平稳金融时间序列：AR模型
因为滞后算子的特性Lc c，所以
(L)c c 1 1 2
最终我们可以把AR（2）模型写成
yt 是随机扰动项的函数，即：
yt
c
1 1 2
0t
1t1
2 t1
3.3.2 AR（2）过程的均值
c
11 2
3.3.3 AR(2)的方差、自协方差与自相关函数
DGP适用于理论上的问题与真实世 界的事例之间的比较。
例如:中国国际股票指数和随机游走 过程看上去相似吗？股票的收益率序列 符合白噪音过程吗？
图3.1 数据生成过程（右侧坐标） 与现实中的金融随机变量
160
4
DGP: Y(t)=Y(t-1)+e
120
China International Stock Price 0
如果一个白噪音过程还满足正态分 布的条件，即服从正态分布，这样的 过程称为高斯白噪音过程。例如：
y 1 ,y 2 , ,y T ,y t N (0 , 2 )
就是一个典型的样本为T的白噪音过程。
3.2 一阶自回归模型:AR（1） 3.2.1 AR（1）过程的基本定义和性质
AR（1）模型可以写成：
yt c yt1 t t iid (0, 2 )
c是常数项或截距项。
用无限阶移动平均来表示AR（1）移动平均 过程：
如果， 1
yt
c
1
t
t 1
2t2
因此, AR（1）实际上是一个无穷阶移动平均
过程 。
3.2.2 AR（1）过程的均值
c
c
E[yt]100 1
3.2.3 AR（1）过程的方差
1.8 ____ y
1.6 - - - - Mean
1.4
1.2
Series
y
Mean 1.302106
Median 1.265548
Maximum1.702138
Minimum 0.866587
Std. Dev. 0.234691
Skewness -0.203005
Kurtosis 2.205343
并且：
0
0 0
1
j j
严平稳的定义：
如果对于任何 j1, j2, , jk ，随机变
量的集合 (yt,ytj1,ytj2, ,tjk)只依赖
于不同期之间的间隔距离 (j1, j2, , jk) 而不依赖于时间t，那么这样的集合称 为严格平稳过程或简称为严平稳过程， 对应的随机变量称为严平稳随机变量。
80
-4
40-80-121994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
图3.1 数据生成过程（右侧坐标 ）与现实中的金融随机变量
600
6
400
DGP:WHITENOISE
4
RETURN
200
2
0
0
-200
-2
-400
-4
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
图3.7（b)
3 2 ALPHA=0.6 1 0 -1 -2 -3
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图3.7（c）
8 ALPHA=0.9
4 0 -4 -8
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图3.7（d）
8 ALPHA=1.0
4
0
-4
-8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 E[yt ]2 E[t t1 2t2 ]2 E[t2]2E[t21]4E[t22]6E[t23] (12 4 6 )2 2 12
平稳序列的观测值表现出一种向其 均值水平回复的特征，这种特征在金融 时间序列分析中称“均值回复”，对应 的英文名词是“mean-reverting”。
图3.4 AR（1）模拟生成的 序列图与相关统计量
3.3 二阶自回归模型:AR（2） 3.3.1 AR（2）过程的基本定义和性质
ytc1yt 12yt 2t
t iid(0,2)
yt c 1L yt1 2 L yt2 t (1 1 L 2 L ) yt c yt t
与 滞 后 算 子 多 项 式 （1 1L 2 L） 对 应
由
yt c 1 yt1 2 yt2 t c (1 1 2 )
可得
yt (1 1 2 ) 1 yt 1 2 yt 2 t
并进而整理得
yt 1 ( yt1 ) 2 ( yt2 ) t 两侧同乘以yt j , 然后取期望，得
j 1 j1 2 j2
3.1.2 自协方差与自相关函数
假定y t 是一个随机变量，自协方差 定义的是 y t 与其自身滞后期之间的协方
差，即“自身的协方差”。常见的协方 差的基本定义是：
C o v (X ,Y ) E X E (X )Y E ( Y )
其中：E [ ] 表示期望。从而可以知道，y t
与其自身滞后j期 y t j 之间的协方差定义
为：j E y t E ( y t) y t- j E ( y t- j) ,j 0 , 1 , 2 ,
对于均值保持不变的随机过程来说，
j E y t y t-j ,j 0 , 1 , 2 ,
