2.3.1平面向量基本定理-2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
e2 e1 2e2 B C
O
e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共 点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB 上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平 行四边形？
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
y A j
O
a
A(x,y)
i x
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
a
2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
问题提出
1 5730 p 2
t
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
a 2 3i 2j
B a
P A
j
O i
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底， 对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定 理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝ xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上 的坐标，y叫做a在y轴 y 上的坐标，上式叫做向量 a y 的坐标表示.那么x、y的 几何意义如何？ j x O i x
A
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如 何？ OM 1e1 , ON 2e2 . a 1e1 2e2 .
B
N O
B C N
C
uuur OM = uuu r ON =
A
M
A
O
M
OM 1e1 ,ON 2e2 ,a 1e1 2e2
2 AB AC 3
1 AM a b 2
B
F
C M
1 EF a b 6
A
E
D
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量， 且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？ 是否唯一？
思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用 λ1e1＋λ2e2表示吗？ e1
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a=0e1+λ2e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
3.向量的坐标表示是一种向量与坐 标的对应关系，它使得向量具有代数意 义.将向量的起点平移到坐标原点，则平 移后向量的终点坐标就是向量的坐标.
5 y
b=(-2,3)
b 2
O
a
2
a=(2,3)
4
－4 －2
c=(-2,-3)
c －2
－5
xLeabharlann dd=(2,-3)
例3 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， =b，E、M分别是AD、DC的中 AD 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.
O
A
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
b a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B
N O P C
M
A
思考3：在下列两图中，向量 OA, OB, OC
不共线，能否在直线OA、OB上分别找一 uuur uuu uuu r r 点M、N，使 OM + ON = OC ？
B N O C N B
C
A
M
A
O
M
B
N O
B C N
C
M O 思考4：在上图中，设 OA=e1，OB=e2， OC =a，则向量 OM,ON 分别与e1，e2的 A M
2.3.1-2.3.2平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示2
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
例3 如图，在平行四边形ABCD中，
A B =a，A D =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表A示B 23 AC向量 A M 和 E F .
AM 1 a b 2
EF a 1 b 6
BF C M
A ED
第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？
2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|；
（2）λ >0时，λa与a方向相同； λ<0时，λa与a方向相反； λ=0时，λa=0.
2.3.1平面向量基本定理
§2.3.1平面向量基本定理、§2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示教学目的：1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；2.理解平面的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示;3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点:平面向量基本定理；向量的夹角与垂直的定义；平面向量的正交分解；教学难点：1.平面向量基本定理的理解与应用;2.掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；教学过程：一、复习引入：①向量的加法运算（平行四边形法则）；②实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa； ③向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、建构教学：问题：①由平行四边形想到：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ ②对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 阅读课本P94回答下面问题：1、平面向量基本定理内容： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =2．探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键ｅ１与ｅ２是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１与ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量。
