平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计 (1)
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。
2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。
3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。
【教学重点】平面向量的坐标运算。
【教学难点】理解向量坐标化的意义。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到 斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生 斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的 力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和22e λ，使1122a e e λλ=+。
而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。
在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个 向量i 和j ，则i j ⊥，且{},i j 可以作为一个基底。
由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底{},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。
既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。
《平面向量的正交分解及坐标表示》教案、导学案、课后作业
《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》教案【教材分析】本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.【教学重点和难点】重点：向量的坐标表示；难点：向量的坐标表示的理解.【教学过程】一、情景导入问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察，研探.二、预习课本，引入新课阅读课本27-29页，思考并完成以下问题1、怎样分解一个向量才为正交分解？2、平面向量怎样用坐标表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 (1)1 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 (2)2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.四、典例分析、举一反三 题型一 向量的减法运算例1 如图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________，________，__________.x y i j a x y yj xi a +=),(y x a ),(y x a =x a x y a y a ),(y x )0,1(=i )1,0(=j )0,0(0=a OA =A a yj xi OA +=OA ),(y x A A ),(y x OA【答案】a ＝(－4,0)； b ＝(0,6)；c ＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i ，j 所在直线分解，则a ＝－4i ＋0·j ，∴a ＝(－4,0)；b ＝0·i ＋6j ，∴b ＝(0,6)；c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．【答案】B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【解析】由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由三角函数的定义，得x 1＝cos30°＝32，y 1＝sin30°＝12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos120°＝－12，y 2＝sin120°＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.解题技巧（求点和向量坐标的方法）(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练一1．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2的形式为____________．【答案】a ＝17e 1＋47e 2.【解析】设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2.2. 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．【答案】（1）OA →＝(23，6)．(2)BA →＝ (3，7)．【解析】(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos60°＝23，y ＝43sin60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本37页习题6.3的15题. 【教学反思】本节内容是平面向量定理的一种延伸，比较简单，学生掌握起来较容易.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》导学案【学习目标】 知识目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决. 【学习重点】：向量的坐标表示； 【学习难点】：向量的坐标表示的理解. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本27-29页，填写。
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示一、教学目标1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2.会用坐标表示平面向量；对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系转化来用坐标表示；3.通过对平面向量的正交分解及坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。
二、教学重难点1．平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；2．对平面向量的坐标表示的理解。
三、教学过程：1、复习回顾平面向量基本定理 如果21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数21λλ，，使2211e e a λλ+=。
我们把不共线向量21e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a 在给出基底21e e ，的条件下进行分解； (3)基底给定时，分解形式唯一；2、探索新知平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。
问题1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？答:在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个不共线向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i +y j ，则把有序数对（x ，y ），叫做向量a 的坐标．记作a ＝（x ，y ），此式叫做向量的坐标表示．作向量a OA =，设j y i x OA +=，所以),(y x OA a ==。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；（2）两向量相等时，坐标一样；（3）(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=；（4）从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。
a j o i xy a jo xy i x y a a例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a 、b 、c 、d ， 并求出它们的坐标。
【教案】向量的正交分解及坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.3.2向量的正交分解及坐标表示一、内容和内容解析内容：向量的正交分解及坐标表示．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第二课时的内容．平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养．（2）掌握平面向量的坐标表示,提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）平面向量正交分解是以平面向量基本定理为基础，平面上给定两个不共线的向量，则任意向量均可分解为分别与它们共线得两个向量，如果这两个不同线的向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念．（2）类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，思考直角坐标平面内向量的表示方法，由正交分解和单位向量做基底，由此给出向量坐标的概念.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量的正交分解及坐标表示的教学中，从平面向量基本定理归纳推理概括正交分解和坐标表示是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握向量的坐标表示．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：如何进行向量的正交分解是本节课的第一个教学问题．解决方案：通过回顾平面向量基本定理，借助重力沿互相垂直的两个方向分解的例子说明．2．教学问题二：如何进行坐标表示是本节课的第二个教学问题．这是本节课的重点类．解决方案：类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，借助图形观察发现向量的坐标和点的坐标之间的联系．基于上述情况，本节课的教学难点定为：了解平面向量的正交分解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量的正交分解及坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中利用问题串的形式引导学生思考，讨论，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视向量的正交分解及坐标表示，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知[问题1]什么是平面向量基本定理？[问题2]如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?教师1：提出问题1．学生1：如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e eλλ=+.我们把不共线向量12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.教师2：提出问题2．学生2：因为向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,所以OA=23，OB=2，于是a=23i+2j.通过复习平面向量基本定理引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.