j 0 时，即为方差：
0 V a r (y t) E y ty t- 0
随机变量x和y的相关系数模型为：
如果特征根方程所有的根都落在单位圆内，则 AR（ p） 平 稳的 。
在有些情况下，还可以把滞后算子多项式进行 因式分解，即：
(L) (1 1L)(1 2 L) (1 p L) 如 果 i 1条 件 满 足 ， 则 AR（ p） 模 型 平 稳 。
根据自相关函数的定义，得关系式
j 1 j1 2 j2
因此， 1 10 21
2 11 20
又因为自相关函数具有以下性质 可得自相j 关函j 数，在0 前200期1的解析表达式
1
1
1
2
2
2 1
2 2
12
2
进而可推导出平稳AR（2）模型的 方差解析表达式：
0(12)([1 (1 2)2 2)12]2
随着样本的增大，样本均值和方 差与理论上的真实值会越来越接近。 通过比较图3.4中不同样本数据对应的 样本均值和方差可以看出，只有30个 观测值的序列均值和方差分别为1.302 和0.2342=0.055，与真实值之间有明 显的出入；而对于1000个观测值的序 列，其均值和方差分别是3.262和 0.972=0.947，与理论真实值已经非常 接近了。
图3.8 AR(2)模型生成 的序列数据(a)
4
2
0
-2
-4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
yt0 .2yt 1 0 .1 yt 2t
图3.8 AR(2)模型生成 的序列数据(b)
4 2 0 -2 -4 -6
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
yt c 1 yt1 2 yt2 p yt p t
使用滞后算子,还可以写作：
(L) yt c t 其中， (L)为滞后算子多项式，定义为：
(L) 1 1L 2 L2 p Lp
AR（ p） 模 型 的基 本 形 式对 应 的特 征 根 方程 ：
p 1 p1 2 p2 p 0
3.1.4 白噪音过程（white noise process）
一个随机过程如被称为白噪音过程， 则组成该过程的所有随机序列彼此互相独 立，并且均值为0，方差为恒定不变值。
即对于所有时间t，y t 如果满足下列条件
(i) E( yt ) 0
(ii) Cov(yt,ytj)0, j0
(iii) Var(yt)02
Observations 29
1.0
(a) 样本=30
0.8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
图3.4 AR（1）模拟生成的 序列图与相关统计量
7 ____ y
6 ---- Mean
5
4
3
2
1
0
250
500
750
series y
Mean 3.262315
程的自相关函数图应该是随着滞后期数的
增加而呈现逐渐衰减的态势。
3.2.5 一阶自回归系数 的影响
下面利用实际例子进一步演示自
回归系数 取值不同对自相关系数
以及y t 序列动态走势的影响。
图0.93.5 AR（1）过程的自相关
函数图
1.0
ALPHA=0.5
0.8
ALPHA=0.9
0.6
0.4
0.2
金融计量学
张成思
第三章 平稳金融时间序列：AR模型
3.1 基本概念 3.2 一阶自回归模型 AR（1） 3.3 二阶自回归模型 AR（2） 3.4 p阶自回归模型 AR（p）
2
3.1 基本概念
3.1.1 随机过程与数据生成过程
随机过程：
从随机概率论的概念出发，随机过 程是一系列或一组随机变量的集合，用 来描绘随机现象在接连不断地观测过程 中的实现结果。对于每一次观测，得到 一个观测到的随机变量。
有时也叫协方差平稳（covariancestationarity） 或二阶平稳 （ second-order stationarity)。
弱平稳的定义：
对于随机时间序列 y t ，如果其期
望变量值化，、而即方变对差化于以，所及则有自称时协间y t t方为，y差弱t 必均平须不稳满随随足时机以间变下t
Median 3.286064
Maximum
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法1 适用于平稳时序的三种基本模型（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的自回归参数。
（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。
（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。
当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。
2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。