例1：（课本P94 例1）已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e 。
3、向量的夹角: 已知两个非零向量a 和b(如下图),作=a ,=b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b的_________. （1）当θ=0°，a 、b 共线同向，（2）当θ=180°，a 、b 共线反向，（2）当θ=90°，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b 。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-3
y
如图， i, j是分别与X轴、 Y轴方向相同的单位向量 ， 若以向量i,j为基底，则：
A
C
a
B
j o i
x
对于该平面内的任意向 量a , 有且只有一对实数 x, y, 使得：
a xi y j
a xi y j
① a （x，y）
i (1,0) j (0,1) 0 (0,0)
向量 a的分解 不是唯一的！
e2
a
e1
e4
平行四边形法则
e3
a e1 e2
a e3 e4
如图所示，
重力的分解
F1 F2
G
G F1 F2
向量的分解不是唯一的！ 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解。
如图，向量i, j是两个互相垂直的单位 向量， 而向量a与i的夹角为30，且 a 4， 以向量i, j为基底，向量a应如何用 i, j来表示？
2.3.2
平面向量的正交分解以及坐标表示
（1）平向量基本定理
（2）基底
如果e1 , e2是同一平面内两个不共 线向量， 那么对于这一平面内的 任意向量a,
有且只有 一对实数1，2，使得：
a 1 e1 2 e2
把不共线的向量 e1 , e2 叫作这一平面内所有向 量a的一组基底！
向量的夹角与垂直:
j
O
a ( x, y)
i
x
x
j 表示向量 a 、 例1:如图，分别用基底 i ， c 、， b、 d 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
a = AA1 + AA2 = 2i + 3j a = (2, 3)
向量基本定理
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向
．平面向量的正交分解及坐标表示．平面向量的坐标运算学习目标.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量与的夹角是°，则称向量与垂直，记作⊥.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是°，且＝，以向量，为基底，如何表示向量?答案＝＋.思考在平面直角坐标系内，给定点的坐标为()，则点位置确定了吗？给定向量的坐标为＝()，则向量的位置确定了吗？答案对于点，若给定坐标为()，则点位置确定．对于向量，给定的坐标为＝()，此时给出了的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此的位置不确定．思考设向量＝()，为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？点坐标是多少？答案向量的坐标为＝()，点坐标为()．梳理()平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得＝＋.平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)．②在直角坐标平面中，＝()，＝()，＝()．()点的坐标与向量坐标的区别和联系思考 设，是分别与轴、轴同向的两个单位向量，若设＝(，)，＝(，)，则＝＋，＝＋，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ(λ∈)如何分别用基底，表示？ 答案 ＋＝(＋)＋(＋)， －＝(－)＋(－)，λ＝λ＋λ. 梳理 设＝(，)，＝(，)，段的终点的坐标减去始点的坐标．．相等向量的坐标相等．( √ )．在平面直角坐标系内，若(，)，(，)，则向量＝(－，－)．( × ) 提示 ＝(－，－)．．与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为：＝()，＝()．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例 如图，在平面直角坐标系中，＝，＝，∠＝°，∠＝°，＝，＝.四边形为平行四边形．()求向量，的坐标；()求向量的坐标；()求点的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解()作⊥轴于点，则＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∴(，)，故＝(，)．∵∠＝°－°＝°，∠＝°，∴∠＝°.又∵＝＝，∴，∴＝＝，即＝.()＝－＝.()＝＋＝(，)＋＝.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练在平面直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设＝(，)，＝(，)，＝(，)，则＝°＝×＝.＝°＝×＝，＝°＝×＝－，＝°＝×＝，＝(－°)＝×＝，＝(－°)＝×＝－.因此＝(，)，＝，＝(，－)．类型二平面向量的坐标运算例已知＝(－)，＝()，求：()＋；()－；()－.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解()＋＝(－)＋()＝(－)＋()＝()．