分数的速算和巧算 1

第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990a b c =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1和2，有：11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++ 本题具体的解有：1111111111011110126014351530=+=+=+=+ 例题精讲 模块一、分数裂项 【例 1】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】 计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ． 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 3】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】 111111212312100++++++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……，【例 5】22222211111131517191111131+++++=------ .【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b-=-⨯+，【例6】1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1) 223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+【例7】12123123412350 2232342350 ++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++【解析】找通项(1)(1)2(1)(1)212nn nn nan n n n+⨯⨯+ ==+⨯⨯+--【例8】2222222222222 3333333333333 11212312341226 11212312341226 ++++++++⋯+ -+-+⋯-++++++++⋯+【解析】22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314nn n nn nan nn n n n n⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++【例9】计算：222222 2399 2131991⨯⨯⨯= ---【解析】通项公式：()()()()()221111112nn nan n n n++ ==+++-+，【巩固】 计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+ 【解析】 本题的通项公式为221005000n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦，可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个22505050005000-+．将项数和为100的两项相加，得 ()()()()22222222210010022001000021005000100500010050001001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+， 所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）【例 10】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124 【解析】 虽然很容易看出321⨯＝3121-，541⨯＝5141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？模块二、换元与公式应用【例 11】 计算：3333333313579111315+++++++【例 12】 计算：234561111111333333++++++ 【解析】 法一：利用等比数列求和公式。

原式71113113⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 7132641132729⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 法二：错位相减法．设234561111111333333S =++++++ 则23451111133133333S =++++++，61333S S -=-，整理可得3641729S =． 法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，2345622222222333333S =++++++，则运用“借来还去”的方法可得到61233S +=，整理得到3641729S =．【例 13】 计算：22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++【例 14】 计算：222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯【例 15】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ ．【例 16】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+三、循环小数与分数互化【例 17】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数．【例 18】 某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?【例 19】 有8个数，0.51，23,59,0.51,2413,4725是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?【例 20】 真分数7a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【例 21】 20022009和1287化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.【解析】 如果将20022009和1287转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们 发现2002112009287+=，而10.9⋅=，则第100位上的数字和为9.【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．【例 23】 ()()()()()()()()()()1111111111145=+=-=++=-- 注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.【例 24】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。