江西师大附中、九江一中高三数学(文)联考试卷
江西省九江市县第一中学高三数学文测试题含解析
江西省九江市县第一中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当时，，故不是函数的零点.当时，等价于，令，则，当时，，当时，，当时，；所以，①当时，在有两个零点，故在没有零点，从而，所以；②当或时，在有一个零点，故在有一个零点，此时不合题意；③当时，在有没有零点，故在有两个零点，从而.综上可得或.故选D.解法二：当时，，，①当时，在有两个零点，又当时，，故在没有零点，所以；②当或时，在有一个零点，又当时，，在上单调递减，故，不合题意；③当时，在有没有零点，此时在上必有两个零点.当时，当时，，当时，，当时，，所以，要使在上必有两个零点，只需满足.令，则，当时，，故单调递增.又，故即，解得.综上可得或.故选D.【错选原因】错选A：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点.错选B：用特殊值或代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选C：可能根本没去做，综合了A和B，于是选C.2. 等差数列的前项之和为，若为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是（）A． B． C． D．参考答案：B3. 有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题．②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则”的逆否命题．其中真命题为()A．①② B．②③ C．④ D．①②③参考答案：D4. 设,，若，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先由列举法求出“三人在同一个社团”的概率，再由对立事件概率计算公式求出“三人不在同一个社团”的概率．【解答】解：∵某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，a，b，c三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，∴a，b，c三名学生选择社团的结果有：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（B，A，A），（A，B，B），（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B），共8个等可能性的基本事件，三人在同一个社团的结果有：（A，A，A），（B，B，B），共两个，∴“三人在同一个社团”的概率为p1==，而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件，∴“三人不在同一个社团”的概率为p=1﹣=．故选C．6. 已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为( )A．16 B．18 C．20 D．24参考答案：B【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算．【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】由，∠BAC=，利用数量积运算可得，即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．可得，化为x+y=．再利用基本不等式==即可得出．【解答】解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S△ABC===1．∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．∴，化为x+y=．∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．【点评】本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．7. 设实数满足，则（）A.0B.3C.6D.9参考答案：C略8. 等差数列{a n}的前n项和为，，，则（）A. －5B. 5C. －7D. 7参考答案：A9. 如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数等于A．B．2C． D．参考答案：10. 若ABC三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45o，S ABC=2，则sinA=( )．(A) (B)(C) (D)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列几个命题：① 不等式的解集为；② 已知均为正数，且，则的最小值为9；③ 已知，则的最大值为；④ 已知均为正数，且，则的最小值为7；其中正确的有．（以序号作答）参考答案：2,412. 若二次函数有零点，则实数的取值范围是．参考答案：且13. 已知平面区域Ω=，直线l :和曲线C :有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围是__________。
江西师范大学附属中学2023届高三三模考试数学(文)试题(含答案解析)
Z ，即
2π 3
2kπ,k
Z
，
因为 0
π
，所以
2π 3
，所以
f
x
sin
2x
2π 3
，
因为将 f x 的图像向右平移 π 个单位得到 g x 的图像，
3
答案第 2页，共 16页
所以
g
x
sin
2
x
2π 3
2π 3
sin
2
x，
对于 A，显然 g x 不是偶函数，则 g x 的图像不关于 y 轴对称，故 A 错误；
对于
B，
g
2π 3
sin
4π 3
0
，故
g
x
的图像不关于
2 3
π,
0
中心对称，故
B
错误；
对于
C，因为
x
0,
π 2
，则
2
x
0,
π
，所以
g
x
在
0,
3
个单位得到 g x 的图像，则下列关于 g x 的成立的是（ ）
A．图像关于 y 轴对称
C．在
0,
π 2
上单调递增
B．图像关于
2 3
π,
0
中心对称
D．在
π 6
,
π 3
上最小值为
3 2
6．已知某几何体的三视图如图，其俯视图是边长为 2 的正三角形，侧该几何体的体积
为（ ）
试卷第 1页，共 5页
于 G, H 两点，求证： PD PE 2 ． FG FH
23．已知函数 f x 2x 2 x a ． (1)当 a 1 时，求不等式 f x 5 的解集； (2)是否存在正数 a ，使得 f x 的图象与直线 y 6 所围成的四边形的面积等于 9 ，若存
江西省部分学校2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学含答案
高三数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}(){}U 0,1,2,3,4,5,1,3,5U A B A B =⋃=⋂=ð，则集合B =（）A.{}1,3,5B.{}0,2,4 C.∅ D.{}0,1,2,3,4,52.225π5πsincos 1212-=（）A.12B.2C.12-D.2-3.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2f x y f x y f y +--=，则()0f =（）A.0B.1C.2D.1-4.已知0,0x y >>，且121y x+=，则12x y +的最小值为（）A.2B.4C.6D.85.设函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A.12 B.13C.16D.236.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是C θ' ，空气的温度是0C θ，则min t 后该物体的温度C θ 满足()400etθθθθ-'=+-.若0,θθ'不变，在12min,min t t 后该物体的温度分别为12C,C θθ，且12θθ>，则下列结论正确的是（）A.12t t >B.12t t <C.若0θθ'>，则12t t >；若0θθ'<，则12t t <D.若0θθ'>，则12t t <；若0θθ'<，则12t t >7.已知log 1(,0n m m n >>且21,1),e m n m n ≠≠+=，则（）A.e (1)1m n -+<B.e (1)1m n -+>C.e ||1m n -< D.e ||1m n ->8.在ABC 中，4,6,90AB BC ABC ∠=== ，点P 在ABC 内部，且90,2BPC AP ∠== ，记ABP ∠α=，则tan2α=（）A.32B.23C.43D.34二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知命题2:,p x x x x ∃∈->R ；命题πππ:,π,cos sin 244q ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.p 是真命题B.p ⌝是真命题C.q 是真命题D.q ⌝是真命题10.已知函数()1cos f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 为偶函数B.()f x 的最大值为cos2C.()f x 在()1,2上单调递减D.()f x 在()1,20上有6个零点11.已知函数()3213f x x bx cx =++，下列结论正确的是（）A.若0x x =是()f x 的极小值点，则()f x 在()0,x ∞-上单调递减B.若x b =是()f x 的极大值点，则0b <且0c <C.若3c =，且()f x 的极小值大于0，则b 的取值范围为(2,-D.若3c b =-，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()sin (0π)f x x ϕϕ=+< 的图象关于y 轴对称，则ϕ=__________.13.已知函数()2,0,,01x ax x f x xx x ⎧+<⎪=⎨-⎪+⎩的最小值为1-，则a =__________.14.已知函数()()sin 1f x x ϕ=++，若()()121f x f x -=，则12x x -的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 1sin 1cos cos A B A B++=.（1）证明：A B =.（2）若D 是BC 的中点，求CAD ∠的最大值.17.（15分）已知函数()e xf x a x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()e 10,0,,x a x f x a x∞->∀∈+>-，求a 的取值范围.18.（17分）已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A ∈，若i j a a ≠，都有i j a a B ∈；②对于任意,m k b b B ∈，若m k b b <，都有kmb A b ∈.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.19.（17分）已知函数()()ln f x x x a x =++.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 有极小值，且极小值为m ，证明：1m .（3）若()0f x ，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案1.B (){}U U,0,2,4A B B B ⋂==痧.2.B 225π5π5πsin cos cos 121262-=-=.3.A令0y =，则()00f =.4.D11112224448x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当且仅当14,121,xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,14x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立.5.A()22cos 1xf x x x =++'，则()01f '=，即切线方程为1y x =+.令0x =，则1y =，令0y =，则1x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12.6.D 因为()1400e θθθθ-'=+-，所以004ln t θθθθ-=--'.若0θθ'>，则()04ln f θθθθθ-'=--是减函数，因为12θθ>，所以12t t <；若0θθ'<，则()04lnf θθθθθ-'=--是增函数，因为12θθ>，所以12t t >.7.B 因为log 1(,0n m m n >>且0,0)m n ≠≠，所以1m n >>或01m n <<<.若0m n <<<1，则2m n +<，与2e m n +=矛盾，所以e1,11,(1)1m n m n m n >>-+>-+>.8.C 由题意可得BCP ABP ∠∠α==.在BCP 中，sin 6sin BP BC αα==.在ABP 中，2222cos AP AB BP AB BP α=+-⋅，即2436sin 162α=+-⨯6sin 4cos αα⋅，化简得3cos24sin25αα+=，两边平方得229cos 216sin 2αα+24cos2sin225αα+=，则22229cos 216sin 224cos2sin225cos 2sin 2αααααα++=+，所以22916tan 224tan2251tan 2ααα++=+，解得4tan23α=.9.BC 因为0,0,2,0,x x x x x ⎧-=⎨<⎩ 所以0x x - ，又20x ，所以2,x x x p - 是假命题，p ⌝是真命题.由诱导公式可得πππ,π,cos sin 244ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以q 是真命题，q ⌝是假命题.10.AC 因为()()11cos cos f x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，A 正确.()f x 的最大值为1,B 错误.