()－＝(－)－()＝(－)－()＝(－，－)．()－＝(－)－()＝－＝.反思与感悟向量坐标运算的方法()若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．()若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．()向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量等于( )．(－，－) ．()．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，即＝－，＝－，故(－，－)，则＝(－，－)，故选.类型三平面向量坐标运算的应用例已知点()，()，()．若＝＋λ(λ∈)，试求λ为何值时：()点在第一、三象限的角平分线上；()点在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点的坐标为(，)，则＝(，)－()＝(－，－)，＋λ＝()－()＋λ[()－()]＝()＋λ()＝(＋λ，＋λ)．∵＝＋λ，且与不共线，∴则()若点在第一、三象限角平分线上，则＋λ＝＋λ，∴λ＝.()若点在第三象限内，则∴λ<－.反思与感悟()待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．()坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练已知平面上三点的坐标分别为(－)，(－)，()，求点的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－，－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－－)，且＝，得(－)，故点坐标为()或()或(－).．已知＝()，＝(，－)，则－等于( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析－＝()－(，－)＝＝(－)．．已知向量＝(，－)，＝(－，－)，则向量的坐标是( )．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析∵＝－＝(－)，∴＝.．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，()，且＝，则顶点的坐标为( )．() ．()考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案解析设点坐标为(，)，则＝()，＝(，－)，由＝，得∴，∴.．已知向量＝(，－)，＝()，＝()，若＝＋，则＋＝.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析由于＝＋，即()＝(，－)＋()＝(＋，－＋)，所以＋＝且－＋＝，解得＝，＝，所以＋＝.．已知点()，(－)，且＝，则点的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案()解析设(，)，则(－，－)＝(－)＝(－)，∴＝，＝.．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若(，)，(，)，则＝(－，－)．．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题．已知()，()，则的坐标是( )．(，－) ．(－) ．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析＝()－()＝(－)．．已知－＝()，＋＝(，－)，则等于( )．(－，－) ．()．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案．若向量＝()，＝(－)，＝()，则等于( )．－．＋．－＋．＋考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案解析设＝＋，则解得∴＝－.．已知两点()，(，－)，则与向量同向的单位向量是( )考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为与同向的单位向量为，＝(，－)－()＝(，－)，＝＝，所以＝.．如果将＝绕原点逆时针方向旋转°得到，则的坐标是( )．(－，)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为＝所在直线的倾斜角为°，绕原点逆时针方向旋转°得到所在直线的倾斜角为°，所以，两点关于轴对称，由此可知点坐标为，故的坐标是，故选.．已知(－)，(，－)，点是线段上的点，且＝－，则点的坐标为( )．(－) ．(，－)．() ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标．若α，β是一组基底，向量γ＝α＋β(，∈)，则称(，)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量在基底＝(，－)，＝()下的坐标为(－)，则在另一组基底＝(－)，＝()下的坐标为( ) ．() ．(，－)．(－) ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析∵在基底，下的坐标为(－)，∴＝－＋＝－(，－)＋()＝()．令＝＋＝(－＋，＋)，∴解得∴在基底，下的坐标为()．二、填空题．已知平面上三点(，－)，()，(－)，则－的坐标是．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案(－)．已知(－)，(，－)，(－，－)，＝，＝，则的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(，－)解析＝()＝()，＝()＝()，＝－＝()－()＝(，－)．.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则的值为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析以向量和的交点为原点建立平面直角坐标系，则＝(－)，＝()，＝(－，－)，根据＝λ＋μ得(－，－)＝λ(－)＋μ()，有－λ＋μ＝－，λ＋μ＝－，解得λ＝－且μ＝－，．已知()，()，且＝(α，β)，α，β∈，则α＋β＝. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案或－解析因为＝(－)＝＝(α，β)，所以α＝－且β＝，∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－.三、解答题．已知点(－)，()及＝，＝－，求点，和的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点(，)，(，)，由题意可得＝(＋，－)，＝()，＝(－－－)，＝(－，－)．∵＝，＝－，∴(＋，－)＝()＝()，(－－－)＝－(－，－)＝()，则有和解得和∴，的坐标分别为()和(－)，∴＝(－，－)．．已知＝()，＝(－)，＝()，求＝＋＋，并用基底，表示. 考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解＝＋＋＝()＋(－)＋()＝()＋(－)＋()＝()．设＝＋＝()＋(－)＝(－，＋)，与不共线，则有解得∴＝＋.四、探究与拓展．已知点(，－)与(－)，点在直线上，且＝，求点的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解设点坐标为(，)，＝.当在线段上时，＝.∴(－，＋)＝(－－－)，∴解得∴点坐标为.当在线段延长线时，＝－.∴(－，＋)＝－(－－－)，∴解得综上所述，点的坐标为或(－)．．已知点()，()，()，及＝＋.()为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？()四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解()＝＋＝()＋()＝(＋＋)，若点在轴上，则＋＝，∴＝－.若点在轴上，则＋＝，∴＝－，若点在第二象限，则∴－<<－.()＝()，＝－＝(－－)．若四边形为平行四边形，则＝，∴该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．。
2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示
q r a
uu uu r r 1、 1 、 2 是平面内的一组向量，则平面内任一向 e e
判断下列命题的是否真命题，并说明理由
uu uu r r e e 2、 1 、 2 是平面内的一组基底，若实数λ 、 2 使 1 λ uu r uu r r λ λ e1 +λ e2 = 0 ，则 1 =λ = 0 (真) 1 2 2 uu uu r r 3、如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向
r uu r uu r a =λ e1 +λ e2 1 2
uu r uu r 我们把不共线的向量 e 1 ，e 2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底。
对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底。 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共 线的方向分解成两个向量的和的形式 3)分解是唯一的（给定基底后）
向量，叫做把向量正交分解。
4.向量的坐标表示：分别与x 轴、y 轴方向相同的两
单位向量i
、j 作为基底，任一向量a ，用这组基底可 表示为a =x i + y j， （x，y）叫做向量a的坐标
作业布置 课本P101,A组 1(作业本) P102, B组 3 ,4选作
练习册，预习新课
r uu r uu r λ 数对实数 λ 、 2 ，使 a =λ e1 +λ e2 1 1 2
r uu r uu r λ λ 量都可以表示为 a =λ e1 +λ e2 ，其中 1 、2 Î R (假) 1 2
r 量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，可能有无
(假)
课堂练习 （1）已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰三角 形，F为ED的中点， EA = e1 , EF = e 2 , 以 e1 , e 2 为基底 表示向量 uu r ur uu r e2 − e1 ___; AB = __________ _________ e2 AF = __________ 2 uu r ur uu r ur e2 − e1 ___; BD = __________ _________ e2 − e1 AD = __________ uur uur uur uuruur uu uur uur uu uur r r r uu ur r uur uur uu 2 uu 2 r ur uruu uu 2 2 uu r r r ur A F = B = F − F AE DA =e2B De2 =−− Ae1D − = A B e2 − ee1 −+ e1 e− = e e2 − e1 A E E = = AF = 2 FD uu r ur B A = e2 − e1
全国通用高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解及坐标
（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算检测新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算检测新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章2。
3 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2。
3.3 平面向量的坐标运算A级基础巩固一、选择题1．已知错误!＝（2，3），则点N位于( D ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．不确定［解析］因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．2．设A（1，2)，B(4,3），若向量a＝(x＋y，x－y）与错误!相等，则( C ）A．x＝1，y＝2 B．x＝1，y＝1C．x＝2,y＝1 D．x＝2，y＝2[解析］错误!＝(3，1)与a＝(x＋y，x－y)相等,则错误!。