对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。
这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。
（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
平稳AR模型知识点总结
平稳AR模型知识点总结一、AR模型的定义AR模型是一种描述时间序列数据动态特征的模型，它假设当前时刻的观测值可以由之前时刻的观测值线性组合得到。
具体来说，平稳AR(p)模型可以表示为：\[X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + ... + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t\]其中，\(X_t\)是当前时刻的观测值，\(c\)是常数项，\(\phi_1, \phi_2, ..., \phi_p\)是模型的参数，\(X_{t-1}, X_{t-2}, ..., X_{t-p}\)是之前时刻的观测值，\(\varepsilon_t\)是一个白噪声误差项。
这里的p代表了模型的阶数，即模型考虑了之前p个时刻的观测值。
二、平稳AR模型的特性平稳AR模型有一些重要的特性，对于理解和分析AR模型非常有帮助。
1. 平稳性：AR模型的平稳性是一个重要的性质，它要求模型的参数要满足一定的条件才能保证模型是平稳的。
平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内是相似的，不随时间变化而发生明显的变化。
对于AR模型来说，要求其参数满足的条件是其特征根要在单位圆内，即\(|\phi_1| < 1, |\phi_2| < 1, ..., |\phi_p| < 1\)。
只有当这个条件满足时，AR 模型才具有平稳性，否则就会出现时间序列数据的不稳定性。
2. 自回归结构：AR模型的自回归结构是模型的核心特性，它描述了当前时刻的观测值与之前时刻的观测值之间的关系。
这种自回归的结构可以帮助我们理解时间序列数据的动态特性，进行预测和分析。
3. 白噪声残差：AR模型的误差项\(\varepsilon_t\)通常假设是服从均值为0、方差为\(\sigma^2\)的白噪声分布。
这意味着模型的残差是独立同分布的，没有自相关性和序列相关性，对于模型的有效性和预测性能至关重要。
平稳线性ARMA模型AR模型
18
一阶自回归过程AR(1)
• 一般地，因为经济系统惯性旳作用，经济 时间序列往往存在着前后依存关系。最简 朴旳一种情形就是变量目前旳取值主要与 其前一时期旳取值情况有关，用数学模型 来描述这种关系就是下面简介旳一阶自回 归模型。
19
20
在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性
• 特征方程
p a1p1 a2p2 a p 0
Hale Waihona Puke • 特征方程旳根称为特征根，记作
1, 2 ,, p
• 齐次线性差分方程旳通解
• 不相等实数根场合 • 有相等实根场合
zt c11t c2t2 c ptp
zt
(c1
c2t cd t d 1 )1t
cd
t
1 d
1
c ptp
• 得协方差函数旳递推公式
k 1 k1 2 k2 p k p
48
例3.3:求平稳AR(1)模型旳协方差
• 递推公式
k 1 k1 1k 0
• 平稳AR(1)模型旳方差为
0
2
1 12
• 协方差函数旳递 k 推 公1k 式1为212 , k 1
49
例3.4:求平稳AR(2)模型旳协方差
•
平稳AR(1)模型旳方差
Var(xt ) G2jVar(t )
j0
12
j
2
j0
1
2
2 147
协方差函数
• 在平稳AR(p)模型两边同乘 xtk ,k ，1再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
• 根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
平稳线性ARMA模型 AR模型
24
• 下面利用特征方程的根与模型参数 1 , 2
的关系，给出AR(2) 模型平稳的
的取值条件（或值域）。
1
,
2
(11)(12)0
25
• (3.16)和(3.17)式是保证AR(2)模型平稳，回 归参数 1 , 2 所应具有的条件。反之，若 (特3.征16方)和程(3的.1根7)式必成落立在，单则位特圆征内方。程2120
• 根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质， 等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在 单位圆外
