趣味数学086：完全数公式
小学数学知识点：完全数的七个特有性质
小学数学知识点：完全数的七个特有性质小学数学知识点：完全数的七个特有性质完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。
它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数)，恰好等于它本身。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。
特有性质1.所有的完全数都是三角形数例如:6=1+2+328=1+2+3+...+6+7496=1+2+3+...+30+318128=1+2+3…+126+127特有性质2.所有的完全数的倒数都是调和数例如:1/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=21/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2 特有性质3.可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。
例如:28=1³+3^3496=1^3+3^3+5^3+7^38128=1^3+3^3+5^3+……+15^333550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3特有性质4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和不但如此，而且它们的数量为连续质数。
例如:6=2^1+2^228=2^2+2^3+2^4496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^88128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^1233550336=2^12+2^13+……+2^24特有性质5.完全数都是以6或8结尾如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。
(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。
)特有性质6.各位数字辗转式相加个位数是1除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。
例如:28:2+8=10，1+0=1496:4+9+6=19，1+9=10，1+0=18128:8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=133550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1特有性质7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1。
完全数的公式定律
完全数的公式定律完全数是指一个数的所有真因子(即除了这个数本身以外的所有因子)之和等于这个数本身的数。
完全数具有如下的公式定律：1.素数测迭代法：根据欧几里得的定理，每个完全数都可以表示为2^(p-1)(2^p-1)，其中p是素数。
这个公式指出，如果p是素数，那么2^p-1一定是一个完全数。
例如，p=2时，2^2-1=3，是一个完全数；p=3时，2^3-1=7，也是一个完全数；p=5时，2^5-1=31，同样是一个完全数。
这个公式对于小的完全数是成立的，但是它不一定对所有的完全数都成立。
2. Euclid-Euler定理：欧几里得-欧拉定理给出了每个偶完全数的公式。
根据这个定理，一个完全数可以表示为2^(p-1) * (2^p - 1)，其中p和2^p - 1都是素数。
根据欧拉的证明，当2^p-1是一个素数时，2^(p-1)(2^p-1)是一个完全数。
例如，当p=2时，2^2-1=3是素数，因此2^(2-1)(2^2-1)=6是一个完全数。
目前为止，找到的所有完全数都可以用这个公式表示。
然而，尚未确定是否存在其他类型的完全数。
3.严格完全数：严格完全数是指除了该数本身以外的真因子之和等于这个数本身的数。
根据这个定义，完全数是严格完全数的一个子集。
根据数论的知识，任意一个大于2的合数都可以被分解成几个素数的乘积。
因此，对于一个偶数n来说，如果n是一个完全数，它一定也是一个严格完全数。
但是对于其他类型的数，尚未确定是否存在严格完全数。
综上所述，完全数具有一定的公式定律，但目前尚未确定是否存在其他类型的完全数，这仍然是一个待解决的数论难题。
完全数的公式定律
完全数的公式定律完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。
它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6。
第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28。
