劣评价标准
简述评价点估量好坏的标准
简述评价点估量好坏的标准
评价点估量好坏的标准包括：
1. 准确性：估量值要尽可能接近真实值，能够反映出实际情况。
2. 可靠性：估量值要稳定，多次估量结果相同或相近，具有可重复性和可比性。
3. 敏感性：估量值对影响结果的各因素要敏感，能够指出影响结果的主要因素。
4. 简便性：估量方法要简单易用，不需要专门的设备或工具。
5. 经济性：估量方法的成本要低廉，可以在可承受的范围内完成。
6. 灵活性：估量方法要能够适用于不同的情况和变化，具有一定的适应性。
7. 可解释性：估量结果要能够清晰地解释，上下文逻辑要完整。
2.3点估计的评价标准(1)
均方误差 ˆ 评价一个估计 X 好坏的一个度量标准是该估 ˆ ˆ 计 X 偏离实际参数的绝度偏差 X 。 ˆ 偏离值 X 小的估计比偏离值大的要好。 但是，这个标准在实际中不可取，因为： ˆ 1） X 是随机变量，因为样本X 是随机的； ˆ 2） 是未知的，算不出 X 的具体数值。
例2.3.1 设总体X 的期望和方差分别为， 2， X 1 , , X n是总体X 的一个样本，则样本均值X 和样本方差S 2分别是参数， 2的无偏估计。 证明：因为 1 1 n 1 n E X E X i EX i n , n n i 1 n i 1 1 n 2 1 n ES 2 E ( X i X )2 E X i nX 2 n 1 i 1 n 1 i 1 1 n EX i2 nEX 2 n 1 i 1 2 1 2 2 2 n( ) n n 1 n 2
* 2
但是，对估计的仅有无偏性 要求是不够的。因为 1)无偏估计不一定存在。 2)偏估计不一定存在 设X B n, ,0 1，参数g 没有无偏估计。 若T ( X )是g 的无偏估计，则ET ( X ) g ( ). n i 1 n i 而 T (i ) 1 ET ( X ) g ( ) , 1 i 0 i n n i n i 1 即 T (i ) 1 1 0， i 0 i 由于上式左端是关于的一个n+1次多项式，无论
i 1 i 1 n n
ˆ 能否确定ci使得估计量的方差最小？ ˆ ˆ 解：首先是的无偏估计，因为Ｅ＝。 ˆ ˆ 其次 Var 2 ci2 , 欲使 Var 达到最小，只需在
判断点估计好坏的三个标准
参数估计一般用样本统计量作为总体参数的点估计值，而样本统计量是一个随机变量，因此就有必要给出评价点估计值好坏的标准。
点估计值好坏的评价标准有以下3个。
1.无偏性
无偏性是指用来估计总体参数的样本统计量的分布是以总体参数真值为中心的，在一次具体的抽样估计中，估计值或大于或小于总体参数，但在多次重复抽样估计的过程中，所有估计值的平均数应该等于待估计的总体参数。
可以证明，样本平均数x是总体均值μ的无偏估计，样本方差[图片]是总体方差σ2的无偏估计。
2.有效性
有效性是指在同一总体参数的两个无偏估计量中，标准差越小的估计量对总体参数的估计越有效。
3.一致性
一致性是指随着样本容量的增加，点估计量的值越来越接近总体参数的真值。
换句话说，一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体参数。
§7.2点估计的评价标准
智商
组别
甲组
人数
n
6
智商平均数
x
78
Ch7-70
样本标准差
s
19
乙 组 46
99
16
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一
代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大?
提示 前一问题属假设检验问题
后一问题属区间估计问题
f
(x;θ )
=
⎧1
⎪⎨θ
−x
eθ
x > 0,
θ > 0 为常数
⎪⎩ 0
x≤0
( X1, X 2 ,", X n ) 为 X 的一个样本
证明 X 与 n min{X1, X 2 ,", X n} 都是θ 的无偏
估计量
证
X ~ E⎜⎝⎛θ1 ⎟⎠⎞
E(X ) =θ
故 E(X ) = E(X ) = θ
解
D(X)
=θ2
n
，D(nmin{X1,
X2,",
Xn})
=θ 2
所以,X 比n min{ X1, X 2 ,", X n} 更有效.