• 平稳域判别 • 平稳域 {1,2,,p 单位根都在单}位圆
40
AR(1)模型平稳条件
• 特征根
• 平稳域
〈 1
41
AR(2)模型平稳条件 • 平稳域
• 特征根
1 1
2 1
4 2
2
• 特征方程的根称为特征根，记作
1,2,,p
• 齐次线性差分方程的通解
• 不相等实数根场合
• 有相等实根场合
zt c 11 t c 2t2 c ptp
z t ( c 1 c 2 t c d t d 1 ) 1 t c d 1 t d 1 c p t p
• 复根场合 z t r t( c 1 e i t c 2 e i t ) c 3 t 3 c p t p
8
非齐次线性差分方程的解
• 非齐次线性差分方程的特解
• 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解z t
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t )
• 非齐次线性差分方程的通解
• 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
平稳时间序列模型
（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此
常见时间序列算法模型
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。
MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。
ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。
ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。
SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。
LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
平稳金融时间序列：AR模型
如果一个白噪音过程还满足正态分 布的条件，即服从正态分布，这样的 过程称为高斯白噪音过程。例如： 2 y1, y2 ,L , yT , yt : N (0, ) 就是一个典型的样本为T的白噪音过程。
3.2 一阶自回归模型:AR（1） 3.2.1 AR（1）过程的基本定义和性质 AR（1）模型可以写成：
3.1.4 白噪音过程（white noise process） 一个随机过程如被称为白噪音过程， 则组成该过程的所有随机序列彼此互相独 立，并且均值为0，方差为恒定不变值。 yt 如果满足下列条件 即对于所有时间t， (i) E( yt ) 0 (ii) Cov( yt , yt j ) 0, j 0 2 (iii) Var ( yt ) 0 则 yt 是白噪音过程。
3.3 二阶自回归模型:AR（2） 3.3.1 AR（2）过程的基本定义和性质
yt c 1 yt 1 2 yt 2 t
t : iid (0, )
2
yt c 1 Lyt 1 2 Lyt 2 t (1 1 L 2 L) yt c yt t 与滞后算子多项式（ 1 1 L 2 L）对应 的特征方程(characteristic equation)为
3 2 1 0 -1 -2 -3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ALPHA=0.6
图3.7（c）
8 4 0 -4 -8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ALPHA=0.9
图3.7（d）
8 ALPHA=1.0 4 0 -4 -8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
yt c yt 1 t
平稳线性ARMA模型2AR模型
26
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
1, 2 2 1 1, 2 1
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角
形区域，见下图阴影部分。
27
28
29
• 例3.2 设AR(2)模型：Xt 0.7 Xt1 0.1Xt2 t
试判别 X t 的平稳性。
解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
B 其中，G(B)
GjB
j
，今后将把
进行运算的算j0 子，又可作为
G
(B)看作对 t
的函数来讨
论。
14
在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用
t时刻及t时刻以前的 X t j ( j 0,1, )
来表示白噪声 t ，即