后面的数是496、8128等等。
6＝1+2+328＝1+2+4+7+14496＝1+2+4+8+16+31+62+124+2488128＝1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。
(此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明)例如p＝2，2^p-1＝3是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝3X2＝6，是完全数。
例如p＝3，2^p-1＝7是质数，（2^p-1）X2^（p-1）＝7X4＝28，是完全数。
但是2^p-1什么条件下才是质数呢?事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。
至今，人类只发现了47个梅森素数，也就是只发现了47个完全数。
规律:1、它们都能写成连续自然数之和例如：6＝1+2+328＝1+2+3+4+5+6+7496＝1+2+3+……+30+312、每个都是调和数它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。
例如：1/1+1/2+1/3+1/6＝21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28＝23、可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和。
例如：28＝1^3+3^3496＝1^3+3^3+5^3+7^38128＝1^3+3^3+5^3+……+15^333550336＝1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^34、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和例如：6＝2^1+2^228＝2^2+2^3+2^48128＝2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12 33550336＝2^12+2^13+……+2^245、完全数都是以6或8结尾如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。
完全数计算公式范文
完全数计算公式范文完全数是指一个数恰好等于它的因子（除了它本身）的和。
具体而言，一个数如果等于它的所有真因子之和，那么这个数就是完全数。
完全数在数学上具有很多有趣的性质和特点。
下面我将介绍完全数的计算公式以及一些有关完全数的性质和应用。
首先，我们来介绍计算完全数的公式。
根据欧几里得（Euclid）的证明，所有的完全数都可以表示为2^(p-1) * (2^p - 1)，其中 p 是一个素数。
换句话说，只有当 p 是素数时，才能得到一个完全数。
举个例子来说明：当p=2时，根据公式，我们可以计算得到2^(2-1)*(2^2-1)=2*(4-1)=2*3=6、因为6的因子有1,2,3，且1+2+3=6，所以6是一个完全数。
再举个例子：当p=3时，根据公式，我们可以计算得到2^(3-1)*(2^3-1)=2^2*7=4*7=28、因为28的因子有1,2,4,7,14，且1+2+4+7+14=28，所以28是一个完全数。
接下来，我们来看一下完全数的一些性质和应用。
其次，完全数还与三角形数有关。
三角形数是指可以形成一个等边三角形的点数，它们是一个数列：1,3,6,10,15,...。
有趣的是，完全数可以表示为两个连续的三角形数的差值。
具体而言，如果n是一个奇数，则2^(n-1)是一个完全数，并且可以表示为三角形数(2^n-1)-(2^(n-1)-1)的差值。
此外，完全数还被用于密码学和编码理论中。
在RSA加密算法中，完全数被用作一种安全的公钥加密方法。
由于完全数的因子较少且难以分解，因此利用完全数进行加密可以提高数据的安全性。
综上所述，完全数是一类特殊的数，可以通过欧几里得的公式来计算。
它们在数学上具有一些有趣的性质和应用，如与素数和三角形数的关系，以及在密码学和编码理论中的应用。
虽然完全数的数量很稀少，但它们依然是数学领域中备受研究和关注的一个重要问题。
完全数公式推理
第一步：我们把完全数写成连续自然数之和：有任意完全数N = 2^(n-1)×(2^n-1)；我们计算连续自然数相加，当从1加到这个完全数N的梅森尼数2^n-1时，我们用求和公式来计算这个连续自然数相加之和：首数是1尾数是2^n-1项数是2^n-1代入求和公式：Q=[1+(2^n-1)]/2 ×(2^n-1) =2^(n-1) ×(2^n-1)请注意，连续自然数相加从1加到2^n-1 ，其和的表达式与特性系数为n的完全数N的表达式完全相同。
也就是说，完全数可以写成连续自然数相加，其连续自然数的最后一个数正是这个完全数的梅森尼数2^n-1。
证毕。
第二步：我们把无穷连续自然数分组。
P为任意奇数。