问题探究形成概念[问题3]在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底?[问题4]在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一?[问题5]平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一向量OA,根据平面向量基本定理, OA=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量OA也用(x,y)表示,教师3：提出问题3．学生4：能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底.教师4：提出问题4．学生4：由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的.教师5：提出问题5．学生5：相同，一一对应.教师6：1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．若a＝xi＋yj,则a＝(x，y).通过探究让学生理解平面向量的正交分解与坐标表示，培养数学抽象的核心素养.那么这种向量OA与实数对(x,y)之间是否一一对应?[问题6]点的坐标与向量坐标有何区别？2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝(x，y).教师7：提出问题6学生6：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).典型例题，巩固落实1.平面向量的正交分解及坐标表示例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示,,OA OB AB，并求出它们的坐标．2.向量的坐标的应用例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，教师8：完成例1．学生7：OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它们的坐标表示为OA＝(6,2)，OB＝(2,4)，AB＝(－4,2)．教师9：完成例2学生8：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，通过例题巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量,AB AC 的坐标．[课堂练习]1.设,i j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若42OA i j =+，34OB i j =+则2OA ＋OB的坐标是( )A.(1,2)-B.(7,6)C.(5,0)D.(11,8)[课堂练习]2.设i j ，是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2+3i jB ．4+2i jC ．2i j -D ．2+i j -∴C (1，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3).教师10：布置课堂练习1、2． 学生9：完成课堂练习，并核对答案． 答案：D,C.课堂 小结[问题7]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.判断(正确的打“√”，错误的教师11：提出问题7． 学生10：学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学升华 认知打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )2.如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OD →=________.3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．1. (1)× (2)√ (3)× (4)×2. OB →＝(1，－1)，OD →＝(－1，1)． 3. AB →＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32.核心素养．课后练习:巩固定理，对本节知识有更深化的认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
教学设计--2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学设计1
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学分析在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j。
于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。
这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。
教学目标1、知识与技能：（1）理解平面向量的正交分解的概念；（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念；（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。
2、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点: 平面向量的坐标的理解。
授课类型：新授课教具：课件教学过程：一、导入新课回忆：平面向量基本定理（利用课件动态演示平移过程，充分反应平面向量基本定理的实质，更好地为学生掌握这节课必备的知识做好准备）即:平面内的任意向量a，都可以用两个不共线向量1e，2e唯一表示。
物理问题：如图，在光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G。
现在将重力G分解成两个力，下滑力F1，它的方向如何？木块对斜面的压力F2，它的方向又如何呢？那么这三个力有什么关系呢？请问F1与F2有何位置关系？G=F1+F2F1⊥F2（用课件动态做出三个力，展示力学中力的分解，从而引入本节课的第一个知识点：平面向量的正交分解）二、新课讲解：知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.练习1：如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i 的夹角是30°，|a|=6，怎样用向量i、j表示向量a呢？（用课件将向量a进行分解，让学生更好地掌握平面向量的正交分解，为讲解向量的坐标打下基础）在平面上，如果我们选取互相垂直的两个向量作为基底，会给我们的问题带来很方便。
高中数学_平面向量的正交分解及坐标表示坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算教学目标：1、掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算。
2、经历观察、操作、交流等活动，增强学生观察能力，培养学生从一般到特殊的认知规律和数形结合的思想。
3、通过平面向量坐标的学习，让学生感受平面向量的正交分解与现实生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，感受数学之美。
教学重点：平面向量的坐标运算。
教学难点：平面向量坐标表示的理解及坐标运算的准确性。
教学过程：一、复习回顾1.平面向量基本定理的内容？2.分别用给定的一组基底表示向量思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单？二、新知探究思考:1.光滑斜面上木块受到重力作用的分解特点？把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解思考:2.平面直角坐标系中点A可以用坐标来表示；平面向量是否也有类似的表示呢？课堂探究一：平面向量的坐标表示如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设→→==jOBiOA,填空：（1）|i |_____,|j |______,|OC |______;=== （2）若用 →→j i , 来表示OD OC ,，则： （3）向量 CD 能否由 →→j i , 表示出来？知识点1：平面向量的坐标表示概念如图， →→j i ,分别是与x 轴、y 轴方向相同的单位向量，若以 →→j i ,为基底，则对于该平面内的任一向量→a ，有且只有一对实数x,y,使得→→→+=j y i x a这样，平面内的任一向量→a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对（x,y ）叫做向量 →a 的坐标，记作()y x a ,=→显然，()()()0,00,1,0,0,1===→→→j i 。
知识点2：OA 的坐标就是点A 的坐标设 →→+=j y i x OA ，则向量OA 的坐标（x,y ）就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x,y)也就是向量 OA 的坐标.例1.如图，分别用基底→→j i ,表示向量→→→→d c b a ,,,，并求出它们的坐标。
平面向量的正交分解及坐标表示教学方案
环节二 平面向量的正交分解及坐标表示【引入新课】情境：回顾平面向量基本定理，为学习向量的坐标表示作铺垫．问题1：回顾所学习过的平面向量基本定理，回答下列问题：（1）什么是平面向量基本定理？（2）已知向量1e ，2e （如下图所示），分别作出向量a 在1e ，2e 方向上的分解．【课堂探究】情境：动画演示，重力G 分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力，帮助学生理解正交分解的概念．1．正交分解问题2：阅读教科书6.3.2节第一、第二段，回答问题：（1）什么是正交分解？（2）举一个正交分解的例子．答案：（1）正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．（2）如图6.3-8，重力G 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力1F ，垂直于斜面的压力2F ．（重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．）2．坐标表示情境：类比在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，思考直角坐标平面内的一个向量的表示方法．问题3：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？答案：如图6.3-9，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．3．提炼概念：向量a的坐标表示平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．追问1：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？答案： i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0)．情境：课堂展示讲解，理解向量的坐标与点的坐标之间的联系．问题4：向量的坐标与点的坐标之间有何区别与联系？答案：（1）设=+OA xi yj ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；（2）反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标；（3）因为=OA a ，所以终点A 的坐标(,)x y 就是向量a 的坐标．（4）若向量的起点不是原点，则终点A 的坐标（x ，y ）就不是向量a 的坐标． 注意：实数对“（2，3）”如果不作说明，可以表示区间，点，也可以表示向量．【知识应用】情境：结合实例，加深对向量的坐标表示的理解．例3：如图6.3-11，分别用基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，你能求出它们的坐标吗？解：由图6.3-11可知，a ＝12AA AA +＝2i ＋3j ，所以a ＝（2，3）．同理，b ＝－2i ＋3j ＝（－2，3），c ＝－2i －3j ＝（－2，－3），d ＝2i －3j ＝（2，－3）．【归纳小结】问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．总结要点如下：（1）内容：正交分解，平面向量的坐标表示．➢类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．➢对给定的向量，写出其坐标表示．➢向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．（2）思想方法：以数的运算处理形的思想方法．。