∴x＝2，y＝1．3．向量错误!＝(2x，x－1），O为坐标原点,则点A在第四象限时，x的取值范围是（ D ）A．x〉0 B．x〈1C．x〈0或x>1 D．0<x〈1[解析]由A点在第四象限，所以错误!,解得0<x<1．4．已知向量a，b满足a＋b＝（1，3)，a－b＝（3，－3),则a，b的坐标分别为( C ) A．(4,0），(－2,6）B．（－2，6），(4，0）C．(2,0），（－1，3）D．（－1,3），（2，0）［解析]2a＝(a＋b)＋（a－b）＝（4,0），于是a＝(2,0），所以b＝（－1,3）．5．已知错误!＝a，且A错误!,B错误!,又λ＝错误!,则λa等于( A ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]a＝错误!＝错误!－错误!＝错误!，λa＝错误!a＝错误!,故选A．6．已知向量a＝（1，2），b＝(3,1），c＝(11,7），若c＝k a＋l b，则k、l的值为( D ) A．－2,3 B．－2，－3C．2，－3 D．2,3［解析]利用相等向量的定义求解．∵a＝（1,2），b＝(3，1），c＝(11,7),∴（11,7）＝k(1,2）＋l(3,1),即错误!，解得：k＝2，l＝3．二、填空题7．若O（0，0)、A(1，2）且错误!＝2错误!，则A′的坐标为__（2,4)__．［解析］A′(x，y），错误!＝(x，y),错误!＝（1,2），∴（x,y）＝2（1,2）＝(2，4)．8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若错误!＝(2，4），错误!＝(1，3),则错误!＝__（－3，－5)__．［解析］∵BD→＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝（错误!－错误!)－错误!＝错误!－2错误!＝（1,3）－2(2，4）＝(－3，－5）．三、解答题9．已知O是坐标原点,点A在第一象限，|错误!｜＝4错误!，∠xOA＝60°．(1)求向量错误!的坐标．(2）若B(错误!，－1），求错误!的坐标．［解析]（1）设点A（x，y)，则x＝4错误!cos60°＝2错误!，y＝4错误!sin60°＝6，即A（23，6),错误!＝(2错误!,6)．(2)错误!＝（2错误!，6）－(错误!，－1）＝（错误!，7）．10．已知点O（0,0)，A(1，2)，B(4，5)及错误!＝错误!＋t错误!．（1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上？点P在第二象限？（2）四边形OABP能成为平行四边形吗？若能,求出相应的t值；若不能，请说明理由．［解析]（1）错误!＝错误!＋t错误!＝（1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0⇒t＝－错误!；若点P在y轴上，则1＋3t＝0⇒t＝－错误!;若点P在第二象限,则错误!解得－错误!<t〈－错误!．（2）错误!＝（1，2），错误!＝（3－3t，3－3t）．若四边形OABP为平行四边形,需OA→＝错误!，于是错误!此方程组无解．故四边形OABP不能成为平行四边形．B级素养提升一、选择题1．若向量a＝（x，1），b＝(－x，x2），则向量a＋b满足( C ）A．平行于x轴B．平行于第一、三象限角的平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限角的平分线[解析]∵a＋b＝(0,x2＋1)，∴向量a＋b满足平行于y轴．2．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设错误!＝(x2＋x＋1）i－(x2－x＋1)j(其中x∈R），则点A位于（ D )A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵x2＋x＋1>0,－(x2－x＋1）〈0,∴点A位于第四象限,故选D．3．设向量a＝(1,－3），b＝(－2，4），c＝(－1,－2),若表示向量4a，4b－2c,2（a－c），d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（ D ）A．（2，6) B．(－2,6)C．（2，－6) D．(－2,－6)[解析]由题意，得4a＋4b－2c＋2（a－c）＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c）＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6）．4．在△ABC中，已知A（2,3），B（6，－4），G（4，－1)是中线AD上一点,且|错误!|＝2|错误!|，那么点C的坐标为( C )A．(－4，2）B．（－4,－2)C．(4，－2）D．(4,2）[解析]由题意,知点G是△ABC的重心，设C(x，y），则有错误!解得错误!故C（4，－2)．二、填空题5．已知两点M (3，－2），N （－5，－1），点P 满足错误!＝错误!错误!,则点P 的坐标是 （－1，－32） ． [解析] 设P (x ,y )，则MP ，→＝（x －3,y ＋2），错误!＝(－8，1）．∵错误!＝错误!错误!，∴（x －3,y ＋2）＝错误!(－8，1）．即⎩⎨⎧ x －3＝－4y ＋2＝12，解得错误!，∴P （－1，－错误!)． 6．设向量错误!绕点O 逆时针旋转错误!得向量错误!，且2错误!＋错误!＝(7，9），且向量错误!＝ 错误! ． [解析］ 设错误!＝(m ，n ）,则错误!＝（－n ，m )，所以2错误!＋错误!＝(2m －n ，2n ＋m ）＝(7,9)，即错误!解得错误!因此，错误!＝错误!．三、解答题7．已知点A (2,3），B (5,4)，C （7,10)及AP ，→＝错误!＋λ错误!（λ∈R )．(1)λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上?(2）若点P 在第三象限内，求λ的取值范围．（3）四边形ABCD 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的λ的值;若不能，请说明理由．[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，则错误!＝（x －2，y －3），错误!＝(3，1)，错误!＝(5，7)．∵错误!＝错误!＋λ错误!，∴（x －2,y －3）＝（3,1）＋λ（5,7），即错误!∴P (5λ＋5,7λ＋4）．(1）当点P 在第一、三象限的角平分线上时,由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝错误!．（2)当点P 在第三象限时，由错误!得λ〈－1．（3)错误!＝(3，1),错误!＝(2－5λ,6－7λ)．