每一组的首数是（P^2 +1）/2 - P (2)每一组的尾数是（P^2 -1）/2 + P (3)用此公式计算每一组内连续自然数之和Q：Q =（首数+尾数）/2 ×项数= [（P^2+1）/2 - P + （P^2-1）/2 + P ]/2×{[（P^2-1）/2 + P ]- [（P^2+1）/2 - P ] + 1}= P^2/2 × 2P = P^3此结果表示：按此规则将连续自然数分组后每一组内连续自然数之和为该奇数P的3次方。
举例：P 首数尾数所占区间区间内全部自然数之和1 0 1 0 ～1 1=1^33 2 7 2 ～7 27=3^35 8 17 8 ～17 125=5^37 18 31 18 ～31 343=7^39 32 49 32 ～49 729=9^317 128 161 128～161 4913＝17^3第三步：在连续奇数的分组的公式中计算任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差Δ。
Δ=[( P^2+1)/2 – P] – {[(P-2)^2-1]/2 + (P-2)}= P^2/2 + 1/2 – P –(P^2/2 – 4P/2 + 4/2 – 1/2 + P – 2)= P^2/2 + 1/2 – P –P^2/2 + 2P –2 + 1/2 - P + 2= 1本计算结果表明，任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差等于1，也就是说这两个数组既不重叠，也无间隔。
完全数
《完全数》数学离不开数，数有时候很简单，有时候有很神秘，今天我们就来分享一种神奇的数——《完全数》古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。
有人认为，6是属于美神维纳斯，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造它时花了6天时间……自然数6为什么备受人们青睐呢？原来，6是一个非常"完善"的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。
6的因数共有4个：l、2、3、6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数。
例如，28也是一个完全数，它的真因数有1、2、4、7、14，而1＋2＋4＋7＋14正好等于28。
在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张。
有人统计过，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。
公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式：如果n是一个质数，也是一个质数，那么，由公式的出来的就是一个完全数。
例如：n=2时，=3都是质数，那么，=6,6就是一个完全数。
当n=3时，=7，都是质数，那么，=28,28就是一个完全数。
当n=5时，=31，都是质数，那么，=496,28就是一个完全数。
尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。
直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展。
1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应于欧几里得公式中n＝521、607、1279、2203和2281时的答案。
以后数学家们又陆续发。
当n=3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时，到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数。
完美数的公式
完美数的公式完美数，这玩意儿听起来是不是有点神秘兮兮的？其实在数学的世界里，它可是个特别有趣的存在。
咱先来说说啥是完美数。
简单说，一个数如果它的真因子（就是除了自身以外的约数）之和等于它本身，那这个数就是完美数。
比如说 6 这个数，它的真因子是 1、2、3，而 1 + 2 + 3 恰好等于 6，所以 6 就是一个完美数。
那有没有啥公式能找出完美数呢？还真有！古希腊的数学家欧几里得就发现了一个找完美数的公式。
这公式是：如果2^p - 1 是一个质数，那么 2^(p - 1) × (2^p - 1) 就是一个完美数。
我给您举个例子哈。
比如说当 p = 2 时，2^2 - 1 = 3，3 是质数。
那按照公式，2^(2 - 1) × (2^2 - 1) = 2 × 3 = 6，嘿，这不就是咱刚刚说的那个完美数 6 嘛！再比如说当 p = 3 时，2^3 - 1 = 7，7 也是质数。
那 2^(3 - 1) × (2^3 -1) = 4 × 7 = 28，28 也是个完美数，它的真因子是 1、2、4、7、14，1 +2 + 4 + 7 + 14 = 28，一点儿没错！不过您可别觉得有了这个公式，找完美数就像从树上摘果子那么容易。