《平面向量的正交分解及坐标表示》教案
《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。
二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。
三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾 问题情境 【回顾】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F 1和木块产生的垂直于斜面的压力F 2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念 加深认识如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi yj =+ …………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y = …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。
结合定义，指导学生求出向量i 、j 、0 的坐标。
（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a = ，则点A 的位置由a 唯一确定。
设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标。
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《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计
武山一中
【教材内容地位】
本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容 1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，
3.平行向量的坐标运算，
4.平面向量共线的坐标表示。
本节教学的内容是本单元的第2节。
【目标与目标解析】
知识与技能：
1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；
2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)
=，j(0,1)
=，0(0,0)
=
3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。
过程与方法：
学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
情感态度与价值观：
在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
重点：平面向量坐标表示的定义
突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想. 难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解
突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理
【教学过程】 一、知识再现、学习准备 平面向量基本定理： 如果 是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 λ11e +λ22e 。
(1)我们把不共线向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a 在给出基底 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是由 a , 唯一确定的数量。
二、教学过程设计.
（一）问题情境1：倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg 的物体匀速下滑，
欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?
设计说明：引出课题。
回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问
题做铺垫。
（二）向量坐标表示的定义探究
提出问题
1.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)
表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?
2.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？
⒊平面向量的正交分解及坐标表示(讲授新课)
师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些
力的作用？这些力之间有什么关系？
生：该木块受到重力G 的作用，产生两个效果，
一是木块受平行于斜面的力F 1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的
压力F 2．也就是说，重力G 的的效果等价于力F 1和F 2的合力的效果，即G =F 1+F 2．
师：物理学中，G =F 1+F 2叫做把重力G 分解．
由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向
量1λe 1、2λe 2，使a ＝1λe 1+2λe 2．
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直
的向量，叫做把向量正交分解．
如上，重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量
分解中常见的一种情形．
⒋平面向量的坐标表示
师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即
点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴
方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的
21λλ、2
1e e 、=a a 21e e 、21e e 、
21e e 、
一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得
a ＝x i ＋y j ．
这样，平面内的任一向量a 都可以x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫
作向量a 的坐标，记作a ＝(,)x y ，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y
轴上的坐标，式子a ＝(,)x y 叫作向量的坐标表示.
根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i 、j 以及零向量的坐标表示是怎样
的？
生：i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=．
（三）向量与坐标的对应关系
师：如图，在直角坐标平面中，以原点O 为起点作
OA =a ，则点A 的位置由向量a 唯一确定．
设OA =x i ＋y j ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A
的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 就是向量OA 的坐标．因此，在平面直角
坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．
有人说：直角坐标平面内向量a 的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？
生：这种说法不正确．只有当向量a 的始点是坐标原点时，向量的坐标才是
它的终点坐标．
师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量
的集合之间有一一对应关系．
（四）例题讲解:
例1 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.
活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示
为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向
量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向
量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得
到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a
与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个
向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.
解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,
∴a =(2,3).
同理,b =-2i +3j =(-2,3);
c =-2i -3j =(-2,-3);
d =2i -3j =(2,-3).
点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 拓展训练：
【解】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，
又∵|OA →|＝|a |＝2，|OB →|＝|b |＝3，|OC →|＝|c |＝4.
∴A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，332，C (23，－2)， ∴a ＝(2，2)，b ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2) 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，
且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．
例2.
（五）本节课时小结:
⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．
⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．
（六）课后作业：
⒈课本102页习题2.3 B 组 ⒊
⒉预习课本106P ～108P ，思考下列问题：
⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？
⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？
⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？
⑷例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？
教学后记:
《平面向量的正交分解及坐标表示》
教学设计
武山一中
令启元。