15
16
17
3.2 ARMA模型的性质
• AR模型（Auto Regression Model） • MA模型（Moving Average Model） • ARMA模型（Auto Regression Moving
30
31
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
时间序列分析教程(四)AR与MA模型详细分析(公式推导慎入)
时间序列分析教程（四）AR与MA模型详细分析（公式推导慎入）时间序列分析中，AR模型（Autoregressive Model）和MA模型（Moving Average Model）是两种常用的模型类型。
本教程将详细介绍AR和MA模型的公式推导，让读者更好地理解其原理和应用。
首先，我们先来解释AR和MA模型的概念。
AR模型是一种基于时间序列过去的值来预测未来值的模型。
AR模型的基本思想是当前值与过去若干个时间点的值相关，即当前值是过去值的加权和。
AR模型的表示形式为AR(p)，其中p表示过去时间点的数量。
MA模型是一种基于时间序列过去的误差项来预测未来值的模型。
MA 模型的基本思想是当前值与过去若干个时间点的误差项相关，即当前值是过去误差的加权和。
MA模型的表示形式为MA(q)，其中q表示过去误差的数量。
下面我们将对AR和MA模型的公式进行推导。
一、AR模型的公式推导假设我们有一个时间序列{Y_t}，其中Y_t表示时间点t的值。
AR(p)模型的一般形式为：Y_t=c+ϕ₁Y_(t-1)+ϕ₂Y_(t-2)+...+ϕ_pY_(t-p)+ε_t其中c是常数项，ϕ₁、ϕ₂、..、ϕ_p是过去时间点的权重系数，ε_t 是一个白噪声误差项。
为了方便推导，我们将AR(p)模型简化为AR(1)模型，即只考虑过去一个时间点的值。
即：Y_t=c+ϕY_(t-1)+ε_t我们首先假设时间序列{Y_t}是平稳的，即均值和方差不随时间变化。
然后，我们将AR(1)模型代入Y_(t-1)的表达式中，得到：Y_t=c+ϕ(c+ϕY_(t-2)+ε_(t-1))+ε_t展开后整理得：Y_t=c(1+ϕ)+ϕ²Y_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t再次代入Y_(t-2)的表达式中，得到：Y_t=c(1+ϕ+ϕ²)+ϕ³Y_(t-3)+ϕ²ε_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t以此类推，我们可以得到AR(1)模型的一般表达式：Y_t=c(1+ϕ+ϕ²+...+ϕ^p-1)+ϕ^pY_(t-p)+ϕ^(p-1)ε_(t-p+1)+...+ϕ²ε_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t其中，c(1+ϕ+ϕ²+...+ϕ^p-1)是常数项，ϕ^pY_(t-p)是过去p个时间点的加权和，ϕ^(p-1)ε_(t-p+1)、..、ϕ²ε_(t-2)、ϕε_(t-1)和ε_t是误差项。
时间序列-AR模型
差分方程式可用框图表示: 设想有一个 滤波器，输入的是某种平稳序列，而输出的 则是白噪声序列，即
xt
自回归பைடு நூலகம்波器 εt
易见，滤波器成为一个对时间序列进行 变换的实体，变换前的序列称为输入，经滤波 器变换的得到的序列称为输出。
2 AR(p)序列的平稳域与允许域
定义2.2 AR(p)序列的平稳域为其系数取值 的集合：
变量取值之间的随机关系，往往根本无 法用任何函数关系式来描述，这时就需 要采用这个时间序列本身的观测数据之 间的依赖关系来揭示这个时序的规律性。
一、自回归模型的定义
定义2.1 设{xt,t=0,±1,±2,…}为时间序列， 白噪声序列为{εt,t=0,±1,±2,…} ，且对任
意的 s<t，E(xsεt)=0,则称满足等式
xt2,xt3, ,xtp,即得：
1xt 2xt 12xt 2xt 2 pxt 2xtp xt 2txt 2xt
1xt 3xt 12xt 3xt 2 pxt 3xtp xt 3txt 3xt
1xtpxt 12xtpxt2 pxtpxtp xt 1t xtpxt
再对两端取数学期望, 并由上述性质可得:
B kx t x t k k 0 ,1 ,2 ,
于是,AR(p)模型可以表示为
x t1 B t x 2 B 2 x t p B p x tt
(1 B 2 B 2 p B p )x tt
即得一差分方程:
(B)xt t
其中α(B)为后移算子多项式,即称为自回 归算子:
(B ) 1 1 B 2 B 2 p B p
在数理统计中讨论的数据的线性回归模 型, 很好地表示了因变量yt的观察值对自变量 观测值xt1,xt2,…xtp的相关性，解决了他们 之间的相关性问题，但是，对一组随机观测 数据，即一个时间序列内部的相关关系它却 描述不出来。即它不能描述数据内部之间的 相互依赖关系。