令函数()()1,g x x g x x =+在()1,2上单调递增，且当()1,2x ∈时，()g x 的值域为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为函数cos y x =在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在()1,2上单调递减，C 正确.当()1,20x ∈时，()g x 的值域为()2,20.05,6π20.057π<<，函数cos y x =在()2,20.05上有5个零点，所以()f x 在()1,20上有5个零点，D 错误.11.BCD由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，()f x 在()0,x ∞-上不单调，A 错误.()22f x x bx c =++'，若x b =是()f x 的极大值点，则()2220f b b b c =++='，所以()()()2223,233c b f x x bx b x b x b '=-=+-=+-.若()0,b f x =没有极值点.()0f x '=的解为123,x b x b =-=.因为x b =是()f x 的极大值点，所以3b b <-，即20,30,b c b <=-<B 正确.若3c =，则()()32221133,2333f x x bx x x x bx f x x bx ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭'.因为()f x 的极小值大于0，所以()f x 只有一个零点，且()f x 的极大值点与极小值点均大于0，所以方程21303x bx ++=无实数根，且方程()2230f x x bx =++='的2个实数根均大于0，所以2122Δ40,Δ412020,b b b ⎧=-<⎪=->⎨⎪->⎩解得2b -<<，C 正确.若3c b =-，则()()()()32213,23,00,393f x x bx bx f x x bx b f f =+-=+-=='.令()0f x '=，若2Δ4120b b =+ ，即()()30,0,b f x f x '- 单调递增，符合题意.由2Δ4120b b =+>，解得3b <-或0b >，此时()0f x '=的2个解为12x b x b =-=-.当0b >时，120,0x x <>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，即当(0x ∈，)2x 时，()0f x <，不符合题意.当3b <-时，103x <<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为()1f x ，且()()139f x f >=，不符合题意.综上，若3c b =-，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0-，D 正确.12.π2因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以ππ,2k k ϕ=+∈Z .又0πϕ< ，所以π2ϕ=.13.2当0x 时，11111x y x x =-=->-++.因为()f x 的最小值为1-，所以函数2y x ax =+在(),0∞-上取得最小值1-，则20,21,4a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得2a =.14.π3根据三角函数的周期性和对称性，不妨设12ππ0,,,022x x ϕϕ⎡⎤⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因为()()121f x f x -=，所以()()1212122sin sin 12cossin 22x x x xx x ϕϕϕ++-+-+==⋅，即121211sin2222cos 2x x x x ϕ-=++，所以12π26x x - ，即12π3x x - ，当且仅当12ππ,66x x ϕϕ+=+=-时，等号成立.15.解：（1）由图可得，2πππ2362T =-=，所以2ππT ω==.结合0ω>，解得2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+.由ππsin 2066f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可得π2π,3k k ϕ+=∈Z ，即π2π,3k k ϕ=-+∈Z .因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）因为π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,363x ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，所以()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.16.（1）证明：因为sin 1sin 1cos cos A B A B ++=，所以222222sin cos sin cos 2222,cos sin cos sin 2222A A B B A A B B⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--则sincos sin cos 2222cos sincos sin 2222AA B BAA B B++=--.则sincos cos sin 02222A B A B -=，即sin 022A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为(),0,πA B ∈，所以022A B-=，即A B =.（2）解：2222224cos 22AC AC AD AC AD CD CAD AC AD AC AD∠+-+-==⋅⋅223342822ACAD AC AD AC AD AD AC +==+=⋅ ，所以π6CAD ∠，当且仅当2AD AC =时，等号成立.故CAD ∠的最大值为π6.17.解：（1）()e 1xf x a =-'.当0a 时，()()0,f x f x '<是减函数.当0a >时，()y f x ='是增函数.令()0f x '=，解得ln x a =-.当(),ln x a ∞∈--时，()0f x '<；当()()ln ,,0x a f x ∞∈-+>'.所以()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.综上，当0a 时，()f x 是减函数；当0a >时，()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.（2）()e 1x f x a x ->-，即e 1e x xa x a x-->-.令函数()1g x x x =-，则()e e e x x xg a a a-=-，所以()()e x g a g x >.因为()g x 在()0,∞+上单调递增，所以e x a x >，即e xxa >.令函数()()0e x x h x x =>，则()1exxh x -='.当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()()1,,0x h x ∞∈+'<.所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()11()1,()e eh x h a h x ==>=极大值极大值.故a 的取值范围为1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.（1）解：由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2kb 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.（2）解：由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t===，解得16t =.（3）证明：设{}12341231,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得，科333412221112,,,,,a a a a a a a a a a a a 是A 中的元素.若11a =，则31344122a a a a a a a a =>，所以3112a aa a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ，则32311a a a a a <<，所以321211,a aa a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B ⊆.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a<，由（2）可得71a A k ∈，而7411a a k>，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a>，因为31k A a ∈，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a ∈，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.19.（1）解：()ln 2a f x x x=++'.令函数()ln 2a g x x x =++，则()2x a g x x-='.若0a >，则当()0,x a ∈时，()0g x '<，当(),x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增，()min ()ln 3g x g a a ==+.因为()f x 是增函数，所以min ()0f x ' ，即min ()0g x ，解得31e a .若0a ，则()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.因为函数ln 2y x =+与函数a y x=-的图象有1个交点，所以存在0x ，使得00ln 20a x x ++=，即当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∞∈+时，()0g x >，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，与题设不符.综上，a 的取值范围为31,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）证明：由（1）可得当31ea 时，()f x 是增函数，不存在极小值.当310ea <<时，()()min ()0,g x g a g x =<在()0,a 上单调递减，所以()f x 在()0,a 上不存在极小值点.因为()120g a =+>，所以()()11,1,0x a g x ∃∈=，所以()f x 在()1,a x 上单调递减，在()1,x ∞+上单调递增.()()()()1()ln 2350f x f x f a a a a a a a a =<=++<+⨯-=-<极小值.当0a 时，由()1可得()()0000()ln f x f x x x a x ==++极小值.因为000ln 2a x x x =--，所以()()200000000()ln 2ln ln f x x x x x x x x x ⎡=+--=-⎣极小值]0ln 1x +-.令函数()2(ln )ln 1h x x x x ⎡⎤=-+-⎣⎦，则()()ln ln 3h x x x =-+'.当()310,1,e x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当31,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 在()310,,1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.当310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2215ln 3,(ln )ln 1ln 024x x x x ⎛⎫<-+-=+-> ⎪⎝⎭，所以()2(ln )ln 10h x x x x ⎡⎤=-+-<⎣⎦.因为()()11h x h ==极大值，所以()1h x ，所以()1f x 极小值 ，当且仅当01,2x a ==-时，等号成立.综上，1m .（3）解：若333311120,330e e e e a f a a ⎛⎫⎛⎫>=-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意.若0a ，要使得()0f x ，只需要()0f x 极小值 ，即()2000ln ln 10x x x ⎡⎤-+-⎣⎦，所以()200ln ln 10x x +- ，解得01515ln 22x --+ ，即0x .000ln 2a x x x =--，令函数()ln 2u x x x x =--，则()ln 3u x x =--'.当31,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,u x u x '<单调递减.因为31e >，所以()u x 在⎡⎢⎢⎥⎣⎦上单调递减.又33e 22u u ⎛⎫⎛-++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()u x 在⎡⎢⎢⎥⎣⎦上的值域为3322⎡-+-⎢⎢⎥⎣⎦.故a 的取值范围为353522⎡+-+-⎢⎢⎥⎣⎦.。
2022-2023学年江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(文)试卷含答案