若四边形ABCP 为平行四边形，需错误!＝错误!,于是错误!方程组无解，故四边形ABCP不能成为平行四边形．8．已知点A(－1,2），B(2,8)，及错误!＝错误!错误!，错误!＝－错误!错误!，求点C、D和错误!的坐标．[解析]设点C、D的坐标分别为（x1，y1），(x2,y2)，则错误!＝(x1＋1,y1－2），错误!＝（3，6），错误!＝（－1－x2，2－y2)，错误!＝（－3，－6)．∵错误!＝错误!错误!,错误!＝－错误!错误!，∴（x1＋1，y1－2)＝错误!(3，6）,（－1－x2，2－y2）＝－错误!(－3，－6)，即（x1＋1，y1－2）＝（1，2），（－1－x2,2－y2)＝（1，2）．∴错误!错误!∴错误!错误!∴点C、D的坐标分别为（0,4）和（－2,0）．因此错误!＝(－2，－4）．C级能力拔高已知向量u＝（x，y）与向量ν＝（y，2y－x）的对应关系用ν＝f(u)表示．（1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(m a＋n b）＝mf（a)＋nf（b）成立;(2)设a＝（1,1)，b＝(1,0)，求向量f（a)及f（b)的坐标;(3)求使f（c）＝（p，q)(p、q为常数）的向量c的坐标．[解析］(1）证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1,b2)，则m a＋n b＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），∴f（m a＋n b）＝(ma＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1），mf(a)＋nf（b)＝m(a2,2a2－a1)＋n（b2,2b2－b1）2＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∴f(m a＋n b)＝mf(a）＋nf（b)成立．（2）f（a）＝（1,2×1－1）＝（1,1)，f（b)＝（0，2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c＝（x，y)，则f（c）＝(y,2y－x)＝（p，q）．∴y＝p，2y－x＝q。
平面向量基本定理与平面向量正交分解及坐标表示_
§2.3.1平面向量基本定理§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示班级: 姓名:【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.【重难点】平面向量基本定理；正交分解下的坐标表示. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：复习1：向量b 、()0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e （如下图），请同学们作出向量1232e e +、122e e -.（二）自主探究：（预习教材P93—P96） 探究：平面向量基本定理学法指导： 在物理中我们研究了力的合成与分解，力的合成与分解互为逆运算，都符合平行四边形法则：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F 的大小和方向就可以用F1、F2所夹的角的大小来表示。
（注：已知分力要求合力，叫做力的合成。
已知合力要求分力叫做力的分解。
）即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。
力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循的平行四边形定则。
力的分解就是由对角线求两邻边的问题，这是我们在物理中学过的知识。
在数学中，物理中的力，本质上就是我们数学中的向量，如果已知平面内的某一向量m （其中m 为非零向量），就可以按照平行四边形法则，将其分解到两个向量1e ，2e （其中1e ，2e 为非零向量）两个方向。
分解到1e 方向的向量记为a ，则a 与1e 共线，即11a e λ=，分解到2e 方向的向量记为b ，则b 与2e 共线，即22b e λ=，那么1122m a b e e λλ=+=+.问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1λ，2λ，使 。
人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
高中数学必修四教案：2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
图3
活动 :如图 3,在平面直角坐标系中 ,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 ｉ 、 j 作为基底 .对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知 ,有且只有一对实数 x、 y,使得
a=x ｉ +yj
①
这样 ,平面内的任一向量 a 都可由 x、 y 唯一确定 ,我们把有序数对 (x,y) 叫做向量 a 的坐标 ,记
关于向量的夹角 ,我们规定 :
图2
已知两个非零向量 a 和 b( 如图 2),作 OA =a, OB =b,则∠ AOB=θ (0 °≤θ≤ 叫18做0向°量） a
与 b 的夹角 . 显然 ,当 θ =0时°,a 与 b 同向 ;当 θ =180时°,a 与 b 反向 .因此 ,两非零向量的夹角在区间
示平面上任意向量的分解 ,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么
样的结论？
（二）推进新课、新知探究、提出问题
图1
①给定平面内任意两个不共线的非零向量
e1、 e2,请你作出向量 3e1+2e2、 e1-2e2.平面内
的任一向量是否都可以用形如 λ1e1+λ2e2 的向量表示呢 ?
②如图 1,设 e1、 e2 是同一平面内两个不共线的向量 ,a 是这一平面内的任一向量 ,我们通
过作图研究 a 与 e1、 e2 之间的关系 .
活动 :如图 1,在平面内任取一点 O,作 OA =e1, OB =e2, OC =a.过点 C 作平行于直线 OB 的
直线 ,与直线 OA; 过点 C 作平行于直线 OA 的直线 ,与直线 OB 交于点 N. 由向量的线性运算性
质可知 ,存在实数 λ1、 λ2,使得 OM =λ1e1, ON =λ2e2.由于 OC OM ON ,所以 a=λ1e1+λ2e2.