Ch7-58
例6 设总体 X，且 E( X )=μ , D( X )=σ 2
( X1, X 2 ,", X n )为总体 X 的一个样本
∑ (1)
设常数
ci
≠1 n
− lnθ
−
x
θ
Ch7-64
⎡∂
⎢⎣∂θ
ln
f
( x,θ
)
⎤ ⎥⎦
2
=
⎢⎣⎡−
1
θ
+x
θ2
⎤2 ⎥⎦
6-2点估计的评价标准
n
n
Var(ˆ1 ) ci2Var(xi ) 2 ci2
n
i 1n
n
i 1
利用柯西不等式 ( aibi )2 ( ai2 )( bi2 ) ,其中等号成立的充要条件是
i 1
i 1
i 1
a1 b1 a2 b2 an bn
而 1
n
ci
2
1 (
n
ci2 )(
n
1) n
判断一致性的三个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k阶矩的 相合估计. 即矩估计具有相合性 由辛钦大数定律可证
2. 设ˆn是 的一个估计, 且
定理1
lim
n
E(ˆn
)
lim
n
Var
(ˆn
)
0
定理2 则 ˆn 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
3. 若ˆn1 ,ˆn2 ,....,ˆnk 分别是 1,2 ,....,k 的相合
例11. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个
样本, 则由前可知：θ的最大似然估计是x(n).
由于
Ex(n)
n
n 1
所以x(n)不是θ的无偏估计, 而是渐近无偏估计.
但修正后可得θ的一个无偏估计:
ˆ 1
n
n
1
x(
n
)
另由矩法估计可知 ˆ2 2x 也是θ的无偏估计,
n
Var (ˆi )
1
2
n1
n
Var j 1
(
x
j
)
2
n1
ji
. 因此, x比 ˆi的方差小, 因而x比ˆi要优
高等数学-概率8.1 估计量的优劣标准
参数估计：根据样本估计出总体的未知参数。
概括为两类方法： （一）点估计 ——以某个统计量的值作为 总体中未知参数的估计值。 1、矩估计； 2、极大似然估计。 （二）区间估计 ——把总体的未知参数确定 在某一置信区间内。
第八章参数估计 第一节 获得估计量的方 法——点估计
从前面的概述中我们看到: 对于同一个参数可以有几种不同的估计方 法,可能得到不同的估计量。 问题：该采用哪一个估计量好呢？ 这就需要讨论估计量的优良性准则，牵涉 到以下两个方面的内容： (1) 如何拟定某种合适的，衡量估计量优良性 的标准； (2) 在给定的标准下，如何找出那个最好的估 计？
一、 无偏性 假设总体分布的参数为. ˆ ˆ ( X , X ,, X )简记 是的一个估计.
1 2 n
注意!它是一个统计量.从而是随机变量. 对于样本X1,X2 , ,Xn不同的取值,它也会取 ˆ 不同的值.如果 的均值等于未知参数, 即 E[ ( X , X ,, X )] ˆ
1 ˆ Var( i ) n 1
2 n
Var( X
j 1 ji
j
)
2
n 1
ˆ ˆ 我们看到 X比 i的方差小, 因而X比 i 要优. ,
这表明,当我们用样本均值去估计总 体均值时,使用全体样本总比不使用全体 样本要好.
二、 均方误差准则 ˆ 用估计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ), 去估 计,其误差为: ˆ .它随样本X1,X2 , ,Xn 的值而定,也是随机的,即:
ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是随机变量· 由于它是随机变量,我们通常是通过对 它求均值来看看误差有多大. 我们要注意:为了防止求均值时正误差 和负误差相互抵消,我们先将其平方再求均 值,并将其称为均方误差,记为MSE(),即 ˆ) : E ( ) 2 ˆ MSE (
7-3点估计的优劣标准
数理统计
设总体X的均值 例1 设总体 的均值
未知, 未知,
X 1 ,… , X n是取自
n 1 n 的样本, 于X的样本,则统计量 X = ∑ X i , Y = ∑ ai X i , X 1 的样本 n i =1 i =1 n 的无偏估计量, 为常数, 均为 的无偏估计量,其中 a1,…, an为常数,且 ∑ ai = 1
未知, 未知,
( X 1 ,… , X n )为来自 的样本,则 X 是 为来自X的样本 的样本,
的优效估计量. 的优效估计量.