高三数学考试（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}4,2,1,1,2,4B =---，则A B = （）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,1,2,4--C ．{}2,1,1--D ．{}4,2,1,1,2---2．已知复数z 满足i 212i z +=+，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i-D ．2i+3．要得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．函数()2cos 31xx f x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．若α是第二象限角，且5sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．3C ．13-D ．136．某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml 的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约13；C ．喝剩约一半；D ．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A ．40B ．30C ．22D ．147．在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AB =，2PH HC = ，E ，F 分别是棱CD ，PA 的中点，则异面直线BH 与EF 所成角的余弦值是（）A ．13B ．33C ．63D ．2238．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 与抛物线C 交于，P ，Q 两点，则4PF QF +的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．159．当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.477≈）A ．30块B ．31块C ．32块D ．33块10．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()()20xf x f x '+>．若()20f =，则不等式()30x f x >的解集是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞ D ．()()2,00,2- 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到如图2所示的十面体ABCD EFGH -．已知2AB AD ==，AE =，则十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE 的距离是（）A ．(51248π-B ．364312+C ．(81248π+D ．(81212π+12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x --=-，()()23g x f x ++=．若()f x 的图象关于直线1x =对称，且()33f =-，则()221k g k ==∑（）A ．80B ．86C ．90D ．96二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量(),2AB m = ，()1,3AC = ，()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =________．14．已知实数x ，y 满足约束条件230301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 14B =，且ABC △的周长和面积分别是10和215b =________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线C 的右支于点P ，切点为M ．若13PM MF = ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a ，4a ，7a 成等比数列．（1）求{}n a 的前n 项和n S ；（2）记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x 表示取出的小球上的数字，当5x ≥时，该顾客积分为3分，当35x ≤<时，该顾客积分为2分，当3x <时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽芕，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：（2）某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点．（1）证明：平面1AC D ⊥平面1A CE ．（2）求点1C 到平面1A CE 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是22，点()0,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知()0,1P ，直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线AP ，BP 的斜率之和为0，试问PAB △的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()xf x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a ≥，证明：对于任意[)1,x ∈+∞，()2323f x x ax >-+恒成立．（参考数据：ln10 2.3≈）（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 40ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()4,0P -，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()31f x x =-+．（1）求不等式()82f x x ≤-+的解集；（2）若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（文科）1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．由题意可得{}24A x x =-<<，则{}1,1,2A B =- ．2．D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养．设(),z a bi a b =+∈R ，则()2212a bi i ai b i ++=+-=+，即221a b =⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =，故2z i =+．3．C【解析】本题考查三角函数的图象，考查数学运算的核心素养．因为2sin 22sin 23126y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度．4．B【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，则排除A ，D ；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，则排除C ．故选B ．5．D【解析】本题考查三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想．因为α是第二象限角，且sin 5α=，所以cos 5α=-，所以1tan 2α=-，故11tan 112tan $141tan 312πααα-++⎛⎫+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭．6．C【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养．由题中统计图可知参加这次会议的总人数为4040%100÷=，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为10030%30⨯=，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为1004030822---=．7．A 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养．如图，分别取PB ，PH 的中点M ，N ，连接MF ，CM ，MN ．易证四边形CEFM 是平行四边形，则CM EF ∥，CM EF =．因为M ，N 分别是PB ，PH 的中点，所以MN BH ∥，则CMN ∠是异面直线BH 与EF 所成的角（或补角）．设6AB =，则CM EF ==，12PM PB ==，2CN PN ==，MN ==，故1cos 3CMN ==∠．8．C 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．设直线:2l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立224x my y x=+=⎧⎨⎩，整理得2480y my --=，则128y y =-，故()21212416y y x x ==．因为11PF x =+，21QF x =+，所以122244454513PF QF x x x x +=++=++≥，当且仅当21x =时，等号成立．9．B【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养．设原来的光线强度为()0a a >，则要想通过n 块这样的玻璃之后的光线强度()190%25na a ⨯<，即0.1925n <，即1lg 0.9lg25n <，即()21lg 22lg522033042lg312lg3..1247.071n ----+⨯>==≈--⨯-，故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下．10．B【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想．设()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+．当0x >时，因为()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增．因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-，则()g x 是奇函数．()30x f x >，即()0xg x >．因为()20f =，所以()()220g g -=-=，则()0xg x >等价于()00x g x ⎧>>⎪⎨⎪⎩或()00x g x ⎧<<⎪⎨⎪⎩，解得2x <-或2x >．11．B 【解析】本题考查多面体的外接球，考查直观想象的核心素养．由题中数据可知)221114A E =+=-，则11AA ==+．因为十面体ABCD EFGH -是由长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到的，所以长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是十面体ABCD EFGH -的外接球．设十面体ABCD EFGH -外接球的半径为R ，则211224R +=．因为AE BE ==，2AB =，所以42sin7BAE =∠=．设ABE △外接圆的半径为r ，则22492sin 24BAE BE r ⎛⎫==⎪∠ ⎝⎭，则该十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE的距离是364312=．12．C【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养．因为()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=-．因为()()25f x g x --=-．所以()()225f x g x ---=-，所以()()5f x g x ---=-．因为()()23g x f x ++=，所以()()3g x f x +-=，所以()()8g x g x +-=，则()g x 的图象关于点()0,4对称，且()04g =．因为()()25f x g x --=-，所以()()25f x g x --+=-，所以()()28g x g x ++=，所以()()248g x g x +++=，则()()4g x g x =+，即()g x 的周期为4．因为()33f =-，且()()23g x f x ++=，所以()16g =．因为()()28g x g x ++=，所以()32g =．因为()04g =，所以()24g =，则()()()()()()()22151234125161090k g k g g g g g g ==+++++=⨯+=⎡⎤⎣⎦∑．13．1-【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养．由题意可得()1,1BC AC AB m =-=-．因为B ，C ，D 三点共线，所以BC BD ∥，所以()2140m --+=，解得1m =-．14．4【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．画出可行域（图略），当直线z x y =-经过()1,5A --时，z 取得最大值，最大值为4．15．3【解析】本题考查余弦定理，考查数学运算的核心素养．因为cos 14B =，所以sin 154B =，所以1158sin 2a ac B c ==16ac =．因为10a b c ++=，所以10a c b +=-，所以222210020a c ac b b ++=-+，所以2226820a c b b +-=-．由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2228b a c =+-，所以2228a c b +-=，则68208b -=，解得3b =．16．53【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合的数学思想．如图，取1PF 的中点N ，连接ON ．由题意可知1OM NF ⊥，OM a =，1OF c =．则1MF b =，ON c =．因为13PM MF =，所以14PF b =．因为O ，N 分别是线段11F F ，1PF 的中点，所以222PF ON c ==．由双曲线的定义可知12422PF PF b c a -=-=，即2b a c =+，即22242b a ac c =++．因为222b c a =-，所以223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =．17．