实际上，要判断 2^p - 1 是不是质数可不容易，得费不少功夫呢。
记得有一次，我给班上的孩子们讲完美数的公式。
有个小家伙特别较真儿，非得自己动手算几个试试。
他算得满头大汗，嘴里还念念有词。
我就在旁边看着，心里偷着乐。
最后他算出了一个结果，兴奋得跳了起来，那股子认真劲儿，真让人觉得可爱。
这完美数的公式虽然厉害，但到现在为止，人们发现的完美数还是少得可怜。
数学的世界就是这么奇妙，一个小小的公式，能引出这么多的思考和探索。
也许未来的某一天，会有更厉害的公式或者方法，让我们能更容易地找到更多的完美数。
但不管怎样，就现在这个公式，也已经让我们在数学的海洋里畅游了一番，感受到了其中的乐趣和奥秘。
完全数公式推理范文
完全数公式推理范文完全数是指一个数的所有真因子（除了自己本身）之和与该数本身相等的数。
一个完全数可以用以下公式来表示：N=2^(p-1)*(2^p-1)其中，p是一个素数，N是完全数。
现在我们来推导这个完全数公式。
首先，我们需要了解什么是素数。
素数是只能被1和自身整除的大于1的正整数。
例如，2，3，5，7，11等都是素数。
接下来，我们来证明这个公式。
我们知道，任何一个大于1的正整数N都可以表示为若干个素数的乘积。
假设 N 是一个完全数，它的所有真因子（除了自己本身）可以表示为：p1，p2，p3，...，pk。
那么N可以表示为：N = 1 * p1 * p2 * p3 * ... * pk = p1 * p2 * p3 * ... * pk其中，p1，p2，p3，...，pk 都是素数。
我们可以看出，N的每个真因子都是素数，而且是不同的素数。
另外，N的所有真因子之和可以表示为：Sum = 1 + p1 + p2 + p3 + ... + pk由于 N 是一个完全数，所以 Sum = N。
我们将 Sum 代入上面的式子中：N = 1 + p1 + p2 + p3 + ... + pk我们可以将其改写成：N = p1 + p2 + p3 + ... + pk +1假设N是一个偶数，那么N可以表示为2k的形式，其中k是一个正整数。
代入上面的式子：N = p1 + p2 + p3 + ... + pk + 1 = 2k我们可以将其改写成：p1 + p2 + p3 + ... + pk = 2k - 1我们可以得到结论，所有的真因子之和为一个奇数。
现在，我们来考虑一个特殊的情况。
假设N是一个完全数，并且N是一个素数。
此时，N的真因子只有两个：1和N本身。
则我们有：Sum = 1 + N = N + 1代入公式中：N = p1 + p2 + p3 + ... + pk + 1 = N + 1我们可以得到：p1 + p2 + p3 + ... + pk = N也就是说，一个素数的所有真因子之和等于它本身。
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完全数公式
前面，在“从一个数的约数谈起”一文中，介绍了求一个数的约数总和的公式：
如果一个数N ＝ɑi b j …c k ，其中ɑ、b 、…、c 是N 的质因数，i 、j 、…、k 是这些质因数的幂指数。
N 的所有约数的总和等于：111--+a a i ×111--+b b j ×…×1
11--+c c k 同时，还介绍了求偶完全数的欧几里得公式。
2n-1(2n －1)
式中，n 是大于1的自然数，并且2n －1是质数。
其实，偶完全数欧几里得公式，可以从约数和公式推出来。
下面就是推导的过程：
完全数的定义是：如果一个数的真约数之和等于这个数，或者一个数的所有约数之和等于这个数的2倍，这个数就是完全数。
按照完全数的定义，最小的完全数是6。
6是偶数，把6分解质因数6＝2×3。
进而推想，偶完全数分解质因数后，一定等于若干个2与若干个奇质数乘幂的积。
如果把若干个2的积记作2m ，(m ≥1)，把若干个奇质数乘幂的积记作p ，那么，偶完全数就可以记作2m p 。
根据约数总和公式，2m 的约数总和等于1
2121--+m ＝2m+1－1。
设p 的真约数之和是q ，那么，p 的约数总和就是p ＋q 。
于是，偶完全数2m p 的约数总和就是(2m+1－1)(p ＋q)。
因为完全数的约数总和等于完全数的2倍，所以，(2m+1－1)(p ＋q)＝2×2m p ＝2m+1p 。
化简，(2m+1－1)(p ＋q)＝2m+1p
2m+1p ＋2m+1q －p －q ＝2m+1p (乘开)
2m+1q －q ＝p (消项，移项)
2m+1
－1＝p/q (除以q)
2m+1－1是一个整数，p/q 等于一个整数，并且，因为m ≥1，所以2m+1－1≥3，说明q 是p 的真约数。
而前面已经假设q 是p 的真约数之和，这
就意味着，q是p唯一的真约数。
那么，什么样的数只有一个真约数呢？只有质数，并且这个真约数只能是1，即q＝1。
于是，原来所设的偶完全数2m p，就等于2m(2m+1－1)，并且，(2m+1－1)是一个质数。
如果把m＋1换成n，即m＋1＝n，m＝n－1，就得到求偶完全数的欧几里得公式：
2n-1(2n－1)
式中，n是大于1的自然数，并且2n－1是质数。