数理统计
估计量的无偏性,有效性是在样本容量 一定的 估计量的无偏性,有效性是在样本容量n一定的 条件下来考虑的,实践证明,样本容量 越大越能精 条件下来考虑的,实践证明,样本容量n越大越能精 确地估计未知参数,因此自然想到,随着样本容量 确地估计未知参数,因此自然想到,随着样本容量n 的无限增大, 的无限增大,一个好的估计量与被估计的参数任意接 近的可能性会越大.由此得出一致性的概念. 近的可能性会越大.由此得出一致性的概念.
这就产生无偏性这个标准是未知参数的估计量若数理统计例如用样本均值作为总体均值的估计时虽无法说明一次估计所产生的偏差但这种偏差随机地在0的周围波动对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差设总体x的均值未知是取自于x的样本则统计量均为的无偏估计量其中为常数且数理统计所以无偏估计以方差小者为好这就引进了有效性这一概念都是参数的无偏估计量我们可以比较数理统计二有效性都是参数的无偏估计量若对任意且至少对于某个上式中的不等号成立设总体x的均值未知是取自于x的样本则统计量作为的估计量更有效当总体的概率密度函数关于参数且微分和积分次序可以交换时有以下罗克拉默不等式
数理统计
常用的几条标准是: 常用的几条标准是:
点估计优势的评价标准
一、无偏性
如何决定两者谁最优？
可以考察两个统计量的方差.
ˆ ˆ D 1 E 1
ˆ E 2 ˆ D 2 2
2
显然, 无偏估计以方差小者为好, 这就引进
了有效性这一概念 .
二、有效性
ˆ ˆ ˆ ˆ 设1 1 X 1 , , X n 和 2 2 X 1 , , X n 都是 参本值会得到不 同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动，而它的期望值最好等于未知参数的真值.
ˆ 定义1 设 X 1 , X 2 , , X n 为未知参数的一个 ˆ 估计,若 的数学期望存在,且 ˆ E ,
ˆ 则成 为的一个无偏估计.
一个参数往往有不止一个无偏估计, 如 设总体X的期望为m, X1, X2, ..., Xn是抽取样本.
1 显然, X X i 也是m 的无偏估计, n i 1
n
1 1 X1 + X 3不是m 的无偏估计, 3 3
问题 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若
ˆ ˆ 1和 2都是参数的无偏估计量,
一个参数往往有不止一个无偏估计,
1 X i , i 1,2,, n;
如 设总体X的期望为m, X1, X2, ..., Xn是抽取样本.
E X i E X m , i 1,2,, n
X i是m的无偏估计.
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点估计法优劣评价标准
点估计法是一种常见的统计方法，用于估计某个未知的参数。
在评价点估计法的优劣时，我们可以考虑以下标准：
1. 准确性：
准确性是衡量点估计法估计结果与真实值之间的差异大小的标准。
如果估计结果与真实值之间的差异很小，则说明该方法准确性高。
为了评估准确性，我们可以使用如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）等指标。
2. 可靠性：
可靠性是指点估计法在多次重复估计时能够稳定地得到合理结果的特性。
如果一个方法在多次重复估计时得到的结果不稳定，那么这个方法的可靠性就比较低。
为了评估可靠性，我们可以使用如置信区间、偏差和方差等指标。
3. 鲁棒性：
鲁棒性是指点估计法在面对异常数据、缺失数据或错误假设时的稳健性。
如果一个方法在面对这些情况时结果仍然合理，那么它的鲁棒性就比较高。
为了评估鲁棒性，我们可以使用如Z-score、IQR等指标来衡量数据分布的异常值。
4. 效率：
效率是指点估计法在计算上的复杂度和速度。
如果一个方法需要大量的计算资源和时间来得到结果，那么它的效率就比较低。
为了评估效率，我们可以使用如计算时间、所需的计算资源等指标。
5. 解释性：
解释性是指点估计法得到的结果能够被理解和解释的程度。
如果一个方法得到的结果难以理解和解释，那么它的解释性就比较低。
为了评估解释性，我们可以考虑如结果呈现的清晰度、直观性等指标。
综上所述，对于点估计法的优劣评价，我们需要综合考虑准确性、可靠性、鲁棒性、效率和解释性等多个方面。
通过对这些标准的评估，我们可以全面了解点估计法的性能，并选择最适合我们数据和需求的点估计法。