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得()()()1211121036a d a d a d a d +=+=++⎧⎪⎨⎪⎩，即121210330a d d a d +=-=⎧⎨⎩，2分因为0d ≠，所以16a =，2d =，4分则()21152n n n dS na n n -=+=+．6分（2）由（1）可知22211265623n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪+++++⎝⎭，9分则1211111111234455623n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，10分故11223339n n T n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．12分评分细则：（1）第一问中，也可以将2a ，4a ，7a 用3a 和d 表示，从而求出d ，再根据前n 项和公式求出n S ；（2）第二问中，求出2233n T n =-+，不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．18．解：（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是61305=，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为15．2分某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是933010=，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为310．4分（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是12，则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件．6分设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A ，积分大于1分，记为a ，则某顾客抽奖2次，每次所得积分的情况为aaa ，aaA ，aAA ，aAa ，AAa ，AAA ，AaA ，Aaa ，共8种，8分其中符合条件的情况有aAA ，AAa ，AAA ，AaA ，共4种，10分故所求概率4182P ==．12分评分细则：（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分；（2）第二问中，也可以先求出有2次和3次的积分大于1的概率，再由对立事件的概率计算公式求出该顾客至多有1次的积分大于1的概率；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．19．（1）证明：由正三棱柱的性质，易证1BCE D CC △≌△，则1BCE D CC ∠∠=，因为1190CC C D DC ∠∠+=︒，所以190C BCE C D ∠=∠+︒，即1CE C D ⊥．1分因为AB AC =，D 是棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．由正三棱柱的定义可知1CC ⊥平面ABC ，则1CC AD ⊥．2分因为BC ，1CC ⊂平面11BCC B ，且1BC C CC = ，所以AD ⊥平面11BCC B ．3分因为CE ⊂平面11BCC B ，所以AD CE ⊥．4分因为AD ，1C D ⊂平面1AC D ，且1AD D C D = ，所以CE ⊥平面1AC D ．5分因为CE ⊂平面1A CE ，所以平面1AC D ⊥平面1A CE ．6分（2）解：连接1EC ．因为12AA AB ==，所以1E CC △的面积112222S =⨯⨯=．由正三棱柱的性质可知1AA ∥平面11BCC B ，则点1A 到平面11BCC B 的距离为AD ．因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以AD =故三棱锥11A CC E -的体积11233V =⨯=．8分因为12AA AB ==，E 是1BB的中点，所以1A E CE ==，1A E =，则1E A C △的面积212S =⨯=设点1C 到平面1A CE 的距离是d ，则三棱锥11C A CE -的体积21633V d ==．10分因为12V V =，所以62333d =，解得d =12分评分细则：（1）第一问中，证出1CE D C ⊥，得1分，证出AD ⊥平面11BCC B ，得2分；（2）第二问中，也可以记1CE F C D = ，连接1A F ，过1C 作1A F 的垂线，垂足为H ，则1C F 是点1C 到平面1A CE 的距离；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．20．解：（1）由题意可得222222c a b c a b ===-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得28a =，24b =．3分故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．4分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，整理得()222214280k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+．5分设直线AP ，BP 的斜率分别是1k ，2k ，()()()121212121221212122121111124kx x m x x km m y y kx m kx m k k k x x x x x x m +-+---+-+-+=+=+=--．因为120k k +=，所以()221204km m k m --=-，解得4m =，7分则12AB x =-=，8分因为点P到直线l的距离d=，所以PAB△的面积2112221S AB dk===+．9分设t=，则2223k t=+，从而2626232442St t=≤=+，当且仅当24t=，即2234k-=，即272k=时，等号成立．11分经验证当272k=时，直线l与椭圆C有两个交点，则PAB△的面积存在最大值322．12分评分细则：（1）第一问中，求出b的值得1分，求出a的值得2分；（2）第二问中，没有检验直线l与椭圆C的位置关系，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．（1）解：由题意可得()xf x e a'=-．1分当0a≤时，()0f x'>，则()f x在R上单调递增；2分当0a>时，由()0f x'>，得lnx a>，由()0f x'<，得lnx a<，则()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．4分综上，当0a≤时，()f x在R上单调递增；当0a>时，()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．5分（2）证明:因为4a≥，且1x≥，所以4ax x≥，则要证()2323f x x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证233x e x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证2343x e x x>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证23431xx xe-+<对一切[)1,x∈+∞恒成立．7分设()2343xx xg xe-+=，则()()()23713107x xx xx xg xe e----+-'==．8分当71,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'>，当7,3x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x'<，则()g x在71,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．9分故()213777max33773437101000333g x g e e e ⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分因为ln1023.≈，所以ln100067.9≈<，即71000e <，所以710001e<，则()max 1g x <．11分故23431xx x e-+<对一切[)1,x ∈+∞恒成立，即()2323f x x ax >-+对一切[)1,x ∈+∞恒成立．12分评分细则：（1）第一问中，正确求导得1分，判断出0a ≤的单调性，得1分，判断出0a >的单调性，得2分；（2）第二问中，构造出函数()g x 得1分，直接得出()137max 10001g x e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．22．解：（1）由12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩，（α为参数），得()()22124x y ++-=，故曲线C 的普通方程为()()22124x y ++-=．3分由cos 2sin 40ρθρθ-+=，得240x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为240x y -+=．5分（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为254555x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，（t 为参数），6分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得25450t -+=．7分设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则125t t +=，8分故128525t t PQ +==．10分评分细则:（1）第一问中，曲线C 的普通方程写成222410x y x y ++-+=，不予扣分；（2）第二问中，也可以由点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，再由两点之间的距离公式求出CP 的值，最后根据勾股定理求出PQ 的值；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．23．解：（1）()82f x x ≤-+，即3182x x -+≤-+，等价于23182x x x <--++≤++⎧⎨⎩或232831x x x --++≤-≤-≤⎧⎨⎩或33182x x x >-+≤--⎧⎨⎩，3分解得34x -≤≤，即不等式()82f x x ≤-+的解集是[]3,4-．5分（2）当03x <<时，()f x ax ≥恒成立等价于()31a x x --+≥恒成立，6分则41a x ≤-在()0,3上恒成立，故13a ≤；7分当3x ≥时，()f x ax ≥恒成立等价于31x ax -+≥恒成立，8分则21a x ≤-在[)3,+∞上恒成立，故13a ≤．9分综上，a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．10分评分细则：（1）第一问中，也可以按2x <-，23x -≤≤和3x >这三种情况分别求出x 的取值范围，再求它们的并集，即不等式的解集，只要计算正确，不予扣分：（2）第二问中，最后结果没有写成集合或区间的形式，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．。
江西省师大附中等重点学校高三联考试卷（数学文）
江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中、白鹭洲中学、南昌三中、上饶二中高三数学（文科）联考试卷命题人：师大附中 郑永盛 审题人：鹰潭一中 仇裕玲参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径.如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案涂在答题卡上）1．已知复数11iz i-=+，z 是z 的共轭复数，则z 等于A ．4B ．2C ．1D ．122．设12log 3a =，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln c π=，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<3．抛物线22y x =-的焦点坐标是A ．1(,0)2-B ．(1,0)-C ．1(0,)4-D ．1(0,)8-4．函数sin cos (0)y a x b x ab =-≠的一条对称轴的方程为4x π=,则以(,)v a b =为方向向量的直线的倾斜角为A ．45B ．60C ．120D ．1355．已知两不共线向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，则下列说法不正确．．．的是 A ．()()a b a b +⊥-B ．a 与b 的夹角等于αβ-C ．2a b a b ++->D ．a 与b 在a b +方向上的投影相等6．已知函数7(13)10()x a x f x a--+⎧=⎨⎩ 66x x ≤> ,若数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是递减数列，则实数a 的取值范围是A ．1(,1)3B ．11(,)32C ．15(,)36D ．5(,1)67．下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题 B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．163πB ．193π C ．1912π D ．43π8．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图像大致是10．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c .则下列结论不正确．．．的是 A ．1122a c a c +>+ B ．1122a c a c -=-C ．1221a c a c <D ．1221a c a c >第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 其中15题是选做题, 请把答案填在答题卡的相应横线上.11．按如下程序框图运行，则输出结果为______． 开始1=i 0=S iS S 2+=2+=i i 9i ≥否S输出结束是12. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{1,2,3,4}a b ∈．若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．13．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量()f x （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的规律近似满足表达式25,01()31(),153x x x f x x -⎧≤≤⎪=⎨⋅>⎪⎩．《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过 小时后才能开车（不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时）．14．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2011n a =，则n =_________. Ⅱ ⅠF15．（不等式选讲）若不等式|2||3|x x a -++<的解集为∅，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共计6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（★请在答题卡的指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16．（本小题满分12分）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求通项n a 及n S ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17．（本小题满分12分）为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（成绩均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；18．（本小题满分12分）已知函数()223sin 23sin cos 5cos f x x x x x =++． （1）若()5f α=，求tan α的值；（2）设ABC ∆三内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2222222a c b ca b c a c +-=+--，求()f x 在(]0,B 上的值域．19．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==. （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -， 求F ABCD V -:F CBE V -．20．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （1）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （2）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么12k k ⋅是定值吗？证明你的结论.FAECO BDM参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CADDBCBBAD二、填空题 11．17012.5813．4 14．102815．(,5]-∞ 三、解答题16．解：（1）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列， 所以,212)1(219+-=--=n n a n2(1)19(2)202n n n S n n n -=+⨯-=-………………………6分 （2）由题意13,n n n b a --=所以13,n n n b a -=+则 1231(133)20.2n n n n T S n n --=++++=-++…………………12分17． 解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=．…………………3分 直方图如图所示．…………6分（2）依题意，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=，……………………9分 抽样学生成绩的合格率是75%．利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595450.1550.15650.15750.3850.25950.0571f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则估计这次考试的平均分是71分……………………………12分18．解：（1）由()5f α=，得223sin 23cos 5cos 5αααα++=．∴1cos 21cos 23325522ααα-++=． 3sin 2cos 21αα+=， 3sin 21cos 2αα=- 223sin cos 2sin ααα⇒=sin 03αα==或tan ∴tan 0tan 3αα==或．………………6分（2）由2cos ,2cos 2ac B c ab C a c =-即cos 1,cos 2B b C a c =-得cos 1,sin cos 2sin sin B B C A C =- 则1cos 2B =即3B π=，……………………………………8分又()223sin 23sin cos 5cos f x x x x x =++32cos 24x x =++＝F AECO B D Mπ2sin(2)46x ++………………………………………10分 由03x π<，则1πsin(2)126x +，故5()6f x ，即值域是[]5,6.……12分19．解 （1） 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,…… 2分又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF 。
2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，则( )A. B. C. 5 D. 173. 函数，则( )A. B. C. 1 D. 24. 已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为2，焦距为，则( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量，，且，则向量的夹角是( )A. B. C. D.6.在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线BE与DF所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，，，x，已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为，则( )A. B. C. D.8. 设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是( )A. B. C. D.10. 已知函数，则( )A. 的最小正周期是B. 在上单调递增C. 的图象关于点对称D. 在上的值域是11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，则的取值范围是( )A. B. C. D.12. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______ .13. 已知是第二象限角，且，则______ .14. 已知是定义在上的减函数，且的图象关于点对称，则关于x的不等式的解集为______ .15. 已知抛物线：的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是______ .16. 国际足联世界杯，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事年卡塔尔世界杯共有32支球参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：求a的值，并完成列联表；少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷女球迷a总计若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.参考公式：，其中参考数据：17. 已知正项数列的前n项和满足求的通项公式；设，数列的前n项和为，证明：18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，，，，E是棱PB的中点.证明：平面ABCD；若F是棱AB的中点，，求点C到平面DEF的距离.19. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，E的离心率为，斜率为k的直线l过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点.若，，求椭圆E的标准方程；若，，，求k的值.20. 已知函数当时，求曲线在处的切线方程；若对任意的，恒成立，求a的取值范围.21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.22. 已知函数求的最小值；若，不等式恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，故选：解不等式求得集合B，由交集定义可求得结果．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，故选：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由，得，则故选：根据函数解析式，先求出，进而可求．本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，由题意可得，即有，又，，故选：求出双曲线的渐近线方程，可得，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，考查运算能力，属基础题．5.【答案】D【解析】解：，，，又，故选：由可求得，根据向量夹角公式可求得结果．本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：取等边的AC边的中点O，连接OB，则，过O作的平行线，则以O为原点，分别以OB、OC、Oz为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设等边的边长为2，则根据题意可得：，，，，，，，，异面直线BE与DF所成角的余弦值为，故选：取等边的AC边的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果．本题考查向量法求解异面直线所成角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．7.【答案】D【解析】解：因为平均数为，所以，因为方差为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以故选：先由平均数和方差分别得到和的值，再整体代入计算的值即可．本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：，，由“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，记，所以a的取值范围是函数的值域，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以，所以，即a的取值范围是故选：根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a的范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：将四块三角形区域编号如下，由题意可得总的涂色方法有种，若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种，故所求概率故选：根据古典概型概率的计算公式即可求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：，对于A，的最小正周期，A错误；对于B，当时，，此时单调递减，在上单调递增，B正确；对于C，令，解得，此时，的图象关于点对称，C错误；对于D，当时，，则，在上的值域为，D错误．故选：利用两角和与差的余弦公式、二倍角和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的图象与性质判断各选项即可．本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：，，由正弦定理得：，即，，或，解得或舍去，又为锐角三角形，则，，解得，，又，，，，即的取值范围故选：由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】9【解析】解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当取得最大值时，在y轴截距最大，由图形可知：当过点A时，在y轴截距最大，由得，即，故答案为：由约束条件作出可行域，将问题转化为在y轴截距最大值的求解，采用数形结合的方式可求得结果．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：是第二象限角，，，，故答案为：利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果．本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设函数，因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，故是定义在上的奇函数．因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数．由，得，即，即，则，解得，即不等式的解集为故答案为：构造函数，利用其单调性奇偶性解不等式即可．本题考查函数的性质，奇偶性，单调性，属于中档题．15.【答案】128【解析】解：不妨设直线的倾斜角为，，则直线的倾斜角为，对，设A到准线的距离为d，则根据抛物线的定义可得：，，同理可得，，同理可得，四边形ADBE面积为：，，当时，四边形ADBE面积取得最小值为，故答案为：根据抛物线的倾斜角的弦长公式，函数思想，即可求解．本题考查抛物线的倾斜角的弦长公式的应用，函数思想，属中档题．16.【答案】解：由题意可得，解得列联表如下：少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷100100200女球迷12080200总计220180400，因为，所以有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关．【解析】根据男、女球迷各200名，把表格填完整；直接代入公式计算即可．本题考查独立性检验，属于基础题．17.【答案】解：因为①，所以②，由②-①得，，即，因为，所以又由解得，故数列为等差数列，公差故；证明：因为，所以所以【解析】由，两式相减得，再由得，然后求出，说明数列为等差数列，进而求得通项公式；由先求出，然后利用裂项求和求出即可证明．本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基础知识，属于中档题．18.【答案】解：证明：连接BD，，，，又，，为棱PB中点，，又，，PC，平面PBC，平面PBC，又平面PBC，；在直角梯形ABCD中，取CD中点M，连接BM，，，又，，，四边形ABMD为正方形，，，，又，，，，BD，平面PBD，平面PBD，平面PBD，；，，，，又，BC，平面ABCD，平面，，，，由知：平面ABCD，，则点E到平面ABCD的距离，；，，，，F分别为棱PB，AB中点，，，，，，，，，由余弦定理得：，则，，设点C到平面DEF的距离为，，解得：，即点C到平面DEF的距离为【解析】由线面垂直判定可证得平面PBC，进而得到；利用勾股定理和线面垂直的判定得到平面PBD，从而得到；利用勾股定理可证得，由此可得结论；设点C到平面DEF的距离为，利用等体积转换的方式，由，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果．本题考查线面垂直的判定以及点到平面的距离求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：由，，可得，，椭圆E的方程化为：直线l的方程为，联立，化为，解得，；，，解得，椭圆E的标准方程为设，，直线l的方程为，，，，，，解得，，联立，化为，，，，又，解得，，，【解析】由，，可得，，椭圆E的方程化为：直线l的方程为，联立化为，解得点A，B坐标，利用两点之间的距离公式即可得出a，b，c，可得椭圆E的标准方程．设，，直线l的方程为，根据，，，及其椭圆的定义可得，，直线l的方程与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系即可得出m，本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相似三角形的性质、一元二次方程的根与系数的关系、转化方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，所以，所以，，所以所求切线方程为，即对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立．①当时，显然成立．②当时，不等式等价于设，所以设，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，又因为在中，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为【解析】根据切点处导函数值等于切线斜率，运用点斜式求切线方程即可；分，，两种情况解决，当时，参数分离得，设，得，设，求导讨论单调性，得在上单调递减，在上单调递增，即可解决．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：，①②得，根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：；由可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为为参数，代入曲线C的普通方程得，由韦达定理可知：，，所以【解析】曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，，当时，，当时，，综上，，由此可知由可知，解得，当时，欲使不等式恒成立，则，即，解得，即a的取值范围是值；本题主要考查不等式恒成立问题，函数最值的求法，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。
江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题(含解析)
江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．在复数范围内，方程的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若，，，则（ ）A．B ．C ．D ．5．函数的最小值为（ ）A ．B ．C ．0D ．6．已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）AB ．CD ．7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（ ）A ．420B ．660C ．720D ．1200{1,2,3}A ={},B x y x A y A =+∈∈A B = {2}{3}{2,3}{1,2,3}49x =22:1y C x m-=m (3,)+∞)+∞(0,3)220m n -≠cos()2m αβ-=cos()2n αβ+=tan tan αβ=m n m n-+m n m n+-2m n m n-+2m n m n+-2()(31)e xf x x =-433e--133e 2--24e --,,a b c1a = 2b = 3c = π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉= a b + c143c 76c8．已知函数满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，，则（ ）A ．与的值域相同B ．与的最小正周期相同C ．曲线与有相同的对称轴D ．曲线与有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（ ）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为BC ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为D11．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A ，B 两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ）A ．的最小值为0B ．当为等腰三角形时，点C ．当的重心在轴上时，()f x ()()()22x yf x y f x f y +=+++(1)1f =(1000)f =99922995+99922996+100022995+100022996+()sin 2f x x =2()cos 2g x x =()f x ()g x ()f x ()g x ()y f x =()y g x =()y f x =()y g x =353185πcm 32:4E y x =F F E A P E AP BP ⋅PAB △P PAB △x PAB △D ．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若是定义在上的奇函数，当时，，则______．13．已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，则点到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若，，均为正数，且，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥中，底面平面．（1）证明：平面平面PAB ．（2）若，，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．PAB △P ,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x R 0x >()2f x x x =-+(2)f -=A B C D O A B C AB =π3ACB ∠=D x y z 2(2)1x x y z +=83x yz 321()43f x x ax x =+-1a =-()y f x =(3,(3))f a ()f x []1,a a M ()2,N μσ(96106)0.7P M ≤≤=(9496)0.1P M ≤≤=μμ(100104)P M <≤X X P ABCD -PA ⊥,ABCD BC ∥,PAD BC AB ⊥PAD ⊥AD AB =PA BC =3218．（17分）已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为．（1）判断与圆的位置关系并说明理由．（2）若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围．（3）若直线与交于C ，D 两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在个数码1，2，…，构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，．（1）比较与的大小；（2）设数列满足，，求的通项公式；（3）设排列满足，，，，证明：．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得，则．()11,0F -2(1,0)F M 12123MF MF F F +=M E E 22:8O x y +=P E P x (0,1)d ∈12PF F △:(1)l y k x =-E 1A 2A E 1AC ()110k k ≠2A D ()220k k ≠122212k k k k +n (,2)n n n ∈≥N 12n j j j ()12n j j j τ (12)0τ=(4132)4τ=()613245τ(15432)τ{}n a ()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+12a ={}n a 122(,5)n j j j n n ∈≥N ()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ()11,12,,210n i j i i ==- ()122n n b j j j τ= 21020n n b c +=56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-{2,3,4,5,6}B ={2,3}A B =2．D 由，得，得或3．A 由题意得，解得．4．A 因为，，所以，，所以．5．B ，令，得，令，得，所以的最小值为．6．C 因为，，，，所以在方向上的投影向量为．7．B 将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为．8．D 令，得，则，则，将以上各式相加得，所以．9．ABC ，，则与的值域相同，A 正确．与的最小正周期均为，B 正确．曲线与的对称轴方程均为，C 正确．曲线没有对称中心，曲线有对称中心，D 错误．49x =()()22330x x+-=x =x =2m >>3m >cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=cos cos m n αβ=+sin sin m n αβ=-sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+2()(61)e xf x x '=+()0f x '<16x <-()0f x '>16x >-2()(31)e x f x x =-11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1a = 2b = 3c = π,3a b 〈〉=a b +=== a b + c ()||||a b c c c c +⋅⋅= 2π||||cos 3||a b c c c +== 22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭1y =(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++(1)()23xf x f x +-=+2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+()sin 2[0,1]f x x =∈1cos 4()[0,1]2xg x +=∈()f x ()g x ()f x ()g x 2ππ42=()y f x =()y g x =π()4k x k =∈Z ()y f x =()y g x =10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确．因为，，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为，体积，则，，D 正确．11．AC 依题意可得，直线AB 的方程为，代入，消去得，解得，，因为点在第一象限，所以，．的准线方程为，设，则，，所以，A 正确．当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，即，且，解得，B 错误．的重心坐标为，即，当的重心在轴上时，，得的面积为C 正确．当，，三点共线时，，得为锐角或直角，当为直角或为直角时，或，得或，当为钝角三角形时，3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭cm h 31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭h =15103252⨯=155104252+⨯=π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=cm H 233π31546πcm 3V =⨯⨯+=346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭15H ===(1,0)F 1)y x =-24y x =y 22520x x -+=12x =212x =A (2,A 1,2B ⎛ ⎝E 1x =-(1,)P m -(3,AP m =-- 3,2BP m ⎛=- ⎝ 229402AP BP m m ⎛⋅=+--=≥ ⎝ PAB △P AB AP =1222++=m >m =PAB △12123⎛+- ⎝⎭12⎛ ⎝PAB △x 0=m PAB =△11122⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭A B P m =-0AP BP ⋅≥APB ∠ABP ∠BAP ∠0AB BP ⋅= 0AB AP ⋅= m =m =PAB △点的纵坐标的取值范围为，D 错误．12．－2 因为，所以．13．4； 设球的半径为，由正弦定理得，则，则点到平面ABC 的距离的最大值为4，球的表面积为．14．（方法一）由，得，不妨令，，，，则，且，所以．令，则，令，得，令，得，所以，即的最大值为．（方法二）由，得．由，得则，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．15．解：（1）当时，，则，所以，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即（或）．（2）假设存在实数，使得在上单调递增，则对恒成立，即对恒成立．P (,⎛-∞-- ⎝ ⎫+∞⎪⎪⎭(2)02022f =+=+=(2)(2)2f f -=-=-64πO R 28sin ABR ACB==∠4R =D O 24π64πR =1272(2)1x x y z +=3221x z x yz +=32a x z =2b x yz =0a >0b >2834a b x yz =1a b +=283(1)4a a x yz -=2(1)()(01)4a a f a a -=<<(23)()4a a f a -'=()0f a '>20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f a '<2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭max 21()327f a f ⎛⎫==⎪⎝⎭83x yz 1272(2)1x x y z +=3321x z x z x yz ++=,,0)3a b c a b c ++≥>1≥83127x yz ≤32x z x yz =x y =83x yz 1271a =-321()43f x x x x =--2()24f x x x '=--(3)1f '=-(3)12f =-()y f x =(3,(3))f 12(3)y x +=--9y x =--90x y ++=a ()f x []1,a 2()240f x x ax '=+-≥[1,]x a ∈22xa x ≥-[1,]x a ∈当时，为增函数，则，所以，又，所以的取值范围为．16．解：（1）．（2）因为，所以，所以．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则，，．依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4，，，则的分布列为012340.250.30.290.120.04所以．17．（1）证明：底面，．，，平面PAB .平面PAD ，平面平面，，平面PAB ．又平面平面平面PAB .（2）解：，直线PD 与直线BC 所成的角为．底面ABCD ，，即．设AD 为2个单位长度，以为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，[1,]x a ∈22x y x =-max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭32a ≥1a >a 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1011021001039998100999710110010μ+++++++++==100μ=(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=0.70.1(100104)0.32P M -<≤==Y (0)0.5P Y ==(1)0.3P Y ==(2)0.2P Y ==X (0)0.50.50.25P X ==⨯=(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=X X P()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=PA ⊥ ABCD PA BC ∴⊥BC AB ⊥ PA AB A = BC ∴⊥BC ∥ PAD ABCD AD =BC AD ∴∥AD ∴⊥AD ⊂,PAD ∴PAD ⊥BC AD ∥ ∴PDA ∠PA ⊥ 3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==PA =32AD A x y z (0,0,0),(0,2,0)A D (2,3,0)C (0,0,3)P (2,1,0)CD ∴=-- (0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为，则取，则，得．易知平面PAB 的一个法向量为，则．故平面PAB 与平面PCD．18．解：（1）因为，所以是以，为焦点，且长轴长为6的椭圆．设的方程为，则，可得，又，所以，联立与，得，，所以与圆相切．（2）的周长，的面积，所以内切圆的半径，故内切圆的半径的取值范围为．（3）联立得，(,,)n x y z = 20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩3x =-6,4y z ==(3,6,4)n =-(0,2,0)AD =cos ,AD 〈 ||||AD n n AD n ⋅〉===12121236MF MF F F F F +==>E 1F 2F E 22221(0)x y a b a b +=>>26a =3a =1c =2228b a c =-=22198x y +=228x y +=0x =y =±E 22:8O x y +=12PF F △1212628l PF PF F F =++=+=12PF F △121(0,1)2S F F d d =⋅=∈12PF F △2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭12PF F △10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()()22228918980k x k x k +-+-=易知，且，．设，则，所以．（方法一）由，，得，所以．（方法二）因为，所以．所以，故为定值，且定值为．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以．故．（2）解：由（1）知，所以，即0∆>21221889k x x k +=+()21229889k x x k -=+()()1122,,C x y D x y 121212,33y yk k x x ==+-()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-21221889k x x k +=+()21229889k x x k-=+()121259x x x x =+-()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++1222121221125k k k k k k k k ==++122212k k k k +25(613245)516τ=+=(15432)3216τ=++=(613245)(15432)ττ=()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++．因为，所以数列是首项为1，公差为6的等差数列，所以，则．（3）证明：因为，所以在排列中，排在前面的10个数依次为，，，…，，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以所以，则．设函数，则，当时，，当时，，所以，所以，当且仅当时，等号成立．取，则，即所以，即．116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅12a =2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭16(1)652n n a n n n =+-=-⋅()2652n n a n n =-⋅()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- 122n j j j 2n 21n -22n -29n -()()1222122210(9810)n n n n j j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++个()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- 210220n n n b c +==3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==3264x ≤<()0f x '<64x >()0f x '>min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-38404ln 12424ln 2x x x+-≥-64x =2(5)n x n =≥384024ln 212424ln 22n n n +-≥-384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++-- ⎪⎝⎭515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-。
江西省多所学校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题(含答案)
江西省多所学校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D.2. 某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：.则该组数据的中位数和平均数分别为（ ）A. 60，58 B. 60，60 C. 55，58 D. 55，603. 已知为实数，则（ ）A.B. 2C. 1D.4. 曲线在点处的切线方程为（）A B.C. D. 5. 已知锐角满足，则（ ）A.B.C.D. 6. 过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为.(){}lg 23,{1}M x y x N y y ==-=>∣∣M N ⋂=31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭35,30,50,90,70,85,60()i1ia z a +=∈+R 2i z z +=e sin2x y x =+()0,13220x y +-=2210x y -+=310x y -+=3220x y -+=,αβsin sin sin cos cos ααβαβ+=2αβ+=π2π3π4π()1,3P-l ()22:(2)123M x y x -+=≤≤l（ ）A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）A.B.C.D.8. 如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知双曲线，则（ ）A. 的取值范围是B. 时，的渐近线方程为C. 的焦点坐标为D. 可以是等轴双曲线10. 下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是（）2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦2,43⎛⎤ ⎥⎝⎦2222:1(0)x y T a b a b+=>>F F l T ,A B AB M 20x y +=TABCD tan 7,5,BAD AB AD E ∠===BC 45AE DE ⋅=sin CDE ∠=7255131422:136x y C m m -=-+m ()6,3-1m =C y x =C ()()3,0,3,0-C {}n a 123,,a a a ()()()123,,f a f a f aA. B. C. D. 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）A. 的图象关于点对称B. 是以8为周期的周期函数C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 二项式的展开式中的系数为__________.13. 已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________.14. 已知三个正整数和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间（单位：）与位移（单位：）之间的关系，得到如下表数据：2.8293 3.1322425293234画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系.（1）求出关于的线性回归方程；（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求前3项残差的和.的..()tan =f x x ()2log f x x =()2024f x x=()1lg1x f x x+=-R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f x ()()8g x g x +=20241(42)2025k f k =-=∑6()x y -42x y ()π2024sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π,6m ⎛⎫ ⎪⎝⎭m X X EX =x s y m x yx y y x ˆˆˆˆi i i i ie y y y bx a =-=--i y ˆi y ˆi e (),i i x y参考数据：，参考公式：.16. 已知的内角的对边分别为，且．（1）证明：；（2）若的周长．17. 已知直线交抛物线于两点，为的焦点，且．（1）证明：；（2）求的取值范围．18. 如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.（1）当时，求四棱锥的体积；（2）当直线与平面所成的角为时，求的值.19. 定义：若对于任意，数列满足：①；②，其中的定义域为，则称关于满足性质.（1）请写出一个定义域为的函数，使得关于满足性质；（2）设，若关于满足性质，证明：；（3）设，若关于满足性质，求数列的前项和.5521145.1,434.7ii i i i xx y ====∑∑1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx ==-==--∑∑ABC V ,,A B C ,,a bc 4cos 4c Ab a=-4cos b C =π,6C c ==ABC V :l x my n =+2:4C y x =,M N F C FM FN ⊥20m n +>n ABCD EFGH -CDHG CG θ11CD H G π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭P EF 112tan 3D PH ∠=11P CD H G -1DH 11CD H G π6cos θ*n ∈N {}{},n n x y n n x y ≠()()n n f x f y =()f x ,,n n D x y D ∈{}{},n n x y ()f x G R ()f x {}{},n n -()f x G ()(0,0)kg x x x k x=+>>{}{},n n x y ()g x G n n x y +>()()ππ22eesin x x h x x x +--=+-∈R {}{},n n x y ()h x G {}n n x y +n江西省多所学校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试卷答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】15【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1）证明略 （2）【17题答案】【答案】（1）证明略（2）或【18题答案】【答案】（1 （2【19题答案】【答案】（1）（注：所有定义域为的偶函数均符合题意）（2）证明略（3）的5π4π,63⎛⎤⎥⎝⎦97ˆ2752.2yx =-0.3-3+3n ≥+3n ≤-()2f x x =R πn -。
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*高三数学（文）联考试卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 设集合 A {1,2, 4}, B { x | x 24 x m 1 0} ，若 A I B {1} ，则 B（ C ）A ． 1,3 B ． 1,0C ． 1,3D ． 1,5r r r r r2. 已知 a 1 (1, 2) ，b (2, m) ，若 a b ，则 | b | （ D ）A ．B ． 1C ． 3D ． 5 23. 《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为 （ C ） A ． 150B ． 160C ． 170D ． 1804. 已知角的终边与单位圆交于点P(m,n) ，且 n 2m(m 0) 那么 sin 2 的值是（ B ）A ． 45B.45C.3 5D ． 355. 设曲线 y sin x cos x 在点( ,1) 处的切线与直线 2 1 x ay 1 0 平行，则实数 a 等于（ A ）A ．1B ．22ln | x | C ．2 D ． 26. 函数 yx的图象大致为 (C)x7 .关于 x 的不等式 2ax 2x 1 0 的解集为非空集合的一个必要不充分条件是（B ）A ． a1B ． a1C.0 a 1D.a 0x 18. 已知实数x 、y 满足不等式组2x y m0 ，若目标函数 z2 x y 的最大值不超过 4,则实数 m 的取值范围是x y 1 0（ D ）A ． (3, 3)B ． [0, 3] C. [ 3,0]D ． [ 3, 3]9. 已知数列a n 是等比数列，若a 2a 5a 88 ，则 1 4 9（ D）1 A ．有最大值21 B. 有最小值2a 1a 5C. 有最大值a 1a 9 5 2a 5a 95 D. 有最小值210. 已知数列a n的前 n 项和为 S n ，且 a 1 1, a n 12 S n1( n N ) ，在等差数列 b n 中， b 2 5 ，且公差 d2 .使得a 1b 1 a 2 b 2a nb n60n 成立的最小正整数 n 为（ C ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 52xa 11. 已知f ( x)2x1为奇函数， g( x)ln( x2b) ，若对x 1 , x 2 R, f ( x 1 ) g ( x 2 ) 恒成立，则 b 的取值范围为( , 21 11 （ B ）A ． (,0] B ． ( , e] C ． [ e,0] D ． [ e, )12.已知锐角三角形ABC ，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 b 2a(a c) ，sin A则的取值范围是（ B ）sin( B A)A ． (0,1)B.1 2) 2 2C.(0, 2 )21 ( ,1)2二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13. 在正方形 ABCD 中， M 、N 则43分别是 BC 、CD1 1 的中点，若 ，14.设 x 0 , y 0 ,且 x 2y 1 0 ,则的最大值为3 2 2x y15.设函数 f x 2sin(2 x) x R,0 6,若将 yf (x) 的图像向左平移个单位后，所得图像关于y 轴对6称.则 的最小值为1；x16.已 知 函 数 f xx1 x 0ex22x 1 x 0， 若 函 数 y f ( f ( x) a) 1 有 三 个 零 点 ， 则 a 的 取 值 范 围 是(1,1 1 ) U (2,3] U 31 ．e e三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．17.（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 满足： a 11 ， a n 1 a n2n 1 (n N ).（1） 求数列 { a n } 的通项公式；（2） 求a 2 1 a 21 a 3 1 L a 3 1a n 1 的值.a n 1解（ 1） Q a na n 1 2n 1(n 2)又Q a n(a n a n 1 ) ( a n 1a n 2 ) L( a 2 a 1 ) a 1= (2 n 1) (2 n 3) L3 1 n（2） a n1a n 1 2 2 2 2 2 1 1 1 (n 2) a n 1 a n 1 a n 1 n 1 (n 1)(n 1) n 1 n 1 原式=(1 1 1) (11 1) (1 1 1) L (11 1)3 24 35 n 1 n 1=(n-1)+(1 1 1 1 1 1 L 1 1) n1 1 1 32 43 518.（本小题满分 12 分）n 1 n 1 2 n n 1如图，在多面体 ABCA 1B 1C 1 中， AA 1平面 ABC ， AA 1∥BB 1 ， B 1C 1 ∥ 1BC,2D . 2u u u r u u u u ruuur ACAM ANAB AC AA 12 BC. 2（1） 求证： AB 1 //平面 A 1C 1C ；（2） 若 BC2 2 ，求多面体 ABCA 1B 1C 1 的体积．解：（ 1）取 BC 的中点 D ，连结 AD , DC 1 ,由条件知 CDP B 1C 1 ， BDP B 1C 1 ，∴四边形 B 1 DCC 1 和 BDC 1B 1 为平行四边形， ∴ B 1DP CC 1 ， C 1 DP BB 1 ，∴ C 1 DP AA 1 ，∴四边形 AA 1C 1 D 为平行四边形，∴ AD PA 1C 1 , ∴平面 AB 1 D P 平面 A 1C 1C ，则 AB 1 P 平面 A 1C 1C 。
（ 2） VVV10 ABC A 1B 1C 1A 1B 1C 1 ABDC AA 1C 1D319.（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 2A B 2 cos2cos 2C 1.（1） 求角 C 的大小； （2） 若ABC 三边长成等差数列 ,且 a1，求 ABC 的面积 .解： (1)2 cos 2A B2cos 2C 1cos 2C cos C 02 cos 2C cos C 1 0cosC1或cosC 2（1 舍） C3(2) 三边成等差数列2c a b(只可能 c 为等差中项 ) ，2 s in Csin A sin Bsin A sin B 3 sin A sin(2A)333 sin A 2 1 cos A 1 2sin( A) 1 A63因此△ ABC 为边长为 1 的等边三角形，S ABC3 4x2 y 220. 已知椭圆 C :2a21(a bb 0) 过点 P( 2,0) ，直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点（异于点 P ）.当直线 l 经过原点时，直线PA, PB 斜率之积为3 .4（1） 求椭圆 C 的方程； 1（2） 若直线PA, PB 斜率之积为，证明直线AB 经过定点 .4解：设 A( x 1 y 1 ) B ( x 2 y 2 ) 直线 l : x my nx2222 x（1） 当 l 经过原点时， x 2x 1, y 2 y 122此时 K PA K PBy 1 x 1 2y 1 x 1 2 4 y 1 y 1 2 2 112 222又Q A 在椭圆上，x 1y 1 1y 1 b 2 24bx 14 4 b23b23椭圆方程为 x y 14 443x my n（2） 由 x 2y2(3m214) y6mny 3n12 04 36mn3n2 12 y 1y 23m24y y 1 23m 4由 K PA K PB1 y 14x 1 2 y 2x 2 2(x 1 y 1y 212)( x 2 2） 44 y 1 y 2( my 1n 2)( my 2n 2)（4 m 2) y ym(n 2)( y y ) (n 2) 2 01 2123n 2126mn（4 m )3m2(mn 42m) 3m 2( n 2)4n 1或n2(舍 )l : xmy 1l 恒过定点（ 1， 0）当直线的斜率为零时，也过此点 综上， 直线l 恒过定点（ 1， 0） 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x)=e2x2ae x , g (x)= e 2xln x 2 ， a R ，（1） 讨论f (x) 的单调性；（2） 求证：当a1时，对2x0 ，都有 f (x)g(x) .解.① f (x) 2e 2x 2ae x2e x (e x a)当a 0, f '(x) 0则 f ( x) 在（0,) ，当 a 0 时，令 f (x) 0x ln a, f ( x) 0x ln a此时 f ( x) 在 (,ln a) 在(ln a)（2） f ( x) g( x)xln2exx只需证 e ex证 1：由ln x 2 x 1ex 1 ln x2 （等号不同取）得 eln x x 1 ln x2证 2：令 h ( x ) e x ln x (x 0)22xx4xx21 2 1 2 1 2 h ( x) ex1,显能h ( x)为增函数x又Q h '(1) e 1 0 1 ， h'( ) 2e 2 0在 (0,) 存在唯一实数 x 0 ，使 h( x 0 ) 0即 x 01 且 x 1e 01 1 xlnxln x e0 0x 0( ,1) 2ln( x) 在 (0, x 0 ) 在 (x 0 , )h( x)x1 h( x ) e 0ln x x 2minx 0h( x) h( x 0 ) 2因此得证22． [选修 4―4：坐标系与参数方程 ]（ 10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为x 2 2t y12t(t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 4cos ；（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；1 1 (2)若直线 l 与曲线 C 交点分别为 M 、N ,点 P(1,0) ，求PMPN的值 .解：① l : x y 1 0曲线 C : xy4 x 0②法 1：直线 l 过点P (1,0) 且参数方程可表示为x 12 t2y2 t2 （ t 为参数）代入曲线 C ，得 t 22t 3, | t t 2|(t t )4t t 1411| t 1 t 2 | 14 | PM | | PN || t 1t 2 |3法 2：设圆心与 x 轴交于 O 、A ，则 | PM || PN | | OP | | PA | 1 3 3 而 | PM | | PN | | MN |141 1 | PM | | PN | 14 | PM | | PN || PM || PN |323． [选修 4— 5：不等式选讲 ]（ 10 分）2x2已知 fx x a a R ;（ 1）若 fx2x 3 的解集为 3, 1 ，求 a 的值；（ 2）若xR 不等式f xx a a 2a 恒成立，求实数 a 的范围 .解： fx 2x 3 即 x a2x 3 ，平方整理得： 3x 2 12 2a x 9 a20 ，所以 -3， -1 是方程3x212 2a x 9 a20 的两根，12 2 a 34解得 a9 a 233（2）因为f (x) | x a| (x a) (x a) 2 a所以要不等式 f (x) | x a | a22a 恒成立只需 2 a a22a当 a0 时， 2a a22a 解得 0 a 4当 a0 时， 2a a22a 此时满足条件的 a 不存在综上可得实数 a 的范围是 0 a 4。